10.超几何分布与二项分布讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考概率统计核心考点，系统梳理n重伯努利试验、二项分布、超几何分布的概念特征及期望方差计算，通过知识内在联系构建“概念-结论-应用”逻辑体系。设置考点梳理、方法指导、例题精讲、分层练习环节，帮助学生突破分布类型判断等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出核心素养导向，如例2通过分析比赛数据让学生计算概率、构建分布列，培养数学眼光和数据分析能力。采用分层练习设计，课堂练习分基础巩固与能力提升，配合课后作业的题型训练，助力教师把控复习节奏，有效提升学生规范解题和综合应用能力。

第十讲 超几何分布与二项分布 〖知识梳理〗 1、n重伯努利试验 (1)概念:将一个伯努利试验(只包含两个可能结果的试验)独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. (2)特征:①同一个伯努利试验重复做n次;②各次试验的结果相互独立. 2、二项分布 (1)概念:在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n,称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).  (2)期望与方差:E(X)=np,D(X)=np(1-p).  3、超几何分布 (1)概念:假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M},称随机变量X服从超几何分布.  (2)特点:从含有M个特殊元素的N个元素中抽取n个元素,X表示其中的特殊元素的个数. (3)期望:E(X)==np.  常用结论 (1)当X~B(n,p)时,P(X=k)的最大值: 若(n+1)p是正整数,则k=(n+1)p或k=(n+1)p-1时,P(X=k)取得最大值; 若(n+1)p不是正整数,则k=[(n+1)p](不大于(n+1)p的最大整数)时,P(X=k)取得最大值. (2)二项分布满足的条件: ①在每次试验中,事件发生的概率都是相同的(题目中有“将频率视为概率”时,事件发生的概率就是相同的); ②各次试验中的事件是相互独立的; ③每次试验只有两种结果,事件要么发生,要么不发生; ④随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数. (3)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.特征是: ①考查对象分两类; ②已知各类对象的个数; ③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布,其本质是古典概型. (4)超几何分布与二项分布的关系 共同点:超几何分布与二项分布都是离散型分布,当产品的总数很大时,超几何分布近似于二项分布. 不同点:超几何分布是不放回抽取,二项分布是有放回抽取;超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体的容量,但需要知道“成功率”. 〖例题讲解〗 题型一 二项分布 例1 (1)袋中装有标号为1,2,3,4,5且质地、大小相同的五个小球,从袋子中一次性摸出两个球,记下号码并放回,若两个号码的和是偶数,则获奖.若有4人参与摸球,则恰有2人获奖的概率是(　 )　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. (2)某机床厂生产一种精密零件,因生产流程比较复杂,所以成功率较低.从该厂某台机床生产的一批零件中,有放回地抽取3次,每次随机抽取1个,取出的3个零件中至多有2个是合格品的概率是.假设这台机床生产的任意1个这种零件是合格品的概率相同,且每个零件生产之间互不影响. ①求从该批零件中任取1个是合格品的概率; ②若这种零件1件合格品的利润为10万元,1件不合格品的利润为-1万元,现该机床生产4个这种零件,记这4个零件的利润为X万元,求X的分布列及数学期望. 题型二 超几何分布 例2 甲、乙、丙三人进行投篮比赛,共比赛10场,规定每场比赛分数最高者获胜,三人得分(单位:分)情况统计如下: 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 (1)从上述10场比赛中随机选择一场,求甲获胜的概率. (2)在上述10场比赛中,从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场,用X表示乙得分大于丙得分的场数,求X的分布列和数学期望E(X). (3)假设每场比赛获胜者唯一,且各场相互独立,用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛,设Y1为甲获胜的场数,Y2为乙获胜的场数,Y3为丙获胜的场数,写出方差D(Y1),D(Y2),D(Y3)的大小关系. 〖课堂练习〗 1.(多选题)如图是一块高尔顿板示意图:在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉,小木钉之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,将小球从顶端放入,小球在下落过程中,每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下,最后落入底部的格子中,格子从左到右分别编号为0,1,2,3,4,5,用X表示小球落入格子的号码,则下面结论正确的是 (　 ) A.P(X=0)= B.P(X=5)= C.E(X)= D.D(X)= 2.小明参加社区组织的射击比赛活动,已知小明射击一次,击中区域甲的概率是,击中区域乙的概率是,击中区域丙的概率是,区域甲、乙、丙均没有重叠的区域.这次射击比赛获奖规则是:若击中区域甲,则获一等奖;若击中区域乙,则有一半的机会获得二等奖,有一半的机会获得三等奖;若击中区域丙,则获得三等奖;若击中上述三个区域以外的区域,则不获奖.获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号. ①求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率; ②小明在比赛中射击4次,每次射击的结果相互独立,设获三等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望. 3.某校为了提高教师身心健康,号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4名男教师,2名女教师报名,本周随机选取2人参加. (1)求在有女教师参加活动的条件下,恰有一名女教师参加活动的概率; (2)记参加活动的女教师人数为X,求X的分布列及数学期望E(X); (3)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目,每人都需要参加项目,每名女教师至多从中选择2个项目参加,且选择参加1项或2项的可能性均为,每名男教师至少从中选择2个项目参加,且选择参加2项或3项的可能性均为,每人每参加1个项目可获得“体育明星”积分3分,选择参加几个项目彼此互不影响,记随机选取的两人得分之和为Y,求Y的数学期望E(Y). 〖课后作业〗 一．单选题 1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为(　　) A. B. C．1－ D. 2．在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　) A. B. C. D. 3．设袋中有8个红球，4个白球，若从袋中任取4个球，则其中至多3个红球的概率为(　　) A. B. C．1－ D．1－ 4．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　) A．P(0<X≤2) B．P(X≤1) C．P(X＝1) D．P(X＝2) 5．盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　) A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是好的 D．至多有2个是坏的 6．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，则在5次测量中恰好出现2次正误差的概率是(　　) A. B. C. D . 7．若X～B(10，0.8)，则P(X＝8)＝(　　) A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28 C．0.88×0.22 D．0.82×0.28 8．设随机变量X～B，则P(X＝3)等于(　　) A. B. C. D. 9．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝C·，k＝0，1，2，…，n，且E(X)＝24，则D(X)的值为(　　) A. B．8 C．12 D．16 10．某同学上学路上要经过3个路口，在每个路口遇到红灯的概率都是，且在各路口是否遇到红灯是相互独立的，记X为遇到红灯的次数，若Y＝3X＋5，则Y的标准差为(　　) A. B．3 C. D．2 二．多选题 11．某射手射击一次，击中目标的概率是0.9，他连续射击3次，且他每次射击是否击中目标之间没有影响，下列结论正确的是(　　) A．他三次都击中目标的概率是0.93 B．他第三次击中目标的概率是0.9 C．他恰好2次击中目标的概率是2×0.92×0.1 D．他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12 12．下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　) A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 13．10名同学中有a名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为，则a的值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 三．填空题 14．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝__________． 15．有同一型号的电视机100台，其中一级品97台，二级品3台，从中任取4台，则二级品不多于1台的概率为__________(用式子表示)． 16．袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则X≥8的概率P(X≥8)＝__________． 17．一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则P(X＝2)＝__________． 四．解答题 18．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． (1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率； (2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，均值E(X)及方差D(X)． 19．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量X的分布列； (2)他能及格的概率． 20．某高级中学为更好地了解学生的学习和生活情况，以便给学生提供必要的帮助，在高一、高二、高三这三个年级分别邀请了10，15，25名学生代表进行调研． (1)从参加调研的学生代表中，随机抽取2名，求这2名学生代表来自不同年级的概率； (2)从参加调研的高一、高二年级学生代表中随机抽取2名，且X表示抽到的高一年级学生代表人数，求X的期望值． 参考答案 1.解析　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋. 答案　D 2.解析　记X为抽出的2张中的中奖数，则P(X＝2)＝＝. 答案　C 3.解析　从袋中任取4个球，其中红球的个数X服从参数为N＝12，M＝8，n＝4的超几何分布，故至多3个红球的概率为P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－. 答案　D 4.解析　本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率． 答案　B 5.解析　令“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”， 则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，故选C. 答案　C 6.解析　P＝C××＝. 答案　A 7.解析　P(X＝8)＝C×0.88×0.22. 答案　A 8.解析　∵X～B，∴P(X＝3)＝C××＝. 答案　A 9.解析　由题意可知X～B，所以n＝E(X)＝24.所以n＝36.所以D(X)＝n·×＝36××＝8. 答案　B 10.解析　因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所以可看成3次独立重复试验，即X～B，则X的方差D(X)＝3××＝，所以Y的方差D(Y)＝32·D(X)＝9×＝6，所以Y的标准差为＝. 答案　A 11.解析　A正确；由每次射击，击中目标的概率为0.9，知他第三次击中目标的概率也为0.9，B正确；3次射击恰好2次击中目标的概率为C×0.92×0.1，C不正确；恰好2次未击中目标，即恰好击中目标1次，概率为C×0.9×0.12，D正确． 答案　ABD 12.解析　由超几何分布的定义可知B为超几何分布，其余不是超几何分布． 答案　ACD 13.解析　根据题意，得＝，解得a＝2或a＝8. 答案　AD 14.解析　易知P(X＝1)＝＝. 答案　 15.解析　二级品不多于1台，即一级品有3台或4台，故所求概率为. 答案　 16.解析　由题意知P(X≥8)＝1－P(X＝6)－P(X＝4)＝1－－＝. 答案　 17.解析　设10个球中有白球m个，则＝1－，解得m＝5或m＝14(舍去)．所以P(X＝2)＝＝. 答案　 18.解　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于50个”．因此 P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108. (2)由题意知X～B(3，0.6)，故 P(X＝0)＝C×(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝C×0.6×(1－0.6)2＝0.288， P(X＝2)＝C×0.62×(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝C×0.63＝0.216， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X～B(3，0.6)， 所以均值E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72. 19.解　(1)X的所有可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＝. 20.解　(1)共50名学生代表，抽取2名的样本点总数为C＝1 225. 记“2名学生代表来自不同年级”为事件M，则事件M包含的样本点个数为CC＋CC＋CC＝775.根据古典概型的概率计算公式，得P(M)＝＝. (2)高一、高二年级分别有10，15名学生代表参加调研，从中抽取2名，抽到的高一年级的学生代表人数X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以X的期望值E(X)＝0×＋1×＋2×＝0.8. 01 学科网（北京）股份有限公司 $