2026年贵州省中考模拟数学试卷4

【备考2026】贵州省中考模拟数学试卷4 姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________ 题号 一 二 三 总分 得分 一．选择题（共12小题） 1．下列有理数中最小的数是（　　） A．﹣3 B．1 C．3 D．5 2．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　） A．DeepSeek B．ChatGPT C．文心一言 D．纳米AI 3．计算3a+4a的结果正确的是（　　） A．7a B．8a C．7a2 D．8a2 4．不等式x≤3的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．一元二次方程x2﹣3x ＝ 0的解是（　　） A．x1 ＝ 3，x2 ＝ 0 B．x1 ＝ 4，x2 ＝ 1 C．x1 ＝ 3，x2 ＝﹣1 D．x1 ＝﹣1，x2 ＝﹣2 6．在如图所示的象棋盘上，若“帅”和“相”所在位置的坐标分别是（0，﹣1）和（2，﹣1），则“炮”所在位置的坐标是（　　） A．（﹣3，2） B．（﹣3，3） C．（﹣2，2） D．（﹣2，3） 7．为了解学生的阅读情况，某校在4月23日世界读书日，随机抽取120名学生进行阅读情况调查，每月阅读两本以上经典作品的有30名学生，估计该校900名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数为（　　） A．180人 B．200人 C．225人 D．250人 8．如图，在平面直角坐标系中，风车图案的四个叶片为完全相同的平行四边形，其中一个叶片上的点A，C的坐标分别为（2，2），（0，4）．将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（　　） A．（﹣6，2） B．（6，﹣2） C．（2，﹣6） D．（﹣2，6） 9．小阳同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.3，下列说法正确的是（　　） A．小阳定点投篮1次，不一定能投中 B．小阳定点投篮1次，一定可以投中 C．小阳定点投篮10次，一定投中3次 D．小阳定点投篮3次，一定投中1次 10．如图，北京市某处A位于北纬40°（即∠AOC＝40°），东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°（即∠BOC＝15°），东经116°．设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为（　　） A．（千米） B．（千米） C．（千米） D．（千米） 11．若一个函数的自变量x每增加1，函数值y就减少2，则其表达式可以是（　　） A．y＝﹣2x+10 B．y＝2x C．y＝﹣x+2 D．y＝﹣2x2 12．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（2，0），与y轴正半轴相交，其对称轴是直线x＝﹣1．则下列结论中正确的是（　　） A．b2﹣4ac＜0 B．当y＜0时，x＞2 C．方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝2，x2＝﹣3 D．当m≠﹣1时，am2+bm＜a﹣b 二．填空题（共4小题） 13．计算的结果是． 14．在△ABC中，∠B＝30°，∠A＝100°，点P是△ABC三边上的动点．当△PAC为等腰三角形时，其顶角的度数是 　 　 ． 15．在古代数学典籍《九章算术》中，记载了一道题，大意是：快马每天行280里，慢马每天行160里，慢马先行10天，则快马追上慢马需要的天数是． 16．如图，在由相同的菱形组成的网格中，∠ABC等于60°，小菱形的顶点称为格点．已知点A，B，C，D，E都在格点上，连结BD，BE，则sin∠EBD的值为 　 　 ． 三．解答题（共9小题） 17．（1）在①33，②|﹣3|，③（﹣2）0，④中任选3个代数式求和；（2）先化简，再求值：，其中x ＝ 4． 18．已知点（2，4）在反比例函数的图象上．（1）求反比例函数的表达式；（2）点（﹣4，m），（2，n），（4，p）都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由． 19．字谜是一种文字游戏，也是汉字特有的一种语言文化现象．现有四张大小、形状、质地都相同的字谜卡片，依次记作A、B、C、D（如图），将这四张卡片背面朝上洗匀．小虎和小麦两人玩猜字谜游戏，规则为：小虎和小麦同时随机各抽取一张卡片并猜卡片上字谜的谜底，若小虎能猜出A、D卡片上的谜底，猜不出B、C卡片上的谜底；小麦能猜出A、B、C卡片上的谜底，猜不出D卡片上的谜底．请用画树状图或列表法求小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率． 20．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CD的中点为E，连接OE并延长至点F，使得EF＝OE，连接CF，DF． （1）求证：四边形OCFD是矩形； （2）若EF＝5，BD＝16，求菱形ABCD的面积． 21．为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植4亩甲作物和3亩乙作物需要34名学生，种植3亩甲作物和3亩乙作物需要27名学生．根据以上信息，解答下列问题：（1）种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？（2）种植甲、乙两种作物共12亩，所需学生人数不超过65人，至少种植甲作物多少亩？ 22．一酒精消毒瓶如图①，AB为喷嘴，△BCD为按压柄，CE为伸缩连杆，BE和EF为导管，其示意图如图②，∠DBE＝∠BEF＝108°，BD＝6cm，BE＝4cm． （1）当按压柄△BCD按压到底时，BD转动到BD′，此时BD′∥EF（如图③）．求BD旋转的角度； （2）求点D到直线EF的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 23．如图，△ACD中，∠ADC＝90°，以AB为直径的⊙O交CB的延长线于点E，连接DE，DE是⊙O的切线． （1）求证：CD＝DE； （2）若AC＝4，BD＝2，求CD的长． 24．近期，“浙BA城市争霸赛”正如火如荼地举行．十一期间，小郑同学观看了苍南队与绍兴队的比赛，发现球员投篮后，篮球的运动轨迹是抛物线的一部分，因此他分析了他喜欢的球员的数据，发现55号球员柳杨杰在命中三分球时，篮球出手高度约为2.35m，球在飞越7m之后准确地落入高度为3.05m的篮筐中，当球在空中飞行的水平距离为4m时，篮球恰好达到最大高度． （1）如图，小郑同学建立了直角坐标系，他将抛物线的最高点用坐标（4，h）来表示，请你帮他求出篮球在空中飞行的最大高度h； （2）此时，若对方球员在柳杨杰面前1.4m处起跳拦截，已知对方球员最大摸高为3.14m，那么对方球员能否拦截成功？ 25．如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，且△ABC与△DEF不相似．其中AC＝6，BC＝8，DF＝7，EF＝24． （1）是否存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF其中一个分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似．如果存在； ①请写出你的分割方案（只要写出一个方案即可），并证明方案的正确性； ②按照你写出的分割方案，求出S的值． （2）分别从△ABC和△DEF的直角顶点引两条直线，分别将它们分割成两个三角形，CG交AB于G，FH交DE于H，当△ACG与被FH分割形成的△DFH和△EFH中的一个相似时，直接写出AG的长． 参考答案 一．选择题（共12小题） 1．【考点】有理数大小比较 【分析】本题考查有理数大小比较．有理数大小比较的规则为：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小．解题的切入点是根据这些规则对选项中的数进行比较． 解：逐一分析选项：A选项﹣3是负数；B选项1是正数；C选项3是正数；D选项5是正数．因为负数小于正数，所以在这几个数中﹣3最小． 【点评】本题考查有理数大小比较这一基础知识点，关键是要牢记有理数大小比较的规则，注意负数比较大小的特殊情况． 2．【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的定义解答即可． 解：A、B，D选项中的图案都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图案能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 【点评】本题考查轴对称图形的定义，熟知如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形是解决问题的关键． 3．【考点】合并同类项 【分析】本题考查合并同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变．解题的切入点是明确同类项，然后按照法则进行计算． 解：3a与4a是同类项，根据合并同类项法则，将它们的系数3和4相加，得到3+4 ＝ 7，字母a不变，所以结果是7a．逐一分析选项：A选项7a是正确答案；B选项8a错误；C选项7a2错误；D选项8a2错误． 【点评】本题考查合并同类项这一基础知识点，关键是掌握合并同类项的法则，注意不要改变字母和指数． 4．【考点】在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据不等式在数轴上表示即可，需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 解：如图所示：x≤3， 故选：D． 【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式，解题的关键是不等式的数轴表示． 5．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法 【分析】本题考查解一元二次方程﹣因式分解法．对于方程x2﹣3x ＝ 0，可以提取公因式x进行因式分解，将方程转化为两个一元一次方程来求解． 解：对x2﹣3x ＝ 0进行因式分解，提取公因式x得x（x﹣3）＝ 0．则x ＝ 0或x﹣3 ＝ 0，解得x1 ＝ 0，x2 ＝ 3．逐一分析选项：A选项x1 ＝ 3，x2 ＝ 0正确；B选项x1 ＝ 4，x2 ＝ 1错误；C选项x1 ＝ 3，x2 ＝﹣1错误；D选项x1 ＝﹣1，x2 ＝﹣2错误． 【点评】本题考查用因式分解法解一元二次方程，关键是掌握提取公因式的方法，将一元二次方程转化为一元一次方程求解． 6．【考点】坐标确定位置 【分析】根据已知两点的坐标可确定平面直角坐标系，再判断“炮”所在点的坐标． 解：根据“帅”和“相”所在位置的坐标分别是（0，﹣1）和（2，﹣1），建立坐标系如图： “炮”所在位置的坐标是 （﹣3，2）， 故选：A． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 7．【考点】用样本估计总体 【分析】本题考查用样本估计总体．先计算出样本中每月阅读两本以上经典作品的学生所占的比例，再用这个比例乘以该校的总人数，即可估计出相应的人数． 解：样本中每月阅读两本以上经典作品的学生所占比例为30÷120 ＝ 0.25．该校900名学生中每月阅读经典作品两本以上的人数约为900×0.25 ＝ 225（人）．逐一分析选项：A选项180人错误；B选项200人错误；C选项225人正确；D选项250人错误． 【点评】本题考查用样本估计总体的方法，关键是准确计算出样本比例，再合理应用到总体中． 8．【考点】平行四边形的性质；生活中的旋转现象；坐标与图形变化﹣旋转 【分析】根据旋转得出动点的运动规律是周期性的，然后根据平行四边形的性质得出第一象限内点B的坐标，然后求出第2025次后点B坐标即可． 解：根据旋转可得，点B的运动规律是周期性的，循环周期为4， 第2025次旋转，循环次数为2025÷4＝506⋯1， ∴此时，点B位于第四象限， ∵四边形OABC为平行四边形，且点A，C的坐标分别为（2，2），（0，4）， ∴AB∥y轴，AB＝OC＝4， ∴B（2，6）， ∴当点B位于第四象限时，坐标为（6，﹣2）， 故选：B． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，动点坐标的规律探索，解题的关键是掌握动点的运动规律． 9．【考点】利用频率估计概率 【分析】本题考查利用频率估计概率．用频率估计的概率是一个可能性大小的数值，投篮投中是一个随机事件，即使知道投中的概率，每次投篮的结果仍是不确定的． 解：逐一分析选项：A选项小阳定点投篮1次，因为投篮投中是随机事件，所以不一定能投中，该选项正确；B选项小阳定点投篮1次，不一定能投中，所以“一定可以投中”错误；C选项小阳定点投篮10次，投中次数是不确定的，“一定投中3次”错误；D选项小阳定点投篮3次，投中次数不确定，“一定投中1次”错误． 【点评】本题考查对利用频率估计概率的理解，关键是要明白概率只是表示事件发生可能性的大小，不是确定的结果． 10．【考点】弧长的计算 【分析】根据弧长公式计算即可． 解：∵∠AOC＝40°，∠BOC＝15°， ∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝40°﹣15°＝25°， ∴2πRπR（千米）． ∴点A和点B之间的劣弧长约为πR千米． 故选：C． 【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键． 11．【考点】函数关系式 【分析】自变量x每增加1，将x+1代入函数，即可求得y变化了多少． 解：A、将x+1代入函数y＝﹣2x+10得：y＝﹣2（x+1）+10＝﹣2x+8，即函数值减少2，符合题意； B、将x+1代入函数y＝2x得：y＝2（x+1）＝2x+2，即函数值增加2，不符合题意； C、将x+1代入函数y＝﹣x+2得：y＝﹣（x+1）+2＝﹣x+1，即函数值减少1，不符合题意； D、将x+1代入函数y＝﹣2x2得：y＝﹣2（x+1）2＝﹣2x2﹣4x﹣2，即函数值的变化量为﹣4x﹣2，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查函数关系式，解题的关键是熟练运用性质． 12．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】根据对称轴x＝﹣1可得b＝2a，代入点（2，0）得c＝﹣8a，由与y轴正半轴相交知c＞0，故a＜0．然后逐项分析判断即可解答． 解：∵对称轴x＝﹣1， ∴，即b＝2a． ∵图象过点（2，0）， ∴a•22+b•2+c＝0，代入b＝2a得4a+4a+c＝0，即c＝﹣8a． ∵与y轴正半轴相交， ∴当x＝0时，y＝c＞0，故a＜0． A．b2﹣4ac＝（2a）2﹣4a•（﹣8a）＝4a2+32a2＝36a2＞0，故A选项错误，不符合题意； B．由a＜0且根为x＝2和x＝﹣4（对称轴x＝﹣1，一根为2，另一根为﹣4），y＜0时x＜﹣4或x＞2，故B选项错误，不符合题意； C．方程根为x＝2和x＝﹣4，非x＝﹣3，故C选项错误，不符合题意； D．am2+bm＜a﹣b代入b＝2a得am2+2am＜﹣a，即a（m2+2m+1）＜0． ∵a＜0， ∴m2+2m+1＞0，即（m+1）2＞0，当m≠﹣1时成立，正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 二．填空题（共4小题） 13．【考点】二次根式的乘除法 【分析】本题考查二次根式的乘法法则．二次根式乘法法则为（a≥0，b≥0），解题时直接将两个二次根式的被开方数相乘，再化为最简二次根式． 解：根据二次根式乘法法则，． 【点评】本题考查二次根式乘法的基础运算，关键是掌握运算法则，注意结果要化为最简． 14．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理 【分析】当P在AB上时，得到等腰△PAC的顶角是100°；当P在BC上时，分三种情况讨论，即可得到答案． 解：∵∠B＝30°，∠A＝100°， ∴∠C＝180°﹣30°﹣100°＝50°， 当P在AB上时，PA＝AC， ∴等腰△PAC的顶角是100°； 当P在BC上时， 若PA＝AC， ∴∠APC＝∠C＝50°， ∴顶角∠PAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°； 若PA＝PC， ∴∠PAC＝∠C＝50°， ∴顶角∠APC＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 若PC＝AC， ∴顶角是∠C＝50°， 综上所述：△PAC为等腰三角形时，其顶角的度数是100°或80°或50°． 故答案为：100°或80°或50°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是要分四种情况讨论． 15．【考点】一元一次方程的应用 【分析】本题可通过设未知数，根据快马和慢马所行路程相等来列一元一次方程求解．设快马追上慢马需要x天，快马行的路程为快马速度乘以时间，慢马行的路程为慢马速度乘以（x+10）天，两者路程相等． 解：设快马追上慢马需要x天．快马行的路程为280x里，慢马行的路程为160（x+10）里．根据快马追上慢马时两者路程相等，可得方程280x ＝ 160（x+10）．去括号得：280x ＝ 160x+1600．移项得：280x﹣160x ＝ 1600．合并同类项得：120x ＝ 1600．系数化为1得：x ＝ ． 【点评】本题考查一元一次方程在行程问题中的应用，关键是找出等量关系列方程． 16．【考点】菱形的性质；解直角三角形 【分析】过点D作DF⊥BE于点F，过点E作EK⊥BC交BC的延长线于点K，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，设DE＝a，依题意得CD＝2a，AB＝BC＝CE＝AE＝3a，∠EBC＝∠BEC＝30°，AB∥CE，解Rt△ECK中得CK，EK，证明△DCH和△ECK相似得DH，CH＝a，则BH＝4a，进而得BD，解Rt△EFD得DF＝0.5a，然后根据在Rt△BDE中，根据正弦函数的定义可得出sin∠EBD的值． 解：过点D作DF⊥BE于点F，过点E作EK⊥BC交BC的延长线于点K，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，如图所示： 设DE＝a， 依题意得：CD＝2a，EC＝3a， ∵四边形ABCE是菱形，∠ABC＝60°， ∴AB＝BC＝CE＝AE＝3a，∠EBC＝∠BEC＝30°，AB∥CE， ∴∠ECK＝∠ABC＝60°， 在Rt△ECK中，∠CEK＝90°﹣∠ECK＝30°， ∴sin∠CEK，cos∠CEK， ∴CK＝CE•sin∠CEK＝3a×sin30°，EK＝CE•cos∠CEK＝3a×aos30°， ∵EK⊥BC，DH⊥BC， ∴EK∥DH， ∴△DCH∽△ECK， ∴， ∴DHEK，CHCKa， ∴BH＝BC+CH＝3a+a＝4a， 在Rt△BDH中，BH＝4a，DH， 由勾股定理得：BD＝√， 在Rt△EFD中，∠BEC＝30°，DE＝a， ∴DFDE＝0.5a， 在Rt△BDE中，sin∠EBD． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握菱形的性质，正确地添加辅助线构造直角三角形，灵活运用锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键． 三．解答题（共9小题） 17．【考点】分式的化简求值 【分析】（1）先分别计算出各个代数式的值，再任选3个求和；（2）先对分式进行化简，再代入求值．化简时可先对分子分母因式分解，然后约分． 解：（1）①33 ＝ 27，②|﹣3|＝ 3，③（﹣2）0 ＝ 1，④ ＝ 1．若选①②③求和：27+3+1 ＝ 31．（2）化简，x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），2x+4＝2（x+2），则原式 ＝ ．当x ＝ 4时，． 【点评】本题考查代数式求值和分式化简求值，关键是掌握运算法则和化简方法． 18．【考点】待定系数法求反比例函数解析式 【分析】（1）将已知点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，进而得到函数表达式；（2）根据反比例函数性质判断函数在不同象限的增减性，再比较各点纵坐标大小． 解：（1）把点（2，4）代入，得4 ＝ ，解得k ＝ 8．所以反比例函数表达式为．（2）对于反比例函数，k ＝ 8＞0，所以在每个象限内y随x的增大而减小．点（﹣4，m）在第三象限，所以m＜0；点（2，n），（4，p）在第一象限，2＜4，所以n＞p＞0．所以n＞p＞m． 【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数性质，关键是掌握相关方法和性质． 19．【考点】列表法与树状图法；概率公式 【分析】根据题意画出树状图得到所有等可能性的结果数，再根据题意找出小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 解：如图： 一共有12种等可能性的结果数， ∴小虎和小麦都能猜出自己所抽取卡片上字谜谜底的概率为． 【点评】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，关键是根据题意画出树状图得到所有等可能性的结果数解答． 20．【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；菱形的性质 【分析】（1）由DE＝CE，EF＝OE，证明四边形OCFD是平行四边形，根据菱形的性质证明∠COD＝90°，则四边形OCFD是矩形； （2）由菱形的性质得OD＝OBBD＝8，由矩形的性质得CD＝OF＝10，则OA＝OC6，所以AC＝12，则S菱形ABCDAC•BD＝96． 解：（1）证明：∵CD的中点为E， ∴DE＝CE， ∵连接OE并延长至点F，EF＝OE， ∴四边形OCFD是平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°， ∴四边形OCFD是矩形． （2）解：∵EF＝OE＝5，BD＝16， ∴OF＝2EF＝10，OD＝OBBD＝8， ∴CD＝OF＝10， ∴OA＝OC6， ∴AC＝2OA＝12， ∴S菱形ABCDAC•BD12×16＝96， ∴菱形ABCD的面积为96． 【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得CD＝OF＝10及OA＝OC＝6是解题的关键． 21．【考点】一元一次不等式的应用 【分析】（1）可通过设未知数，根据两种种植情况列出方程组求解；（2）设种植甲作物x亩，则种植乙作物（12﹣x）亩，根据人数限制列出一元一次不等式求解． 解：（1）设种植1亩甲作物需要x名学生，种植1亩乙作物需要y名学生．根据题意可得方程组用第一个方程减去第二个方程得：4x+3y﹣（3x+3y） ＝ 34﹣27，即4x+3y﹣3x﹣3y ＝ 7，解得x ＝ 7．把x ＝ 7代入3x+3y ＝ 27，得3×7+3y ＝ 27，21+3y ＝ 27，3y ＝ 6，解得y ＝ 2．所以种植1亩甲作物需要7名学生，种植1亩乙作物需要2名学生．（2）设种植甲作物x亩，则种植乙作物（12﹣x）亩．根据题意可得7x+2（12﹣x）≤65，去括号得7x+24﹣2x≤65，移项得7x﹣2x≤65﹣24，合并同类项得5x≤41，解得x≤8.2．因为x为亩数，为正整数，所以x的最小值为8．所以至少种植甲作物8亩． 【点评】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是找出等量关系和不等关系． 22．【考点】解直角三角形的应用 【分析】（1）根据平行线的性质可求出∠D′BE＝72°，从而求出∠DBD′＝36°； （2）过点D作DG⊥BD′，垂足为G，过点E作EH⊥BD′，垂足为H，分别在Rt△BDG和Rt△BHE中，利用锐角三角函数的定义求出DG，EH的长，进行计算即可解答． 解：（1）∵BD'∥EF，∠BEF＝108°， ∴∠D′BE＝180°﹣∠BEF＝72°， ∵∠DBE＝108°， ∴∠DBD′＝∠DBE﹣∠D′BE＝108°﹣72°＝36°， 答：BD旋转的角度为36°； （2）如图③，过点D作DG⊥BD′，垂足为G，过点E作EH⊥BD′，垂足为H， 在Rt△BDG中，∠DBG＝36°， ∴DG＝BDsin36°≈6×0.59＝3.54（cm）， 在Rt△BHE中，∠EBH＝72°， ∴EH＝BEsin72°≈4×0.95＝3.80（cm）， ∴DG+EH＝3.54+3.80≈7.3（cm）， ∴点D到直线EF的距离为7.3cm． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23．【考点】切线的性质；勾股定理；圆周角定理 【分析】（1）连接OE，根据圆的切线得到∠OED＝90°，而∠OEB＝∠OBE＝∠CBD，再由互余关系即可证明∠DCE＝∠DEB，则CD＝DE； （2）设⊙O的半径为r．在Rt△ODE中，由勾股定理得DE2＝（r+2）2﹣r2；在Rt△ACD中，由勾股定理得，再由CD＝DE，得到方程，即可求解． 解：（1）证明：如图，DE是⊙O的切线，连接OE， ∴∠OED＝90°， ∴∠DEB+∠OEB＝90°． 又∵OB＝OE， ∴∠OEB＝∠OBE＝∠CBD． 在Rt△CBD中，∠DCB+∠CBD＝90°，即∠DCB+∠OEB＝90°， ∴∠DCE＝∠DEB， ∴CD＝DE； （2）解：设⊙O的半径为r． 在Rt△ODE中，BD＝2， 由勾股定理得：DE2＝OD2﹣OE2， ∴DE2＝（r+2）2﹣r2． 在Rt△ACD中，AC＝4，BD＝2， 由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2， ∴． ∵CD＝DE， ∴， 解得：r＝3． 在Rt△DOE中，由勾股定理得：， ∴CD＝4． 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握圆的切线的性质是解题的关键． 24．【考点】二次函数的应用 【分析】（1）设函数表达式为y＝a（x﹣4）2+h，再用待定系数法求解即可； （2）将x＝1.4代入函数，得：，求得y＝3.274，再比较得出结论． 解：（1）∵顶点坐标为（4，h），设函数表达式为y＝a（x﹣4）2+h， 将点（0，2.35）、（7，3.05）代入函数，得： ， 解得：， ∴篮球在空中飞行的最大高度h为3.95m； （2）函数表达式为， 将x＝1.4代入函数，得：， 化简，得y＝3.274， ∵3.274﹣3.14＝0.134＞0， ∴若对方球员在柳杨杰面前1.4m处起跳拦截，拦截不成功． 【点评】本题考查二次函数的应用，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式． 25．【考点】相似形综合题 【分析】（1）①根据锐角三角函数的定义可得，tan∠EDF＞tanA＞tanB＞tanE，从而得到∠EDF＞∠A＞∠B＞∠E，可过点D作直线DG交EF于点G，使得∠FDG＝∠A，即可； ②根据相似的性质，求出FG的长，利用三角形的面积公式进行计算即可； （2）根据∠EDF＞A＞B＞E得到∠DHE＞∠E＞∠B，则可以分三种情况，分别求解即可． 解：（1）存在经过锐角顶点的一条直线，能把△ABC或△DEF其中一个分割成两个三角形，使分割得的两个三角形中有一个三角形（记这个三角形的面积为S）与没有分割的三角形相似； ①如图1，过点D作直线DG交EF于点G，使得∠FDG＝∠A； 证明：∵△ABC和△DEF都是直角三角形，∠C＝∠F＝90°，AC＝6，BC＝8，DF＝7，EF＝24， ∴，，，， ∴tan∠EDF＞tanA＞tanB＞tanE， ∴∠EDF＞∠A＞∠B＞∠E， 由题意得：∠C＝∠F＝90°，∠FDG＝∠A， ∴△ABC∽△DGF； ②∵△ABC∽△DGF，AC＝6，BC＝8，DF＝7， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）由（1）可得∠EDF＞∠A＞∠B＞∠E， 则∠DHE＞∠E＞∠B， 可以分为如下三种情况， ①当△ACG∽△HFD时，∠AGC＝∠D， 过C作CM⊥AB，如图2.1， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴，， ∴AG＝AM+MG＝5； ②当∠ACG＝∠D，∠A＝∠DFH或∠A＝∠DHF时，△ACG与△FDH相似， 过点G作GM⊥AC，如图3.1， 设AG＝x，由题意得：△AMG∽△ACB， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴； ③AG的值为或或5．理由如下： 当∠ACG＝∠E，∠A＝∠HFE时，△ACG与△HFE相似， 过点G作GM⊥AC，如图4.1， 设AG＝x，由题意得：△AMG∽△ACB， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， 解得， ； 综上所述，AG的值为或或5． 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $