5.2导数的运算（讲义+题型汇总） -2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

本讲义聚焦导数的运算核心知识点，系统梳理从几个常用函数导数到基本初等函数导数公式、四则运算法则，再到复合函数求导的完整脉络，构建从具体到抽象、从单一到综合的学习支架。 资料通过分层设计的典型例题与分题型练习，覆盖基础公式应用到复杂公切线问题探究，培养学生运算能力与推理意识（数学思维），在公式抽象与复合函数求导中发展抽象能力（数学眼光），规范解题步骤强化数学语言表达。课中助力教师分层授课，课后便于学生针对性练习，弥补知识盲点。

5.2 导数的运算 【人教A版选择性必修第二册】 【高考要求】 1.能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 2.能求简单的复合函数。 【学习目标】 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2.掌握导数的四则运算法则； 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【学习重点】 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 【学习难点】 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 知识点1 几个常用函数的导数 求下列常见函数的导数 知识点2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 导数运算法则 1. 2. 3. 推论：(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数) 知识点3 复合函数的导函数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 【典型例题】 例1．求下列函数的导数 （1）， ． （2）y＝（2x+3）2 y＝（2x+3）2＝4x2+12x+9，其导数y′＝8x+12． （3）y＝xex 若f（x）＝xex， 则f′（x）＝x′ex+x（ex）′＝ex+xex； （4）y＝（x+1）lnx； ； （5） 以 （6）； y′； （7）y； 由已知可得y′， （8） y′0 例2．求下列函数的导数 （1）y＝e﹣0.05x+1． y′＝﹣0.05e﹣0.05x+1． （2）y＝sin（ωx+φ）（ω，φ是常数）； y′＝ωcos（ωx+φ） （3）y＝e﹣x（x2﹣2x+3）． y′＝﹣e﹣x（x2﹣2x+3）+e﹣x（2x﹣2） ＝e﹣x（﹣x2+2x﹣3+2x﹣2）＝e﹣x（﹣x2+4x﹣5）． 例3．求下列函数的导数 （1）． 得y′＝11． （2）； y′＝2sin（2x）cos（2x）×2＝2cos（4x）； （3）； t＝2x﹣1，u，y＝eu； （4）； t＝x+1，u＝sint，y； 练习一 1.求下列函数的导数 （1）； 因为，所以． （2）y＝（1）（1）； 由已知可得y＝1， 所以y′， （3） y′． （4）y＝xlnx； y'＝x′•lnx+x•（lnx）′＝lnx+1； （5）y； ； （6） 由， 得； （7）y＝22x+1． y＝22x+1， 则y′＝2•22x+1•ln2＝22x+2•ln2． （8）y（x+1）． y（x+1）（x+1）， 则y′（x+1）•． （9）y＝x+ln（1﹣x）； y＝x+ln（1﹣x）， 所以y′＝1•（1﹣x）′＝1； （10）y＝log3（5x﹣1） 2.已知f（x）＝2f′（0）sinx﹣3x，则f′（0）＝（　　） A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 解：根据题意，f（x）＝2f′（0）sinx﹣3x，则f′（x）＝2f′（0）cosx﹣3， 令x＝0，有f′（0）＝2f′（0）﹣3， 变形可得f′（0）＝3． 故选：A． 题型1 基本初等函数的导数 例1．请默写基础初等函数的导数公式： （1）（C）′＝　 　 ，C为常数； （2）（xα）′＝　 　 ，α为常数； （3）（ax）′＝　 　 ，a为常数，a＞0且a≠1； （4）（logax）′＝　 　 ，a为常数，a＞0且a≠1； （5）（sinx）′＝　 　 ； （6）（cosx）′＝　 　 ． 【分析】根据初等函数的导数公式，直接求解即可． 【解答】解：（1）（C）′＝0， （2）（xα）′＝αxα﹣1， （3）（ax）′＝axlna， （4）（logax）′， （5）（sinx）′＝cosx， （6）（cosx）′＝﹣sinx． 故答案为：（1）0；（2）αxα﹣1；（3）axlna；（4）；（5）cosx；（6）﹣sinx． 【方法总结】：基本初等函数的导数计算需首先熟记公式原型，特别注意符号处理（如余弦导数为负正弦）与定义域限制（如对数函数x>0）。对于含具体数值的函数（如ln2），应识别其为常数函数，其导数为0。求导后验证时可代入特殊点（如x=0或1）进行快速检验，避免因公式混淆或符号遗漏导致错误。 练习1．下列初等函数求导错误的是（　　） A．（sinx）'＝cosx B．（cosx）'＝sinx C．（sin）'＝0 D．（xu）'＝uxu﹣1 【分析】利用导数的运算性质对各个选项逐个求解即可判断． 【解答】解：A：因为（sinx）′＝cosx，故A正确， B：因为（cosx）′＝﹣sinx，故B错误， C：因为（sin）′＝0，故C正确， D：因为（xu）′＝uxu﹣1，故D正确， 故选：B． 练习2．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．e D． 【分析】利用导数的运算法则即可得出． 【解答】解：∵，∴． 故选：D． 练习3．下列求导结果正确的是（　　） A． B．（3x）′＝x•3x﹣1 C． D．（sin2x）′＝cos2x 【分析】根据基本初等函数和复合函数的求导公式对每个选项的函数求导即可． 【解答】解：，，（sin2x）′＝2cos2x． 故选：C． 题型2 导数的运算法则 例2．已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（　　） A． B．0 C．﹣1 D．1 【分析】对f（x）求导，代入数值计算即可． 【解答】解：∵f（x）＝xsinx+cosx， ∴f′（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx， ∴f′（）cos0； 故选：B． 练习1．函数的导数是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用求导法则，求出函数的导数即可． 【解答】解：函数的导数是：． 故选：A． 练习2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】对等式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，求导数，然后令x＝2，即可求出f′（2）的值． 【解答】解：∵f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx， ∴f′（x）＝2x+3f′（2）， 令x＝2，则f′（2）＝4+3f′（2）， 即2f′（2）， ∴f′（2）． 故选：D． 练习3．若f（x）＝2lnx﹣x2，则f′（x）＞0的解集为（　　） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（1，+∞） 【分析】求函数的定义域和函数的导数，直接解导数不等式即可． 【解答】解：∵f（x）＝2lnx﹣x2， ∴函数的定义域为（0，+∞）， 则f'（x）， 由f'（x）0， 得x2﹣1＜0， 即0＜x＜1， 即不等式的解集为（0，1）， 故选：A． 题型3 复合函数的导数 例3．设，则f′（2）＝（　　） A． B． C． D． 【分析】令u（x），可求得u′（x），从而可求得f′（x），可求得f′（2）． 【解答】解：∵f（x）＝ln，令u（x），则f（u）＝lnu， ∵f′（u），u′（x）•， 由复合函数的导数公式得： f′（x）•， ∴f′（2）． 故选：B． 练习1．已知某函数的导数为y′，则这个函数可能是（　　） A．y＝ln B．y＝ln C．y＝ln（1﹣x） D．y＝ln 【分析】利用复合函数的导数法则依次对选项的函数求导数，结合题意，可得答案． 【解答】解：对选项求导． A、（ln）′（）′，符合； 对于B，∵，∴，不符合； 对于C，，不符合； 对于D，∵y＝﹣ln（x﹣1）∴，不符合； 故选：A． 练习2．函数的导数是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据y＝sinx的求导法则对函数进行求导； 【解答】解：∵函数， ∴y′＝3cos（3x）×3， 故选：B． 练习3．已知函数f（x）＝ln（x），则f′（3）＝　　 ． 【分析】本题中函数本身有两次复合过程，x看作一个变量充当了对数函数的真数，1+x2也看作一个变量充当了幂函数的底数． 【解答】解：令xu， 则 ． ∴． 故答案为． 题型4 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 例4．设函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（　　） A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．x﹣2y＝0 【分析】利用分式求导法则求出f′（x），代入x＝0求出f′（0）与f（0），即可得点（0，f（0））处的切线方程． 【解答】解：因为， 所以， 所以f（0）＝1，f′（0）＝1， 所以所求切线方程为y＝x+1，即x﹣y+1＝0． 故选：A． 练习1．曲线y＝xlnx在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D． 【分析】利用导数求出曲线y＝xlnx在x＝1处的切线方程，再求出切线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式求解． 【解答】解：由y＝xlnx，得y′＝lnx+1， 则y′|x＝1＝1，又当x＝1时，y＝0， ∴曲线y＝xlnx在x＝1处的切线方程为y＝x﹣1， 取x＝0，得y＝﹣1，取y＝0，得x＝1． ∴曲线y＝xlnx在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为． 故选：D． 练习2．曲线y＝x2+lnx﹣1在其与x轴的交点处的切线方程为（　　） A．y＝3x﹣3 B．y＝﹣3x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝﹣2x+2 【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解． 【解答】解：因为y＝x2+lnx﹣1，x＞0，所以y′＝2x0， 所以y＝x2+lnx﹣1在（0，+∞）上单调递增，又当x＝1，时y＝0， 所以曲线y＝x2+lnx﹣1在其与x轴的交点为（1，0）， 所以当x＝1时，y′＝3， 所以所求切线方程为y＝3（x﹣1）＝3x﹣3． 故选：A． 练习3．已知函数f（x）＝ex+2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x D．y＝3x 【分析】根据导数的几何意义，即可求解． 【解答】解：因为f（x）＝ex+2x，所以f'（x）＝ex+2， 所以f（0）＝1，f'（0）＝3， 所以所求切线方程为y＝3x+1． 故选：B． 题型5 由函数的切线方程求解函数或参数 例5．已知函数f（x）＝lnx+2f′（1）x，g（x）ax+1（a＞0）． （1）求f（x）； （2）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）也相切，求a． 【分析】（1）求导，代入x＝1，求出f′（1），即可求解； （2）求导，根据导数的几何意义运算求解． 【解答】解：（1）因为f（x）＝lnx+2f′（1）x， 所以， 即f′（1）＝1+2f′（1）， 解得f′（1）＝﹣1． 所以f（x）＝lnx﹣2x； （2）因为f（x）＝lnx﹣2x， 则，可得f（1）＝﹣2，f′（1）＝﹣1， 即切点坐标为（1，﹣2），切线斜率k＝﹣1，所以切线方程为y+2＝﹣（x﹣1）， 即y＝﹣x﹣1，又因为g（x）ax+1（a＞0）， 由， 得， 由题意Δ＝（a+1）2﹣4＝0，（a＞0）， 解得a＝1． 练习1．已知函数． （1）分别求出f（x）、g（x）的导数； （2）若曲线f（x）在点（1，1）处的切线与曲线g（x）在点（t，g（t））处的切线平行，求t的值． 【分析】（1）直接求f′（x），g′（x）即可； （2）由导数的几何意义可得f′（1）＝g′（t），进而求出答案． 【解答】解：（1）因为， 所以； （2）因为， 所以曲线f（x）在点（1，1）处的切线的斜率k＝f′（1）＝﹣3﹣1＝﹣4， 曲线g（x）在点（t，g（t））处的切线的斜率k'＝g′（t）＝﹣4e﹣4t+2， 所以﹣4e﹣4t+2＝﹣4， 解得t． 练习2．若直线y＝2x+5是曲线y＝ex+x+a的切线，则a＝ 　　 ． 【分析】根据题意，令y′＝ex+1＝2，求出x的值即可确定切点坐标，进一步将切点坐标代入曲线y＝ex+x+a中即可确定a值． 【解答】解：根据题意，y′＝ex+1，令y′＝ex+1＝2，则x＝0， 在切线y＝2x+5中，当x＝0时，y＝5， 所以切点坐标为（0，5）， 将（0，5）代入曲线y＝ex+x+a中，得5＝1+a，解得a＝4． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查导数与切线方程，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题． 练习3．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x 【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率然后求解切线方程． 【解答】解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x）， ﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax． 所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2 可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1， 曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1， 则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x． 故选：D． 题型6 通过导数求公切线 例6．已知f（x）＝ex（e为自然对数的底数），g（x）＝lnx+2，直线l是f（x）与g（x）的公切线，则直线l的方程为 ________ ． 【分析】根据题意，设直线l与f（x）＝ex相切于点（m，em），与g（x）相切于点（n，lnn+2），求出f（x）与g（x）的导数，由导数的几何意义可得直线l的方程，进而可得，解可得m、n的值，将m、n的值代入直线l的方程即可得答案． 【解答】解：根据题意，设直线l与f（x）＝ex相切于点（m，em），与g（x）相切于点（n，lnn+2）， 对于f（x）＝ex，其导数为f′（x）＝ex， 则有k＝f′（m）＝em， 则直线l的方程为y﹣em＝em（x﹣m），即y＝emx+em（1﹣m）， 对于g（x）＝lnx+2，其导数为g′（x）， 则有k＝g′（n）， 则直线l的方程为y﹣（lnn+2）（x﹣n），即yx+（lnn+1）， 直线l是f（x）与g（x）的公切线， 则， 变形可得：（1﹣m）（em﹣1）＝0， 则m＝1或0， 当m＝1时，直线l的方程为y＝ex， 当m＝0时，直线l的方程为y＝x+1； 故直线l的方程为y＝ex或y＝x+1； 故答案为：y＝ex或y＝x+1． 练习1．已知直线y＝kx+b是曲线y＝ln（1+x）与y＝2+lnx的公切线，则k+b＝　_____　 ． 【分析】设切点（x1，kx1+b），（x2，kx2+b），分别表示出在这两点处的斜率和切线，找到对应关系即可． 【解答】解：设切点（x1，kx1+b），（x2，kx2+b）， 由题意得k，∴x2＝x1+1，切线方程分别可以表示为： y， y， ∴，得，则k＝2，b＝1﹣ln2． 则k+b＝3﹣ln2． 故答案为：3﹣ln2． 练习2．已知直线l是曲线y＝ex﹣1与y＝lnx+1的公共切线，则l的方程为 _________ ． 【分析】设出切点坐标，求解切线方程，利用两条曲线的切线方程相同，转化求解即可． 【解答】解：直线l与曲线y＝ex﹣1相切，切点为（a，ea﹣1），y′＝ex，切线的斜率为：ea，切线方程为：y﹣ea+1＝ea（x﹣a）， 即y＝eax﹣aea+ea﹣1． 直线l与y＝lnx+1相切，切点为（b，lnb+1），所以y′，切线的斜率为：，切线方程为：y﹣lnb﹣1（x﹣b）， 即：yx+lnb． 直线l是曲线y＝ex﹣1与y＝lnx+1的公共切线， 可得，解得a＝1，b，或a＝0，b＝1， 所以l的方程为：y＝ex﹣1或y＝x． 故答案为：y＝ex﹣1或y＝x． 练习3．若曲线y＝ex﹣1与曲线在公共点处有公共切线，则实数a＝（　　） A． B． C． D． 【分析】设两曲线的公共切点为（m，n），利用导数可得两曲线在公共点处的切线方程，整理后分别利用斜率相等与在y轴上的截距相等，求解得答案． 【解答】解：设两曲线的公共切点为（m，n）， 由y＝ex﹣1，得y′＝ex﹣1，则曲线y＝ex﹣1在切点处的切线方程为y﹣em﹣1＝em﹣1（x﹣m）， 即y＝em﹣1x+（1﹣m）em﹣1， 由，得y′，则曲线在公共点处的切线方程为， 即y， ∴，解得m，a． 故选：A． 题型7 公切线中的参数取值范围问题 例7．若曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为（　　） A． B． C．[，+∞） D． 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点求得a的范围． 【解答】解：由y＝ax2（a＞0），得y′＝2ax， 由y＝ex，得y′＝ex， ∵曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则 设公切线与曲线C1切于点（），与曲线C2切于点（）， 则，将代入，可得2x2＝x1+2， ∴a，记， 则，当x∈（0，2）时，f′（x）＜0． ∴当x＝2时，． ∴a的范围是[）． 故选：C． 练习1．函数y＝x2﹣1和y＝alnx﹣1有相同的公切线，则实数a的取值范围为　　 ． 【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围． 【解答】解：两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线， y＝x2﹣1的导数y′＝2x，y＝alnx﹣1的导数为y′， 设y＝x2﹣1相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线y＝alnx﹣1相切的切点为（m，alnm﹣1）， y﹣（n2﹣1）＝2n（x﹣n），即y＝2nx﹣n2﹣1， y﹣（alnm﹣1）（x﹣m），即：y ∴ ∴， ∴ 即有解即可， 令g（x）＝x2（1﹣lnx）， y′＝2x（1﹣lnx）x（1﹣2lnx）＝0，可得x， ∴g（x）在（0，）是增函数；（，+∞）是减函数，g（x）的最大值为：g（）， 又g（0）＝0， ∴，∴a≤2e． 故答案为：（﹣∞，2e]． 练习2．已知曲线y＝ex+a与y＝x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是（　　） A．[2ln2﹣2，+∞） B．（2ln2，+∞） C．（﹣∞，2ln2﹣2] D．（﹣∞，2ln2﹣2） 【分析】设直线y＝kx+b（k＞0）为它们的公切线，联立y＝x2，运用相切的条件：判别式为0，求出y＝ex+a的导数，可得切点，得到切线的斜率，结合切点满足曲线方程，用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围． 【解答】解：设直线y＝kx+b（k＞0）为它们的公切线， 联立可得x2﹣kx﹣b＝0， 由相切的条件，可得Δ＝k2+4b＝0 ①， y＝ex+a求导可得y＝ex+a， 令ex+a＝k可得x＝lnk﹣a， 所以切点坐标为（lnk﹣a，klnk﹣ak+b）， 代入y＝ex+a可得k＝klnk﹣ak+b ②． 联立 ①②可得k2+4k+4ak﹣4klnk＝0， 化简得4+4a＝4lnk﹣k． 令g（k）＝4lnk﹣k，， g'（k）＝0，k＝4； g'（k）＞0，0＜k＜4；g'（k）＜0，k＞4， ∴g（k）在（0，4）内单调递增，在（4，+∞）内单调递减， g（k）max＝g（4）＝4ln4﹣4． ∵有两条公切线，∴4+4a＝4lnk﹣k方程有两解， ∴4+4a＜4ln4﹣4∴a＜2ln2﹣2， 故选：D． 练习3．若曲线y＝lnx+1与曲线y＝x2+x+3a有公切线，则实数a的取值范围（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围． 【解答】解：设（x1，y1）是曲线y＝lnx+1的切点，设（x2，y2）是曲线y＝x2+x+3a的切点， 对于曲线y＝lnx+1，其导数为，对于曲线y＝x2+x+3a，其导数为y′＝2x+1， ∴切线方程分别为：，，两切线重合， 对照斜率和纵截距可得：，解得（）， 令h（x）＝﹣ln（2x+1）+x2（），，得：， 当时，h′（x）＜0，h（x）是减函数， 当时，h′（x）＞0，h（x）是增函数， ∴，且当x→时，h（x）→+∞；当x→+∞时，h（x）→+∞； ∴，∴． 故选：D． 题型8 导数的综合问题 例8．已知函数f（x）x3x2﹣2x（a∈R）． （1）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间； （2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围； （3）若过点可作函数y＝f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围． 【分析】（1）先求当a＝3时函数的导数f′（x），并将其因式分解，便于解不等式，再由f′（x）＞0，得函数的单调增区间，由f′（x）＜0，得函数的单调减区间； （2）方法1：由，得f'（x）＝﹣x2+ax﹣2，原问题转化为：对于任意x∈[1，+∞）都有x2﹣ax+2a＞0成立，令h（x）＝x2﹣ax+2a，结合二次函数的性质得到关于a的不等关系，从而求出实数a的取值范围； 方法2：由，得f'（x）＝﹣x2+ax﹣2，问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]max＜2（a﹣1）．下面利用导数工具研究其单调性和最大值，即可得出实数a的取值范围； （3）先将过点可作曲线y＝f（x）的三条切线转化为：方程有三个不同的实数解，下面利用导数研究函数g（x）的零点，从而求得a的范围． 【解答】解：（1）当a＝3时，，得f'（x）＝﹣x2+3x﹣2．…（1分） 因为f'（x）＝﹣x2+3x﹣2＝﹣（x﹣1）（x﹣2）， 所以当1＜x＜2时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增； 当x＜1或x＞2时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减． 所以函数f（x）的单调递增区间为（1，2），单调递减区间为（﹣∞，1）和（2，+∞）．…（3分） （2）方法1：由，得f'（x）＝﹣x2+ax﹣2， 因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a﹣1）成立， 即对于任意x∈[1，+∞）都有﹣x2+ax﹣2＜2（a﹣1）成立， 即对于任意x∈[1，+∞）都有x2﹣ax+2a＞0成立，…（4分） 令h（x）＝x2﹣ax+2a， 要使对任意x∈[1，+∞）都有h（x）＞0成立， 必须满足Δ＜0或（5分） 即a2﹣8a＜0或（6分） 所以实数a的取值范围为（﹣1，8）．…（7分） 方法2：由，得f'（x）＝﹣x2+ax﹣2， 因为对于任意x∈[1，+∞）都有f'（x）＜2（a﹣1）成立， 所以问题转化为，对于任意x∈[1，+∞）都有[f'（x）]max＜2（a﹣1）．…（4分） 因为，其图象开口向下，对称轴为． ①当时，即a＜2时，f'（x）在[1，+∞）上单调递减， 所以f'（x）max＝f'（1）＝a﹣3， 由a﹣3＜2（a﹣1），得a＞﹣1，此时﹣1＜a＜2．…（5分） ②当时，即a≥2时，f'（x）在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由，得0＜a＜8，此时2≤a＜8．…（6分） 综上①②可得，实数a的取值范围为（﹣1，8）．…（7分） （3）设点是函数y＝f（x）图象上的切点， 则过点P的切线的斜率为k＝f'（t）＝﹣t2+at﹣2，…（8分） 所以过点P的切线方程为．…（9分） 因为点在切线上， 所以， 即．…（10分） 若过点可作函数y＝f（x）图象的三条不同切线， 则方程有三个不同的实数解．…（11分） 令，则函数y＝g（t）与t轴有三个不同的交点． 令g'（t）＝2t2﹣at＝0，解得t＝0或．…（12分） 因为，， 所以必须，即a＞2．…（13分） 所以实数a的取值范围为（2，+∞）．…（14分） 练习1．已知函数f（x）x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C． （1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围； （2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围； （3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由． 【分析】（1）先求导函数，然后根据导函数求出其取值范围，从而可求出曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围； （2）根据（1）可知k与的取值范围，从而可求出k的取值范围，然后解不等式可求出曲线C的切点的横坐标取值范围； （3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2，分别求出切线，由于两切线是同一直线，建立等式关系，根据方程的解的情况可得是符合条件的所有直线方程． 【解答】解：（1）f'（x）＝x2﹣4x+3，则f′（x）＝（x﹣2）2﹣1≥﹣1， 即曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[﹣1，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分） （2）由（1）可知，（6分） 解得﹣1≤k＜0或k≥1，由﹣1≤x2﹣4x+3＜0或x2﹣4x+3≥1 得：x∈（﹣∞，2]∪（1，3）∪[2，+∞）；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分） （3）设存在过点A（x1，y1）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x2，y2），x1≠x2， 则切线方程是：y﹣（23x1）＝（4x1+3）（x﹣x1）， 化简得：y＝（4x1+3）x+（2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分） 而过B（x2，y2）的切线方程是y＝（4x1+3）x+（2），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（， 由于两切线是同一直线， 则有：4x1+34x1+3，得x1+x2＝4，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分） 又由22， 即（x1﹣x2）（x1x2）+2（x1﹣x2）（x1+x2）＝0 （x1x2）+4＝0，即x1（x1+x2）12＝0 即（4﹣x2）×412＝0，4x2+4＝0 得x2＝2，但当x2＝2时，由x1+x2＝4得x1＝2，这与x1≠x2矛盾． 所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（16分） 练习2．设直线l：y＝g（x），曲线S：y＝F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”． （Ⅰ）已知函数f（x）＝x﹣2sinx．求证：y＝x+2为曲线f（x）的“上夹线”． （Ⅱ）观察如图： 根据如图，试推测曲线S：y＝mx﹣nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并给出证明． 【分析】（Ⅰ）由f'（x）＝1﹣2cosx＝1得cosx＝0，从而找出直线l与曲线S的两个切点，从而说明直线l与曲线S相切且至少有两个切点，然后根据对任意x∈R，g（x）﹣F（x）≥0，满足“上夹线”的定义，从而得到结论； （Ⅱ）推测：y＝mx﹣nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y＝mx+n，然后①先检验直线y＝mx+n与曲线y＝mx﹣nsinx相切，且至少有两个切点，②检验g（x）≥F（x）是否成立，从而得到结论． 【解答】解（Ⅰ）由f'（x）＝1﹣2cosx＝1得cosx＝0，（1分） 当x时，cosx＝0， 此时，，（2分） y1＝y2，所以（，）是直线l与曲线S的一个切点；（3分） 当x时，cosx＝0， 此时，，（4分） y1＝y2，所以（，）是直线l与曲线S的一个切点；（5分） 所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点； 对任意x∈R，g（x）﹣F（x）＝（x+2）﹣（x﹣2sinx）＝2+2sinx≥0， 所以g（x）≥F（x）（6分） 因此直线l：y＝x+2是曲线S：y＝ax+bsinx的“上夹线”．（7分） （Ⅱ）推测：y＝mx﹣nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程为y＝mx+n（9分） ①先检验直线y＝mx+n与曲线y＝mx﹣nsinx相切，且至少有两个切点：设：F（x）＝mx﹣nsinx ∵F'（x）＝m﹣ncosx，令F'（x）＝m﹣ncosx＝m，得：x＝2kπ±（k∈Z）（10分） 当x＝2kπ时，F（2kπ）＝m（2kπ）+n 故：过曲线F（x）＝mx﹣nsinx上的点2kπ，m（2kπ）+n）的切线方程为： y﹣[m（2kπ）+n]＝m[x﹣（2kπ）]，化简得：y＝mx+n． 即直线y＝mx+n与曲线y＝F（x）＝mx﹣nsinx相切且有无数个切点．（12分） 不妨设g（x）＝mx+n ②下面检验g（x）≥F（x） ∵g（x）﹣F（x）＝n（1+sinx）≥0（n＞0） ∴直线y＝mx+n是曲线y＝F（x）＝mx﹣nsinx的“上夹线”．（14分） 练习3．已知函数f（x）x3+x2﹣aex+2． （1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程； （2）设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x）．若在（a，b）上，f″（x）＞0，则称函数在上为“凹函数”．若函数f（x）x3+x2﹣aex+2是R上的“凹函数”，求实数a的取值范围． 【分析】（1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由斜截式方程，即可得到切线方程； （2）求出f（x）的导数，再求导数，由题意可得二阶导数大于0恒成立，由参数分离和构造函数求得最小值，即可得到a的范围． 【解答】解：（1）函数f（x）x3+x2﹣ex+2的导数为 f′（x）x2+2x﹣ex， 即有曲线y＝f（x）在x＝0处的切线斜率为k＝﹣1， 切点为（0，1）， 则曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣x+1； （2）函数f（x）x3+x2﹣aex+2的导数为 f′（x）x2+2x﹣aex， f″（x）＝﹣x+2﹣aex． 由函数f（x）x3+x2﹣aex+2是R上的“凹函数”， 可得f″（x）＞0恒成立， 即有a的最小值， 由函数y的导数为y′， 当x＞3时，函数的导数大于0，函数递增； 当x＜3时，喊话说的导数小于0，函数递减． 即有x＝3处，函数y取得最小值，且为﹣e﹣3． 则a＜﹣e﹣3． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2 导数的运算 【人教A版选择性必修第二册】 【高考要求】 1.能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 2.能求简单的复合函数。 【学习目标】 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2.掌握导数的四则运算法则； 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 【学习重点】 基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 【学习难点】 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 知识点1 几个常用函数的导数 求下列常见函数的导数 知识点2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 导数运算法则 1. 2. 3. 推论：(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数) 知识点3 复合函数的导函数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． 【典型例题】 例1．求下列函数的导数 （1）， （2）y＝（2x+3）2 （3）y＝xex （4）y＝（x+1）lnx； （5） （6）； （7）y； （8） 例2．求下列函数的导数 （1）y＝e﹣0.05x+1． （2）y＝sin（ωx+φ）（ω，φ是常数）； （3）y＝e﹣x（x2﹣2x+3）． 例3．求下列函数的导数 （1）． （2）； （3）； （4）； 练习一 1.求下列函数的导数 （1）； （2）y＝（1）（1）； （3） （4）y＝xlnx； （5）y； （6） （7）y＝22x+1． （8）y（x+1）． （9）y＝x+ln（1﹣x）； （10）y＝log3（5x﹣1） 2.已知f（x）＝2f′（0）sinx﹣3x，则f′（0）＝（　　） A．3 B．1 C．﹣3 D．﹣1 题型1 基本初等函数的导数 例1．请默写基础初等函数的导数公式： （1）（C）′＝　 　 ，C为常数； （2）（xα）′＝　 　 ，α为常数； （3）（ax）′＝　 　 ，a为常数，a＞0且a≠1； （4）（logax）′＝　 　 ，a为常数，a＞0且a≠1； （5）（sinx）′＝　 　 ； （6）（cosx）′＝　 　 ． 练习1．下列初等函数求导错误的是（　　） A．（sinx）'＝cosx B．（cosx）'＝sinx C．（sin）'＝0 D．（xu）'＝uxu﹣1 练习2．已知f（x）＝lnx，则f′（e）的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．e D． 练习3．下列求导结果正确的是（　　） A． B．（3x）′＝x•3x﹣1 C． D．（sin2x）′＝cos2x 题型2 导数的运算法则 例2．已知函数f（x）＝xsinx+cosx，则的值为（　　） A． B．0 C．﹣1 D．1 练习1．函数的导数是（　　） A． B． C． D． 练习2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）＝x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C． D． 练习3．若f（x）＝2lnx﹣x2，则f′（x）＞0的解集为（　　） A．（0，1） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣1，0）∪（1，+∞） D．（1，+∞） 题型3 复合函数的导数 例3．设，则f′（2）＝（　　） A． B． C． D． 练习1．已知某函数的导数为y′，则这个函数可能是（　　） A．y＝ln B．y＝ln C．y＝ln（1﹣x） D．y＝ln 练习2．函数的导数是（　　） A． B． C． D． 练习3．已知函数f（x）＝ln（x），则f′（3）＝　　 ． 题型4 利用导数求解曲线在某点上的切线方程 例4．设函数，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是（　　） A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．2x+y﹣1＝0 D．x﹣2y＝0 练习1．曲线y＝xlnx在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D． 练习2．曲线y＝x2+lnx﹣1在其与x轴的交点处的切线方程为（　　） A．y＝3x﹣3 B．y＝﹣3x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝﹣2x+2 练习3．已知函数f（x）＝ex+2x，则曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A．y＝2x+1 B．y＝3x+1 C．y＝2x D．y＝3x 题型5 由函数的切线方程求解函数或参数 例5．已知函数f（x）＝lnx+2f′（1）x，g（x）ax+1（a＞0）． （1）求f（x）； （2）若曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线与曲线y＝g（x）也相切，求a． 练习1．已知函数． （1）分别求出f（x）、g（x）的导数； （2）若曲线f（x）在点（1，1）处的切线与曲线g（x）在点（t，g（t））处的切线平行，求t的值． 练习2．若直线y＝2x+5是曲线y＝ex+x+a的切线，则a＝ 　　 ． 练习3．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（　　） A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x 题型6 通过导数求公切线 例6．已知f（x）＝ex（e为自然对数的底数），g（x）＝lnx+2，直线l是f（x）与g（x）的公切线，则直线l的方程为 ________ ． 练习1．已知直线y＝kx+b是曲线y＝ln（1+x）与y＝2+lnx的公切线，则k+b＝　_____　 ． 练习2．已知直线l是曲线y＝ex﹣1与y＝lnx+1的公共切线，则l的方程为 _________ ． 练习3．若曲线y＝ex﹣1与曲线在公共点处有公共切线，则实数a＝（　　） A． B． C． D． 题型7 公切线中的参数取值范围问题 例7．若曲线C1：y＝ax2（a＞0）与曲线C2：y＝ex存在公共切线，则a的取值范围为（　　） A． B． C．[，+∞） D． 练习1．函数y＝x2﹣1和y＝alnx﹣1有相同的公切线，则实数a的取值范围为　　 ． 练习2．已知曲线y＝ex+a与y＝x2恰好存在两条公切线，则实数a的取值范围是（　　） A．[2ln2﹣2，+∞） B．（2ln2，+∞） C．（﹣∞，2ln2﹣2] D．（﹣∞，2ln2﹣2） 练习3．若曲线y＝lnx+1与曲线y＝x2+x+3a有公切线，则实数a的取值范围（　　） A． B． C． D． 题型8 导数的综合问题 例8．已知函数f（x）x3x2﹣2x（a∈R）． （1）当a＝3时，求函数f（x）的单调区间； （2）若对于任意x∈[1，+∞）都有f′（x）＜2（a﹣1）成立，求实数a的取值范围； （3）若过点可作函数y＝f（x）图象的三条不同切线，求实数a的取值范围． 练习1．已知函数f（x）x3﹣2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C． （1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围； （2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标取值范围； （3）试问：是否存在一条直线与曲线C同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由． 练习2．设直线l：y＝g（x），曲线S：y＝F（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；②对任意x∈R都有g（x）≥F（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”． （Ⅰ）已知函数f（x）＝x﹣2sinx．求证：y＝x+2为曲线f（x）的“上夹线”． （Ⅱ）观察如图： 根据如图，试推测曲线S：y＝mx﹣nsinx（n＞0）的“上夹线”的方程，并给出证明． 练习3．已知函数f（x）x3+x2﹣aex+2． （1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程； （2）设函数y＝f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x）．若在（a，b）上，f″（x）＞0，则称函数在上为“凹函数”．若函数f（x）x3+x2﹣aex+2是R上的“凹函数”，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $