第3章 投影与视图 小结与复习（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（湘教版）

该初中数学课件系统梳理了投影与视图单元核心知识，涵盖投影分类（平行投影、中心投影）、正投影性质、三视图（概念、画法、常见几何体视图）及直棱柱与圆锥展开图，通过对比表格（投影区别联系）、画法规则（长对正等）串联知识，构建从投影到视图再到计算的逻辑网络。 其亮点在于结合生活实例（旗杆影长、路灯高度）培养几何直观与空间观念，通过相似推理（例2路灯高度计算）发展推理意识，设计分层训练（基础测量到蚂蚁爬行最短路程），助力学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习针对性。

小结与复习 第3章 投影与视图 优翼九下数学教学课件（XJ） 1. 投影： 物体在光线的照射下，会在某个平面(地面或墙壁)上留下它的影子，把物体映成它的影子叫作投影. 投影、平行投影、中心投影 要点梳理 2. 平行投影： 太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影，称为平行投影. 3. 中心投影： 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线所形成的投影称为中心投影. 4. 平行投影与中心投影的区别与联系： 区别 联系 平行投影 中心投影 投影线互相平行， 形成平行投影 投影线发自一点，形成中心投影 都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子. (即都是投影) (1) 概念：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (2) 性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的 正投影与这个面的形状、大小完全相同． A B C D A′ B′ C′ D′ B C D E F G F′ A′ D′ C′ B′ G′ A H 正投影 1. 直棱柱的侧面展开图是矩形， 其面积=直棱柱的底面周长×直棱柱的高. 2. 圆锥侧面积公式：S侧 = πrl ( r 为底面圆半径，l 为母线长 ) 3. 圆锥全面积公式：S全 = S侧 + S底 = ( r 为底面圆半径，l 为母线长 ) 直棱柱和圆锥的侧面展开图 主视图 从上面看 从正面看 从左面看 1.三视图的概念 俯视图 左视图 主视图：从正面看，长方体在立于它后面的竖直平面上的正投影； 左视图：从左面看，长方体在立于它右边的竖直平面上的正投影； 俯视图：从上面看，物体在置于它下方水平面上的正投影. 三视图 (3) 在主视图正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”． (1) 确定主视图的位置，画出主视图； (2) 在主视图正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”； 2. 三视图的画法： 主视图 俯视图 左视图 高 宽 宽 长 几何体 主视图 左视图 俯视图 3. 常见几何体的三视图： 4. 由三视图确定几何体： 5. 由三视图求几何体的表面积和体积： 由三视图想象立体图形时，先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、主面和左侧面的局部形状，然后再综合起来考虑整体图形． ① 先根据给出的三视图得出立体图形的形状，并确 定其长、宽、高、半径或直径等相关量； ② 根据已知数据，求出立体图形的体积（或将立体图形展开成一个平面图形，求出展开图的面积）. 考点一 平行投影及其相关计算 例1 某校墙边有两根木杆． (1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图所示，你能 画出乙木杆的影子吗？(用线段表示影子) (2) 在图中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚 好不落在墙上？ (3) 在你所画的图中有相似三角形吗？ 为什么？ 考点讲练 【解析】所要画出的乙木杆的影子与甲木杆形成的影子是同一时刻，根据同一时刻两物体的高度比等于其影长的比，同时，在同一时刻太阳光线是互相平行的，平行移动乙杆，使乙杆顶端的影长恰好抵达墙角． 解：(1) 如图①，过 E 点作直线 DD′ 的平行线，交 AD′所在直线于 E′，则 BE′ 为乙木杆的影子． (2) 平移由乙杆、乙杆的影子和太阳光线所构成的图形( 即△BEE′ )，直到其影子的顶端 E′ 抵达墙角(如图②)． (3) △ADD′ 与 △BEE′ 相似．理由略． 1. 如图，小明与同学合作利用太阳光测量旗杆的高度，身高 1.6 m 的小明落在地面上的影长为 BC = 2.4 m. (1) 请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下落在地面上的影子 EG； (2) 若小明测得此刻旗杆 落在地面的影长 EG = 16 m， 请求出旗杆 DE 的高度. 针对训练 答：旗杆的高度为 m. 解: (1) 影子 EG 如图所示. (2) ∵ DG∥AC， ∴∠G =∠C. ∴ Rt△ABC ∽ △Rt△DGE. G 考点二 中心投影及其相关计算 例2 如图，已知李明的身高为 1.8 m，他在路灯下的影长为 2 m，李明距路灯杆底部为 3 m，则路灯灯泡距地面的高度为________m． 解析：根据题意，可将原题转化如下图所示的几何模型，可得 △ECD ∽ △EBA， ∴CD∶AB = CE∶BE， ∴1.8∶AB = 2∶5， ∴AB = 4.5 m． 故路灯灯泡距地面的高度为 4.5 m． 2. 如图，路灯 ( P 点) 距地面 8 米，身高 1.6 米的小明从距路灯的底部 ( O 点) 20 米的 A 点，沿 OA 所在的直线行走 14 米到 B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 针对训练 所以小明的身影变短了 5－1.5 = 3.5 (米). 解：小明的身影变短了. ∵∠MAC =∠MOP = 90°，∠AMC = ∠OMP， ∴△MAC ∽ △MOP 即 解得 MA = 5. 同理，由 △NBD ∽ △NOP， 可得 NB = 1.5. 考点三 圆锥的相关计算 例4 一个圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角是 (　　) A．120° B．150° C．180° D．240° C 例3 圆锥的侧面积为 6π cm2，底面圆的半径为 2 cm，则这个圆锥的母线长为_______cm． 3 例5 如下方左图，是由大小相同的 5 个小正方体搭成的几何体，则它的主视图是 (　　). B 考点四 几何体的三视图 例6 下列几何体中，各自的三视图只有两种视图相同的几何体是 (　　). A B C D C 考点五 由三视图还原几何体及三视图的相关计算 例7 如图，是一个带有方形空洞和圆形空洞的儿童玩具，如果用下列几何体作为塞子，那么既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞的几何体是 (　　). A．　 B． C． D． 【解析】圆柱从上边看是一个圆，从正面看是一个正方形，既可以堵住方形空洞，又可以堵住圆形空洞，故选B． B 例8 由一些大小相同的小正方体组成的几何体三视图如图所示，那么，组成这个几何体的小正方体的个数是(　　) A．7　　　　 B．6　　 C．5　　 　　 D．4 【解析】C　由主视图和俯视图可知，俯视图右边两个方格的位置上各放置了一个正方体，所以在这两个方格里分别填入数字 1 (如图)； 由主视图和俯视图又知，俯视图左边一列上两个方格每格上最多有 2 个正方体； 又由左视图和俯视图知，俯视图中左边一列下边一个方格中应该只有一个正方体，故应填入数字 1，上边应有 2 个正方体，故填入数字 2. 所以组成这个几何体的小正方体的个数有 2＋1＋1＋1＝5(个)． 针对训练 3. 某工厂要加工一批密封罐，设计者给出了密封罐的三视图，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积． 分析：在实际应用中，三视图和展开图往往结合在一起使用．解决本题可由三视图想象出密封罐的立体形状，再进一步画出展开图，从而计算面积． 100 50 50 100 单位：mm 解：由三视图可知，密封罐的形状是正六棱柱． 密封罐的高为 50 mm，底面正六边形的直径为100 mm，边长为 50 mm，右图是它的展开图． 由展开图可知，制作一个密封罐所需钢板的面积为 (mm2) 4. 如图是一个几何体的三视图． (1) 写出这个几何体的名称； (2) 根据所示数据计算这个几何体的 表面积； 解：(1) 该几何体是圆锥； (2) 表面积 S = S扇形 + S圆 = 12π + 4π = 16π (平方厘米)， 即该几何体全面积为 16π 平方厘米； (3) 如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB′ ， 则线段 BD 为所求的最短路程．设∠BAB′ = n°． ∴ n = 120 即∠BAB′ = 120°． ∵ C 为弧 BB′ 中点， ∴ ∠ADB=90°，∠BAD = 60°， ∴ BD = AB • sin∠BAD = 6 × cm， ∴线路的最短路程为 cm． (3) 如果一只蚂蚁要从这个几何体中的点 B 出发，沿表面爬到 AC 的中点 D，请你求出这个线路的最短路程． 物体(立 体图形) 投影 中心投影 平行投影 正投影 (视图) 主视图 俯视图 左视图 三视图 想 象 光照 点光源 平行光线 由前往后看 由上往下看 由左往右看 光线垂直 于投影面 直棱柱、圆锥的侧面展开图 课堂小结 $