第三章 投影与视图 习题课件 2025-2026学年湘教版数学九年级下册

该初中数学单元复习课件聚焦投影知识，系统梳理平行投影、中心投影的概念及正投影性质，通过生活实例（如圭表、路灯影子）引入概念，结合相似三角形推理构建“概念-性质-应用”逻辑链，帮助学生形成完整知识网络。 其亮点在于以核心素养为导向设计复习活动，如用圭表投影实例培养数学眼光，通过相似比计算影子长度发展数学思维，借助正投影面积公式强化数学语言表达。题目分层设计，从基础选择到规律探究题，满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用能力。

第3章　投影与视图 3．1 投影 1．[2025宁波模拟]圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是(　　) A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 返回 B 2 2．下列影子不是中心投影的是(　　) A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影 C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子 A 返回 3 3．如图，光线由上向下照射时的正投影是(　　) 返回 C 4 4．下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序排列，正确的是_____________(填序号)． ③④①② 返回 5 5．如图，小莉用灯泡O照射一张矩形硬纸片ABCD，在墙上形成一个矩形影子A′B′C′D′，现测得OA＝2 cm，OA′＝5 cm，S矩形ABCD＝8 cm2，则S矩形A′B′C′D′＝________cm2. 50 6 返回 【点拨】∵OA∶OA′＝2∶5，∴易得OB∶OB′＝OA∶OA′＝2∶5.又∵∠AOB＝∠A′OB′，∴△AOB∽△A′OB′，∴AB∶A′B′＝2∶5，∴S矩形ABCD∶S矩形A′B′C′D′＝4∶25.∵S矩形ABCD＝8 cm2，∴S矩形A′B′C′D′＝50 cm2. 6. 如图，在路灯下，小华的身高用线段AB表示，他在地面上的影子用线段AC表示，小玉的身高用线段FG表示，路灯灯泡在线段DE上． 8 (1)请你确定灯泡所在的位置，并画出小玉在灯光下形成的影子； 【解】如图所示，点P为灯泡位置，线段FQ为小玉在灯光下形成的影子． 9 返回 (2)如果小华的身高AB＝1.64 m，他的影子长AC＝1.4 m，且他到路灯的距离AD＝2.1 m，求灯泡与地面的距离． 10 7．[2025长沙芙蓉区期末]如图，在直角坐标系中，点P(4，4)是一个光源．木杆AB两端的坐标分别为(0，2)，(3，2)，则木杆AB在x轴上的投影长为(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 11 【点拨】延长PA，PB 分别交x轴于A′，B′ ，作PE⊥x轴于E，交AB的延长线于D，如图．∵P(4，4)，A(0，2)，B(3，2)，∴PD＝2，PE＝4，AB＝3，易知AB∥A′B′，∴△PAB∽△PA′B′. 【答案】B 返回 8．[2025郴州月考]如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶点G处，若测得台阶CD＝EF＝HG＝0.2 m，DE＝FG＝0.3 m，此时台阶在地面的影子QM＝0.45 m，树的底部到台阶的距离BC＝1.8 m，则树的高度AB为(　　) A．3.2 m B．3.4 m C．3.6 m D．3.8 m 14 【点拨】如图，作GR⊥BM于点R，GS⊥AB于点S，则易得四边形BRGS是矩形，∴BS＝GR＝0.2×2＝0.4(m)，SG＝BR.易知PQ＝0.2×3＝0.6(m)，RC＝2×0.3＝0.6(m)，∴SG＝BR＝ BC＋RC＝1.8＋0.6＝2.4(m)． 【答案】C 返回 9．如图，小亮居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一盏路灯，晚上小亮由A处径直走到B处，他在灯光照射下的影长l与行走的路程s之间的变化关系用图象刻画出来，大致是(　　) 返回 B 17 10．已知一正方形纸板ABCD的边长为10 cm.如图，四边形A1B1C1D1是正方形ABCD在面β上的正投影，AD，BC与投影面β平行，且AB，CD与投影面β成30°角，则正方形ABCD的正投影的面积为______________． 18 【点拨】过点A作AH⊥BB1于点H.∵正方形纸板ABCD的边长为10 cm，∴AB＝AD＝10 cm.依题意得∠BAH＝30°，四边形A1B1C1D1是矩形，A1D1＝AD＝10 cm，A1B1＝AH. 19 返回 11．如图，街道旁边有一根电线杆AB和一块半圆形广告牌，有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆的顶端A的影子刚好落在半圆形广告牌的最高点G处，而半圆形广告牌的影子刚好落在地面上 的点E处，已知BC＝5 m，半圆形广 告牌的直径为6 m，DE＝2 m. 21 22 (2)求电线杆的高度． 【解】如图，连接OF，OG，过点G作GH⊥AB于点H，则易得四边形BOGH是矩形．∴BH＝OG，GH＝BO.∵CD＝6 m，∴OG＝OF＝OC＝OD＝3 m， ∴GH＝BO＝BC＋CO＝8 m，BH＝3 m. ∵FE是半圆O所在圆的切线，∴∠OFE＝90°. 23 返回 12．学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时间，身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB＝6 m. 25 (1)请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G； 【解】如图①. 26 (2)求路灯灯泡的垂直高度GH； 27 29 返回 30 【解】由题意，得AB∥DP，∴△CAB∽△CDP，∴＝，即＝，解得DP＝4.1 m. ∴灯泡与地面的距离为4.1 m. ∵PE⊥x轴，∴PD⊥AB，∴＝，即＝. ∴A′B′＝6.∴木杆AB在x轴上的投影长为6. 由题意得△ASG∽△PQM，∴＝，即＝，∴AS＝3.2 m，∴AB＝AS＋BS＝3.2＋0.4＝3.6(m)． 50 cm2 ∵AH⊥BB1，∠BAH＝30°，∴AH＝AB·cos 30°＝ 10×＝5(cm)．∴A1B1＝5cm.∴S四边形A1B1C1D1＝A1B1·A1D1＝5×10＝50(cm2)，即正方形ABCD的正投影的面积为50 cm2. (1)求电线杆落在广告牌上的影长(即的长度，结果精确到0.1 m)； 【解】∵G是半圆形广告牌的最高处，∴＝. ∵为半圆，半圆形广告牌的直径为6 m，∴的长度为×6π＝3π(m)，∴的长度为×3π≈4.7(m)，∴电线杆落在广告牌上的影长约为4.7 m. 又∵OE＝OD＋DE＝5 m，∴FE＝＝4 m. ∵太阳光线是平行光线，∴AG∥EF. 又∵GH∥OE，∴易得∠E＝∠AGH. 又∵∠OFE＝∠AHG＝90°，∴△AGH∽△OEF， ∴＝，∴＝，解得AH＝6 m， ∴AB＝AH＋HB＝6＋3＝9(m)，即电线杆的高度为9 m. 【解】∵AB⊥HC，GH⊥HC，∴AB∥GH， ∴△ABC∽△GHC，∴＝. ∵AB＝1.6 m，BC＝3 m，HB＝6 m， ∴＝，∴GH＝4.8 m. (3)如果小明沿线段BH向小颖(点H)走去，当小明走到BH的中点B1处时，其影子长为B1C1；当小明继续走剩下路程的到B2处时，其影子长为B2C2；当小明继续走剩下路程的到B3处时，…，按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长为__________m．(用含n的代数式表示) 【点拨】如图②，易得△A1B1C1∽△GHC1， ∴＝.设B1C1的长为x m，则＝，解得x＝，即B1C1＝ m． 同理可得＝，解得B2C2＝1 m. 依此类推，可得＝，∴BnCn＝ m. $ 第3章　投影与视图 3．3 三视图 第2课时 由三视图判断几何体 返回 B 1．[2025郴州模拟]如图是一个几何体切割后的左视图，则该切割体可能为(　　) 2 2． 已知某几何体的三视图如图所示(单位： cm)，则该几何体的体积为(　　) A．50 cm3 B．60 cm3 C．70 cm3 D．80 cm3 B 返回 3 3．[2025衡阳模拟]如图是一个几何体的三视图，则该几何体的展开图是(　　) 返回 C 4 4．[2025河北]一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为(　　) A 返回 5 5. 某几何体的三视图都相同，则该几何体可以是_________________．(写一个即可) 返回 正方体(答案不唯一) 6 6．如图是一个包装纸盒的三视图(单位：cm)． (1)该包装纸盒的几何形状是____________； 正六棱柱 280 7 返回 7．[2025济南模拟]桌面上有一个由若干个小立方体摆放出来的几何图形，其左视图如图①，主视图如图②，则桌面上的小立方体的个数最少为________个，最多为________个． 7 20 9 返回 【点拨】如图①为小立方体的个数最少时的俯视图(不唯一)，如图②为小立方体的个数最多时的俯视图．小立方体的个数最少为1×3＋2×2＝7(个)；最多为1×12＋2×4＝20(个)． 8. 学校食堂厨房的桌子上整齐地摆放着若干相同规格的碟子，碟子个数与碟子的高度的关系如下表： 碟子个数 碟子的高度(单位：cm)  1 2 2 2＋1.5 3 2＋3 4 2＋4.5 … … 11 (1)当桌子上放有x个碟子时(x为正整数)，请写出此时碟子的高度(用含x的式子表示)； 【解】由题意得碟子的高度为 2＋1.5(x－1)＝(1.5x＋0.5)cm. 12 (2)分别从三个方向上看，其三视图如图所示，厨房师傅想把它们整齐地叠成一摞，求叠成一摞后的高度． 返回 【解】由三视图可知共有11个碟子，∴叠成一摞后的高度为1.5×11＋0.5＝17(cm)． 13 (2)制作一个这样的纸盒所需纸板的面积约为________cm2.(结果精确到个位，≈1.73) 【点拨】由三视图可知该纸盒的上、下底面是边长为 5 cm的正六边形，侧面是6个边长为5 cm的正方形，则该纸盒的表面积为6××2＋6×5×5＝75＋150≈280(cm2)．∴制作一个这样的纸盒所需纸板的面积约为280 cm2. $ 第3章　投影与视图 3．2 直棱柱、圆锥的侧面展开图 1．下列各几何体中，直棱柱的个数是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 返回 B 2 2．[2025永州月考]下列图形经过折叠不能围成直棱柱的是(　　) C 返回 3 返回 A 4 4. 如图是一个几何体的展开图，这个几何体的名称是________，这个几何体的侧面积是________． 正六棱柱 返回 6ab 5 5．如图，矩形纸片ABCD中，AD＝9 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为________． 返回 6 cm 6 6．有一个直径为1 m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC，如图所示． 7 (1)求被剪掉阴影部分的面积． 8 返回 (2)若用所剪的扇形铁皮恰好能围成一个圆锥，则该圆锥的高是多少？ 9 10 【答案】A 返回 2∶9 13 返回 9．(1)如图①，已知圆锥的母线AB长为40 cm，底面半径OB长为10 cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是________． 15 (2)如图②，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若一只小虫从点A开始绕着圆锥表面爬行到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为________． 17 (3)如图③，在一个长为8 dm，宽为5 dm，高为7 dm的长方体上，一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面爬到几何体上的顶点C1处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是__________． 19 返回 【点易错】立体图形表面上两点间的最短路径即其平面展开图上这两点间的最短路径，遵循两点之间线段最短，但立体图形展开时，两点间的距离会因图形展开形式的不同而不同，我们要对得到的结果加以筛选，得出最终结论． 10. 顾琪在学习了《直棱柱、圆锥的侧面展开图》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是她在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②.根据你所学的知识，解答 下列问题： 21 (1)顾琪总共剪开了________条棱． (2)现在顾琪想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，并且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒(如图③)，你认为她应该将剪断的纸条粘贴到图①中的什么位置？画出所有的情况． 8 22 【解】有四种情况，如图所示． (3)已知顾琪剪开的长方体纸盒的长、宽、高分别是6 cm，6 cm，2 cm，求这个长方体纸盒的体积． 【解】6×6×2＝72(cm3)， 故这个长方体纸盒的体积为72 cm3. 返回 24 25 (1)如图③，取一漏斗，忽略漏斗管口处，上部的圆锥形内壁的母线OD长为6 cm，开口圆的直径为6 cm，则将小明所折的滤纸放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁？请利用上述材料说明理由． 27 从正面看，漏斗上部圆锥形是等边三角形，围成的圆锥形也是一个等边三角形，∴它们的顶角度数相等，∴能紧贴此漏斗上部圆锥形的内壁． (2)折好的滤纸可以进行调整，使其重叠部分发生变化．假设有一特殊规格的漏斗，其上部圆锥形母线长为6 cm，开口圆的直径为7.2 cm，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁，求重叠部分每层的面积． 30 返回 3．[2025广安]如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为(　　) A. B. C. D．5 【解】如图，连接BC.∵∠BAC＝90°， ∴BC为⊙O的直径，∴BC＝1 m. 又∵AB＝AC，∴AB＝ m. ∴S阴影＝S⊙O－S扇形ABC＝π×－＝(m2)． 【解】设围成的圆锥的底面圆的半径为r m， 根据题意，得＝2πr，解得r＝， ∴该圆锥的高是＝(m)． 7．如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，O′A，O′B分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为8π，OA＝2，小圆柱的体积为6π，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为(　　) A.π B. C.π D. 【点拨】∵大圆柱的底面周长为8π，∴大圆柱的底面半径O′A＝＝4.∵OA＝2，∴大圆柱的高OO′＝＝6.又∵小圆柱的体积为6π，∴小圆柱的底面面积为＝π，∴小圆柱的底面半径O′B＝＝1. ∵小圆柱中放了一个最大的圆锥，∴圆锥的母线OB＝＝，∴该圆锥的侧面积为 O′B·OB·π＝π.故选A. 8．如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l∶l＝1∶3(l表示的长)，若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与 母线长的比为________． 【点拨】如图，连接OD交AC于点M.易知OM＝OD＝OA，∠OMA＝90°，∴cos∠AOM＝，∴∠AOM＝60°.∵l∶l＝1∶3，∴∠BOD＝20°.∴∠AOB＝80°.设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 则＝2πr，∴r∶l＝2∶9. 40 cm 【点拨】圆锥的侧面展开图如图①所示，连接BB′，设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，∵圆锥底面圆周长为2π×10＝20π(cm)，∴＝20π，∴n＝90.∴∠B′AB＝90°.∵AB＝AB′＝40 cm，∴BB′＝＝40(cm)， 即这根绳子的最短长度是40 cm. 2 【点拨】把圆锥的侧面展开，如图②，线段AC的长是小虫爬行的最短距离．设侧面展开图的圆心角为a°，由＝2π，得a＝90，即∠ASC＝90°.∵C为SD的中点，SD＝4，∴SC＝2，∴在Rt△SAC中，由勾股定理得 AC＝＝＝2. 4 dm 11．阅读下列材料，解决问题： 【材料1】滤纸的折叠方法：如图①，小明将一直径为10 cm的圆形滤纸对折两次，形成圆，然后一边一层，另外一边三层，从中间拉开围成圆锥形，之后可利用此滤纸过滤液体． 【材料2】如图②，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，若底边BC与腰AB(或AC)的比值确定，则该等腰三角形的顶角∠A的大小也是确定的．如：当＝时，∠A＝90°. 【解】能，理由如下：∵将一直径为10 cm的圆形滤纸按题目中的方式折成四层且每层为圆，∴围成的圆锥形的侧面积＝S滤纸＝S滤纸＝π cm2，母线长为5 cm. ∴围成圆锥形的底面半径为2.5 cm. 【解】∵特殊规格的漏斗上部圆锥形母线长为6 cm，开口圆的直径为7.2 cm，∴从正面看，上部圆锥形是腰长为6 cm、底边长为7.2 cm的等腰三角形，底边长与腰长的比值为＝1.2.设滤纸围成的圆锥形开口圆的直径为d cm，则从正面看，圆锥形滤纸是腰长为5 cm、底边长为d cm的等腰三角形， 要使得滤纸放入此漏斗中能紧贴漏斗内壁，则＝1.2，∴d＝6，此时圆锥形滤纸的侧面积为15π cm2.∵滤纸总面积为25π cm2，∴重叠部分每层的面积为(25π－15π)÷2＝5π(cm2)． $ 第3章　投影与视图 3．3 三视图 第1课时 三视图的认识与画法 返回 C 1．[2025成都]下列几何体中，主视图和俯视图相同的是(　　) 2 2．下列文物中，左视图是四边形的是(　　) A 返回 3 3．[2025长沙开福区模拟]篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是(　　) 返回 B 4 4．在数学课上，同学们用7个相同的小立方体搭成不同形状的几何体，下面是四个小组搭成的几何体，则下列说法中不正确的是(　　) A．图①和图②的俯视图的面积相等 B．图②和图④的左视图相同 C．图③和图④的俯视图相同 D．图①比图③的左视图的面积小 D 返回 5 5．[2025威海期末]画出如图所示的立体图形的三视图． 返回 【解】立体图形的三视图如图． 6 6. 画出图①所示的几何体的主视图、左视图和俯视图．琪琪给出了她的答案，如图②所示，琪琪的答案是否正确？如果不正确，请你画出正确的视图． 7 返回 【解】琪琪画的主视图和俯视图正确，左视图不正确，正确的左视图如图所示． 【点易错】画物体的三视图时，既要画出立体图形的外部轮廓线，还要画出立体图形的内部轮廓线，并且看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线．本题中，在画三视图时易忽略看不见的棱而出现错误． 7． 如图是由若干个小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，则这个几何体的主视图是(　　) C 返回 9 8．如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长，该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是__________． S1>S3>S2 返回 10 9．如图是由10个完全相同的小正方体搭成的几何体．若现在你还有若干个相同的小正方体，在保证该几何体的三视图都不变的情况下，最多还能放________个小正方体． 1 返回 11 10. 鲁班锁是中国传统智力玩具，起源于中国古代建筑中的榫卯结构，十分巧妙．如图①是一种简单的鲁班锁，由三根完全相同的四棱柱木条，挖去中间 部分，使其内部凹凸啮合，组成外观严丝 合缝的十字形几何体，其上下、左右、 前后分别对称． 12 (1)图②是这种鲁班锁主视图、左视图和俯视图的一部分，请将它们补充完整； 【解】如图． 13 (2)请从下列①，②两题中任选一题作答，我选择________题． ①已知这些四棱柱木条的高为6，底面正方形的边长为2，求这种鲁班锁从正面看到的平面图形的面积； ②已知这些四棱柱木条的高为3a，底面正方形的边长为a，求这种鲁班锁的表面积．(用含a的代数式表示) 14 返回 【解】① 这种鲁班锁从正面看到的平面图形的面积为2×(6÷3)×5＝20. 或② ∵这种鲁班锁从正面看到的平面图形的面积为5×(3a÷3)×a＝5a2， ∴易得这种鲁班锁的表面积为6×5a2＝30a2. 11. 在平整的地面上，有由若干个完全相同的、棱长为10 cm的小正方体堆成的一个几何体，如图． 16 (1)请画出这个几何体的三视图． 【解】这个几何体的三视图如图． 17 (2)若在这个几何体的表面喷上黄色的漆(与地面接触的面不喷漆)，则在所有的小正方体中，有_______个小正方体只有一个面是黄色，有_______个小正方体只有两个面是黄色，有_______个小正方体只有三个面是黄色． 1 2 3 18 (3)如果现在你手上还有一些相同的小正方体，要保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加几个小正方体？这时如果要重新给这个几何体的表面喷上红色的漆(与地面接触的面不喷漆)，那么需要喷漆的面积与原几何体喷漆的面积相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少？ 19 返回 【解】最多可以再添加4个小正方体． 需要喷漆的面积与原几何体喷漆的面积相比增加了． ∵增加的面数为(9＋9＋6＋6＋6)－(6＋6＋6＋6＋6＋2)＝4， ∴需要喷漆的面积增加了4×10×10＝400(cm2)． $