第二章 圆的基本性质 习题课件 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

第2章　圆 2．2 圆心角、圆周角 2.2.1　圆心角 返回 B 1．下列图形中的角是圆心角的是(　　) 2 2．下列说法中，正确的是(　　) A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．相等的圆心角所对的弦相等 D．相等的弦所对的圆心角相等 B 返回 3 3．[2025长沙望城区月考]如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于(　　) A．100° B．110° C．120° D．135° 返回 C 4 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，以点C为圆心，BC长为半径的圆分别交AB，AC于点D，E，则弧BD所对的圆心角的度数为________． 40° 返回 5 3 6 返回 ∵OB＝OC，∠BOC＝36°，∴∠OBC＝72°＝∠AOB.∴BC∥AD，故③正确．∵∠AOB＝∠COD＝72°，∴AB＝CD，故④正确．综上，正确结论的个数是3. 6. 如图，点A、点B、点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC.若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝________. 20° 9 返回 3 11 返回 8．如图，分别过⊙O的直径AB上的点M，N作弦CD，EF，若CD∥EF，AC＝BF.求证： 14 15 (2)AM＝BN. 返回 16 17 返回 【答案】 B 18 D 返回 19 20 【答案】 B 返回 21 105°或15° 22 23 返回 点C的位置有两种情况，如图①时，∠BAC＝∠CAO＋∠OAB＝60°＋45°＝105°；如图②时，∠BAC＝∠CAO－∠OAB＝60°－45°＝15°.综上，∠BAC的度数为105°或15°. 24 13. 如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示的位置，第2秒点P位于点B的位置，…，则第2 025秒点P所在位置的坐标为________． 返回 14．如图，⊙O的半径为10，A，E，B三点均在圆上，∠AOB＝45°，点C，D分别在OB，OA上．若四边形OCED为菱形，则菱形OCED的面积为____________． 【点拨】如图，连接OE，CD交于点G，过点D作DF⊥OB于点F，则∠DFO＝∠DFC＝90°.∵∠AOB＝45°，∴△ODF是等腰直角三角形． 返回 【解】如图，作A关于MN的对称点A′， 根据圆的对称性，得A′必在圆上， 连接BA′交MN于P，则PA＝PA′， ∴PA＋PB＝PA′＋PB＝A′B， 此时PA＋PB的值最小，最小值为A′B的长． 连接OA，OA′，OB. 返回 16．如图，在⊙O中，AB为直径，CD与AB交于点E，CD＝CB，过点O作OF∥CD，交BC于点F. (1)求证：CO平分∠DCB； (2)若⊙O的半径为6，CF＝4，求EC的长； 【解】如图，过O作ON⊥BC于N，∴CN＝BN.∵OF∥CD，∴∠DCO＝∠FOC，△BFO∽△BCE.∵∠DCO＝∠BCO，∴∠FOC＝∠FCO，∴CF＝OF＝4.又∵OC＝6，∴42－FN2＝ON2＝62－(4＋FN)2. 返回 5．⊙O上顺次有A，B，C，D四点，，，，所对的圆心角的度数之比为2∶1∶2∶5.则有下列结论：①AC是⊙O的直径；②AD是⊙O的直径；③BC∥AD；④AB＝CD.其中正确结论的个数是________． 【点拨】∵，，，所对的圆心角的度数之比为2∶1∶2∶5，∴四条弧所对的圆心角度数分别为72°，36°，72°，180°，如图．∴AD是⊙O的直径， 故①错误，②正确． 【点拨】如图，连接AO，BO，∴OA＝OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA.∵AB＝BC， ∴∠BOC＝∠AOB.∴∠OBA＝(180°－∠AOB)＝ (180°－∠BOC) ＝∠OBC＝∠ABC. ∵∠ABC＝40°，∴∠OCB＝∠OBC＝20°.故答案为20°. 7．如图，A，B是圆O上的两点，∠AOB＝120°，C是的中点，延长OA至P，使得AP＝OA，连接PC，若PC＝3，则BC＝________. 【点拨】连接OC，如图．∵∠AOB＝120°，C是的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°.又∵OA＝OC＝OB，∴△AOC与△BOC都是等边三角形，∴AC＝OA＝OC＝BC，∠OAC＝∠ACO＝60°. ∵AP＝OA，∴AP＝AC，∴∠P＝∠ACP＝∠OAC＝30°， ∴∠OCP＝90°.设圆O的半径为x，则OC＝x，OP＝2x， ∴(2x)2－x2＝(3)2，∴x＝3，∴BC＝3. (1)＝； 【证明】如图，连接OC，OF. ∵AC＝BF，∴∠COA＝∠BOF. ∴∠COB＝∠FOA.∴＝. 【证明】∵OC＝OA＝OF＝OB，∴∠CAB＝∠ACO＝(180°－∠COA)，∠BFO＝∠ABF＝(180°－∠BOF)． ∵∠COA＝∠BOF，∴∠CAB＝∠ABF.∵CD∥EF，∴∠AMC＝∠ANE.又∵∠BNF＝∠ANE，∴∠AMC＝∠BNF. 又∵AC＝BF，∴△AMC≌△BNF.∴AM＝BN. 9．[2025北京西城区月考]如图，在⊙O中，满足＝2，则下列对弦AB与弦CD大小关系表述正确的是(　　) A．AB>2CD B．AB<2CD C．AB＝2CD D．无法确定 【点拨】如图，取的中点E，连接AE，BE，则＝2＝2.∵＝2，∴＝＝.∴AE＝EB＝CD.∵AE＋EB>AB，∴2CD>AB. 10．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，则所对的圆心角的度数是(　　) A．60° B．75° C．80° D．90° 11．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则所对的圆心角的度数为(　　) A．40° B．50° C．60° D．70° 【点拨】连接OD，如图．∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，∴BD＝BO.∵OB＝OD，∴BD＝BO＝DO，∴△OBD为等边三角形，∴∠DOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOB－ ∠DOB＝110°－60°＝50°， ∴所对的圆心角的度数为50°.故选B. 12. 已知半径为5的⊙O中，弦AB＝5，弦AC＝5，则∠BAC的度数为___________． 【点拨】如图，连接OC，OA，OB.∵OC＝OA＝AC＝5，∴△OAC是等边三角形，∴∠CAO＝60°.∵OA＝OB＝5，AB＝5，∴OA2＋OB2＝50＝AB2，∴△OAB是等腰直角三角形．∴∠OAB＝45°. 【点拨】如图，过点P作PE⊥OA于点E.∵OP＝1，∠POE＝45°，∴OE＝PE＝.∴第1秒点P的坐标为.根据题意可知，第2秒点P的坐标为(0，1)， 第3秒点P的坐标为，第4秒点P的坐标为(－1，0)，第5秒点P的坐标为，第6秒点P的坐标为(0，－1)，第7秒点P的坐标为，第8秒点P的坐标为(1，0)，第9秒点P的坐标为，…. 由此可知，点P的坐标每8秒循环一次．∵2 025÷8＝253……1，∴第2 025秒点P所在位置的坐标为. 50－50 设OF＝x，则DF＝x，OD＝x.∵四边形OCED是菱形，∴OE⊥CD，OG＝EG＝OE＝5，CG＝DG＝CD，OC＝OD＝x.∴∠ODG＝∠DCF. ∵∠DFC＝∠OGD＝90°，∴△DFC∽△OGD.∴＝，即＝.∴DC＝x2.∴CG＝x2. 在Rt△OCG中，52＋＝(x)2，解得x2＝50＋25(舍去)或x2＝50－25，∴菱形OCED的面积为CD·OE＝×x2×10＝50－50. 15. 如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B是的中点，P是直径MN上一动点，⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值为多少？ ∵＝，∴∠A′ON＝∠AON＝×180°＝60°. 易知＝，∴∠BON＝∠AON＝30°.∴∠A′OB＝90°. 又∵OA′＝OB＝1， ∴A′B＝＝＝， 即AP＋BP的最小值是. 【证明】如图，连接OD.∵CD＝CB， ∴∠BOC＝∠DOC.∵OD＝OC＝OB， ∴∠DCO＝(180°－∠DOC)， ∠BCO＝(180°－∠BOC)． ∴∠DCO＝∠BCO.∴CO平分∠DCB. 解得FN＝，∴CN＝4，∴BC＝9， ∴BF＝5.∵△BFO∽△BCE，∴＝，∴＝，∴CE＝. (3)设＝k，△COE的面积为S1，△COF的面积为S2，△BOF的面积为S3.若S1·S3＝3S22，求k的值． 【解】如图，过O作OM⊥CD于M. ∵CO平分∠DCB，ON⊥BC，∴OM＝ON.∵S1·S3＝3S22，∴CE·OM·BF·ON＝3×，∴CE·BF＝3CF2， ∵CF＝OF，＝，∴＝，∴BF·CF＋ CF2＝BF·CE，∴CE·BF＝3CF2＝3(BF·CE－BF·CF)， ∴＝.∴设CF＝2m，则CE＝3m， ∴OF＝2m，由＝可得BF＝4m，BC＝6m. ∵OC＝OB，∠FCO＝∠FOC，∴∠FCO＝∠FBO＝ ∠FOC.又∵∠FCO ＝∠OCB，∴△CFO∽△COB， ∴＝，∴CO2＝CF·CB＝2m×6m＝12m2.∵CO>0，∴CO＝2m＝OB，∴k＝＝＝. $ 第2章　圆 2．4 过不共线三点作圆 返回 D 1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 2 C 返回 3 3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A(3，6)，B(1，4)，C(1，0)，则△ABC外接圆圆心的坐标是(　　) A．(4，2) B．(4，3) C．(5，3) D．(5，2) 返回 D 4 4．如图，A，O在网格中小正方形的顶点处，每个小正方形的边长为1，在此网格中找两个格点(即小正方形的顶点)B，C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是________． 返回 5 6 返回 【点方法】三角形外心的位置：锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心是斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部 6．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，当点P的坐标为________时，过P，A，B不能作出一个圆． (2，－2) 10 返回 7．如图是一个破损的轮子，已知弧上三点A，B，C. (1)画出该轮子的圆心； 【解】如图所示，分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心. 13 (2)若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16 cm，腰AB＝10 cm，求该轮子未破损前的面积． 【解】如图，连接AO，OB， 设AO与BC交于点D. 易知OA垂直平分BC. ∵BC＝16 cm，∴BD＝8 cm. 14 返回 16 返回 【点易错】利用等腰三角形的性质，结合勾股定理计算时，要就外心是否在三角形内部进行分类讨论，否则就会漏解． 【答案】 C 20 21 22 返回 【答案】 A 23 6 24 25 返回 11．BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F，M是BC的中点，⊙O是△ABC的外接圆． (1)如图①，点B，C，D，E是否在以点M为圆心的同一个圆上？请说明理由． 28 【解】点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上． 理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°. ∴点D，E都在以BC为直径的圆上． 又∵M是BC的中点， ∴点B，C，D，E在以点M为圆心的同一个圆上． 29 (2)如图②，若AB＝8，CF＝6，求△ABC外接圆的半径长． 【解】如图，连接AF并延长交BC于点G，连接BO并延长交⊙O于点H，连接AH，CH. 30 ∵BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于点F， ∴CE⊥AB，易得AG⊥BC. ∵BH是⊙O的直径， ∴∠BAH＝∠BCH＝90°. ∴BA⊥AH，BC⊥CH.∴AG∥CH，AH∥CE. ∴四边形AFCH是平行四边形．∴AH＝CF＝6. 返回 32 12. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝45°，过点B作BC的垂线，交⊙O于点D，并与CA的延长线交于点E，作BF⊥AC，垂足为M，交⊙O于点F. 33 (1)求证：BD＝BC； 【证明】如图，连接DC， 则∠BDC＝∠BAC＝45°. ∵BD⊥BC，∴∠DBC＝90°， ∴∠BCD＝90°－∠BDC＝ 45°. ∴∠BCD＝∠BDC.∴BD＝BC. 34 (2)若⊙O的半径r＝3，BE＝6，求线段BF的长． 35 返回 36 13. 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫作此三角形的准外心．例：已知PA＝PB，则点P为△ABC的准外心(如图①)． 37 (2)如图③，若△ABC为直角三角形，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，准外心P在AC边上，试探究PA的长． 41 【解】∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，∴AC＝12. 若PB＝PA，连接PB.设PB＝PA＝x，则CP＝12－x， 在Rt△PBC中，PB2＝CP2＋BC2，即x2＝(12－x)2＋52， 返回 42 2. 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，若AB＝3，则⊙O的半径是(　　) A. B. C. D. 3 5. 已知△ABC的三边长a，b，c满足|c－4|＋b＋a2－10a＝4－30，则△ABC的外接圆半径为________． 【点拨】∵|c－4|＋b＋a2－10a＝4－30， ∴(b＋1－4＋4)＋(a2－10a＋25)＋|c－4|＝0. ∴(－2)2＋(a－5)2＋|c－4|＝0. ∴－2＝0，a－5＝0，c－4＝0，解得a＝5，b＝3，c＝4. ∵52＝32＋42，∴a2＝b2＋c2.∴△ABC是直角三角形，斜边长为a.∴△ABC的外接圆半径为a＝. 【点拨】当P，A，B三点共线时，过这三点不能作出一个圆．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，将点A(1，0)，B(0，2)的坐标分别代入，得解得∴直线AB的表达式为y＝－2x＋2. 解方程组得∴当点P的坐标为(2，－2)时，过P，A，B三点不能作出一个圆． 又∵AB＝10 cm，∴AD＝6 cm. 设该轮子的半径为R cm，则在Rt△BOD中， OD＝(R－6) cm，∴R2＝82＋(R－6)2，解得R＝. ∴该轮子未破损前的面积为 cm2. 8. 在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，已知⊙O是△ABC的外接圆，且⊙O的半径为5，则AB的长为(　　) A. B．3 C.或3 D.或2 【点拨】如图①所示，过点A作AE⊥BC于点D，交⊙O于点E，连接OB，易证AE必过点O.∵AB＝AC， BC＝6，⊙O的半径为5，∴OA＝BO＝5，BD＝DC＝3，∴DO＝＝4.∴AD＝5＋4＝9. ∴AB＝＝＝3； 如图②所示，过点A作AE⊥BC于点D，交⊙O于点E，连接OB，易证AE必过点O.∵AB＝AC，BC＝6，⊙O的半径为5，∴OA＝BO＝5，BD＝DC＝3，∴DO＝＝4，∴AD＝5－4＝1， ∴AB＝＝＝. 综上，AB的长为3或. 9．如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G，H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是(　　) A. B. C．5 D. 【点拨】如图，连接AG，易知AG经过点C，E.作线段AG的垂直平分线和线段HG的垂直平分线交于点O，线段HG的垂直平分线交HG于点K，交EF于点M，连接OG，则点A，G，H 三点刚好在以点O为圆心， OG为半径的圆上． 由AB＝2，CD＝3，EF＝5，易知AC＝2，EC＝3，EG＝5，∴AG＝10.∵AC＋EC＝EG，∴点E为线段AG的中点．∴点E在线段AG的垂直平分线上． ∴OE⊥AG.∵∠GEF＝45°，∴∠OEF＝45°.易知OM垂直平分EF，∴△OEM是等腰直角三角形，∴EM＝OM＝EF.∵EF＝5，∴OM＝.易知OK＝5＋＝. 又易知KG＝，∴OG＝＝＝.故选A. 10． 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4.过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点(点P不与B，E重合)，则CP＋BP的最小值为________． 【点拨】如图所示，过点P作PD⊥AB于点D，连接CO并延长交AB于点F，连接AO.∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，∴∠BAC＝60°， ∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝30°. ∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4，∴OA＝ OB＝4，易得CF⊥AB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠OAE＝30°.∵BE⊥AC，∴OE＝OA＝2，∴BE＝BO＋EO＝6.∵PD⊥AB，∠ABE＝30°，∴PD＝PB，∴CP＋BP＝CP＋PD≥CF，∴CP＋BP的最小值为CF的长度． ∵△ABC是等边三角形，BE⊥AC，CF⊥AB，∴CF＝BE＝6，∴CP＋BP的最小值为6. 在Rt△BAH中，AB＝8，AH＝6， ∴BH＝＝＝10.∴BO＝5. ∴△ABC外接圆的半径长为5. 【解】如图，连接CF.∵∠DBC＝90°，∴CD为⊙O的直径，∴CD＝2r＝6. ∴BC＝CD·sin∠BDC＝6×sin 45°＝6×＝3.∴EC＝＝＝3. ∵BF⊥AC，∴∠BMC＝90°＝∠EBC.又∵∠BCM＝∠ECB，∴△BCM∽△ECB.∴＝＝.∴BM＝＝＝2，CM＝＝＝.∵∠F＝∠BDC＝45°，BF⊥AC，∴∠MCF＝45°＝∠F.∴MF＝MC＝.∴BF＝BM＋MF＝2＋. (1)如图②，CD为正三角形ABC的高，准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度数． 【解】若PB＝PC，连接PB，则∠PCB＝∠PBC. ∵CD为等边三角形ABC的高，∴∠BDP＝90°，AD＝BD＝AB，∠PCB＝∠ACB＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠PBC＝30°，∴∠PBD＝30°，∴PD＝DB＝AB.与已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC； 同理，PA＝PC也不满足题意； 若PA＝PB，连接PA，PB.∵CD为等边三角形ABC的高，∴AD＝BD＝AB，∠ADP＝∠BDP＝90°. 又∵PD＝AB，∴PD＝AD＝BD， ∴∠APD＝∠BPD＝45°，故∠APB＝90°. ∴x＝，∴PA＝；若PA＝PC，则PA＝6； 若PC＝PB，易知此情况不可能．综上，PA＝或6. $ 第2章　圆 2．2 圆心角、圆周角 2.2.2　圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论1 返回 C 1．如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(　　) A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC 2 2．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OBC＝18°，则∠A的度数为(　　) A．18° B．36° C．72° D．144° C 返回 3 3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是(　　) A．45° B．60° C．65° D．70° 4 返回 【答案】D 4. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan ∠ADC的值为________． 6 返回 5．如图是一个直径为AB的量角器(半圆O)，零刻度落在点A，等腰直角三角形PQB如图放置，若点C在量角器上的读数为26°，则点D在量角器上的读数为________． 116° 8 返回 【点拨】如图，连接OC，OD.∵△PBQ是等腰直角三角形，∠BPQ＝90°，∴∠PBQ＝45°，∴∠COD＝2∠PBQ＝90°.∵点C在量角器上的读数为26°. ∴∠AOC＝26°， ∴∠AOD＝∠AOC＋∠COD＝116°， ∴点D在量角器上的读数为116°. 6. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连接AC. 10 (1)求证：AC＝CG； 【证明】∵DF⊥CG，CD⊥AB， ∴∠DEB＝∠BFG＝90°. 又∵∠DBE＝∠GBF，∴∠D＝∠G. ∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠G.∴AC＝CG. 11 12 返回 7．如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，P为OB上一点(P不与B重合)，连接CP.若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是(　　) A．70° B．105° C．125° D．155° 14 【答案】D 返回 16 【答案】A 返回 9．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔A，B，通告所有船只不要进入以AB为弦的弓形区域(阴影部分)内(含边界)，以免触礁．如图所示，现有一艘货轮P正向暗 礁区域靠近，当∠APB________时， 才能避开暗礁． <55° 返回 19 10．如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→B→O的路线匀速运动，设∠APD＝y°，那么y与点P运动的时间x(s)的关系图是________．(填序号) ② 20 【点拨】当点P沿O→C运动时，当点P在点O的位置时，y＝90，当点P在点C的位置时，易知y＝45，∴y由90逐渐减小到45；当点P沿C→B运动时，根据圆周角定理，可得y＝45，不变；当点P沿B→O运动时，y由45逐渐增加到90. 返回 21 11．如图所示，点A，B，C在⊙O上，且圆心O在△ABC外部，OD⊥BC交⊙O于点D.则下列结论：①∠ABC＝∠ADC；②BC＝2CD；③AD平分∠BAC；④AB＝CD.其中正确结论的序号是________． ①③ 22 【点拨】根据在同一个圆中，同弧所对的圆周角相等，可得∠ABC＝∠ADC，故①正确；如图，设OD，BC的交点为E，∵OD⊥BC，∴∠CED＝∠BED＝90°，∴CD为Rt△CED的斜边， ∴CD>CE.易得BE＝CE， ∴2CD>BC，故②错误； 23 ∵BE＝CE，∠DEB＝∠DEC＝90°，DE＝DE，∴△BDE≌△CDE(SAS)，∴BD＝CD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC，故③正确；设AD，BC的交点为F，∵∠ABF＝∠CDF，∠BAF＝∠DCF，∴△ABF∽△CDF，故不一定能推出AB＝CD，故④错误．故答案为①③. 返回 24 25 26 返回 27 13. 在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC所在直线翻折交AB于点D，连接CD. (1)如图①，若点D与圆心O重合，AC＝2，求⊙O的半径； (2)如图②，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，求∠DCA的度数． 返回 (1)若BD＝5，求BF的长． (2)设G是BD的中点，探索：在圆O上是否存在一点P(不同于点B)，使得PG＝PF？并说明理由． 【解】在圆O上存在一点P，使PG＝PF.理由：如图，过点B作AE的垂线，与⊙O的交点即为所求的点P. 返回 ∴PG＝PF，即在圆O上存在一点P，使PG＝PF. 【点拨】连接OD.∵∠DAB＝25°，∴∠BOD＝ 2∠DAB＝50°.∴∠COD＝90°－50°＝40°.又∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝(180°－∠COD)＝70°. 【点拨】连接AC，BC.∵∠ADC和∠ABC所对的弧都是，∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝3，∴tan∠ABC＝＝，∴tan ∠ADC＝. (2)若CD＝4，OG＝5，求⊙O的半径． 【解】如图，连接OC，OD.设⊙O的半径为r， 则AG＝OA＋OG＝r＋5. ∵CA＝CG，CD⊥AB，OC＝OD， ∴AE＝EG＝，EC＝ED＝2，∴OE＝AE－OA＝. 在Rt△OEC中，∵OC2＝OE2＋EC2， ∴r2＝＋(2)2，解得r1＝3，r2＝－(舍去)， ∴⊙O的半径为3. 【点拨】连接BC.∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝ 2∠BAC＝140°.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝＝20°.∵P为OB上一点(P不与B重合)，∴0°≤∠OCP＜20°. ∵∠BPC＝∠BOC＋∠OCP＝140°＋∠OCP，∴140°≤∠BPC＜160°.故选D. 8．如图，⊙O的半径长为2 cm，点A，B，C是⊙O的三等分点，D为圆上一点，连接AD，且AD＝2cm，连接CD交AB于点E，则∠BED的度数为(　　) A．75° B．65° C．60° D．55° 【点拨】如图所示，连接OD，OA，BD.∵⊙O的半径长为2 cm，∴OA＝OD＝2 cm.∵AD＝2 cm， ∴OA2＋OD2＝22＋22＝8＝AD2， ∴△AOD是等腰直角三角形， 且∠AOD＝90°，∴∠DBE＝∠AOD＝45°. ∵点A，B，C是⊙O的三等分点，∴∠BDC＝180°×＝60°，∴∠BED＝180°－∠BDE－∠DBE＝75°.故选A. 12．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为的中点，E是直径AB上一动点，则CE＋DE的最小值为________． 【点拨】如图，作点D关于直线AB的对称点D′，连接OC，OD，OD′，连接CD′与AB交于点E，∴DE＝D′E，＝.∴CE＋DE＝CE＋D′E＝CD′，此时CE＋DE的值最小，最小值为CD′的长． ∵点C在⊙O上，∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°.∵点D是的中点，∴＝.∴∠COD＝ ∠DOB＝30°.∵＝，∴∠BOD′＝∠DOB＝30°. ∴∠COD′＝90°.∵AB＝2，∴OC＝OD′＝1. ∴在Rt△COD′中，CD′＝＝＝.∴CE＋DE的最小值为. 【解】过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEA＝90°.易得AE＝AC＝1.设⊙O的半径为r，则OA＝r.∵翻折后点D与圆心O重合，∴OE＝r.∴AE＝＝r.∴r＝1，解得r＝.故⊙O的半径为. 【解】连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠AOB＝180°.∴∠ACB＝∠AOB＝90°.又∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°－∠BAC＝65°.由折叠的性质，得＋＝，∴易得∠DCA＋∠BAC＝∠B.∴∠DCA＝∠B－∠BAC＝40°. 14．如图，已知圆O上依次有A，B，C，D四个点，＝，连接AB，AD，BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE＝AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF. 【解】连接AC，如图．∵AB＝BE，∴点B为AE的中点． ∵F是EC的中点， ∴BF为△EAC的中位线， ∴BF＝AC. ∵＝，∴＝，∴BD＝AC，∴BF＝BD. ∵BD＝5，∴BF＝. ∵BF为△EAC的中位线，∴BF∥AC，∴∠FBE＝∠CAE. ∵＝，∴∠CAB＝∠DBA.∴∠FBE＝∠DBA. ∵BP⊥AE，∴∠DBA＋∠GBP＝∠FBE＋∠FBP＝90°. ∴∠GBP＝∠FBP. ∵G为BD的中点，∴BG＝BD. 又∵BF＝AC，BD＝AC，∴BG＝BF. 在△PBG和△PBF中， ∴△PBG≌△PBF(SAS)， $ 第2章　圆 *2.3 垂径定理 返回 A 1． 下列命题正确的有(　　) ①平分弦所对的两条弧的直线必垂直于弦； ②垂直于弦的直线平分弦； ③平分弦的直线必平分弦所对的两条弧； ④与直径不垂直的弦不能被该直径平分； ⑤平分弦的直径必平分弦所对的两条弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2 2．如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(　　) A．61° B．63° C．65° D．67° B 返回 3 返回 D 4 4. 如图， AB是 ⊙O的弦，OC⊥AB于点C，连接OB，点P是半径OB上任意一点，连接AP.若OB＝5，OC＝3，则 AP的长可能是______________．(写出一个符合条件的数值即可) 5(答案不唯一) 返回 5 5．[2025首师大附中月考]如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A过原点O，分别交y轴、x轴于点B，C.若点B的坐标为(0，6)，AB＝5，则点C的坐标为________． (8，0) 6 返回 6. ⊙O的半径为5，弦AB∥CD，AB＝6，CD＝8，则AB与CD间的距离为________． 7或1 9 【点拨】当AB，CD在点O异侧时，如图，过点O作OE⊥AB于点E，延长EO，交CD于点F，连接OA，OC, 则AE＝BE.∵AB∥CD，∴OF⊥CD.∴CF＝DF.∵AB＝6，CD＝8，∴AE＝3，CF＝4. 返回 【点易错】在无图的题目中，要根据题意画出图形，思考要全面，避免忽略图的对称性而漏解． 7. 平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热．如图，它的截面图可以近似看作是由⊙O去掉两个弓形后与 矩形ABCD组合而成的图形，其中BC∥MN， 若⊙O的半径为25，AB＝36，BC＝14， MN＝30，求该平底烧瓶的高度． 13 【解】如图，连接OB，OM，过点O作EF⊥BC， 交BC于点E，交MN于点F，则BE＝CE. ∵BC∥MN，∴EF⊥MN.∴MF＝NF. ∵BC＝14，MN＝30，∴BE＝7，MF＝15. 返回 16 【点拨】当题中未给出条件而给出的图形比较特殊时，不能想当然地认为结论成立．如本题图中看似CD平分线段OB，但并不能默认OE＝BE. 返回 【答案】C 5 18 返回 19 20 21 22 返回 11. 根据素材解决问题． 设计货船通过拱桥的方案 素材1：有一座拱桥，如图①是其圆弧形桥拱的示意图，测得水面宽AB＝16 m，拱顶离水面的距离CD＝4 m. 　　 24 问题解决 任务1：求圆弧形桥拱的半径长. 设圆弧形桥拱的半径为r m， 则OD＝(r－4)m， ∴(r－4)2＋82＝r2，解得r＝10， 即圆弧形桥拱的半径长为10 m. 任务2：根据图②中的状态，货船能否通过拱桥？若能，最多还能卸载多少吨货物？若不能，至少要增加多少吨货物才能通过？ 30 返回 31 12．如图，已知AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，MN为直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F. (1)连接AM，则AM＝______，EF＝______． 7 32 (2)若点P是MN上一动点，试求PA＋PC的最小值． 【解】如图，作CH⊥AB于点H，连接BC交MN于点P′，连接P′A.易知PA＋PC的最小值为P′A＋P′C的值，即BC的长． 34 返回 35 (3)当点P在AB上运动时，(2)中的结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围． 【解】(2)中的结论不改变． 当点P在OB上时，作OH⊥MN于点H，连接OM，如图②， 返回 3．如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为(　　) A．2 B．8 C．2 D．2 【点拨】如图所示，过点A作AE⊥y轴于点E，作AF⊥x轴于点F，∴四边形OEAF是矩形．∴AE＝OF. ∵B(0，6)，∴OB＝6.∵AE⊥OB， ∴BE＝OE＝OB＝×6＝3. ∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4. ∴OF＝4.∵AF⊥OC，∴OF＝CF＝4.∴OC＝OF＋CF＝4＋4＝8.∴C(8，0)． ∴在Rt△OAE中，OE＝＝＝4，在Rt△OCF中，OF＝＝＝3.∴AB与CD之间的距离为OE＋OF＝7；当AB，CD在点O同侧时，同理可得AB与CD之间的距离为OE－OF＝1. 综上，AB与CD之间的距离为7或1. 在Rt△BEO和Rt△MOF中，OB＝OM＝25，由勾股定理得OE＝＝24，OF＝＝20，∴该平底烧瓶的高度为AB＋OE＋OF＝36＋24＋20＝80. 8. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，连接OC，OD，则下列结论：①∠COE＝∠DOE；②CE＝DE；③＝；④OE＝BE.其中，一定正确的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图①，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，BC，D是上的动点，过点D作DE⊥AC于点E.设AE＝x，DE＝y，y与x之间的函数关系的图象如图②所示，若P是图象的最高点，则AB的长是________． 【点拨】过点O作OH⊥AC于点G，交⊙O于点H，由题意可知此时AG＝2，HG＝1.设OG＝a，则OA＝OH＝a＋1.在Rt△AOG中，由勾股定理可列方程，求出a＝，得OA＝，从而可求出AB. 10．如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为____________________． 2－或2＋或2 【点拨】∵AB为直径，DE为弦，∴DE≤AB.∴当DE的长为正整数时，DE＝1或2.当DE＝2时，即DE为⊙O的直径．∵DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，∴此时F与点A重合．∴FB＝2； 当DE＝1，且点C在线段OB上时，如图①，连接OD，则OD＝AB＝1.∵DE⊥AB，∴DC＝DE＝. ∴OC＝＝. ∴BC＝OB－OC＝. ∴由翻折可知BF＝2BC＝2－； 当DE＝1，且点C在线段OA上时，如图②，连接OD，同理可得BC＝， ∴BF＝2BC＝2＋.综上， 线段FB的长为2－或2＋或2. 素材2：如图②，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF＝3 m，EH＝10 m．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度y(m)与货船增加的载货量x(t)满足的函数关系式为y＝x. 【解】由题意可得CD垂直平分AB， 则AD＝BD＝AB＝8 m.记圆心为点O，延长CD，则点O在CD的延长线上，连接AO，如图． 【解】如图，当E，H在上时，易知AB∥EH. ∵AB⊥CD，∴EH⊥CD. 记EH与OC的交点为M，连接OE，则EM＝EH＝5 m， ∴OM＝＝5 m. ∵OC＝10 m，CD＝4 m，∴OD＝OC－CD＝6 m. ∴DM＝(5－6) m＜3 m.∴货船不能通过拱桥． 为了能顺利通过拱桥，船至少需要下降的高度为3－(5－6)＝(9－5) m.∵船身下降的高度y(m)与货船增加的载货量x(t)满足的函数关系式为y＝x， ∴当y＝9－5时，x＝100×(9－5)＝900－500. ∴至少需要增加(900－500)t的货物． 2 【点拨】如图，连接OA，OC.∵AB＝8，AB⊥MN，∴AE＝BE＝AB＝4.∴在Rt△AEO中，OE＝＝3.∴ME＝MO－OE＝2.∴在Rt△AEM中，AM＝＝2.∵CD＝6，CD⊥MN，∴CF＝CD＝3. ∴OF＝＝4.∴EF＝OE＋OF＝7. ∵AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，CH⊥AB于点H， ∴∠CHE＝∠HEF＝∠CFE＝90°. ∴四边形CHEF是矩形．∴CH＝EF＝7，EH＝CF＝3. ∴BH＝BE＋EH＝4＋3＝7. ∴在Rt△BCH中，根据勾股定理得BC＝＝＝7，即PA＋PC的最小值为7. 13．在⊙O中，AB为直径，P是AB上一点，∠NPB＝45°. (1)如图①，若点P与圆心O重合，直接写出的值． 【解】＝. (2)如图②，若MP＝1，NP＝7，求的值． 【解】如图①，作OH⊥MN于点H，连接ON，∴MH＝NH＝MN＝(MP＋NP)＝×(1＋7)＝4.∴PH＝MH－MP＝4－1＝3. ∵∠NPB＝45°，∴易得OH＝PH＝3.在Rt△HON中，ON＝＝＝5，∴AB＝10. ∴＝＝. 设PM＝a，PN＝b，∴MH＝NH＝. ∴PH＝NH－PN＝.∵∠NPB＝45°，∴∠OPH＝45°. ∴易得OH＝PH＝. 在Rt△OMH中，OM＝＝＝， ∴＝＝； 当点P在AO上时，同理可得＝. 故(2)中的结论不改变，＝. $ 第2章　圆 2．1 圆的对称性 返回 D 1．下列说法中，错误的有(　　) ①弦是直径；②长度相等的两条弧是等弧；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④直径是圆的对称轴；⑤圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合；⑥优弧一定比劣弧长． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2 2．[2025永州月考]如图，CD是⊙O的直径，若AB⊥CD，垂足为B，∠OAB＝40°，则∠C的度数为(　　) A．15° B．20° C．25° D．30° C 返回 3 3. 如图，在⊙O中，弦有________，直径是________，劣弧有______________________，优弧有___________________________，半圆有____________，若图中最长的弦为12，则⊙O的面积为________． 返回 AC，CB CB 36π 4 4. 我国东汉初年的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”(即直角形状的曲尺，如图①所示)的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图②所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动“矩”， 则“矩”的顶点C的运动 路线将会是一个圆． 5 依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：______________________ ________________． 圆是所有到定点的距离等 返回 于定长的点的集合 6 5. 如图所示的三个圆是同心圆，那么图中阴影部分的面积为________．(结果保留π) 返回 7 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝8，CD⊥AB于点D. 8 (1)若以点C为圆心，6为半径作⊙C，试判断点A，D，B与⊙C的位置关系； 9 返回 (2)若以点C为圆心作⊙C，使A，D，B三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙C的半径r的取值范围． 11 7. 下列图形中，四个顶点一定在同一个圆上的是(　　) A．菱形、平行四边形 B．矩形、正方形 C．正方形、菱形 D．矩形、平行四边形 B 返回 12 13 返回 【答案】 C 15 【点易错】连接OA，OF.∵点A、点F都在半圆O上，∴OA＝OF.∵四边形ABCD，四边形EFGC都是正方形，∴∠ABC＝∠DCB＝∠FEC＝90°，BC＝CD＝AB＝3，CE＝EF＝2.设OC＝x，则BO＝3－x，OE＝ x＋2.在Rt△ABO和Rt△EFO中，AB2＋BO2＝AO2， OE2＋EF2＝OF2， 返回 【答案】 B 10. 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为m，且二次函数y＝x2－2x＋m的图象与x轴有2个交点，则点P与⊙O的位置关系为______________． 点P在⊙O内 返回 18 返回 19 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，BD. 20 (1)过点D作DF⊥AC于点F，过点A作AE⊥BD于点E，求AE，AF的长； 21 (2)以点A为圆心画圆，使B，C，D，E，F 5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，并求⊙A的半径r的取值范围． 23 【证明】画图答案不唯一，如图所示． 由(1)可得AE＜AB＜AF＜AD＜AC. 若以点A为圆心画圆，B，C，D，E，F 5个点中至少有1个点在圆内，且至少有2个点在圆外，则点E必在圆内，点D，C必在圆外． 返回 24 13．【问题提出】如图①，在△ABC与△ADE中，AB＝2AC，AD＝2AE，∠BAC＝∠DAE，若BD＝7，则CE＝________； 【问题解决】如图②，市政部门计划修建四边形绿地ABCD，要求AB＝100米，∠BCD＝90°，CB＝CD，∠ADC＝135°，在四边形绿地ABCD中修建直道AC，将绿地分为两个三角形区域，E为AB的中点，以BE为斜边在△ABC内部修建一个等腰直角三角形水池EFB用作放养锦鲤，△ABC内部其他区域种植鲜花，△ADC内 部铺设草坪作为宠物活动区． ①求鲜花区的最大面积． ②在①的条件下，计算宠物活动区△ADC的占地面积． 返回 ，，，， ，，，， ， π 【解】在Rt△ABC中，AC＝＝＝6. ∵CD⊥AB，∴AC·BC＝AB·CD. ∴CD＝＝＝. ∵CA＝6，CD＝＜6，CB＝8＞6， ∴点A在⊙C上，点D在⊙C内， 点B在⊙C外． 【解】∵A，D，B三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，AC＝6，BC＝8，CD＝， ∴CD<r<BC，即<r<8. 8．如图，在⊙O中，C是上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于点E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC满足的数量关系是(　　) A．∠C＝∠AOC B．∠C＝∠AOC C．∠C＝∠AOC D．∠C＝∠AOC 【点拨】连接OD.∵OA＝DE，∴OD＝DE＝OC. ∴∠C＝∠D，∠DOE＝∠DEO＝(180°－∠D)． ∴∠DEO＝∠C＋∠COE＝(180°－∠C)．∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°.∴∠COE＝90°－∠AOC.∴∠C＋90°－∠AOC＝(180°－∠C)．∴∠C＝∠AOC. 9.如图，将两个正方形如图放置(B，C，E共线，D，C，G共线)，若AB＝3，EF＝2，点O在线段BC上，以点O为圆心作半圆O，点A、点F都在半圆O上，则OD的长是(　　) A．4　　 B.　　 C.　　 D. ∴32＋(3－x)2＝AO2，(x＋2)2＋22＝OF2.又∵AO＝FO，∴32＋(3－x)2＝(x＋2)2＋22，解得x＝1，即OC＝1.在Rt△DOC中，OD＝＝＝. 11. 对于任意两实数a，b，用max{a，b}表示其中较大的数，例如max{2，－4}＝2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－1，0)，B(1，0)，⊙M的半径为1，圆心M在直线y＝2上运动，若对于⊙M 上任意点C，都有4≤max≤8， 则圆心M的横坐标x的取值范围是_______________________________________． －1≤x≤3－1或－3＋1≤x≤－＋1 【解】如图所示． ∵在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴AC＝BD＝＝＝5.　 ∵AE·BD＝AB·AD， ∴AE＝＝.同理可得DF＝. 在Rt△ADF中，AF＝＝. ∴⊙A的半径r的取值范围为＜r＜4. 【点拨】∵AB＝2AC，AD＝2AE，∴＝＝.∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE.∴△ABD∽△ACE，∴＝＝，即＝，∴CE＝. 【解】∵AB＝100米，E为AB的中点， ∴BE＝AE＝AB＝50米． ∵△EFB是等腰直角三角形， ∴EF＝BF＝BE＝25米， ∴△EFB的面积＝EF·BF＝×25×25＝625(平方米)． 又∵鲜花区的面积＝S△ABC－S△EFB， ∴当S△ABC最大时，鲜花区的面积取得最大值． 如图①所示，连接BD，CF，DE， 过点C作CG⊥AB于点G. ∵AB＝100米， ∴当CG取得最大值时，S△ABC最大． ∵CB＝CD，∠BCD＝90°， ∴△CBD是等腰直角三角形， ∴＝＝，∠CDB＝∠CBD＝45°. ∵∠ADC＝135°，∴∠ADB＝∠ADC－∠CDB＝90°. ∵E为AB的中点，∴AE＝BE＝DE＝AB＝50米． ∵∠CBD＝∠FBE＝45°， ∴∠CBF＝∠DBE，∴△CBF∽△DBE， ∴＝＝，即＝. ∴CF＝25米． ∴点C在以点F为圆心，25米为半径的圆上运动， ∴如图②所示，当点C，F，G 三点共线时，CG取得最大值． ∴此时FG＝EB＝25米．∴此时CG＝CF＋FG＝(25＋25)米，∴此时S△ABC＝AB·CG＝×100×(25＋25)＝(1 250＋1 250)平方米，∴鲜花区的最大面积为1 250＋1 250－625＝(1 250＋625)平方米． 【解】∵CF＝25米，易知BG＝25米，CG⊥BG， ∴S△BCF＝CF·BG＝×25×25＝(平方米)． ∵△CBF∽△DBE，∴＝＝＝，即＝，∴S△BDE＝625平方米． ∵E为AB的中点， ∴S△ABD＝2S△BDE＝1 250平方米． ∵CG＝(25＋25)米，BG＝25米，CG⊥BG， ∴CD＝BC＝＝25米， ∴S△BCD＝CD·BC＝(1 250＋625)平方米． ∴宠物活动区△ADC的占地面积＝S△ABD＋S△BCD－S△ABC＝1 250＋1 250＋625－(1 250＋1 250)＝625(平方米)． $ 第2章　圆 2．2 圆心角、圆周角 2.2.2　圆周角 第2课时 圆周角定理的推论2及圆内接四边形的性质 返回 1. 小华用自制的“直角尺”检验半圆形工件是否合格，其中检验操作正确且半圆形工件合格的是(　　) B 2 2．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为(　　) A．70° B．60° C．50° D．30° B 返回 3 3. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O的直径，连接PA，PB，点M在AB的延长线上，若∠APC＝20°，则∠PBM＝(　　) A．115° B．70° C．120° D．110° 返回 D 4 5 【答案】B 返回 5．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上的两点，∠BAC＝38°，则∠D的度数为________． 返回 128° 7 6. 如果一个圆的内接四边形的三个内角度数之比为1∶3∶5，则第四个内角的度数是_____________． 90°或157.5° 8 【点拨】设三个内角的度数为x，3x，5x，根据圆内接四边形的对角互补，得x＋5x＝180°，∴x＝30°.∴第四个内角的度数是180°－3x＝90°；或3x＋5x＝180°，∴x＝22.5°.∴第四个内角的度数是180°－x＝157.5°. 返回 10 返回 14 (1)求证：BD＝ED； 15 (2)若∠ABC＝60°，AD＝5，求⊙O的半径． 【解】如图，连接DO并延长交⊙O于点F，连接CF，则∠FCD＝90°. 16 返回 18 19 ∵AB＝2，AD＝1，∴AD＝OD＝OA＝1.∴△OAD为等边三角形．∴∠OAD＝60°.∴∠CAD＝∠CAB＋∠OAD＝30°＋60°＝90°；当AD与AC在直径AB的同侧，即点D在点D′处时，连接OD′.易知△OAD′为等边三角形，则∠OAD′＝60°，∴∠CAD′＝∠OAD′－∠CAB＝60°－30°＝30°.综上，∠CAD＝30°或90°.故选D. 返回 【点易错】在圆中根据已知弦长和弦的一个端点作这条弦时，往往有两条，分别位于已知的另一条弦的两侧，本题易因对弦的位置未分类讨论而致错． 【答案】 D 21 10．设圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直，对角线交于点E，圆心为点O，半径为13，OE＝2，则AC2＋BD2＝________. 1 336 22 返回 15°，1 25 26 27 返回 12. 如图，以△ABC的边AC为直径作⊙O，交BC边于点D，过点C作CE∥AB交⊙O于点E，连接AD，DE，∠B＝∠ADE. 29 (1)求证：AC＝BC； 【证明】∵∠ADE＝∠ACE，∠ADE＝∠B， ∴∠B＝∠ACE. ∵CE∥AB，∴∠BAC＝∠ACE. ∴∠B＝∠BAC.∴AC＝BC. 30 (2)若tan B＝2，CD＝3，求AB和DE的长． 31 32 返回 33 13．“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图①，点A，B，C在⊙O上，点D在 ⊙O外，线段AD，CD分别与⊙O交于 点E，F，试猜想：∠B＋∠ADC_______ 180°(填“>”“<”或“＝”)． ＜ 【点拨】连接CE，如图①.∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，∴∠B＋∠AEC＝180°.∵∠AEC>∠ADC，∴∠B＋∠ADC<180°. (2)如图②，点A，B，C在⊙O上，点D在⊙O内，此时(1)中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明． 【解】 (1)中猜想的结论不成立， 此时∠B＋∠ADC＞180°. 证明：延长AD交⊙O于点E，连接CE，如图②. ∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形， ∴∠B＋∠E＝180°. ∵∠ADC>∠E，∴∠B＋∠ADC>180°. (3)如图③，在凸四边形ABCD中，对角线BD的长为8，∠A＝30°，∠C＝150°，请直接写出四边形ABCD面积的最大值． 【解】四边形ABCD面积的最大值为64. 【点拨】∵四边形ABCD的内角和为360°，∠BAD＋∠BCD＝30°＋150°＝180°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴A，B，C，D四点共圆．作⊙O，如图③，连接OB，OD.∵∠BAD＝30°，∴∠BOD＝2∠BAD＝60°.又∵OB＝OD，∴△BDO为等边三角形． ∴OB＝OD＝BD＝8.分别过点A， C作AM⊥BD于点M，CN⊥BD于点N， 返回 4．以O为中心点的量角器与含45°角的直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．D为三角板的斜边AB上一点，作射线CD交于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为(　　) A．100° B．110° C．115° D．130° 【点拨】连接OE.∵点E所对应的读数为50°， ∴∠AOE＝50°.∵AB为⊙O的直径，∠ACB＝90°， ∴点C在⊙O上．∴∠ACE＝∠AOE＝×50°＝25°. ∴∠BCE＝90°－25°＝65°.∵∠BDE是△BDC的外角，∴∠BDE＝∠BCE＋∠DBC＝65°＋ 45°＝110°.故选B. 7．[2025浙江]如图，矩形ABCD内接于⊙O，E是上一点，连接EB，EC分别交AD于点F，G.若AF＝1，EG＝ FG＝3，则⊙O的直径为________． 2 【点拨】∵四边形ABCD为矩形，∴AD綊BC，∠D＝90°，∴△EFG∽△EBC，∴＝.设DG＝x，则AD＝BC＝4＋x，∴＝，∴GC＝x＋1.在Rt△GDC中，DC＝＝. 连接AE，AC.∵∠D＝90°，∴AC为直径，∠AEC＝∠D＝90°.∴在Rt△AEG中，AE＝＝.∵在Rt△AEC中，AC＝，在Rt△ADC中，AC＝，∴AD2＋DC2＝AE2＋EC2. ∵AD＝4＋x，DC＝，EC＝x＋4，AE＝， ∴(4＋x)2＋()2＝()2＋(x＋4)2，解得x＝3， ∴AC＝＝＝2，即⊙O的直径为2. 8．[2025泰州月考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，延长BC到点E，使CE＝AB，连接BD，ED. 【证明】∵D是的中点，∴＝.∴AD＝DC. ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＋∠BCD＝180°. 又∵∠ECD＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠ECD. 又∵AB＝CE，∴△ABD≌△CED(SAS)．∴BD＝ED. ∵＝，∴∠ABD＝∠CBD，AD＝CD＝5. 又∵∠ABC＝60°，∴∠CBD＝30°. ∴∠F＝30°.∴DF＝2CD＝10. ∴⊙O的半径为DF＝5. 9. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB＝2，AC＝.若在图中画出弦AD，使AD＝1，则∠CAD的度数为(　　) A．30° B．60° C．60°或90° D．30°或90° 【点拨】如图，连接CB.∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°.∴在Rt△ABC中，BC＝＝1，∴BC＝AB.∴∠BAC＝30°.当AD与AC在直径AB的异侧时，连接OD. 【点拨】如图，过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，则OM2＝132－AM2，ON2＝132－DN2，OE2＝OM2＋ME2，易得AM＝AC，DN＝BD，四边形OMEN是矩形，∴ON＝ME，∴OE2＝OM2＋ON2＝2× 132－(AC2＋BD2)． 又∵OE＝2，∴2×132－(AC2＋BD2)＝4.∴AC2＋BD2＝1 336. 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD.若∠AOD＝120°，AD＝，则∠CAO的度数与BC的长分别为________． 【点拨】如图，设AC与BD的交点为F，连接OB，OC.∵BC∥AD，∴∠DBC＝∠ADB.∴＝.∴∠BDA＝∠CAD. ∵DB⊥AC，∴∠AFD＝90°.∴∠CAD＝∠BDA＝45°.∴∠AOB＝2∠ADB＝90°，∠COD＝2∠CAD＝90°.∵∠AOD＝120°，∴∠BOC＝360°－90°－90°－120°＝60°.又∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．∴BC＝OB.过点O作OE⊥AD于点E. ∵OA＝OD，∠AOD＝120°，∴∠OAD＝∠ODA＝30°.∴OE＝OA，∠CAO＝∠CAD－∠OAD＝45°－30°＝15°.易知AE＝DE＝AD＝.在Rt△AOE中，OE2＋AE2＝OA2，即＋＝OA2，解得OA＝1(负值已舍去)，∴BC＝OB＝OA＝1. 【解】如图，连接AE. ∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC.∴＝. ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°.∴∠ADB＝90°. ∴tan B＝＝2.∴AD＝2BD. ∵CD＝3，∴AC＝BC＝BD＋CD＝BD＋3. 在Rt△ADC中，AD2＋CD2＝AC2，即(2BD)2＋ 32＝(BD＋3)2，解得 BD＝2或BD＝0(舍去)． ∴AD＝4，BC＝2＋3＝5. ∴AB＝＝＝2. ∵＝，∴＝.∴DE＝2. 则四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝×BD·AM＋×BD·CN＝×BD·(AM＋CN)，故当A，M，N，C共线且AC为⊙O的直径时，四边形ABCD的面积最大，此时AC＝2OB＝16.∴四边形ABCD面积的最大值为×8×16＝64. $