精品解析：吉林省长春市第八十七中学2025-2026学年上学期九年级数学12月月考试题

87中九年级上学期第三次大练习（1-15班） 数学学科 总分：120分 时间：120分钟 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 6. 点是直线上一点，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 的立方根是______． 10. 若与是同类项，则n的值为________． 11. 已知，则代数式的值为_______． 12. 如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______． 13. 三个正方形方格和扇形的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形的面积为_____________． 14. 如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则下列结论：①；②；③的度数始终保持不变；④．其中正确的结论是_______．（填写正确结论的序号） 三．解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简再求值：，其中． 16. 一个盒子里装有分别写有数字1，3，5的三张卡片，另一个盒子里装有分别写有数字2，4的两张卡片，现从两个盒子中各任取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的卡片上的数字为不相邻整数的概率． 17. 如图，矩形的对角线相交于点O，F是矩形上方一点，连接交于点E，且E是的中点，连接．求证：四边形是菱形； 18. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 19. 如图是由的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，所画图形用实线表示． （1）在图①中，在格点上找到点C，作直角三角形，使其面积为4． （2）在图②中，在格点上找到点D，作钝角三角形，使其面积为4． （3）在图③中，在格点上找到点E，作等腰直角三角形，使其面积为5． 20. 某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为，则___________（填“”“”或“”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 ___________． 21. 2025年政府工作报告提出“人工智能＋”行动，明确要求推广智能分拣、无人配送等技术，并通过专项债支持智慧物流园区建设，加快建设统一开放的交通运输市场，实施降低全社会物流成本专项行动．某快递公司的汽车在城市道路上匀速行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶30km到达目的地．已知汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍．汽车行驶的时间x（单位：）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示． （1）填空； ； （2）求该汽车在高速路上行驶的路程y与行驶时间x之间的函数表达式； （3）求该汽车行驶2小时时距离目的地的路程 22. 解答下列各题 （1）【初步感知】如图，和中，，，，得∠E的度数为 ； （2）【深入探究】如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，求出点F到的距离的最大值； 分析：由矩形面积和面积关系得是定值，结合和矩形中，证明，得出，即可得出F在以为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解．以下是部分证明过程，请补充完整． 证明：∵，， ∴， 即， ∴， 证明过程缺失 ∴， ∴F在以为直径的圆上运动， ∴F到的最大距离为 ． （3）【学以致用】如图，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，的长为 ． 23. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转并延长到点，使线段，以线段为邻边作矩形． （1）线段的长为 ； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点到的距离； （4）当点到的距离是到距离的倍时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，点C的横坐标为；点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结、． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当A，C两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点B的坐标； （3）当时，设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点到x轴的距离比为时，求m的值； （4）以、为邻边作平行四边形，当此抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 87中九年级上学期第三次大练习（1-15班） 数学学科 总分：120分 时间：120分钟 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用上面各个选项显示的数值求出其绝对值，然后比较绝对值，绝对值最小就是最接近标准质量，即可作答． 【详解】解：依题意，得，，， ∵ ∴最接近标准质量的是“”， 故选：C 【点睛】本题考查了正负数的实际应用以及绝对值的意义，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2. 如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看得到的视图，可得答案． 【详解】解：从正面看下面是一个比较长的矩形，上面是一个比较窄的矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是正视图，注意圆柱的主视图是矩形． 3. 下列运算中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法、积的乘方及合并同类项的法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A、，所以选项A错误，不符合题意； 选项B、，所以选项 B正确，符合题意； 选项C、，所以选项C错误，不符合题意； 选项D、，所以选项 D错误，不符合题意． 故选：B． 4. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的解集情况．根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，进行判断即可． 【详解】解：根据确定不等式组的解集的原则：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，可知：，无解； 故选A． 5. 如图，建筑物上有一旗杆，从与相距的D处观测旗杆顶部A的仰角为，观测旗杆底部B的仰角为，则旗杆的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，分别解直角三角形求出的长，再用进行求解即可． 【详解】解：由题意，在中，， 在中，， ∴； 故选D． 6. 点是直线上一点，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了求一次函数值，判断点所在的象限， 将代入得到点P的坐标为，再根据坐标符号确定所在象限． 【详解】解：∵点是直线上一点 ∴ ∴点P的坐标为 ∴点P在第四象限， 故选：D． 7. 如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 8. 钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高）．若要使频率升高到（即达到标准音高），以下调整张力正确的是（ ） A. 增大至 B. 减小至 C. 增大至 D. 减小至 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． 利用待定系数法求出与之间的函数关系式，求出对应的值即可． 【详解】解：设与之间的函数关系式为（为常数，且）， 将，代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为， 当时，得， 解得， ∵与之间的函数关系式为，在第一象限，随的增大而减小， ∴当由 升到时，并结合图像，应该将张力减小至， 故选：D． 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9. 的立方根是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】解：的立方根是． 故答案为：． 10. 若与是同类项，则n的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是同类项的定义，含有相同字母，相同字母的指数也相同的单项式是同类项，本题根据定义可直接得到答案． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 故答案为：3 11. 已知，则代数式的值为_______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查代数式的求值，关键在于找出代数式与已知条件的关系． 由已知方程，代数式可提取公因式变形为，整体代入求值． 【详解】因为，所以，则原式． 故答案为：11． 12. 如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的内角与周角、等腰三角形的性质，熟练掌握正八边形的内角和正五边形的内角求法是解题的关键．根据正八边形的内角和正五边形的内角结合周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【详解】解：由题意得：正八边形的每个内角都等于，正五边形的每个内角都等于， 故， ， ． 故答案为：． 13. 三个正方形方格和扇形的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则扇形的面积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先求出长和的度数，再根据扇形的面积公式求出即可． 【详解】解：连接， 由勾股定理得：， 由正方形的性质得：， 所以扇形的面积为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积，勾股定理和正方形的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键． 14. 如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，以FD，FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP，则下列结论：①；②；③的度数始终保持不变；④．其中正确的结论是_______．（填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 作交的延长线于H，证明，得，可以判断①②正确；根据题意，证明是的角平分线，可判断③错误；证明是等腰直角三角形，可以判断④正确． 【详解】解：作交的延长线于H， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ，故②正确； ， 是的角平分线， 点P的运动轨迹是的角平分线， ， 观察图象可得，当增加时，减小，故③错误， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，由勾股定理得，， ， ，即，故④正确； 故答案为：①②④． 三．解答题（共10小题，共78分） 15. 先化简再求值：，其中． 【答案】-x+8，11． 【解析】 【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可． 【详解】解：x（2x-1）-2（x+2）（x-2） =2x2-x-2(x2-4) =2x2-x-2x2+8 =-x+8， 当x=-3时，原式=3+8=11． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 16. 一个盒子里装有分别写有数字1，3，5的三张卡片，另一个盒子里装有分别写有数字2，4的两张卡片，现从两个盒子中各任取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求取出的卡片上的数字为不相邻整数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图求概率，正确画出树状图是解答本题的关键． 画出树状图，由树状图求出卡片上的数字为不相邻整数的等可能的结果数，再由概率公式即可求出答案． 【详解】解：画树状图得： 由图可知共有6种等可能的结果，抽到两张卡片上的数字为不相邻整数的的结果有2种， 抽到两张卡片上的数字为不相邻整数的概率为． 17. 如图，矩形的对角线相交于点O，F是矩形上方一点，连接交于点E，且E是的中点，连接．求证：四边形是菱形； 【答案】 ∵， ∴∠DFC＝∠OCF，∠EDF＝∠EOC ∵点E是CF的中点， ∴FE＝CE， 在△DEF和△OEC中， ， ∴△DEF≌△OEC（AAS）， ∴DF＝OC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OD，DF＝OA， ∵， ∴四边形AODF是平行四边形， 又∵OA＝OD， ∴平行四边形AODF是菱形． 【解析】 【分析】先证明△DEF≌△OEC，可得DF＝OC，然后根据矩形的性质可得OA＝OD，DF＝OA，然后根据，可得四边形AODF是平行四边形，即可求证． 【详解】解：略． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 18. 辛弃疾词曰：“稻花香里说丰年，听取蛙声一片．”提起稻花香，不得不说五常稻花香大米，其色泽光亮，醇厚绵长，成饭绵软略粘，芳香爽口，是餐桌上的佳品．某收割队承接了60公顷五常水稻的收割任务，为了让五常大米早日上市，实际工作效率比原来提高了，结果提前2天完成任务．求原计划每天收割多少公顷的水稻． 【答案】原计划每天收割5公顷的水稻 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤．设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷，根据结果提前2天完成任务列方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天收割的面积为x公顷，则实际每天收割的面积为公顷， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：原计划每天收割5公顷的水稻． 19. 如图是由的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不写画法，所画图形用实线表示． （1）在图①中，在格点上找到点C，作直角三角形，使其面积为4． （2）在图②中，在格点上找到点D，作钝角三角形，使其面积为4． （3）在图③中，在格点上找到点E，作等腰直角三角形，使其面积为5． 【答案】（1） 解：如图 ； （2） 解：如图 （3） 解：如图， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的分类，勾股定理，熟读题意，按照要求画图是解题的关键． （1）按照题目要求画出图形即可； （2）按照题目要求画出图形即可； （2）按照题目要求画出图形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 某校甲、乙两个班级各有23名学生进行校运动会入场式的队列训练，为了解这两个班级参加队列训练的学生的身高情况，测量并获取了这些学生的身高（单位：），数据整理如下： a．甲班23名学生的身高： 163，163，164，165，165，166，166，165，166，167，167，168，169，169，170，171，171，172，173，173，174，179，180． b．两班学生身高的平均数、中位数、众数如表所示： 班级 平均数 中位数 众数 甲 169 m n 乙 169 170 167 （1）写出表中m，n的值； （2）在甲班的23名学生中，高于平均身高的人数为，在乙班的23名学生中，高于平均身高的人数为，则___________（填“”“”或“”）； （3）若每班只能有20人参加入场式队列表演，首先要求这20人与原来23人的身高平均数相同，其次要求这20人身高的方差尽可能小，则甲班未入选的3名学生的身高分别为 ___________． 【答案】（1）或 （2） （3）163、164、180 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差，掌握统计量的确定方法或计算公式是解题的关键． （1）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）根据平均数和方差的定义解答即可． 【小问1详解】 解：把甲班23名学生的身高从小到大排列，排在中间的数是168， 故中位数； 甲班23名学生的身高中165和166出现的次数最多， 故众数或； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴． 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴甲班未入选的3名学生的身高分别为． 故答案为：163、164、180． 21. 2025年政府工作报告提出“人工智能＋”行动，明确要求推广智能分拣、无人配送等技术，并通过专项债支持智慧物流园区建设，加快建设统一开放的交通运输市场，实施降低全社会物流成本专项行动．某快递公司的汽车在城市道路上匀速行驶30km后进入高速路，在高速路上匀速行驶一段时间后，再在乡村道路上匀速行驶30km到达目的地．已知汽车在城市道路的行驶速度是乡村道路行驶速度的2倍．汽车行驶的时间x（单位：）与行驶的路程y（单位：km）之间的关系如图所示． （1）填空； ； （2）求该汽车在高速路上行驶的路程y与行驶时间x之间的函数表达式； （3）求该汽车行驶2小时时距离目的地的路程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，掌握待定系数法求表达式是解题的关键． （1）根据题意得到，汽车在城市道路匀速行驶的速度，进而得到在乡村道路上匀速行驶的速度和时间即可； （2）根据待定系数法求函数表达式即可； （3）把代入求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，第一段城市道路行驶了，其速度为， 则在乡村道路上匀速行驶的速度为，行驶的时间为， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设函数表达式为，根据题意函数过点， ，解得， 所以函数表达式； 【小问3详解】 解：当时，， ， 答：该汽车行驶2小时时距离目的地的路程为． 22. 解答下列各题 （1）【初步感知】如图，和中，，，，得∠E的度数为 ； （2）【深入探究】如图，在矩形中，，，点E是线段上一点，连接，过点A在上方作，使，连接，求出点F到的距离的最大值； 分析：由矩形面积和面积关系得是定值，结合和矩形中，证明，得出，即可得出F在以为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解．以下是部分证明过程，请补充完整． 证明：∵，， ∴， 即， ∴， 证明过程缺失 ∴， ∴F在以为直径的圆上运动， ∴F到的最大距离为 ． （3）【学以致用】如图，梯形中，，，，，点E是线段的中点，点F是线段上一点，连接，过点E在上方作，使，当的面积最小时，的长为 ． 【答案】（1） （2）∵， ∴， 即， ∴ ∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动， ∴到的最大距离为； （3） 【解析】 【分析】（1）由推出，结合得比例式，证明，利用得出的度数． （2）由矩形面积和面积关系得的定值，结合和矩形中，证明；得出，即可得出在以为直径的圆上运动，进而根据题意，即可求解． （3）先计算梯形面积和面积，结合得的定值；构造矩形，证明，得出，得出在为直径的圆上，进而求得出当的面积最小时，得出是等腰直角三角形，勾股定理即可得出长． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， ， ， ∴（两边对应成比例且夹角相等）， ∵， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵梯形中，，，，， ∴， ∵， ∴，即， ∵点E是线段的中点， ∴， 如图，取上的点Q，使，作矩形，则，，连接， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴在为直径的圆上， ∴当的面积最小时，在过点且垂直于的直线上，则此时是等腰直角三角形， ∴． 23. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转并延长到点，使线段，以线段为邻边作矩形． （1）线段的长为 ； （2）当时，求的面积； （3）当时，求点到的距离； （4）当点到的距离是到距离的倍时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）的面积为； （3）点到的距离为； （4）的长为或． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据即可求解； （）过作于点，由勾股定理得：，又，则，求出，然后由的面积为即可求解； （）过作于点，过作于点，则，所以，设，则，，又，则，解得：，所以，然后通过即可求解； （）分为当在直线左侧时，当在直线右侧时两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过作于点， ∴， 由勾股定理得：， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 【小问3详解】 解：如图，过作于点，过作于点，则， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为； 【小问4详解】 解：如图，当在直线左侧时，过作于点，过作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点到的距离是到距离的倍， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，当在直线右侧时，过作于点，过作于点，过作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点到的距离是到距离的倍， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的长为或． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，点C的横坐标为；点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结、． （1）求该抛物线所对应的函数表达式； （2）当A，C两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点B的坐标； （3）当时，设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点到x轴的距离比为时，求m的值； （4）以、为邻边作平行四边形，当此抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）点B的坐标为 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查“二次函数的图象与性质”“待定系数法求解析式”，根据点坐标的关系，通过条件找到参数的等量关系是解题关键，注意点的位置不同引起的不同情况，需分类讨论． （1）代入点坐标用待定系数法求解析式即可； （2）根据解析式求出抛物线的对称轴，再通过点对称的坐标特征，通过对称轴找到m的等量关系，求解出m即可； （3）根据m的范围，判断出点A和点B的位置关系，根据顶点是否在图象G上分类讨论，根据条件列方程求解即可； （4）根据m的范围，分类讨论点A的位置，通过图象判断抛物线在平行四边形内部的点的特征，根据对称轴与点的关系列不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：代入点，得，解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵点A，C关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴点B的横坐标为， 当时，， ∴点B的坐标为； 【小问3详解】 解：令，则；令，则， ∴，， ∵， ∴，即点B在点A的上方， 令，则，解得，或， ∴抛物线在的图象在x轴下方，在和部分的图象在x轴上方， 分两种情况讨论： 第一种：，则图象G整体在抛物线的对称轴的左侧，点A在x轴下方， ∴点A为图象G的最低点，点B为图象G的最高点， 由题意，得，解得（舍去）或， 第二种：当时，则图象G包含顶点， ∴顶点为图象G的最低点，点B为图象G的最高点， 由题意，得，解得，或，均不合题意，舍去 ∴； 【小问4详解】 解：分两种情况： 第一种：如图，当时，，则点A在y轴右侧，点B，C在y轴左侧， ∴由图可知，当点A在对称轴左侧时，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标y始终随x的增大而减小， 即； 第二种：如图，当时，，则点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧， 显然，当点C在抛物线内时，抛物线在平行四边形内无点，情况不存在， 当点C在抛物线外时，如下图， ∵点A关于对称轴直线的对称点的横坐标为， 由图可知，， ∴， ∴当时，抛物线在平行四边形内的点的纵坐标y始终随x的增大而增大， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $