第三章 投影与视图 习题培优课件 2025-2026学年湘教版数学九年级下册

本初中数学课件围绕“投影与视图”单元，系统整合三视图的识别、几何体与视图的转化及相关计算，通过典型例题串联视图判断、面积体积计算等核心内容，帮助学生构建从二维视图到三维几何体的完整认知体系。 其特色在于分层设计练习，涵盖基础题（如直三棱柱左视图计算）、综合题（如代数式表示俯视图面积）及实际应用题（如零件体积求解），培养空间观念、推理能力与应用意识。教师可依托分层题目实施个性化复习，助力学生巩固知识，提升解决问题能力。

第3章　投影与视图 全章热门考点整合应用 返回 A 1．[2025衢州月考]下列四幅图形中，是平行投影的是(　　) 2 2．如图，公路上有一个10 m高的路灯．晚上小红站在位置A的影子和站在位置B的影子相比(　　) A．在位置A的影子长些　　　 　　　 B．一样长 C．在位置B的影子长些　　　 　　　 D．无法确定 C 返回 3 3．如图，在路灯下，甲的身高为图中线段AB所示，影子为AE，乙的身高为图中线段CD所示，路灯灯泡在射线HM上． 4 (1)请画图确定路灯灯泡P的位置，并画出乙在路灯下的影长CF(不写作法)； 【解】如图， P即为路灯灯泡的位置，线段CF为乙在路灯下的影长． 5 (2)若甲、乙两人的身高分别为1.8 m和1.6 m，且甲在路灯下的影子AE为1 m，甲与路灯的距离AH为3 m，甲、乙两人之间的距离为10 m，点E，A，H，C，F在同一条直线上，请求出路灯的高度和乙在路灯下的影长． 6 返回 4．[2025福州模拟]某校数学实践活动小组要测量校园内一棵古树的高度，甲、乙、丙三位小组成员进行此项活动．如图，某一时刻，古树AB在太阳光下的影子末端落在地面上的点C处，甲同学在点C处竖立一根2.5 m高的标杆CP，同一时刻标杆CP 在太阳光下的影子末端落在 地面上的点D处， 8 乙同学测得标杆的影长CD为2 m，丙同学站在距离C点13 m远的点E处，他的眼睛在点F处，观察得知，树顶A的仰角∠AFG＝21°，已知丙同学的眼睛到地面的距离EF＝1.6 m，点B，C，D，E在同一水平直线上，AB⊥BE，PC⊥BE，FE⊥BE，图中所有的点都在同一平面内． 9 (1)请你在图中画出点D的位置(不写画法，保留画图痕迹)； 【解】如图，点D即为所求． 10 (2)请你根据上述测量数据，计算这棵古树AB的高度．(参考数据：sin 21°≈0.36，cos 21°≈0.93，tan 21°≈0.38，结果精确到0.1 m) 【解】如图，延长FG交AB于H，易得∠AHF＝90°，BE＝FH，BH＝EF＝1.6 m. 11 返回 返回 C 14 返回 6．[2025遂宁]如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是(　　) B 15 7．[2025威海]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪开，得到一个立方体的表面展开图．若正方形硬纸板的边长为12 cm，则折成立方体的棱长为________cm. 返回 16 8．某工厂要加工一批上下底密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①. 17 (1)由三视图可知，该密封纸盒的形状是什么？ 【解】该密封纸盒是一个正六棱柱． 18 (2)根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图； 【解】六棱柱的表面展开图如图(答案不唯一)． 19 (3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积．(结果保留根号) 20 返回 9．[2025自贡]如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为(　　) D 返回 22 10．由若干个完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则搭成该几何体所用的小正方体的个数最多是(　　)  A．6 B．7 C．8 D．9 B 返回 23 11．某种含盖的玻璃容器(透明)的外形如图所示，请你画出它的三视图． 【解】这种容器的三视图如图所示． 返回 24 12．把棱长为1 cm的6个相同小正方体摆成如图的几何体． 25 (1)计算该几何体的体积与表面积． 【解】该几何体的体积是1×1×1×6＝6(cm3)，表面积是 5×(1×1)×2＋4×(1×1)×2＋4×(1×1)×2＝26(cm2)． 26 (2)在如图所示的网格中画出该几何体的主视图、左视图和俯视图(每个小方格的边长均为1 cm)． 【解】如图所示． 27 (3)如果在这个几何体上再添加一个相同的小正方体(至少有一个面与原几何体中小正方体的面重合)，并保持这个几何体的主视图不变，那么可以有几种添法？ 【解】可以有7种不同的添法． 返回 28 13．某班开展数学综合与实践测量活动．有两个垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两个圆柱后面有一斜坡，且两个圆柱底部到坡脚水平线MN的距离均为100 cm.小王同学观测到高度为90 cm的矮圆柱 的影子落在地面上，其长为72 cm； 而高圆柱的部分影子落在斜坡上，如 图所示． 已知落在地面上的影子皆与坡脚水平线MN互相垂直，并视太阳光线为平行光线，测得斜坡坡度i＝1∶0.75，在不计圆柱底面半径与影子宽度的情况下，请解答下列问题： (1)已知小王同学的身高为150 cm，且此刻他的影子完全落在地面上，则他的影子长为多少厘米？ (2)若同一时间量得高圆柱落在坡面上的影子长为100 cm，则高圆柱的高度为多少厘米？ 【解】如图为平面示意图，设高圆柱为AB，AF为太阳光线，△CDE为斜坡，CF为高圆柱落在斜坡上的影子，过点F作FG⊥CE，垂足为G. 【解】根据题意，得AE＝1 m，AH＝3 m，AC＝10 m， BA＝1.8 m，DC＝1.6 m.∵AB∥PH，∴△BEA∽△PEH. ∴＝，即＝，解得PH＝7.2 m. 同理可得△DFC∽△PFH，∴＝， 即＝，解得CF＝2 m. 答：路灯的高度是7.2 m，乙在路灯下的影长是2 m. 由题意知PD∥AC，∴∠ACB＝∠PDC， ∴tan∠ACB＝tan∠PDC，∴＝，即＝＝. 设BC＝4x m，则AB＝5x m， ∴AH＝AB－BH＝(5x－1.6)m.由题意知CE＝13 m， ∴FH＝BE＝CE＋BC＝(13＋4x)m. ∵在Rt△AFH中，tan∠AFH＝，∴0.38≈， 解得x≈1.9，∴AB≈9.5 m， 即这棵古树AB的高度约为9.5 m. 5. 我们生活中常见的标识筒，可将其上半部分近似地看成一个底面半径为10 cm，高为40 cm的圆锥，现要在该圆锥侧面贴一层反光膜(无缝隙拼接)，则所需反光膜的面积为(　　) A．50π cm2 B．400π cm2 C．100π cm2 D．800π cm2 【解】由图中数据可知：六棱柱的高为14 cm，底面边长为5 cm，∴这个密封纸盒的侧面积为6×(5×14)＝420(cm2)，易得这个密封纸盒的底面面积为2×6×＝75(cm2)，∴这个密封纸盒的表面积为(75＋420) cm2. 【解】设小王同学的影子长为x cm， 由题意得＝，解得x＝120. 经检验，x＝120是原分式方程的解． 答：小王同学的影子长为120 cm. 由题意得BC＝CF＝100 cm. ∵i＝1∶0.75，∴＝＝＝. ∴设FG＝4m cm，则CG＝3m cm. 在Rt△CFG中，(4m)2＋(3m)2＝1002， 解得m＝20(负值已舍去)， ∴CG＝60 cm，FG＝80 cm. ∴BG＝BC＋CG＝160 cm. 过点F作FH⊥AB于点H，则四边形HBGF为矩形， ∴HF＝BG＝160 cm，BH＝FG＝80 cm. 由题意，得＝，即＝，解得AH＝200 cm. ∴AB＝AH＋BH＝200＋80＝280(cm)． 答：高圆柱的高度为280 cm. $ 第3章　投影与视图 专题9 利用物体的三视图进行相关计算 返回 A 1．[2025衡阳月考]如图是一个直三棱柱的立体图和左视图，则左视图中m的值为(　　) A．2.4 B．3 C．4 D．5 2 2．[2025湘潭模拟]一个圆锥体容器的主视图如图①所示，向其中注入一部分水后，水的高度如图②所示，则图②中，水面所在圆的直径长为(　　)  A．6 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm 3 【点拨】如图，作AD⊥BC于点D，交MF于点E. 由题意得ED＝3 cm，AD＝12 cm，BC＝8 cm. ∴AE＝9 cm.∵△ABC是圆锥体容器的主视图，∴MF为水面所在圆的直径． 【答案】A 返回 3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是(　　)  A．24π cm2 B．33π cm2 C．36π cm2 D．96π cm2 返回 B 6 4．[2025岳阳月考]图②是图①中长方体的三视图，若用S表示面积，S主视图＝x2＋3x，S左视图＝x2＋2x，则S俯视图＝(　　)  A．x2＋5x＋6 B．x2＋5 C．x2＋6x＋5 D．2x2＋5x 7 【点拨】∵S主视图＝x2＋3x＝x(x＋3)，S左视图＝x2＋2x＝x(x＋2)，且主视图和左视图的高相等，∴俯视图的长为x＋3，宽为x＋2，∴S俯视图＝(x＋2)(x＋3)＝x2＋5x＋6. 返回 【答案】A 5．如图是某几何体的三种视图(单位：cm)． (1)通过我们所学的有关三视图的知识及图中所标数据，可以得出左视图中的a＝______，b＝________； 10 9 (2)根据图中所标数据，求这个几何体的侧面积． 返回 【解】 (4＋4＋4)×10＝120(cm2)， 即这个几何体的侧面积为120 cm2. 10 6．如图是由棱长为1 cm的小立方体搭成的几何体的三种视图． (1)它是由________个小立方体搭成的； (2)在俯视图中标出相应位置上小立方体的个数； 10 【解】如图． 11 返回 (3)求出该几何体的表面积(包含底面)． 【解】该几何体的表面积为 1×1×[(6＋1)×2＋(6＋1)×2＋6×2]＝40(cm2)． 12 7．如图是某几何体的三视图，求这个几何体的表面积． 13 返回 D 返回 15 9．一个透明的敞口正方体容器ABCD­A′B′C′D′内装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角是∠CBE.如图①，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②所示．据此解决以下问题： 16 (1)CQ与BE的位置关系是________，BQ的长是________； (2)求液体的体积． 平行 3 dm 返回 17 10．在一次数学综合实践活动中，需要制作如图①所示的零件(长方体和圆锥的组合体)，图②是方方同学画的该零件的三视图． 18 (1)请问方方所画的三视图是否有错？如果有错，请将错的视图改正． 【解】方方所画的三视图中的左视图错了，正确的左视图如图． 19 (2)根据图中尺寸，求出零件的体积．(注：长方体的底面为正方形，单位：cm，结果保留一位小数) 返回 20 11．一个几何体是由若干个棱长为3 cm的小正方体搭成的，其左视图和俯视图如图所示． (1)该几何体最少由________个小正方体组成，最多由________个小正方体组成． 9 14 21 【点拨】如图，小正方形上的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体最少由2＋1＋3＋1＋1＋1＝9(个)小正方体组成；最多由2＋2＋3＋3＋3＋1＝14(个)小正方体组成． (2)①求该几何体体积的最大值； 【解】该几何体体积的最大值为33×14＝378(cm3)． 23 ②若要给体积最小时的几何体的表面(包含底面)涂上油漆，求所涂油漆的面积． 【解】体积最小的几何体其表面积有两种不同的情况：如图①，露在外面的小正方体的面有2×[5＋6＋(6＋1)]＝36(个)，∴所涂油漆的面积为36×32＝324(cm2)． 24 返回 如图②，露在外面的小正方体的面有2×[6＋6＋(6＋1)]＝38(个)， ∴所涂油漆的面积为38×32＝342(cm2)．综上所述，几何体体积最小时，所涂油漆的面积为324 cm2或342 cm2. ∵MF∥BC，∴△ABC∽△AMF，∴＝，∴＝，解得MF＝6 cm，∴水面所在圆的直径长为6 cm. 2 【解】根据三视图可得这个几何体下部分是高为20，底面半径为＝5的圆柱，上部分是高为5，底面半径为＝5的圆锥，∴圆锥的母线长为＝5， ∴这个几何体的表面积为52π＋10π×20＋5π×5＝225π＋25π＝(225＋25)π. 8. 在我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，侧棱与底面垂直的三棱柱称为“堑堵”，已知“堑堵”的三视图如图所示(网格图中每个小正方形的边长均为1)，则该“堑堵”的体积为(　　) A．16＋16　　　　B．16＋8 C．24＋16 D．16 【解】液体的体积为×3×4×4＝24(dm3)． 【解】20×20×5＋π××(20－5) ＝2 000＋125π≈ 2 392.7(cm3)． 答：零件的体积约为2 392.7 cm3. $ 第3章　投影与视图 测素质 投影与视图 一、选择题(每题5分，共35分) 1．下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是(　　) 返回 D 2 2. 小明拿一个等边三角形木框在太阳下玩耍，发现等边三角形木框在地面上的投影不可能是(　　) B 返回 3 3．如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处走到B处这一过程中，他在地上的影子(　　) A．逐渐变短 B．逐渐变长 C．先变短后变长 D．先变长后变短 返回 C 4 4. 如图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是(　　) C 返回 5 5．[2025郴州月考]某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥形工艺品．如图，扇形OAB是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若每个小正方形方格的边长为1，则这个圆锥的侧面积是(　　)  A．12π B．9π C．3π D．6π 6 返回 【答案】D 【答案】D 6．由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是(　　)  A．6 B．7 C．8 D．9 8 返回 【点拨】如图是小正方体个数最多时的俯视图，   这种几何体所需小正方体个数最多是1＋1＋3＋3＝8. 【答案】C 7. 手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次小狗手影游戏中，小明的手距离墙壁4 m，爸爸拿着的光源与小明的手的距离为2 m，如图所示． 10 若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，则光源与小明的手的距离应(　　) A．增加0.5 m B．增加1 m C．增加2 m D．减少1 m 11 返回 【答案】C 二、填空题(每题5分，共20分) 8．若直三棱柱的上、下底面为正三角形，侧面展开图是边长为6的正方形，则该直三棱柱的表面积为________． 返回 15 9．[2025永州模拟]如图，一块面积为40 cm2的三角形硬纸板(记为△ABC)平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A′B′C′，若OB∶BB′＝2∶3，则△A′B′C′的面积是________cm2. 250 返回 16 10．[2025岳阳模拟]如图，在平面直角坐标系中，点A(1，4)是一个光源，木杆BC两端的坐标分别为(－1，2)，(2，2)，则木杆BC在x轴上的投影长为________． 6 17 【点拨】如图，延长AB，AC分别交x轴于点B′，C′，作AH⊥x轴于点H，交BC于点D. 18 返回 11．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________． 60 返回 20 三、解答题(共45分) 12．(14分)如图，电线杆上有盏路灯O，小明从点F出发，沿直线FP运动，当他运动2 m到达点D时，测得影长DN＝0.6 m，再前进2 m到达点B，测得影长MB＝1.6 m(图中线段AB，CD，EF表示小明的身高)． 21 (1)请画出路灯O的位置和小明位于点F时，在路灯灯光下的影子； 【解】路灯O的位置如图，FG即为小明位于点F时，在路灯灯光下的影子． 22 (2)求小明位于点F时的影长． 23 返回 24 13．(15分)[2025衡阳月考]一个几何体由大小相同的小正方体搭成，其俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方体个数． (1)请在如图所示的网格中画出这个几何体的主视图和左视图； 【解】如图所示． (2)若小正方体的棱长为2，求该几何体的体积和表面积． 【解】∵小正方体的棱长为2， ∴每个小正方体的体积为2×2×2＝8，每个小正方体的每个面的面积为2×2＝4. ∴该几何体的体积为(1＋2＋1＋3＋1＋4)×8＝96， 表面积为(12＋18＋14)×4＝176. 返回 14．(16分)在一次数学探究学习活动中，某数学兴趣小组计划制作一个圆锥模型(尺寸大小如图①，单位为cm)，操作规则是：在一张正方形的纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面． 经过初步商量后，兴趣小组设计了两种方案(如图②，单位为cm)，最后发现根据方案一无法制作出模型．(两种方案的图中，圆与正方形的边BC，CD及扇形的弧相切) (1)请根据圆锥模型的尺寸(如图①)，求出该圆锥的全面积；(结果保留π) (2)请说明方案一不可行的理由； (3)根据方案二最终成功制作出圆锥模型，求方案二中正方形纸片的边长． 返回 【点拨】连接AB，由题知OA＝OB＝2，AB＝4， ∴OA2＋OB2＝8＋8＝16，AB2＝16，∴OA2＋OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴这个圆锥的侧面积是＝6π. 【点拨】如图①，点O为光源，AB为小明的手，CD为小狗手影，则AB∥CD，作OE⊥AB，延长OE交CD于F，则OF⊥CD.∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCD， ∴＝.∵OE＝2 m，OF＝2＋4＝6(m)， ∴＝＝＝.令AB＝k m，则CD＝3k m． 在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度变为原来的一半，如图②，AB为小明的手，C′D′为小狗手影，作OE′⊥AB于点E′，延长OE′交 C′D′于F′，此时OF′＝6 m， AB＝k m，C′D′＝k m． 同理可得△OAB∽△OC′D′，∴＝＝＝， ∴＝，∴OE′＝4 m，∴光源与小明的手的距离应增加4－2＝2(m)，故选C. 36＋2 ∵A(1，4)，木杆BC两端的坐标分别为(－1，2)，(2，2)，∴AD＝2，AH＝4，BC＝3，易知BC∥B′C′， ∴△ABC∽△AB′C′，AD⊥BC，∴＝，即＝，∴B′C′＝6，∴木杆BC在x轴上的投影长为6. 【解】过点O作OH⊥PG于点H，如图． 设DH＝x m，由AB∥CD∥OH，AB＝CD易得 ＝，即＝，解得x＝1.2. 经检验，x＝1.2是原方程的解． ∴HF＝2－1.2＝0.8(m)． 设FG＝y m，同理得＝，即＝，解得y＝0.4.经检验，y＝0.4是原方程的解．∴小明位于点F时的影长为0.4 m. 【解】由题意，得圆锥的母线长为16 cm，底面圆的半径为4 cm，∴圆锥的全面积为42×π＋×2×4×π×16＝80π(cm2)． 【解】设⊙O2与正方形BC边相切于点E，连接O2E，如图①(单位：cm)所示，则O2E⊥BC.∵四边形O1BCD是正方形，∴∠BO1D＝90°，∠O1CB＝45°，∴的长为＝8π(cm)， O1C＝16 cm.设O2E＝r cm，则O2C＝ r cm，∴16＋r＋r＝16，解得r＝ 48－32.∴⊙O2的周长为2πr＝2×(48－32)π＝(96－64)π cm. ∵8π≠(96－64)π，∴方案一不可行． 【解】设⊙O2与正方形BC边相切于点F，连接O2F，如图②(单位：cm)所示，则O2F⊥BC.设O2F＝a cm，根据题意，得＝2πa，解得a＝4. ∵四边形O1BCD是正方形，∴∠O1CB＝45°，∴易得O1C＝16＋4＋4＝(20＋4) cm.∴BC＝O1C＝(10＋4) cm，∴方案二中正方形纸片的边长为(10＋4) cm. $