16.2 二次根式的乘除-【金牌题库】2025-2026学年新教材八年级数学快乐假期寒假复习计划 (人教版2024）

数学·八年级·RJ 0品a2a-220a-20u-2y20 .原式= 1 (a-22>0. 4.(1)P=x+D(2解集为1≥3各，最小整数解为4 5.【解】(1)9×10-g=0.00009g (2)45÷0.00009=500000=5×105 故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×10倍」 6.(1)54(2)3±4(3)a=36.p=1;a=6,p=2:a=-6,p=2 中考连接原武-日+治4=3b=1原武=子 P41-42 -、1.A2.A3.D4.D5.D6.D7.A8.A 二、1.32.803.m>0且m≠14.120 三，1.【解】(1)去分母得2x+2=x+3,解得x=1.经检验，x=1是增根，此分式方 程无解 (2)去分母得7x-7+3x+3=x3-x+7x-x3,移项，合并同类项得4x=4,解得 x=1.经检验，x=1是增根，此分式方程无解。 2.【解】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里 80_116=2,解得x=2, 根据题意，得0.5x 经检验，x=2是原方程的解，且符合题意」 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里. 3.【解】(1)（答案不唯一）选①.设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商 品需要(x+10)元，根据题意，得300=100，解得x=5.经检验，x=5是原分 x+10=x 式方程的解，且符合题意x+10=15. 答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元 (2)设购买B商品m个，则购买A商品(80-m)个.根据题意，得 80-m≥4m, 15(80-m)+5m≥1000，解得15≤m≤16，m为整数，.m-15或16..商 (15(80-m)+5m≤1050. 店有两种购买方案.方案①：购买A商品65个，B商品15个：方案②：购买A商 品64个，购买B商品16个 中考连接【解】设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是；元。 根据题意，得28-100=3，解得x=16, 4 经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意子=于×16=20（元）.。 答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元 P43-45 -1.B2.C3.D4.C5.D6.A7.C8.C9.A10.A =1.962.3.5×10-63.1+m4.36°5.AC=ED6-x+ 7.(1,-1)或(5,3)或(5，-1) 三1.3a6-a)22(15(2x=子(3)x=-2 3.【解】(1)原式=x-4=2:(2)原式=x2+x-2=4 4.(1)【解】①，③，②（答案不唯一）. (2)【证明】在△AOC和△B0D中， (∠A=∠B. ∠AOC=∠BOD,△AOC≌△BOD(AAS),·AC=BD. 0C=0D, 5.【解】(1)四边形OABC关于y轴对称的图形如图 所示，点B的对应点的坐标为(-2,3). (2)使PA+PB的值最小的点P的坐标为(0,2) 如图所示。 6.【解】设A型机器人每小时搬运x袋大米，则B A 型机器人每小时搬运(：一20)袋大米依题意得，四：0躬得x=0经检 验，x=70是原分式方程的解，所以x-20=50. 7.【证明】(1)DE⊥AB,DF⊥AC,.∠E=∠DFC=90°， 在R1△BED和R△CFD中{BD=CPR△BED≌R△CFD(HL. BE =CF, DE=DF,又DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC （2在AD和△Mn中，{论 .RL△AED≌RL△AFD(HL),∴AE =AF,BE CF,..AB +AC =AE-BE+AF+CF =AE-CF+AE+CF=2AE 6 P46-48 一、1.D2.B3.A4.D5.A6.A7.D8.A9.D10.D 二、1.(-3，-2)2.m(4m+n)(4m-n)3.50 4共55618740或0°86 三1分2当x=-2时，原式=二号子 3.【解】(1)完全平方公式. (2)该同学没有完成因式分解，(m2-4m+4)2=[(m-2)2]2-(m-2)4 (3)设x2-2x=y, 则原式=(y+4)(y-2)+9=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x 1)4 4.(1)I解】AB∥CD,∠CAB=180°-∠ACD,又由题意知AM平分∠CAB ∠MAB=分∠C1B=号×(180-124)=28 (2)【证明】AB∥CD,,∠CMA=∠MAB, ∠MAB=∠CAM,∴.∠CAM=∠CMA. :CN⊥AM,.∠CNM=∠CNM=90°. (∠CAW=∠CMW, 在△CAW与△CMN中， ∠CNA=∠CNM,∴△CAW≌△CMN. ACN=CN 5.(1)【证明】AB∥DE∠B=∠E, I∠B=∠E 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D,.△ABC≌△DEF(AAS): (AC=DF (2)【解】由(1)可知：△ABC≌△DEF,.BC=EF .BF+CF=EC+CF,:.BF=EC, BF=4,FC=3,.EC=4,.BE=BF+EF+EC=4+3+4=11. 6.【证明】如图，连接CD. :AC=BC,∠ACB=90°，，△ABC是等腰直角三角 形，∠A=∠B=45 :D为AB的中点，.CD平分∠ACB,CD⊥AB .∠DCF=45°，.AD=BD=CD. (AE=CF. 在△ADE和△CDF中， ∠A=∠FCD. AD=CD, .△ADE≌△CDF(SAS)..DE=DF,∠ADE=∠CDF. :∠ADE+∠EDC=90°，.∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF 8.(1)BE=CE (2)PD=PB.证明：如图，连接PE. △ACE,△ADP都是等边三角形，.AC=AE,AD=AP ∠CAE=∠DAP=6O°，.∠CAD=∠EAP,.△CAD≌ △EAP,.∠ACD=∠AEP=90°，.PE⊥AB.EA=EB .PA PB..DP=AP,..PD=PB. (3)当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：PD=PB. P52 -、1.B2.A3.C4.D5.B 二1≤号264314≥1512或2 三1解1山根据意每，招 ,解得a=17. (2)由(1)和6+8=0，解得b=-8.则a2-b2=172-（-8)2=225,所以a2- 62的平方根是±15. 2.(1)5(2)35(3)6 P56 -、1.D2.C3.B4.D5.A 二l1+52.v+d3<- 三1(1)206(2)-5 2(年】提据超意得{？60常得6<：9因为：为偶款，所以=8 原式=(x+2)=2x+2五：√R-4」 +2 将x=8代人，得原式=√82-4=2√5. 3.【解】设圆的半径为rcm,根据题意得πr2=√90元×√40示=√0m×40元= 60m, 解得r=2√5cm,则圆的半径为2√5cm 0月 日 星期 复习计划 FU XI,JI HUA 16.2二次根式的乘除 ◆知识讲解 知识点一二次根式的乘法法则 1.二次根式的乘法法则的符号表示 √a·√b=√ab(a≥0，b≥0) 2.二次根式的乘法法则的语言叙述 二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变 3.二次根式乘法法则的拓展 (1)a·b·c=abc(a≥0，b≥0，c≥0)；(2)ab·c√a=ac√bd(b≥0，d≥0)，即当二次根 式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积 作为被开方数. 例1计算：(1)2图×7：(2骨×v26:(3)4西·4627×(-2 分析：(1)(2)两题直接利用va·√b=√ab(a≥0，b≥0)进行计算；(3)(4)两题将两个系数和 两个二次根式分别相乘，同时注意确定积的符号. 解：1)v28×7=2s7=7x2-14.(2)日×v256-√经×256-va=8 （84网g=4=4 (4)627×(-2√5)=6×(-2)×√27×3=-12√81=-12×9=-108. 知识点二二次根式乘法法则的逆用 1.二次根式乘法法则逆用的符号表示 √ab=√a·√D(a≥0，b≥0).二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根. 2.二次根式乘法法则逆用的拓展 √abca=√a·√b·c·√a(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0) 例2化简：(1)√300；(2)√200abc(a>0,c>0);(3)√/(-14)×(-112)；(4)W132-122; (5)√16x+32x2(x>0). 分析：先将被开方数（式）进行因数分解（因式分解），再应用积的算术平方根的性质，将能开得 尽方的因数或因式开出来 解：(1)√300=√3×10=√3×√10=105. (2)√200abc=√2×102·(a)2·a·()2·c2·c=2×√10.√(a)7·a·√()7· √cZ.Nc=10a2b2c√2ac. (3)√(-14)×(-112)=√14×112=√2×7×4=2×√7×√4厘=7×4×2=282. (4)√132-122=√/(13+12)×(13-12)=√25×1=√25×√T=5. (5)√16x4+32x2=16x2(x2+2)=16·√x2·√x2+2=4x√x2+2. 知识点三二次根式的除法法则 1.二次根式除法法则的符号表示 %-e060 53 数学·八年级·RJ 2.二次根式除法法则的推广 (1)Wa÷b÷c=√a÷b÷c(a≥0，b>0,c>0); (2)(m√a)÷(n√b)=(m÷n)·(a÷√b),其中a≥0，b>0,n≠0. g(2)25 例3计算：(1)y4 √ab 0). 分析：利用二次根式的除法法则进行计算 解：山方法8-6=4（方法2）3=6x,6三4 55 2西6--层 a）-万（帚层）=(-1×27层-958=-202 (5)(方法1).·a>0,b>0, a bs √ab ab =后6=6.（方法2）a>0.b>0,云5=·不·6=a6. √ab ab 知识点四二次根式除法法则的逆用 1.二次根式除法法则逆用的符号表示 a-a(u≥0，b>0). √bb 2.二次根式除法法则逆用的语言叙述 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根， 例4化面：（1)5号：2)盟 7144:3)2165 分析：利用后爱u=0,6>0来化益 /125√125√25×5_5W5 解.1）54=，=g=3(2)144444 12 Γ12 (3) 121b_125b·2a _√/112b4·2ab_11b2√2ab √8a3N8a3·2a √16a 4a2 知识点五最简二次根式 1.最简二次根式的概念 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 (1)被开方数不含分母：(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 例5下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由. （1)02:(2)层：(3厚：(4言（5)+60+9a:6)2C-:(7)v2 (8) 3 解：(6)(8)是最简二次根式，(1)(2)(3)(4)(5)(7)都不是最简二次根式. 54 月 日 星期 复习计划 FU XI,JI HUA (1)√0.2的被开方数不是整数，(2) ,层的被开方数含有分母： (3) /2的被开方数含有分母：(4)名的分母中含有二次根式： (5)√a3+6a2+9a的被开方数含有能开得尽方的因式(a+3)2: (7)√32n的被开方数含有能开得尽方的因数16. 故(1)(2)(3)(4)(5)(7)都不是最简二次根式. 2.化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽 方的因数或因式进行 8=√4×2=22 开方 若被开方数中 含有带分数，应 先将带分数化 写唇号政写厚得得号 成假分数 若被开方数中 化去根 含有小数，应先 9 号下的 将小数化成 分母 分数 若被开方数是 分式，应先将分 式的分母化成 5a 5a·3c 15ac 15ac √126c=√1262c·3=√36b2 6bc (a>0,b>0,c>0) 平方的形式，再 进行开方运算 被开方数是多项式的要 先进行因式分解 +2xy+x=v(+xy)=v()=(x2+)(x>0) 3.分母有理化 (1)分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根 号的变形叫做分母有理化. (2)分母有理化的方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含 有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式)，化去 分母中的根号.分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜 例6把下列二次根式化成最简二次根式： 1)v240:2)M.25,3)小7：4)v757a>0.b>0. 析：主要运用公式=血·B(a≥0，b≥0，份-=%a≥0,6>0)和、0=a(a≥0)对 次根式进行化简. )2015×54压.(2i西-得-语-亭(a小局-贸 27×5 32×3×5 W20×5 A 102 -高5.4)5ab-5x8a-5·0-5av3 55 数学·八年级·RJ 巩固训练 一、选择题 1.下列各式正确的是 A.√(-4)×(-9)=√J-4×√-9 Bi6+=i6x C4号-a× 4 D.√4×9=√4× 2.已知b>0,化简√J-ab的结果是 A.a√ab B.-a√ab C.-a√-ab √-ab 3.将√45？化简得 3 5y A B.- C.-3 5y D.35 5 4.下列计算错误的是 A.√2=23 B.√（-3)2=3 C.√18÷2=3 ,1 D.1-4 =1 2 5.若b>0,则 一4化成最简二次根式为 -丽 D.2b√-ab 二、填空题 1.如果a-+2-b=0,那么1+6 a b 2.已知a,b,c为正数，d为负数，化简ab-cd ab+√c 3.不等式-√2x>√5的解集是 三、解答题 1.计算：1)34s÷后×2写23层x(-日15)÷2得： 2已知公二石=9二1是偶数求代数式(x+2)号的慎 Nx-6√x-6 3.已知长方形的长为√90mcm,宽为√40元cm,求与这个长方形面积相等的圆的半径. 56