精品解析：江苏省苏州中学2025-2026学年高三上学期12月联考适应性检测数学试题

高三数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，所有答案均写在答题卡上. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本部分共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题所给出的四个选项中，仅有一项最符合题意. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义来求解. 【详解】由交集的定义可知：. 故选：B. 2. 已知复数（为虚数单位），则其共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求出，再求共轭复数. 【详解】u，则其共轭复数为. 故选：A. 3. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由椭圆方程求出和即可求解. 【详解】椭圆，即， 所以则， 故. 故选：D. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平移规则即可求解. 【详解】由题意：， 故选：D 5. 记表示不超过的最大整数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先明确充分条件和必要条件的定义，然后判断“”能否推出“”，以及判断“” 能否推出“”即可. 【详解】充分性：当时，，成立 必要性：当时，，则，不能得到. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与题目条件得到数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】由题意：，则公差，得， 又，两式相减得， 易知，所以，所以，故前10项和为 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两角和差的正弦公式得到，再结合平方关系即可求解. 【详解】由两角和差公式： 则可得方程组，解得 故， 故选：C 8. 已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】方程联立消去得，结合判别式得到恒成立，通过分参求最值即可求解. 【详解】由方程组可知，代入化简得： 由题意，该方程有解，故 该不等式对任意的恒成立，即 设，则， 当时，，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即的最小值为， 故选：B 二、多项选择题：本部分共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对者得6分，部分选对者得部分分，不选或选错不得分. 9. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型直接计算；当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球，根据古典概率模型得到；分别计算出再根据条件概率公式即可得到的值；由，再分别计算出对应的每个概率即可. 【详解】表示甲口袋中取出的球是白球，根据古典概率模型，选项A正确； 当发生，即从甲袋取出一个白球放入乙袋，此时乙口袋中装有2个红球，2个白球， 根据古典概率模型，选项B错误； 表示和同时发生，，当发生，即从甲袋取出一个红球放入乙袋， 此时乙口袋中装有3个红球，1个白球，， 根据条件概率公式可得，选项C正确； 综合以上分析得到 ，选项D正确. 故选：ACD 10. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】分别是定义在上的偶函数和奇函数，由可得，可解出，，再逐个验证选项即可. 【详解】函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且满足可得，即，与联立， 可得，， ，所以，A选项错误； ，故B选项正确； 函数是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增， 若，则，有，所以，C选项正确. 令， 设，当且仅当即时，取最小值为1， 所以方程有两个不相等的实数根，则，D选项正确； 故选∶BCD． 11. 如图1，在等腰梯形中，，且，O为的中点，沿将翻折，使得点A到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ） A. 在翻折过程中，与可能垂直 B. 在翻折过程中，二面角的最大值为 C. 当三棱锥体积最大时，与所成角大于 D. 点P在平面内，且直线与直线所成角为，若点P的轨迹是椭圆或圆，则三棱锥的体积的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，先确定未翻折之前，图形中的数量关系和位置关系，翻折时，当时，可证平面平面，从而可证；对B，在平面内，过点作，交于，以判断点在平面内的射影在直线上，作出二面角的平面角并求出二面角的正切值，得解；对C，当三棱锥的高等于，此时三棱锥体积最大，可求异面直线与所成角；对D，根据圆锥曲线的定义，判断二面角的取值范围，求出高的取值范围，从而的三棱锥的体积的取值范围. 【详解】如图1： 在未折起之前，有，， ， 由平面几何知识，易得，，所以. 所以，，. 对于A，沿将翻折，则点轨迹为一个圆，且圆面一直和垂直，如图2： 当时，此时，又，平面， 所以平面，平面，所以平面平面， 又平面，平面平面，， 所以平面. 又平面，所以，故A正确. 对于B，在平面内，过点作，交于， 由，可得平面，所以点在平面内的射影在直线上， 过点作得平行线交于，连接， 因为平面，所以即二面角的平面角，则， 易知四边形为矩形，所以，又， 所以，即二面角有最大值，最大值为，故B正确； 对于C，当三棱锥的高等于，此时高取得最大值，又底面不变，所以三棱锥的体积最大. 如图： 取中点，连接，，则即为异面直线与所成角， 在中，，，， 所以， 所以，故C错误； 对D：点在平面内，且直线与直线所成角为， 所以点在以为顶点，直线为轴的两个圆锥的侧面上，如图， 若点的轨迹是椭圆，所以平面要与圆锥的侧面相交，与均为翻折过程中二面角的平面角， 根据圆锥曲线的概念，二面角应该在之间取值，且不能为（此时点的轨迹是圆）， 当二面角或时，由上面图3，可得此时棱锥的高为， 所以， 当二面角时，此时点的轨迹是圆，此时棱锥的高为1，， 所以点在平面内，且直线与直线所成角为，且点的轨迹是椭圆或圆时，，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本部分共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知向量满足，且，则向量的夹角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的夹角公式即可求解. 【详解】由已知得， 又， 所以， 所以向量夹角为. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出,两边平方即可求解. 【详解】由已知，所以， 即. 故答案为： 14. 已知曲线且.当实数变化时，函数的图象公共点个数最多有__________个，此时实数的取值范围是______. 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】原题等价于与的图象公共点最多有几个，根据的情况，分和以及三种情况分类讨论，即可求解. 【详解】原题等价于与的图象公共点最多有几个，且此时的取值范围问题. （1）当时，与有2个公共点； （2）当时，令， ①当时，和在上单调递增， 在上单调递增， 且， 所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点， ②当时解方程， 令，则， 当时，单调递增；当时，单调递减， 因此的最大值为，又时，，时，， 则与在上最多有2个公共点，此时需满足，即的范围是， 所以当的范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点； （3）当时， ③当时，在单调递减，且， 所以在上只有1个零点，即与在上只有一个公共点， ④当时，，令， 解方程， 由②知，与在上最多有2个公共点， 此时需满足，解得， 所以当的范围是，在上有3个零点，即与在有3个公共点； 综上所述，与最多3个公共点，. 故答案为：；. 四、解答题：本部分共5小题，共计77分，作答时应写出必要的证明过程、演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程组，即可求解； （2）利用裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，且， 解得， 所以； 【小问2详解】 ， 所以. 16. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上. （1）过A作，H为垂足，证明：面PCD； （2）若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，平面，所以. 在中，. 同理，在中，有. 又因为，所以， 所以，，故，即. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为，平面，则平面，又因为平面， 所以平面， 又因为平面平面，，平面平面， 所以平面. （2） 连接，因为平面，面， 所以，由勾股定理得， 同理可得，即， 因为，所以. 平面与平面所成角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由余弦定理可得，结合勾股定理即可得到，再由面面垂直的判定定理可证平面平面，再由面面垂直的性质定理即可证得平面； （2）利用勾股定理即可证明，再建立空间直角坐标系，求出关键平面的法向量，利用二面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明略. 由上知为的交点，且由平行线性质得， 得到，故， 过作直线的平行线，则两两垂直， 如图，以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 得到，， ，， 设平面的法向量为， 则，令， 解得，，故， 设平面的法向量为， 则，令， 解得，，故， 设平面与平面所成角为， 则， 故平面与平面所成角的余弦值为． 17. 已知，，三点 （1）求外接圆方程； （2）若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ （3）S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 【答案】（1） （2） 不能，理由如下： 设双曲线D方程为， 则，所以双曲线方程为， 若存在，由题易知直线斜率存在，设，且， 因为M、N在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点A为线段MN的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 又由题知点P在直线上，且， 所以不存在符合题意直线l， 综上，点A不是线段MN的中点. （3） 设，直线BS方程为， 则， 所以， 所以，得， 同理， 所以. 【解析】 【分析】（1）设圆的一般方程列方程组计算求解； （2）代入点得出双曲线方程，再应用点差法计算求解结合点A为线段MN的中点得出矛盾； （3）联立方程计算得出，再应用斜率公式计算求解. 【小问1详解】 设圆方程为， ， 求出， 所以所求圆方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知的三边分别为，，，面积为，，. （1）求； （2）若，点，是边上的两个动点，. （Ⅰ）当时，求面积的最小值； （Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，且， 【解析】 【分析】（1）借助三角形面积公式与余弦定理计算即可得； （2）（Ⅰ）设，借助正弦定理与三角形面积公式可表示出，再结合三角恒等变换公式与的范围计算即可得；（Ⅱ）由题意可得为定值，则可借助三角恒等变换公式将等式变形成含有相关角的形式，再令含变量的系数为计算即可得解. 【小问1详解】 ，则， 则； 【小问2详解】 （Ⅰ）由，则， 则， 又，则，，有， 故，， 不妨设更靠近，如下图，设，则， 则，， 在中，有，即， 在中，有，即， 则 ， 由，则，故， 故； （Ⅱ） ， 由 ， 则， 故可变形为： ， 即， 由，，，故， 则当为常数时，为定值，又为常数， 则需满足， 则， 即，又，故， 则， 故存在，且，，使得对于任意满足题意的，， 都有恒成立. 19. 已知函数，的导函数为，其中，若对于任意的，都有，则称函数，满足“性质”. （1）设，求曲线在点处切线的方程； （2）设，，若函数，满足“性质”，求的取值范围； （3）如果正数满足：对于任意满足“性质”的函数，，都有，求的取值集合. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）求出函数的导函数，依题意在上恒成立，分，，，三种情况讨论，求出参数的取值范围，即可得解； （3）首先说明时函数，都不具有性质，当时说明对任意的且都成立，两边取对数得恒成立，即可求出参数的值. 【小问1详解】 因为，则，所以， 所以曲线在点处切线的方程为，即； 【小问2详解】 因为，所以， 因为函数，满足“性质”， 所以在上恒成立， 即在上恒成立. 当时，此时，不符合题意； 当时， 函数开口向上，当时， 则，不符合题意； 当时，此时由，解得， 所以当时恒成立，即符合题意； 当时，即在上恒成立， 即在上恒成立， 若在上恒成立， 令，则，解得， 所以当时恒成立， 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 ①当时，在上是增函数. 由于，满足性质， 即，与在上是增函数矛盾， 故时函数，都不具有性质. ②当时，若函数，具有性质，则不等式 即对任意恒成立，整理得. 当时，，不满足； 说明对任意的且都成立， 两边取对数得恒成立. 令，则，说明是的极大值点. 而，所以解得. 当时，， 当时，则在上严格增， 当时，则在上严格减， 所以恒成立. 所以的取值集合为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，所有答案均写在答题卡上. 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本部分共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题所给出的四个选项中，仅有一项最符合题意. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则其共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 4. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5. 记表示不超过的最大整数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，对任意，方程组存在实数解，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、多项选择题：本部分共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题所给出的四个选项中，有多个选项符合题意，全部选对者得6分，部分选对者得部分分，不选或选错不得分. 9. 已知甲口袋中装有3个红球，1个白球，乙口袋中装有2个红球，1个白球，这些球只有颜色不同.先从甲口袋中随机取出1个球放入乙口袋，再从乙口袋中随机取出1个球.记从甲口袋中取出的球是红球、白球分别为事件、，从乙口袋中取出的球是红球为事件B，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 方程有两个不相等的实数根，则 11. 如图1，在等腰梯形中，，且，O为的中点，沿将翻折，使得点A到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ） A. 在翻折过程中，与可能垂直 B. 在翻折过程中，二面角的最大值为 C. 当三棱锥体积最大时，与所成角大于 D. 点P在平面内，且直线与直线所成角为，若点P的轨迹是椭圆或圆，则三棱锥的体积的取值范围是 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本部分共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知向量满足，且，则向量的夹角为______. 13. 已知，则__________. 14. 已知曲线且.当实数变化时，函数的图象公共点个数最多有__________个，此时实数的取值范围是______. 四、解答题：本部分共5小题，共计77分，作答时应写出必要的证明过程、演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前项和为； 16. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，，点P在底面的射影点Q在线段AC上. （1）过A作，H为垂足，证明：面PCD； （2）若，证明：，并求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 17. 已知，，三点 （1）求外接圆方程； （2）若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ （3）S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 18. 已知的三边分别为，，，面积为，，. （1）求； （2）若，点，是边上的两个动点，. （Ⅰ）当时，求面积的最小值； （Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 19. 已知函数，的导函数为，其中，若对于任意的，都有，则称函数，满足“性质”. （1）设，求曲线在点处切线的方程； （2）设，，若函数，满足“性质”，求的取值范围； （3）如果正数满足：对于任意满足“性质”的函数，，都有，求的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $