18.5 分式方程 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

18.5分式方程同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列关于的方程：①；②；③；④；⑤，是分式方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．分式方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 4．将分式方程化为整式方程时，方程两边可以同时乘（    ） A． B． C． D． 5．若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 6．数学课上，李老师在黑板上写了关于的分式方程，让同学们讨论该分式方程的解．同学说：当时，方程的解为负数；同学说：当时，方程的解为正数．关于两位同学的说法，正确的是（   ） A．同学都答对 B．同学都答错 C．只有同学答对 D．只有同学答对 7．已知关于的方程的解为，则处可能为（　　） A． B． C． D． 8．若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（   ） A． B． C．0 D．1 9．将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 10．方程的增根是（    ） A． B． C． D． 11．若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 12．一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 13．某学校篮球社团要购买一定数量的篮球，现有甲、乙两个商店销售某品牌篮球（篮球标价相同），国庆期间同时搞品牌促销活动，甲商店：购买篮球消费满700元，送两个篮球；乙商店：篮球单价打七折．如果到甲商店购买，正好能用720元经费买够数量；如果到乙商店购买，不仅能买够数量，还能剩48元，两位同学分别就两种方案给出了两个方程： ① ，② ．其中x表示的意义是（　　） A．均为篮球的数量 B．均为篮球的单价 C．方程①中的x表示篮球的数量，方程②中的x表示篮球的单价 D．方程①中的x表示篮球的单价，方程②中的x表示篮球的数量 二、填空题 14．下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 15．关于x的分式方程的解为 ． 16．当 时，方程的解与方程的解相同． 17．若，如．按照上述运算法则，若，则x的值为 ． 18．黄元米果也称“黄米果”，起源于唐，兴盛于明，属客家特色点心，早在明朝正德年间就被列为贡品．某特产店批发了A，B两种不同型号的黄元米果，已知A型黄元米果的单价比B型黄元米果的单价多元，且用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同，则A型黄元米果的单价是 元． 19．同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为 （2）若，则此方程的解为 （用含有的代数式表示）． 20．解决分式问题时，常常采用逆向思维的方法，如：在讨论分式时，若将其转化为，则该分式值的变化只与分母有关．已知，，设． （1）当时，的值为 ； （2）若均为非零整数，则的值为 ． 21．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 三、解答题 22．解下列分式方程： (1)； (2)． 23．下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，约去分母， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是_______，解题过程缺少的步骤是_______． (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程 24．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 25．若分式方程 有增根，求k的值． 26．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或．又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为 ， ； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数，则 ， ； (3)关于x的方程的两个解分别为，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《18.5分式方程同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B D C C B B B C 题号 11 12 13 答案 B A C 1．A 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键，根据定义逐个分析判断即可． 【详解】①分母中含有未知数，是分式方程； ②，分母中不含有未知数，不是分式方程； ③关于的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； ④关于的方程，分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程； ⑤不是等式，且分母中是常数，不是分式方程， 综上所述：是分式方程的有1个， 故选：A． 2．A 【分析】本题考查解分式方程的能力，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．观察可得方程两边只需同乘即可将分式方程转化为整式方程． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是方程的解， 故选：A． 3．B 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 4．D 【分析】本题主要考查了解分式方程，找出分式方程的最简公分母即可解答． 【详解】解：将分式方程化为整式方程时， 方程两边可以同时乘． 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴， 解得， 当时， ，该方程无解； 当时， ， ； ∴的取值为或2， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的方法． 解分式方程，分析解的符号，判断两位同学的说法是否正确． 【详解】解：方程 ，解得： 当时，，方程的解为负数，同学说法正确； 当时，且时，方程的解为正数，同学说法错误， 故选：C． 7．B 【分析】本题考查分式方程的解. 将代入原方程中解得A的值，然后将分别代入各式中判断是否等于求得的A的值即可． 【详解】解：已知关于x的方程的解为， 则， 那么， 检验： 当时，，则A不符合题意， 当时，，则B符合题意， 当时，，则C不符合题意， 当时，，则D不符合题意， 故选：B． 8．B 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为零的解．原方程分母为和，故增根可能为或，将方程转化为整式方程后，解出的表达式，再代入可能的增根求解的值． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有增根， ∴或， 当增根为，则，解得； 当增根为，则，方程无解，舍去； ∴综上所述，实数a的值为 故选：B． 9．B 【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘，即可求出结果． 【详解】解：， 方程两边同乘， 得． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根就是使分式方程的最简公分母等于0的未知数的值．令最简公分母即可得出答案． 【详解】解：∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 故选：C． 11．B 【分析】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0． 分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， ∵方程的解为负数， ∴， ∴． ∵且， ∴且， ∴且． 故选B． 12．A 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据顺流速度和逆流速度与静水速度的关系，顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，再根据时间相等列方程． 【详解】解：∵顺流速度，逆流速度， 顺流时间，逆流时间， ∵时间相等， ∴． 故选：A． 13．C 【分析】根据题意，得x表示篮球的数量时，单价分别表示为，根据单价相同建立方程；x表示篮球的单价，分别表示出篮球的数量为，建立方程即可． 本题考查了分式方程的应用，熟练掌握列方程是解题的关键． 【详解】解：设购买x个篮球，单价分别表示为，根据单价相同建立方程； 设篮球的单价为x，分别表示出篮球的数量为，建立方程． 故选：C． 14．①④ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟记分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐个判断即可． 【详解】①④的分母中含有未知数，是关于x的分式方程； ②不是方程，故不是关于x的分式方程； ③⑤的分母中不含有未知数，故不是关于x的分式方程； 关于x的分式方程是①④． 故答案为：①④． 15． 【分析】本题考查了分式方程的求解，按照求解步骤并验证解是解决本题的关键 ． 先将分式方程去分母变成整式方程，按照整式方程的求法求出未知的值，再验证即可 ． 【详解】解：分式方程为， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， 检验：当时，， 所以原方程的解为 ． 故答案为： ． 16． 【分析】先求得的解，根据方程的解相同，把方程的解代入第一个方程，可得关于的方程，再解方程，可得答案． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 方程的解与方程的解相同， 把代入， 得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 当时，方程的解与方程的解相同， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据分式方程的解求参数，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤，注意要验根． 17． 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程，根据新定义运算得出，进而解方程，并检验，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 解得： 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 18．6 【分析】本题考查分式方程的实际应用，注意结果要检验，设型黄元米果单价为元，则型黄元米果的单价为元，根据“用120元购买A型黄元米果的数量与用90元购买B型黄元米果的数量相同”这个等量关系列式子，求解即可． 【详解】解：设型黄元米果单价为元，则型黄元米果的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 则A型黄元米果的单价是6元． 故答案为：6． 19． 或 或． 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）将原方程变形后即可求得答案； （2）将原方程变形后即可求得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， 令，则， ∴方程的解为10或， ∴或， 解得或， 经检验，或是原方程的解； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 令， ∴， ∴方程的解为或， ∴或，解得或． 经检验，或是原方程的解． 故答案为：（1）或（2）或 20． 或 【分析】本题考查了解分式方程，求使分式值为整数时未知数的整数值，求代数式的值； （1）解方程，即可求解； （2）化简得，根据均为非零整数进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：（1）由题意得 ， 去分母得， ， 解得：， 经检验：是此方程的解， 故答案为：； （2）由题意得 ， 均为非零整数， 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 当时，即，，此时； 故答案为：或． 21． 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 所以， 即， 因为分式方程的解是正整数，而， 则x的最小值为2， 所以， 解得， 故答案为：4． 22．(1) (2)无解 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）解：去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． 23．(1)，检验 (2)见解析 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． （1）根据解分式方程的步骤判断即可得解； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是，解题过程缺少的步骤是检验； （2）解：方程两边同乘以得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 检验：把代入， 所以是原方程的根． 24．规定时间为8天 【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据此列分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 由题意得：， 解得，经检验是所列方程的根，且符合题意 答：规定时间为8天． 25． 【分析】本题考查解分式方程，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根． 本题的增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值． 【详解】解：方程两边都乘，得， ∵增根为， ∴， ∴． 26．(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得：， 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或，且， 可得，． ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $