精品解析：广东省江门市新会区河南中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试卷

2025-2026学年度第一学期九年级数学期中考试 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （ ） A. 1，4，1 B. 2，，0 C. 3，4，0 D. ，，1 2. 已知是方程的一个根，则b的值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. －2 3. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 9. 若抛物线经过原点，则a的值是（ ） A. B. 1 C. D. 0 10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将方程化为一元二次方程的一般形式为___________． 12. 已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______． 13. 已知抛物线的对称轴为直线，则b的值为______． 14. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为___________ 15. 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 三、解答题（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 17. 求抛物线的顶点坐标，与轴的交点坐标． 18. 已知关于的方程的根为，当时，求的值． 四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不等的实数根； （2）已知方程的一个根为，求代数式的值． 20. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？     21. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 五、解答题（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 23. 安全驾驶：合理车距的保持艺术 素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）． 素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米． 《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米． 任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级数学期中考试 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （ ） A. 1，4，1 B. 2，，0 C. 3，4，0 D. ，，1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 2. 已知是方程的一个根，则b的值为（ ） A. 1 B. －1 C. D. －2 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程的解的定义，将x=-2代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可． 【详解】解：根据题意，得 4-2×b-2=0，即2b+2=4， 解得，b=1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 3. 用配方法解一元二次方程，则变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，使用配方法解方程，需将常数项移项后，方程两边加上一次项系数一半的平方，形成完全平方式即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故选：D． 4. 关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根．根据根的判别式即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程没有实数根． 故选：C． 5. 已知，是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，由一元二次方程根与系数的关系可得，，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴ ， 故选：． 6. 过元旦了，全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设全班有x名同学，根据全班同学每两个人互发一条祝福短信，共发了380条，列出方程即可． 【详解】解：设全班有x名同学，则每个同学要发条信息， 根据题意得：， 故选：A． 7. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 8. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 9. 若抛物线经过原点，则a的值是（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，将代入解析式求出a的值，再根据二次项系数不能为0对a的值进行取舍，即可得出答案． 【详解】解：抛物线经过原点， ， 解得， 当时，二次项系数，不合题意， ， 故选C． 10. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的度值范围是-1＜x＜4；⑤当x<0时，y随x的增大而增大．其中正确的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b=-2a，然后根据x=-1时函数值为0可得到3a+c=0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴b2-4ac＞0， ∴4ac＜b2，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， 而点（-1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1，x2=3，故②正确； ∵=1，即b=2a， 而x=-1时，y=0，即a-b+c=0， ∴a+2a+c=0， 即3a+c=0，故③错误； ∵抛物线与x轴的两点坐标为（-1，0），（3，0）， ∴当y＞0时，x的取值范围是-1＜x＜3，故④错误； ∵抛物线的对称轴为直线x=1， ∴当x＜1时，y随x增大而增大， ∴当x＜0时，y随x增大而增大，故⑤正确； 所以其中结论正确的有①②⑤，共3个； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 将方程化为一元二次方程的一般形式为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，把等号右边的项移到左边即可，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 已知关于的方程的一个根为，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：设方程的另一个根为， 则 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 13. 已知抛物线的对称轴为直线，则b的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，利用对称轴公式可求得对称轴，再利用条件可得到关于b的方程，可求得答案． 【详解】解：∵的对称轴为直线， ∴， 解得，， 故答案为：2 14. 将抛物线向右平移3个单位，再向下平移5个单位，则平移后的抛物线解析式为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象的几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向下平移5个单位， 所得抛物线的表达式为：，即． 故答案为：． 15. 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 【答案】##8米 【解析】 【分析】本题考查了的图象和性质，拱桥问题(实际问题与二次函数)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得抛物线的解析式，再求出的纵坐标，从而可求得水位上升的距离． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当水面宽时， 的横坐标为， ∴的纵坐标为， ∴水位上升 ， 故答案为：． 三、解答题（本题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法．先整理方程，再利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， 或， 解得． 17. 求抛物线的顶点坐标，与轴的交点坐标． 【答案】顶点坐标是，与y轴的交点坐标是 【解析】 【分析】本题考查了把化成顶点式，求抛物线与y轴的交点坐标，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 通过配方求得顶点坐标，取求得，从而可得与轴的交点坐标． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是， 取，得， ∴与y轴的交点坐标是． 18. 已知关于的方程的根为，当时，求的值． 【答案】 7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．将代入方程，利用一元二次方程根与系数的关系得到，整体代入计算即可． 【详解】解：∵当时，方程为， ， ． 四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个不等的实数根； （2）已知方程的一个根为，求代数式的值． 【答案】（1） 解：∵关于x的一元二次方程． ∴ ∵， ∴方程总有两个不等的实数根． （2）5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及方程根的应用，解题关键是用判别式判断根的情况，将根代入求参数，再化简代数式求值． （1）通过化简方程的判别式得出，根据，证得方程总有两个不等实数根． （2）把代入原方程，得，求出或；再化简代数式为，最后将的两个值分别代入化简式，计算得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∵是方程的一个根， ∴将代入得： ， ， 解得或． 当时，代入得： ． 当时，代入得： ． ∴代数式的值为5． 20. 某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为28米． （1）这个车棚的长和宽分别应为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？     【答案】（1）这个车棚的长为10米，宽为8米．（2）小路的宽度是1米． 【解析】 【分析】（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米，依据题意列方程求解即可； （2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形，依据题意列方程求解即可． 【详解】解：（1）设平行于墙的边长为x米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得：x•＝80， 整理得：x2﹣28x+160＝0， 解得：x1＝8，x2＝20． 又∵这堵墙的长度为12米， ∴x＝8， ∴＝10． 答：这个车棚的长为10米，宽为8米． （2）设小路的宽度是m米，则停放自行车的区域可合成长为（10﹣m）米，宽为（8﹣2m）米的长方形， 依题意得：（10﹣m）（8﹣2m）＝54， 整理得：m2﹣14m+13＝0， 解得：m1＝1，m2＝13． 当m＝1时，10﹣m＝9，8﹣2m＝6，符合题意； 当m＝13时，10﹣m＝﹣3，不合题意，舍去． 答：小路的宽度是1米． 【点睛】此题考查了一元二次方程与几何图形面积的应用，理解题意找到题中的等量关系是解题的关键． 21. 二次函数的图象经过点，顶点坐标为 （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，求的取值范围； （3）直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【答案】（1） （2） （3）3或4 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． （1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 ∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； 【小问3详解】 解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点即， 当时，， ∴与y轴有一个交点即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 五、解答题（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 已知：二次函数的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上 （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴上有一动点P，若最小，求P的坐标； （3）在直线下方的抛物线上是否存在动点Q，使得的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及的最大面积；若不存在，请明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）采用待定系数法即可求解； （2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解； （3）过点Q作轴交于点H，设点，则点，根据表示出三角形的面积，然后求出最大值即可． 【小问1详解】 解：把，代入， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：令，可得：， 解得：，， ∴B点坐标为：， 抛物线的对称抽为：， A、B两点关于直线对称， 抛物线的对称轴上有一动点P，如图， ∴， ∴， 即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为， 如图， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴P点坐标为：； 【小问3详解】 解：过点Q作轴交于点H，点H在上，如图所示： 设点，则点， 则， 则 ， ∵， ∴当时，面积的最大值为， 此时， ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 23. 安全驾驶：合理车距的保持艺术 素材一 停车距离是指从司机观察到危险信号至车辆减速停下的过程中车辆行驶的距离．司机观察到危险信号至踩下刹车的平均反应时间大约为1秒，车辆可看作匀速直线运动，车辆行驶的距离称为反应距离满足；从司机踩下刹车到车辆完全停止，车辆可看作匀减速直线运动，车辆行驶的距离称为刹车距离满足（其中a为汽车制动加速度，在城市道路约为）． 素材二 《道路交通安全法实施条例》第四十五条：机动车在没有限速标志、标线的道路上，机动车不得超过下列最高行驶速度：没有道路中心线的城市道路为每小时30千米，同方向只有1条机动车道的城市道路为每小时50千米． 《道路交通安全法实施条例》第六十条：机动车在道路上发生故障或者发生交通事故，妨碍交通又难以移动的，应当按照规定开启危险报警闪光灯并在车后50米到100米处设置警告标志． 问题解决 任务一 认识研究对象 汽车的停车距离__________（用含v的代数式表示）．若汽车行驶速度为，则汽车的停车距离为__________米． 任务二 探索研究方法 老师开车上班途中发现正前方90米处发生追尾事故，此时，车速不超过多少时才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三 尝试解决问题 请你从停车距离的角度分析素材二中道路交通安全法的合理性． 【答案】任务一： ，36； 任务二：车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生； 任务三： 当时， ∴， 当， ∴， ∴道路交通安全法规定合理． 【解析】 【分析】本题考查的是函数的实际应用，一元二次方程的应用，理解题意是解本题的关键； 任务一：根据题干信息提示计算即可得到答案； 任务二：由题意可得方程，解方程后，再结合实际意义下结论即可； 任务三：把每小时30千米，每小时50千米，代入（1）中的函数关系式，计算停车距离与法律规定的数据进行比较即可得到结论． 【详解】解：任务一：∵反应距离为， 制动距离为：， ∴汽车的停车距离； 当时， ∴； 任务二：（2）由题意可得， ∴， 解得 ，（负根舍去）， ∴ 车速不超过才能在刹车后避免连环追尾事故的发生． 任务三：略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $