4.3.1等比数列的概念 对点训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1等比数列的概念 对点训练（学生版） 必备知识： 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数). (2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,则G2=ab. 2.等比数列的通项公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1; (2)通项公式的推广:an=amqn-m. 3.等比数列的性质：已知{an}是等比数列. (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm. (3)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列. 解题通法： 1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列, 则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},,{an·bn},也是等比数列. 2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0. 3.三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为,,xq,xq3. 对点训练： 一、单选题 1．“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．在等比数列中，，则公比（    ） A．6 B．3 C．或6 D．或3 4．已知等比数列的公比大于1，且，则的最小值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．38 5．我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 6．已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 7．已知数列满足，且对任意的，都有，则（   ） A． B． C． D． 8．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了六个伙伴，第二天七只蜜蜂飞出去各自带回六个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第七天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（    ） A．只 B．只 C．只 D．只 二、多选题 9．已知等比数列中，，则下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 10．已知等比数列，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 11．在等比数列中，，，则可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．在等比数列中，，，则公比 ． 13．在正项等比数列中，若，，则 . 14．已知等比数列，，，则 . 四、解答题 15．已知数列中，，求数列的通项公式． 16．已知数列满足，且，求数列的通项公式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1等比数列的概念 对点训练（解析版） 必备知识： 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q表示(显然q≠0).数学语言表达式:=q(n≥2,q为非零常数). (2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,则G2=ab. 2.等比数列的通项公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=a1qn-1; (2)通项公式的推广:an=amqn-m. 3.等比数列的性质：已知{an}是等比数列. (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有ak·al=am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,…仍是等比数列,公比为qm. (3)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列. 解题通法： 1.若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列, 则数列{c·an}(c≠0),{|an|},{},,{an·bn},也是等比数列. 2.由an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数列,还要验证a1≠0. 3.三个数成等比数列,通常设为,x,xq;四个符号相同的数成等比数列,通常设为,,xq,xq3. 对点训练： 一、单选题 1．“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、等比数列的定义 【分析】由等比数列定义逐一分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 2．已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】确定等比中项 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 3．在等比数列中，，则公比（    ） A．6 B．3 C．或6 D．或3 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列性质知，结合题意可得，再解方程即可． 【详解】数列为等比数列，且， ，又， 所以，即， 解得或． 故选：C． 4．已知等比数列的公比大于1，且，则的最小值为（    ） A．20 B．22 C．24 D．38 【答案】C 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列基本量的运算，可得，则，再根据基本不等式求最值即可． 【详解】设的公比为，且， 因为， 所以，即， ，， ，又，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 5．我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 【答案】C 【知识点】等比数列的通项公式的指数函数特征 【分析】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，而生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，通过数据比较可得结果. 【详解】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，显然单调递增， 而，生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨， 则从第6年起处理生活垃圾的量超过每年增加的量， 故该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是. 故选：C. 6．已知等比数列中，是方程的两根，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比中项的性质得出，利用韦达定理求出的值及的符号，最后利用等比数列通项公式判断的符号，从而求出． 【详解】是等比数列，设公比为， ， 是方程的两根， ，同号，且， ，解得， 又 ，故C正确． 故选：C． 7．已知数列满足，且对任意的，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据已知可得、，进而有，，即可求. 【详解】由题设，且，则， 所以数列的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，则，， 所以. 故选：C 8．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了六个伙伴，第二天七只蜜蜂飞出去各自带回六个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第七天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（    ） A．只 B．只 C．只 D．只 【答案】D 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据题意建立等比数列模型，利用等比数列的通项公式计算即可. 【详解】设第天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂只，则， 根据题意，时，， 所以数列是首项为7，公比为7的等比数列， 则. 故选：D. 二、多选题 9．已知等比数列中，，则下列选项中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】作差法比较代数式的大小、基本不等式求和的最小值、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】对于A选项：根据条件结合等比数列的通项公式得到，即可判断； 对于B选项：等比数列的通项公式结合基本不等式，即可求解； 对于C选项：根据A选项得到，即可求解； 对于D选项：作差得到，根据二次函数的图像与性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为（）， 对于A选项：由，得，即，所以A选项正确； 对于B选项：， 当且仅当，即时，等号成立，所以B选项正确； 对于C选项：，当时，，所以C选项错误； 对于D选项：（）， 即，则，所以D选项正确； 故选：ABD. 10．已知等比数列，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】结合等比数列通项公式可求得公比，进而得到. 【详解】设等比数列的公比为，则，即，解得：，B正确，D错误； ，A错误，C正确. 故选：BC. 11．在等比数列中，，，则可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】由已知求得或再分两种情况讨论得解. 【详解】解：由题意，根据等比数列的性质，可得， 又，解得或 若则，此时； 若则，此时． 故选：AB． 三、填空题 12．在等比数列中，，，则公比 ． 【答案】或 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由方程利用等比数列的性质先求，再代入，联立方程组求出. 【详解】已知，所以，解得，即①； 又，则，即②；又， 由①②得，所以，解得或. 故答案为：或 13．在正项等比数列中，若，，则 . 【答案】1024/ 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 14．已知等比数列，，，则 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】为等比数列，， . 故答案为：. 四、解答题 15．已知数列中，，求数列的通项公式． 【答案】 【知识点】构造法求数列通项 【分析】由，得，再利用待定系数法构造新的数列，结合等比数列的定义及通项即可得解. 【详解】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 16．已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、构造法求数列通项 【分析】将条件变为，根据等比数列的定义，可证是以3为首项，3为公比的等比数列，可得，变形可得，根据等比数列的定义，可证是以为首项，为公比的等比数列，整理计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 左右同除得：， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $