4.3.2等比数列前n项和公式 对点训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2等比数列前n项和公式 对点训练（学生版） 必备知识： 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==. 2.等比数列前n项和的性质: {an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和. (1)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn. (2)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列. (3)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q,或=q. (4).等比数列{an}的前n项和Sn,可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0). 对点训练： 一、单选题 1．已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 2．设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 3．已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 4．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 5．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 6．等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 7．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 二、多选题 9．已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（    ）    A． B． C． D． 11．已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 三、填空题 12． ． 13．在等比数列中，，则＝ ． 14．已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为 ． 四、解答题 15．设等比数列的前项和为，且，求． 16．已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.2等比数列前n项和公式 对点训练（解析版） 必备知识： 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn==. 2.等比数列前n项和的性质: {an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和. (1)当q≠-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为qn. (2)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列. (3)若数列{an}的项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q,或=q. (4).等比数列{an}的前n项和Sn,可以写成Sn=Aqn-A(A≠0,q≠1,0). 对点训练： 一、单选题 1．已知等比数列的前项和为，若，则公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】由题知，所以. 故选：C. 2．设正项等比数列的前项和为，且，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】B 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、基本不等式求和的最小值 【分析】设正项等比数列的公比为，将转化成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由题可设正项等比数列的公比为， 则， 当且仅当即时等号成立. 所以的最大值为2. 故选：B 3．已知等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A．49 B．63 C．84 D．105 【答案】A 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列前项和性质列式计算即可求解. 【详解】由题意可知，成等比数列， 所以，解得. 故选：A 4．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 5．已知等比数列的前项和为，若，则的最小值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【知识点】等比数列片段和性质及应用、等比数列前n项和的其他性质 【分析】利用，，成等比数列，借助，可以把看成一个关于的二次函数，从而可求最小值. 【详解】由题意知，，成等比数列，所以， 即，所以， 当时，取得最小值3. 故选：D. 6．等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．3 D．12 【答案】A 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列前n项和的其他性质 【分析】按与两种情况分类讨论，根据等比数列前项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，当时，，不合题意； 当时，等比数列前项和公式， 依题意，得：，解得：. 故选：A 7．已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】前n项和特点 【分析】利用与的关系求出数列的通项公式，利用等比数列的定义可得出关于的等式，解之即可. 【详解】当时，， 当时，， 故当时，， 因为数列为等比数列，易知该数列的公比为，则，即， 解得. 故选：C. 8．云冈石窟，古称为武州山石窟寺，是世界文化遗产.若某一石窟的某处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列，则的值为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【知识点】等比数列的简单应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】推导出是以2为公比的等比数列，且，解得，由此能求出的值． 【详解】从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列， 因为每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍， 所以是以2为公比的等比数列， 由于共有1016个“浮雕像”，即， 整理得：，解得， 所以， 所以． 故选：B 二、多选题 9．已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】根据等比数列片段和的性质及已知得，进而得到、，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，，而，则， 所以，又，则，A错， 且，所以，B对， ，，C对，D错. 故选：BC 10．如图的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，灰色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，设数列的前项和为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】根据已知图形结合等比数列的知识逐项计算即得. 【详解】因为，A选项正确； 依题意，， 所以是首项为1，公比为3的等比数列，所以， ，C选项正确； ，B选项错误； ，D选项正确； 故选：ACD. 11．已知正项等比数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是单调递减数列 B． C． D． 【答案】BC 【知识点】等比数列的单调性、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据给定条件，求出公比及首项，进而求出通项，再逐项判断得解. 【详解】设等比数列的公比为，由 得，解得，由，解得， 对于A，，数列是单调递增数列，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 故选：BC 三、填空题 12． ． 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】变形得，再分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【详解】因为， 所以 . 故答案为： 13．在等比数列中，，则＝ ． 【答案】17 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】应用等比数列求和公式计算得出，再代入计算求解. 【详解】在等比数列中，设公比为， 因为，所以不是1， 所以，所以， 则． 故答案为：17. 14．已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和．当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为 ． 【答案】 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】略 【详解】略 四、解答题 15．设等比数列的前项和为，且，求． 【答案】 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式求出，进而求出. 【详解】依题意，等比数列的公比，则， 由，得，则，即，， 所以． 16．已知数列是等比数列． (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)或． (3)50 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】（1）应用等比数列前项和公式，代入基本量运算即可； （2）应用等比数列前项和公式建立方程组求解基本量，再由通项公式可得； （3）由等比数列的定义可得，化奇数项和为偶数项和，整体求解可得. 【详解】（1）由已知， 则 ； （2）若，则，不符合题意，， ，且， 两式相除得， 解得或． 当时，；当时，， 或； （3），则，即， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $