16.3.1 平方差公式 同步练习 2025-2026学年人教版数学八年级上册

16.3.1平方差公式同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．化简，下列结果正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式的乘法中，可用平方差公式进行计算的是（   ） A． B． C． D． 3．将转化为平方差的形式是（   ） A． B． C． D． 4．如果，那么的值为（   ） A．49 B．7 C． D．7或 5．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 6．若将正方形的一组对边增加，另一组对边减少，下列选项正确的是（    ） A．面积减少 B．面积增加 C．面积不变 D．无法确定 7．如图①，从边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（   ） A． B． C． D． 8．计算的结果是（   ） A． B． C．0 D． 9．计算的结果为（   ） A．0 B． C． D． 10．老师在复习二次根式的运算时，给出了一道题：计算．甲、乙分别给出了不同的解法： 甲： ． 乙： ． 对于甲、乙的计算过程及结果，下列判断正确的是（     ） A．甲和乙都对 B．甲对乙错 C．甲错乙对 D．甲和乙都错 11．如果，则（   ） A．10 B． C．5 D． 12．如图，四边形和都是正方形，这两个正方形的面积差是36，则图中阴影部分的面积是（   ） A．18 B．20 C．22 D．24 13．把式子化简的结果为（   ） A． B． C． D． 14．已知，则的值是（   ） A．12 B．19 C．18 D．11 15．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点、分别在、上，点、在上，点、在上，且四边形是正方形，连接、、、，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（   ） A．6 B．9 C．5 D．3 16．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 17．已知实数a，b满足，，则的值是 ． 18．化简： ． 19．若，且，则等于 ． 20．如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为 ．    21．已知，且，，则 ． 22．将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为 . 23．数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，其中能够验证平方差公式的方案是 ．（请填上正确的序号） 24．已知，则 ． 三、解答题 25．运用平方差公式计算： (1)； (2)； (3) 26．如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示．    (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； (3)拓展：计算． 27．定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《16.3.1平方差公式同步练习2025-2026学年人教版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D B A A C A A 题号 11 12 13 14 15 16 答案 C A C C D B 1．C 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，直接利用平方差公式计算即可得出答案． 【详解】解：， 故选C 2．D 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是根据平方差公式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．，不可用平方差公式进行计算，不符合题意； B．，不能用平方差公式计算，则不符合题意； C．不能用平方差公式计算，则不符合题意； D．，能用平方差公式计算，则符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式的结构特征变形即可． 【详解】解：， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式是．首先根据平方差公式化简得出，然后乘方的意义求解即可． 【详解】解：，即， ∴． 故选：D． 5．B 【分析】本题考查的是积的乘方逆运算及平方差公式，逆用积的乘方法则解决问题是关键． 根据积的乘方法则，先将化成，再整体代入计算即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查整式加减的应用，平方差公式．设原正方形边长为，则原面积为．改变后，图形变为长方形，长和宽分别为和，利用面积公式和平方差公式计算新面积，并与原面积比较差值． 【详解】原正方形边长为，面积为， 改变后，长方形的长为，宽为，面积为： ， 新面积与原面积的差为：，即面积减少， 由于题目隐含正方形边长（否则宽为负数或零，不成立），故差值确定． 故选A． 7．A 【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义，掌握知识点是解题的关键． 由大正方形的面积减去小正方形的面积等于矩形的面积，进而可以证明平方差公式，即可解答． 【详解】解：∵图①中大正方形的面积减去小正方形的面积为，图②中矩形的面积为， ∴． 故选A． 8．C 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键．通过平方差公式进行化简，再合并即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式：进行计算． 【详解】解： ． 故选：A． 10．A 【分析】本题主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握乘法分配律的逆用和二次根式的混合运算法则，根据二次根式的混合运算法则和乘法分配律的逆用即可进行解答． 【详解】解：根据题意可得：甲和乙都对， 故选：A． 11．C 【分析】本题考查平方差公式，运用平方根解方程．通过观察方程结构，利用平方差公式将原方程转化为关于的方程，结合非负性确定最终解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 12．A 【分析】本题考查平方差公式与几何图形的面积，设，，根据题意，结合题意计算即可． 【详解】解：设，， 由题意，得：， ∵， ∴． 故选A． 13．C 【分析】本题考查平方差公式的应用，式子乘以，利用平方差公式进行简便运算． 【详解】解：原式 …… ， 故选C． 14．C 【分析】本题主要考查了代数式求值、平方差公式、多项式乘以多项式等知识，熟练运用相关运算法则和运算公式是解题关键．首先根据多项式乘以多项式法则，易得，再计算并将代入，然后利用平方差公式变形求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：C． 15．D 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 16．B 【分析】本题考查了利用平方差公式进行简便运算，由平方差公式得，进行前后约分运算，即可求解；能熟练利用平方差公式进行简便运算是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 故选：B． 17． 【分析】本题主要考查平方差公式，熟记是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 18．/ 【分析】本题考查整式的混合运算，先根据单项式乘多项式，平方差公式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】解：． 故答案为： 19． 【分析】本题考查了平方差公式的应用，能准确理解并运用该知识解决相关问题是关键．根据平方差公式进行求解即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 20． 【分析】由图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，即可得出等式． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为， 图2中阴影部分的面积为， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查平方差公式．利用数形结合的思想是解题关键． 21．24 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式即可求解． 【详解】解：因为，， 所以， 所以． 故答案为：24． 22． 【分析】本题考查的是平方差公式的几何背景，解题的关键是线段的和差问题，再利用面积公式计算． 利用图形可得到两个阴影部分面积的高，求出面积的表达式，用面积公式计算即可. 【详解】解：∵边长分别为，的小正方形和大正方形如图放置， ∴大三角形的高为： ，小三角形的高为： ∴图中阴影部分的总面积为： ∵ ∴ 图中阴影部分的总面积 故答案为：10 . 23．①② 【分析】本题考查了平方差公式．熟练掌握平方差公式是解题的关键． 通过分别计算三种拼法中拼接前、后阴影部分的面积，利用面积相等来验证平方差公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积，右边图形中阴影部分的面积， 故可得：，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，右边阴影部分面积， 可得：（，不可以验证平方差公式． 故答案为：①②． 24． 【分析】本题主要考查了非负数的性质、平方差公式、代数式求值等知识点，掌握整体思想成为解题的关键． 先根据非负数的性质得到，然后结合平方差公式将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 25．(1) (2) (3)39999 【分析】本题考查平方差公式，熟练运用平方差公式是解题的关键． （1）运用平方差公式计算即可； （2）运用平方差公式计算即可； （3）将式子变形为后，运用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：                                    ； （2）解： ； （3）解： ． 26．(1) (2)①15；②1 (3)36 【分析】题目主要考查利用平方差公式进行求解计算，熟练掌握是解题关键． （1）根据题中图形求解即可； （2）①将原式因式分解，然后代入求解即可；②利用平方差公式求解即可； （3）根据题意，利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）①因为，， 所以；     ② ； （3） ． 27．(1)是“登高数”，详见解析； (2)“登高数”能被整除，详见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算，难点是理解“登高数”都是的倍数，即如果一个数是的倍数，那么这个数一定是“登高数”． （1）设求出方程的解，然后由计算结果可得出答案； （2）利用平方差公式计算，然后由计算结果可得出答案； （3），通过计算即可得出不超过的所有“登高数”的和． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设， 解得：， ， 是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ， ， 是正整数， 能被整除， 能被整除， “登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ， 不超过的所有“登高数”有，，，，，， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $