16.1 二次根式-【金牌题库】2025-2026学年新教材八年级数学快乐假期寒假复习计划 (人教版2024）

数学·八年级·RJ 0品a2a-220a-20u-2y20 .原式= 1 (a-22>0. 4.(1)P=x+D(2解集为1≥3各，最小整数解为4 5.【解】(1)9×10-g=0.00009g (2)45÷0.00009=500000=5×105 故这块橡皮的质量是1cm3的氢气质量的5×10倍」 6.(1)54(2)3±4(3)a=36.p=1;a=6,p=2:a=-6,p=2 中考连接原武-日+治4=3b=1原武=子 P41-42 -、1.A2.A3.D4.D5.D6.D7.A8.A 二、1.32.803.m>0且m≠14.120 三，1.【解】(1)去分母得2x+2=x+3,解得x=1.经检验，x=1是增根，此分式方 程无解 (2)去分母得7x-7+3x+3=x3-x+7x-x3,移项，合并同类项得4x=4,解得 x=1.经检验，x=1是增根，此分式方程无解。 2.【解】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里 80_116=2,解得x=2, 根据题意，得0.5x 经检验，x=2是原方程的解，且符合题意」 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里. 3.【解】(1)（答案不唯一）选①.设购买一个B商品需要x元，则购买1个A商 品需要(x+10)元，根据题意，得300=100，解得x=5.经检验，x=5是原分 x+10=x 式方程的解，且符合题意x+10=15. 答：购买一个A商品需要15元，购买一个B商品需要5元 (2)设购买B商品m个，则购买A商品(80-m)个.根据题意，得 80-m≥4m, 15(80-m)+5m≥1000，解得15≤m≤16，m为整数，.m-15或16..商 (15(80-m)+5m≤1050. 店有两种购买方案.方案①：购买A商品65个，B商品15个：方案②：购买A商 品64个，购买B商品16个 中考连接【解】设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是；元。 根据题意，得28-100=3，解得x=16, 4 经检验，x=16是所列方程的解，且符合题意子=于×16=20（元）.。 答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元 P43-45 -1.B2.C3.D4.C5.D6.A7.C8.C9.A10.A =1.962.3.5×10-63.1+m4.36°5.AC=ED6-x+ 7.(1,-1)或(5,3)或(5，-1) 三1.3a6-a)22(15(2x=子(3)x=-2 3.【解】(1)原式=x-4=2:(2)原式=x2+x-2=4 4.(1)【解】①，③，②（答案不唯一）. (2)【证明】在△AOC和△B0D中， (∠A=∠B. ∠AOC=∠BOD,△AOC≌△BOD(AAS),·AC=BD. 0C=0D, 5.【解】(1)四边形OABC关于y轴对称的图形如图 所示，点B的对应点的坐标为(-2,3). (2)使PA+PB的值最小的点P的坐标为(0,2) 如图所示。 6.【解】设A型机器人每小时搬运x袋大米，则B A 型机器人每小时搬运(：一20)袋大米依题意得，四：0躬得x=0经检 验，x=70是原分式方程的解，所以x-20=50. 7.【证明】(1)DE⊥AB,DF⊥AC,.∠E=∠DFC=90°， 在R1△BED和R△CFD中{BD=CPR△BED≌R△CFD(HL. BE =CF, DE=DF,又DE⊥AB,DF⊥AC,.AD平分∠BAC （2在AD和△Mn中，{论 .RL△AED≌RL△AFD(HL),∴AE =AF,BE CF,..AB +AC =AE-BE+AF+CF =AE-CF+AE+CF=2AE 6 P46-48 一、1.D2.B3.A4.D5.A6.A7.D8.A9.D10.D 二、1.(-3，-2)2.m(4m+n)(4m-n)3.50 4共55618740或0°86 三1分2当x=-2时，原式=二号子 3.【解】(1)完全平方公式. (2)该同学没有完成因式分解，(m2-4m+4)2=[(m-2)2]2-(m-2)4 (3)设x2-2x=y, 则原式=(y+4)(y-2)+9=y2+2y+1=(y+1)2=(x2-2x+1)2=(x 1)4 4.(1)I解】AB∥CD,∠CAB=180°-∠ACD,又由题意知AM平分∠CAB ∠MAB=分∠C1B=号×(180-124)=28 (2)【证明】AB∥CD,,∠CMA=∠MAB, ∠MAB=∠CAM,∴.∠CAM=∠CMA. :CN⊥AM,.∠CNM=∠CNM=90°. (∠CAW=∠CMW, 在△CAW与△CMN中， ∠CNA=∠CNM,∴△CAW≌△CMN. ACN=CN 5.(1)【证明】AB∥DE∠B=∠E, I∠B=∠E 在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D,.△ABC≌△DEF(AAS): (AC=DF (2)【解】由(1)可知：△ABC≌△DEF,.BC=EF .BF+CF=EC+CF,:.BF=EC, BF=4,FC=3,.EC=4,.BE=BF+EF+EC=4+3+4=11. 6.【证明】如图，连接CD. :AC=BC,∠ACB=90°，，△ABC是等腰直角三角 形，∠A=∠B=45 :D为AB的中点，.CD平分∠ACB,CD⊥AB .∠DCF=45°，.AD=BD=CD. (AE=CF. 在△ADE和△CDF中， ∠A=∠FCD. AD=CD, .△ADE≌△CDF(SAS)..DE=DF,∠ADE=∠CDF. :∠ADE+∠EDC=90°，.∠CDF+∠EDC=∠EDF=90°，即DE⊥DF 8.(1)BE=CE (2)PD=PB.证明：如图，连接PE. △ACE,△ADP都是等边三角形，.AC=AE,AD=AP ∠CAE=∠DAP=6O°，.∠CAD=∠EAP,.△CAD≌ △EAP,.∠ACD=∠AEP=90°，.PE⊥AB.EA=EB .PA PB..DP=AP,..PD=PB. (3)当点D为边CB延长线上任意一点时，同法可证：PD=PB. P52 -、1.B2.A3.C4.D5.B 二1≤号264314≥1512或2 三1解1山根据意每，招 ,解得a=17. (2)由(1)和6+8=0，解得b=-8.则a2-b2=172-（-8)2=225,所以a2- 62的平方根是±15. 2.(1)5(2)35(3)6 P56 -、1.D2.C3.B4.D5.A 二l1+52.v+d3<- 三1(1)206(2)-5 2(年】提据超意得{？60常得6<：9因为：为偶款，所以=8 原式=(x+2)=2x+2五：√R-4」 +2 将x=8代人，得原式=√82-4=2√5. 3.【解】设圆的半径为rcm,根据题意得πr2=√90元×√40示=√0m×40元= 60m, 解得r=2√5cm,则圆的半径为2√5cm 0月 日 星期 复习计划 FU XI,JI HUA 新课衔接篇 第十六章二次根式 16.1二次根式 ◆知识讲解 知识点一二次根式的概念 1.二次根式的概念 一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“√一”称为二次根号 2.二次根式的四点说明 (1)必须含有二次根号“√一”。 (2)被开方数必须是非负数，如√-3和√-a-3都不是二次根式. (3)二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子 (4)式子a表示非负数a的算术平方根，因此a≥0，√a≥0.二次根式具有双重非负性. 例1判断下列各式，哪些是二次根式？ (1)6;(2)√-18；(3)√元2+1：(4)-8；(5)√元+2x+1;(6)3√x;(7)√1+2x(x<- :8)a+ 分析：(1)(3)(5)(6)中都含有二次根号，且被开方数都是非负数，符合二次根式的概念；(2) 中式子不是二次根式，因为它的被开方数为负数；(4)中式子不是二次根式，因为它的根指数为3，不 符合二次根式的概念：(7)中式子x<-的条件下，1+2x<0,则被开方数为负数，因此不是二次根 式；(8)当a<-1时，a+1<0,此时√a+I不是二次根式 解：(1)(3)(5)(6)是二次根式 知识点二二次根式有无意义的条件 类型 条件 字母表示 二次根式有意义 被开方数（式）为非负数 √a有意义台a≥0 二次根式无意义 被开方数（式）为负数 √a无意义台a<0 例2当x取什么实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 0)2-5:2)4+4+1:(3)2-45(4) 1 -2;(5)+I+在-2：(6)+-元 解：(1)由2-5x≥0，得x≤号当≤号时，2-5在实数范围内有意义。 (2).:不论x取任何实数，4x2+4x+1=(2x+1)2≥0，.x取任何实数，√4x2+4x+1在实数范围内 均有意义， (3)由2x4>0,得2x-4>0,即x>2当x>2时，2x-4在实数范围内有意义 4)油代38得纪25即当-5R2当-5日≠2时在实数花后内 (x≠2， x-2 49 数学·八年级·RJ 有意义 (5)由x+1≥0且x-2≥0，得x≥2..当x≥2时，√x+I+√x-2在实数范围内有意义. (O由n.得=0首：=0时+在实数花恒内有意义 知识点三二次根式的性质 1.√a(a≥0)的性质 符号语言 √a≥0(a≥0) 文字语言 一个非负数的算术平方根是非负数 注意 √a(a≥0)的最小值为0 2.(Na)2(a≥0)的性质 符号语言 (a)2=a(a≥0) 文字语言 一个非负数的算术平方根的平方等于它本身 (1)正用公式：(5)2=5，（√m+1)2=m2+1 应用 （2)逆用公式者≥0，则a=(6,如2=(，-（√） 提示 逆用公式可以在实数范围内分解因式，如a2-5=a2-(5)2=(a+5)(a-5) 3.√的性质 1a(a>0). 符号语言 √a=lal=0(a=0), -a(a<0) 文字语言 任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 (1)正用公式：√(3-)了=3-=-3 应用 2)逆用公式3，√写-√B× 1 =5(以后将会学习) 例3计算：()(/层)产：(2)(45)：(3)-6：(4)-（-8产； (5)v02-5:(6)(-任：(7)-2++P-6+9(1≤≤3) 解，1)层2=2（(2)45)=4×(3)2=16x3=48 3)-6=1-61-6.(4-g2=-1-g=g (5)2-5=12-51=5-2.6-经)产-（好-4 (7):(1≤x≤3).x-1≥0，x-3≤0..√x2-2x+1+√x-6x+9=√(x-1)7+√(x-3)7 =1x-1|+|x-31=x-1+3-x=2. 例4(1)如果√(2a-1)下=1-2a,那么 1 A.a<2 1 B.a≤2 1 C.a72 1 D.a22 50 月 日 星期 复习计划 FU XI,JI HUA (2)已知y=√2x-5+√5-2x-3,则2xy的值为 A.-15 B.15 月 D.15 解析：(1)因为二次根式具有非负性，所以1-2≥0，解得a≤2 2)根泰二次根式的被开方数为非负数可得仔20解得了将：-代人时求出y- 3,所以2y=2××(-3)=-15 答案：(1)B(2)A 知识点四代数式 1.代数式的定义 用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式 子叫代数式.例如，3，x,x+y,√3x(x≥0)，-ab,三(t≠0)，x都是代数式 2.代数式的书写规范 (1)数与字母相乘的结果通常省略“×”和“.”，并且数写在前面 (2)带分数与字母相乘时，应把带分数化为假分数，如2乘a应写作写： (3)除法的结果应改写成分数的形式，如s÷1=氵 (4)数、字母及有括号相乘时，如4×(a-2b)×m,结果通常记作4m(a-2b) 例5下列式子，①0：2-2，③2+x=4,④号2>1：⑤2a+36:⑥2-（≤2）.其中是代数 式的有 （) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 解析：③④中分别含有“=”“>”，因此它们都不是代数式；①②⑤⑥中的式子都是代数式。 答案：C 例6列代数式： (1)把a本书平均分给若干名学生，若每人分5本，还余3本，则学生人数为 (2)平行四边形的底边长是6cm,该底边上的高是hcm,则它的面积是 cm2; (3)如图所示是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第个图 案中阴影小三角形的个数是 (用含n的代数式表示). 8 1) (2) (3) (4) 分析：(1)学生一共分得(a-3)本书，所以学生人数为3 5 (2)由平行四边形的面积公式，得这个平行四边形的面积是6hcm2. (3)第1个图案中阴影小三角形的个数为2，第2个图案中含有2个(1)中的图案，且上、下方各 有1个阴影小三角形，以阴影小三角形的个数为2×2+2×1，第3个图案中含有3个(1)中的图 案，且上、下方各有2个阴影小三角形，所以阴影小三角形的个数为2×3+2×2，第4个图案中含有 4个(1)中的图案，且上、下方各有3个阴影小三角形，所以阴影小三角形的个数为2×4+2×3；； 第n个图案中阴影小三角形的个数为2n+2(n-1)=4n-2. 答案：(1)4-3 5 (2)6h(3)4n-2 51 数学·八年级·RJ ◆巩固训练 一、选择题 1.下列各式：√10，√2a,√2-1，√x2+y2,√-3,4，√m+1中，一定是二次根式的有 A.3个 B.4个 C.5个 D.7个 2.实数a在数轴上的位置如图所示，则√(a-5)2+√(a-13)2化简后为 A.8 B.-8 C.2a-18 D.无法确定 06a12 3.如果代数式店一有意义，那么x的取值范围是 ( ) √x-1 A.x≥0 B.x≠1 C.x>1 D.x≥0且x≠1 4.下列各式中，计算正确的是 A.2√-8=2 B.(-√2)2=4 C.√(-3)2=-3 D.16=4 5.代数式：+√x-I+√x-2的最小值是 A.0 B.√2+1 C.1 不存在 二、填空题 1.已知代数式3=2有意义，则x的取值范围是 x-2 2.若√x+8+√y-2=0,则x的值为 3.已知1a+1|+√b-2=0,则a+b= 4.要使√(x-1)2=(√x-1)2成立，则x的取值范围是 5.已知x2=5,()2=7,则x+y的值为 三、解答题 1.已知√a-17+√17-a=b+8. (1)求a的值；(2)求a2-b2的平方根. 2.阅读材料：将等式√52=5反过来，可得到5=√52.根据这个思路，我们可以把根号外的因式“移 人“根号内，用于根式的化窗例如5、得-5×号=而。 请你仿照上面的方法，化简下列各式： (13527月38最 3 52