第24章 圆 单元测试 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第24章 圆（单元测试）2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、单选题 1．已知的半径为5，点A在内，则长度可能是（　　） A． B．5 C．6 D．7 2．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作弧AC、弧CB、弧BA，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形．设点I为对称轴的交点，如图2，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE=2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动，当它第一次回到起始位置时，这个图形在运动中扫过区域面积是（　　） A．18π B．27π C．π D．45π 4．如图，已知 为 的直径，点C在 上， ，则 的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，A，B，C是⊙O上三个点，∠AOB=2∠BOC，则下列说法中正确的是(　　) A．∠OBA=∠OCA B．四边形OABC内接于⊙O C．.AB=2BC D．∠OBA+∠BOC=90° 6．如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是三个格点，△ABC 的外心可能是(　　) A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q 7．如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的弓形，路面，隧道最高点到地面的距离，则该隧道所在圆的半径为（     ） A． B． C． D． 8．如图，△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，直角边AB是半圆O的直径，半圆O过C点且与半圆O相切，则图中阴影部分的面积是(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 9．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，以点(3，－5)为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，则圆的半径r的取值范围是 (　　) A．r>4 B．0<r<6 C．4≤r<6 D．4<r<6 二、填空题 11．如图，AB＝12，点C，D为线段AB的三等分点，则以四段圆弧围成的阴影部分面积为　 　． 12．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上（点C不与A、B重合），过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，连结AC．若∠A=25°，则∠D的度数是　 　°． 13．如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A 重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，当∠ACP=20°时，点E在量角器上对应的读数是　 　度． 14．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于点E，若OA=5，AB=8，则AD的长为　 　． 15．如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在 上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是　 　． 16．在直角坐标系中，我们将圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图所示，直线l：y＝kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为“整圆”的点P个数是　 　个． 三、解答题 17．如图，是的直径，弦于点，若，． （1）求线段的长； （2）求弦的长． 18．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心的与y轴相切于原点O，过点的直线与圆P相切于点B． （1）求的长； （2）求、与所围成的阴影部分面积（不取近似值）； （3）求直线的解析式． 19．如图，已知中弦，点是上一动点，连接，过点作于点于点，连接． （1）若点运动到的中点，此时点到弦的距离为2，求的半径； （2）在点运动过程中，线段的长是否发生改变？如果不变，求出线段的长；如果改变，请说明理由． 20．如图，将锐角的边绕点顺时针旋转得到线段，过作，交边的延长线上于点，连接，作的外接圆，交边于点，连接． （1）若，且，求的度数，并求的长； （2）求证：． 21．已知AB为 的直径，EF切 于点D，过点B作 于点H交 于点C，连接BD． （1）如图①，若 ，求 的大小； （2）如图②，若C为弧BD的中点，求 的大小． 22．如图，在⊙O中，F，G是直径AB上的两点，C，D，E是半圆上的三点，如果弧AC的度数为60°，弧BE的度数为20°，∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB．求∠FDG的大小 23．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点C是弦的“关联点”． （1）如图，点，，． ① 在点，，中，弦的“关联点”是 ； ② 若点C是弦的“关联点”，直接写出，的长． （2）已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”，记四边形的面积为S，当点T在线段上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的长． 24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，点E为弧AC的中点，连结AC，BE交于点D，过点A作AF⊥AB交BE的延长线于点F，AF＝3. （1）求证：AD=AF； （2）求△ABD的周长； （3）若点P为⊙O上一点，当△AEP为等腰三角形时，求AP的长. 答案解析部分 1．【答案】A 2．【答案】A 【解析】【解答】解：∵在中，， ∴， ∴． ∵弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ∴， ∴． 故答案为：A． 【分析】由等腰三角形的性质“等边对等角”以及三角形的内角和定理，可以求出，由旋转的性质可知，由“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等”可知，从而求解． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：如图1中， ∵等边的边长为2π，等边的边长为3， ∴矩形的面积为，， ∵，， ∴， ∴， ∴图形在运动过程中所扫过的区域的面积为， 故答案为：B． 【分析】根据等边三角形的性质得，从而得，得到图形在运动过程中所扫过的区域的面积为，利用矩形以及扇形面积公式进行求解即可. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵∠BOC=∠BAC+∠ACO， ， ∴∠OCA= ． 故答案为：B． 【分析】先利用圆周角定理得到∠A=，再根据等腰三角形的性质得到∠C的度数。 5．【答案】D 【解析】【解答】解：过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，连接AE、BE， 则， ∵∠AOB=2∠BOC， ∴∠AOE=∠BOE=∠BOC， ∴， ∴AE=BE=BC， ∴2BC>AB，故C错误； ∵OA=OB=OC， ∴∠OBA≠∠OCA，故A错误； ∵点A，B，C在上，而点O是圆心， ∴四边形OABC不内接于O，故B错误； 故D正确. 故答案为：D. 【分析】过O作OD⊥AB于D交⊙O于E，连接AE、BE，由垂径定理得，由弧、弦、圆心角三者的关系得AE=BE，且∠AOE=∠BOE=∠AOB，从而推出∠AOE=∠BOE=∠BOC，再由圆心角、弧、弦的关系可推出AE=BE=BC，进而根据三角形三边关系可判断C选项；由等边对等角及三角形内角和定理分别用含∠BOC的式子表示出∠OBA与∠OCA，可判断A选项；根据圆内接四边形定义可直接判断B选项；根据直角三角形来那个锐角互余及等量代换可推出∠OBA+∠BOC=90°，从而可判断D选项. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：∵ △ABC 的外心是三条边垂直平分线的交点， ∴点Q可能是△ABC 的外心. 故答案为：D . 【分析】根据三角形外心的定义即可作答. 7．【答案】B 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，由垂径定理得到OC⊥AB，且AD=DB=AB=12m，设OO的半径为rm，在Rt△BOD中，由勾股定理 列方程求解即可得到答案，熟记圆的性质、垂径定理与勾股定理在圆中求线段长的方法步骤是解决问题的关键。 【详解】解：：隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的弓形，隧道最高点C，到地面的距离为CD， ：由圆的对称性可知，延长CD，必过圆心O，如图所示： ·由垂径定理可知OC⊥AB，且AD=DB=AB=12m， 设的半径为rm， 在Rt△BOD中，∠BDO=90°，BD=12m，OD=(r-8)m，OB=rm，由勾股定理可得r2=12²+（r-8)². 解得r=13m, 故选：B. 8．【答案】D 【解析】【分析】利用等弦所对的弧相等，先把阴影部分变化成一个直角梯形，然后再利用等腰直角三角形求小圆的半径，从而求阴影部分的面积． 【解答】连接O1O2，设圆O2的半径为x． ∵O1O22-AO12=AO22， ∴（+x)2-（)2=（a-x)2， 解得：x=a． 设⊙O1交BC于D，⊙O2交BC于E． ∴CE=PE=x=a，BC=AB，CD=AB=a， ∴S阴影=S△ADC-S△CEP=CD•AD•-CE•PE•=a×a×-××=a2． 故选D． 【点评】本题的关键是理解经过一定的平移后，阴影部分的面积为直角梯形PEDA的面积． 9．【答案】D 【解析】【解答】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝1， ∴点C在上，且半径为1， 在x轴上取OD=OA=2，连接CD， ∵AM=CM，OD=OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM=CD， 当OM最大时，即CD最大， ∴当D，B，C三点共线时，OM最大， ∵OB=OD=2，∠BOD=90°， ∴BD=2， ∴CD=2+1， ∴OM=， ∴OM的最大值为. 故答案为：D. 【分析】根据同圆的半径相等得出，点C在半径为1的上，在x轴上取OD=OA=2，连接CD，根据三角形中位线定理得出OM=CD，从而得出当D，B，C三点共线时，OM最大，求出CD的长，即可得出OM的最大值. 10．【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知，本题其实是利用圆与直线y=1和直线y=-1之间的位置关系来求得半径r的取值范围，根据相离时半径小于圆心到直线的距离，相交时半径大于圆心到直线的距离即可求得r的范围。 【解答】根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=-1， 若以点（3，-5)为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1， 那么该圆与直线y=-1必须是相交的关系，与直线y=1必须是相离的关系， 所以r的取值范围是|-5|-|-1|＜r＜|-5|+1， 即4＜r＜6． 故选D． 【点评】解决本题要认真分析题意，理清其中的数量关系．看似求半径与x轴之间的关系，其实是利用圆与直线y=1和直线y=-1之间的位置关系来求得半径r的取值范围。 11．【答案】 12．【答案】40 13．【答案】40 【解析】【解答】解：连接OE， ∵∠ACB=90°=∠ECB+∠ACP ∴∠ECB=90°-20°=70°， ∵ ∴∠BOE=2∠ECB=2×70°=140°； ∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-140°=40°. ∴点E在量角器上对应的读数为40°. 故答案为：40 【分析】根据∠ACB=90°求出∠ECB的度数，再利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，求出∠BOE的度数，然后求出∠AOE的度数，即可求出点E在量角器上所对应的读数。 14．【答案】 【解析】【解答】解：∵CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB，AB＝8， ∴AE=BE=， 在Rt△OEB中，根据勾股定理OE=， ∴CD=OD+OE=5+3=8， 在Rt△AED中，AD=， 故答案为． 【分析】先利用垂径定理求出AE的长，再利用勾股定理求出OE的长，最后利用勾股定理求出AD的长即可。 15．【答案】2 π 【解析】【解答】解：如图，由此BO交⊙O于F，取 的中点H，连接FH、HB、BD． 易知△FHB是等腰直角三角形，HF=HB，∠FHB=90°， ∵∠FDB=45°= ∠FHB， ∴点D在⊙H上运动，轨迹是 （图中红线）， 易知∠HFG=∠HGF=15°， ∴∠FHG=150°， ∴∠GHB=120°，易知HB=3 ， ∴点D的运动轨迹的长为 =2 π． 故答案为2 π． 【分析】由此BO交⊙O于F，取 弧B F 的中点H，连接FH、HB、BD．可证得△FHB是等腰直角三角形，可以得到HF=HB，∠FHB=90°，就可以求出∠FDB的度数，进而可知道点D就是在⊙H上运动，它的运动轨迹就是弧GB的长，∠AOB=120°推出∠AOF=60°，得出△AOF是等边三角形，易求得∠HFG=∠HGF=15°，就可得∠FHG的度数，从而求出圆心角∠GHB的度数，在Rt△BHF中可以求出半径HB的长，利用弧长公式就可以求得点D的运动轨迹的长。 16．【答案】6． 17．【答案】（1）线段的长为； （2）线段的长为． 18．【答案】（1） （2） （3） 19．【答案】（1）的半径为5； （2）线段的长不变，且． 20．【答案】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵作的外接圆，交边于点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，作交圆于，连接、， ， 由旋转的性质可得：，， ∴，为圆的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵作的外接圆，交边于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，由旋转的性质可得，，则，根据含30°角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，则，再根据边之间的关系即可求答案. （2）作交圆于，连接、，由旋转的性质可得：，，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则，，即，，由圆周角定理可得，根据直线平行性质可得，作的外接圆，交边于点，则，即，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. （1）解：∵，， ∴， ∴， ∵作的外接圆，交边于点， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，作交圆于，连接、， ， 由旋转的性质可得：，， ∴，为圆的直径， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵作的外接圆，交边于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 21．【答案】（1）如图，连接OD． 由切线的性质结合题意可知 ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． （2）如图，连接OD、OC、CD． ∵OC=OD， ∴ ． ∵ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ∵C为 中点， ∴ ， 由（1）可知 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ∴ ． 【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后计算求解即可； （2）先求出 ， 再求出 ，最后计算求解即可。 22．【答案】解：如图：作点C关于AB的对称点M，点E关于AB的对称点N，连结CM、FM，设CM交AB于点Q， 依题可得AB⊥CM，CQ=MQ， ∴∠CFA=∠AFM， 又∵∠CFA=∠DFB， ∴∠AFM=∠DFB， ∴D、F、M三点共线， 同理可得D、G、N三点共线， 又∵弧AC=60°，弧BE=20°， ∴弧AM=弧AC=60°，弧BN=弧BE=20°， ∴弧MN=180°-60°-20°=100°， ∴∠FDG=×100°=50°. 【解析】【分析】作点C关于AB的对称点M，点E关于AB的对称点N，连结CM、FM，设CM交AB于点Q，结合已知条件等量代换可得∠AFM=∠DFB，从而求出D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，由垂径定理可得弧AM=弧AC=60°，弧BN=弧BE=20°，根据圆周角定理可得∠FDG度数. 23．【答案】（1）①；②， （2）S的最小值为，；S的最大值为， 24．【答案】（1）证明：连接AE，如图： ∵AB是直径， ∴∠AEB=90°， ∴∠EAD+∠ADE=90°， ∵AF⊥AB， ∴∠FAB=90° ∴∠B+∠F=90°， ∵点E为弧AC得中点， ∴ ∴∠B=∠EAD， ∴∠F=∠ADE ∴AD=AF； （2）解：在Rt△ABF中，∵AF=3，AB=4， ∴FB=5， ∵S△ABF= ∴ ∴AE=， 在Rt△ABE中，由勾股定理得BE=， 在Rt△AED中，由勾股定理得ED=， ∴BD=BE－ED=， ∴△ABD的周长4＋3＋=； （3）解：①当AE=AP时， ∵ ∴ ②当AE=PE时，连接OE交AC于点M，如图： ∵点E为弧AC的中点， ∴ ∴P与C重合， 在中， 在中， ∴ 解得： ∴ ∴ ③当AP=PE时，连接OP交AE于N，如图： ∴ 在中， ∴ 在中， 延长PO交圆O于点P'，则P'E=P'A， 在中， 综上所述，AP的长为：或或或. 【解析】【分析】（1）连接AE，根据"直径所对的圆周角为直角"得到∠AEB=90°，再根据"等弧所对的圆周角相等"得到∠B=∠EAD，进而根据等角的余角相等得到∠F=∠ADE，最后根据"等角对等边"即可求解； （2）首先由勾股定理算出FB=5，利用等面积法求出AE的长，再利用勾股定理求出BE和DE的长度，进而得到BD的长度，从而即可求出△ABD的周长； （3）由题意知需分三种情况，①当AE=AP时，②当AE=PE时，P与C重合，③当AP=PE时，分别计算即可求解. 学科网（北京）股份有限公司 $