第二十八章锐角三角函数单元测试2025-2026学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 单元测试 一、单选题 1．在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点是延长线上的一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，两同心圆的圆心为O，一个宽度为的刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q，与大圆交于C，D两点，P，Q均在圆O的同侧，，若用阴影部分围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，将折叠，使点A落在边上的点D处，为折痕．若，则为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某坡度的山坡，已知坡面米，则该山坡的高度是（   ） A．250米 B．200米 C．150米 D．100米 6．的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 7．在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（   ） A．1 B． C． D．无法确定 8．为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，．若大楼的高为，则的长可表示为（   ） A． B． C． D． 9．如图，由6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角为，都在格点上，则的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，24个形状大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个内角为，点A、B、C、D都在格点上，且线段、相交于点，则为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．北京成功举办第24届冬奥会后，很多学校都开展了冰雪项目的学习活动．一位同学乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行65米，求他下降的高度是 米． 12．已知：如图，在中，，，，则的长为 ． 13．在中，，，则的值为 ． 14．如图，在中，，，则 ． 15．如图，在三角形中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是 ． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)． 17．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 18．如图，某堤坝的横截面是梯形，已知坝顶，坝高，且，． (1)求斜坡的长度； (2)求坝底的长．（结果保留根号） 19．为了解学校附近一斜坡旁边一棵直立大树的高度，该校数学兴趣小组进行实地测量．如图，在斜坡顶部点C处测得大树顶端A的仰角为，大树底端B的俯角为，从点C出发沿远离大树的水平方向走4米到达点D处，测得大树顶端A的仰角为，点A，B，C，D在同一平面，延长交于点E． (1)求线段的长度．（结果保留整数） (2)计算大树的高度．（结果保留整数）（参考数据：，） 20．在平面直角坐标系中，点，， ，C，D分别为，的中点．以点O为中心，逆时针旋转，得，点C，D的对应点分别为点，． (1)填空：如图①，当点落在y轴上时，点的坐标为_____，点的坐标为 ； (2)如图②，当点落在上时， 求点的坐标和 的长； (3)若M为的中点，求的最大值和最小值（直接写出结果即可）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二十八章 锐角三角函数 单元测试 2025-2026学年人教版九年级数学下册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B A C C A C A D 1．D 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，解题的关键在于正确掌握正弦、余弦、正切的定义．根据题意画出草图，结合正弦、余弦、正切的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：由题意，可画图如下： A、，选项结论错误，不符合题意； B、，选项结论错误，不符合题意； C、，选项结论错误，不符合题意； D、，选项结论正确，符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查三角函数的计算，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．先根据直角三角形的性质，求出、和的关系，再根据，求出和的关系，最后根据正切函数的定义即可求出的值． 【详解】解：在中，，， ，． ， ， ， 即的值为． 故选：A． 3．B 【分析】设小圆半径为厘米，则大圆半径为厘米， 利用垂径定理结合勾股定理列方程求出两圆半径， 利用三角函数可求出，则阴影部分半径和圆心角都可知，计算阴影部分对应的弧长，利用圆锥底面圆周长=侧面展开弧长求出底面半径． 【详解】解：连接，， ∵刻度尺一边与大圆相切于点P，另一边与小圆相切于点Q， ∴，， ∵直尺两边平行， ∴， 则三点共线， 设小圆半径为厘米， ∵刻度尺宽度为厘米， 则大圆半径厘米， 由垂径定理得： 厘米， 在中，由勾股定理： ， 即 ∴厘米，大圆半径厘米， 在中， ∴， ∴， ， 则阴影部分对应的圆心角为， 则阴影部分（扇形）的弧长为： 厘米 设圆锥底面半径为， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线性质，垂径定理，勾股定理，圆锥侧面展开图与底面圆的关系，垂直的性质，锐角三角函数，掌握相关知识是解决问题的关键． 4．A 【分析】依题意得是等腰直角三角形，则，设，则，由折叠性质得，，由勾股定理得，根据三角形外角性质得，进而得，在中，根据正切函数定义得，继而可得的值． 【详解】解：在中，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， 由折叠性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ∵是的外角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，锐角三角函数的定义，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 5．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键． 利用坡度的定义得出，设，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】解：∵的坡度为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查基本三角函数值，熟记的值是求解的关键． 直接利用特殊角的三角函数值进行计算． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了正方形网格的性质，正切函数的概念等知识点．通过构造直角三角形，利用正切函数的定义求解的值． 【详解】解：如图，取格点E，连接，，，， 设小正方形的边长为1，则，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解直角三角形分别求出的长，则可求出的长． 【详解】解：由题意得，， 在中，， 在中，， ∴， 故选：C． 9．A 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．连接、，先证明，E、C、B共线，再根据，求出、即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为a，由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴E、C、B共线， 在中，． 故选：A． 10．D 【分析】取格点，连额吉，不妨设小菱形的边长为1，先证明是的中位线，得到，接着利用菱形的性质，证明为等腰三角形，为等边三角形，接着证明为直角，过点作于点，利用勾股定理求得，最后求得答案． 【详解】解：取格点，连接，设小菱形的边长为1，如图所示： ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵菱形的一个内角为， ∴， ∵， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 11．25 【分析】本题考查了坡度，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据坡度定义，设下降的高度为米，则水平距离为米，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设下降的高度为米， ∵坡度为， ∴水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得（舍去负值）， 故答案为：25． 12．22 【分析】本题考查了三角函数的定义，正弦，正切，构造辅助线是解题的关键．过点作于点，根据正弦，正切的定义及勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于点， 在中，，，， ，即， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：22． 13．/ 【分析】本题考查了解直角三角形． 根据正切函数的定义，可用表示，再根据勾股定理求得，最后利用余弦函数的定义求解． 【详解】解：在中，，， 即， 设，则， 由勾股定理，得， ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查了直角三角形中勾股定理与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 先设为x，再利用勾股定理表示出的长，之后根据三角函数的定义直接求解即可． 【详解】解：在中，，， 设， 则， 则． 故答案为． 15． 【分析】本题考查了锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、最短距离问题，关键是线段的转换； 通过以为底边构造等腰直角三角形，将进行转换，得到一个以为边的三角形，进而得到两边和的最小值． 【详解】解：过点在下方作等腰直角，连接， ∵， ∴， ∴， 当三点共线，且时最小为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：的最小值是：． 故答案为： ． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解； （2）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17．(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是作出辅助线． （1）根据含有的直角三角形的性质可得出斜坡的长度； （2）过A作于点F，得到两个直角三角形和一个矩形，利用相应的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）解：如图，过A作于点F， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 19．(1)线段的长度约为3米 (2)大树的高度约为5米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用． （1）由已知条件易得，解直角三角形即可求出的长； （2）根据即可得解． 【详解】（1）解：根据题意可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 设米， ∴米， 在中，（米）， 在中，， 解得， ∴米，（米）； 答：线段的长度约为米； （2）解：（米）， 答：大树的高度约为5米． 20．(1) (2)点的坐标为，的长为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）过作轴于H，由，D为中点，得，即得，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，知，故；由，，可得轴，，从而，可得，，故； （2）当点落在上时，过作轴于M，求出，即可得，，故；； （3）由C，D分别为，的中点，可得，，从而，根据以点O为中心，逆时针旋转，得，可得，，即得，，知M在以O为圆心，为半径的圆上运动；当最大时，M在的延长线上，求出，即最大值为；当最小时，M在线段上，，即最小值为． 【详解】（1）解：过作轴于H，如图： ，D为中点， ， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ， ∵点落在y轴上， ； ，C为中点， ， ， 轴，， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）解：当点落在上时，过作轴于M，如图： 由（1）知，，， ， ， ，， ， ， ； ∴点的坐标为，的长为； （3）解：如图： ∵C，D分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得， ，， 是的中点， ， ， 在以O为圆心，为半径的圆上运动； 当最大时，如图： 此时M在的延长线上， ， ， ； 即最大值为； 当最小时，如图： 此时M在线段上，， 最小值为； 综上所述，最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及锐角三角函数，直角三角形性质及应用等，解题的关键是掌握含的直角三角形三边的关系． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $