精品解析：湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测试卷（12.8）

高二数学限时训练 12.7 一、单项选择题 1. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果. 详解： 因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A. 点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：. 2. 已知顶点在 轴上的双曲线实轴长为，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线方程为，根据已知列出方程组求得，即可求解的值，由此能求出双曲线的焦点． 【详解】设双曲线方程为， 因为双曲线实轴长为，渐近线方程为， 所以，解得，， 则， 所以该双曲线的焦点为， 故选：C 3. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 4. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 5. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 联立，解得 故 联立，解得 故 面积为： 双曲线 其焦距为 当且仅当取等号 的焦距的最小值： 故选：B. 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 6. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得 和的周长，再根据光速相同，且 求解. 【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得， 两式相减得 ， 所以 的周长为 ， 在图②中，的周长为， 因为光速相同，且 ， 所以 ，即 ， 所以， 即的长轴长与的实轴长之比为， 故选：D 7. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴长为，由椭圆及双曲线的定义可得，联立可得，然后由余弦定理得，由基本不等式求解即可. 【详解】如图， 设椭圆长半轴为，双曲线的实半轴长为，由对称性可设点在第一象限， 则根据椭圆及双曲线的定义可得，， 所以，又， 在中，由余弦定理得：， 化简得：，得到，从而有， 整理得，当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 二、多项选择题 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的焦距相同 D. 与的离心率互为倒数 【答案】BCD 【解析】 【分析】将曲线的方程化为标准形式，再结合长轴长的定义，判断A，渐近线的定义判断B，焦距的定义判断C，离心率的定义判断D， 【详解】已知曲线：，：， 设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为， 双曲线的长半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则，，，，，， 选项A，的长轴长为8 ，故A错误； 选项B，的渐近线方程为，故B正确； 选项C，的焦点坐标， 的焦点坐标，与的焦距相同均为4，故C正确； 选项D，的离心率，的离心率，与的离心率互为倒数，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知曲线E：，则下列选项正确的有（ ） A. 若，则E为椭圆 B. 若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C. 若E为双曲线，则 D. 若，则E为焦点在y轴上的双曲线 【答案】BD 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式组即可判断A，再限制其焦点即可判断B；根据方程表示双曲线得到不等式即可判断C， 详解】对于A，若方程表示椭圆，则满足，解得或， 当时，此时方程表示圆，所以A不正确； 对于B中，当方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，所以B正确； 对于C中，当为双曲线时，，则或，所以C错误； 对于D中，当，曲线E：，其中，则焦点在轴上，所以D正确． 故选：BD． 11. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则的离心率为 D. 若，则椭圆方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由双曲线和椭圆共焦点，得到的关系，判断A，根据切线长性质和双曲线的定义得到，再由，进行判断B，根据双曲线和椭圆的定义得到和的关系式，再利用和离心率公式进行求解，判断C，利用勾股定理得，进而求出椭圆方程，判断D. 【详解】A.由双曲线，，所以，故A错误； B. 设的内切圆的圆心为，且圆心与边相切于， 可得，，， 又因为， 所以， 又，解得：，， 可得的横坐标为1，即的横坐标为1，故B正确； C.在椭圆中，，， 则， 由，得，得， 则的离心率，故C正确； D.因为，， 则，， 若，则， 又，，解得，， 则椭圆方程为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出，结合双曲线第一定义求出，即可得到的值，从而求出离心率. 【详解】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入 得，即，故，， 又，得，解得，代入得， 故，即，所以. 故答案为： 13. 已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】由双曲线的定义及圆外一点到圆上点的距离的最小值相关性质可得. 【详解】双曲线的方程为，则，双曲线焦点为、， ， 圆心为，半径为， 则， 当、、共线时，等号成立； 又， 当、、共线时，等号成立， 的最小值为， 故答案为:． 14. 在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率. 【详解】设,,, 依题意得, 即, 两边平方化简得,则圆心为,半径, 当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为, 解得； 当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为, 解得, 故双曲线的离心率为. 故答案为: 【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题. 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程为，且经过点，直线交双曲线于两点，连结. （1）求双曲线方程； （2）求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程设出双曲线方程，代入已知点，求出方程； （2）方程联立韦达定理设而不求，求向量的数量积即可． 【详解】解：（1）由双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的方程为：， 将点代入双曲线方程得， 所以双曲线的方程为： （2）联立得 设， 则， ∴． 【点睛】本题考查渐近线方程与双曲线方程的关系，以及方程的联立设而不求的方法的应用，注意，以为渐近线的双曲线系方程可设为，为参数且不为0． 16. 已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由虚轴长为，和渐近线方程为，求得和的值，即可； （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值，即可． 【小问1详解】 ∵虚轴长为4， ∴，即， ∵直线为双曲线C的一条渐近线， ∴，∴， 故双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 由题意知，，， 由题可知，直线斜率不能为零，故可设直线的方程为， 设，， 联立，得， ，， ， 直线的斜率，直线的斜率， ． 17. 已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点． （1）求双曲线C的方程． （2）若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值． （3）若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，解方程组即可求出结果； （2）设出点的坐标，结合根据两点求斜率，化简整理即可求出结果； （3）设出直线的方程，结合韦达定理得到，从而可得，即可得到结果，注意检验斜率不存在的情况即可. 【小问1详解】 由题意得，解得 所以双曲线C的方程为． 【小问2详解】 证明：设点A的坐标为，则由对称性知点B的坐标为． 设P（x，y），则， 由得， 所以． 【小问3详解】 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 与双曲线方程联立消y得， 所以，得且， 所以 ． 假设存在实数m，使得， 则对任意的恒成立， 所以，解得． 所以当时，． 当直线l的斜率不存在时，由A（2，3），B（2，－3）及M（－1，0）知结论也成立． 综上，存在M（－1，0），使得． 【点睛】（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学限时训练 12.7 一、单项选择题 1. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A B. C. D. 2. 已知顶点在 轴上双曲线实轴长为，其两条渐近线方程为，该双曲线的焦点为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 6. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（ ） A. B. C. D. 7. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 8. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 二、多项选择题 9. 已知曲线，，则（ ） A. 长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的焦距相同 D. 与的离心率互为倒数 10. 已知曲线E：，则下列选项正确的有（ ） A. 若，则E为椭圆 B. 若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C. 若E为双曲线，则 D. 若，则E为焦点在y轴上的双曲线 11. 如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（ ） A. B. 的内切圆与轴相切于点 C. 若，则离心率为 D. 若，则椭圆方程为 三、填空题 12. 设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为___________． 13. 已知双曲线的方程为，如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线的右支上，则的最小值为_______． 14. 在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，若双曲线渐近线方程为，且经过点，直线交双曲线于两点，连结. （1）求双曲线方程； （2）求的值. 16. 已知双曲线的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. （1）求双曲线的标准方程； （2）记双曲线的左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点(点在第一象限)，记直线斜率为，直线斜率为，求的值. 17. 已知双曲线C：经过点（2，3），两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点． （1）求双曲线C的方程． （2）若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线PA、PB的斜率、均存在．求证：为定值． （3）若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点M（m，0），使得直线l绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求实数m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $