累加法在数列中的应用专题训练-2026届高三数学一轮复习

专题训练 累加法在数列中的应用（学生版） 一、单选题 1．已知在数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 3．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第项，则（   ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 5．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 6．在图中，第1个图案包含3粒点子．对任意正整数，第个图案由第个图案加上粒点子组成．求第7个图案的点子数目．（　　）    A．17 B．23 C．33 D．45 7．一个饼，用刀切4次，最多能将其切成多少块？（   ） A．4 B．11 C．8 D．10 8．设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（   ） A．4053 B．4052 C．4051 D．4050 二、多选题 9．将自然数，，，，，按照如图排列，我们将，，，，，称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（    ） A． B． C． D． 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 11．设数列的前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为递增数列 C．数列为等差数列 D．当取最小值时， 三、填空题 12．已知数列满足，则 ； 13．已知数列满足，，则其通项公式为 . 14．已知在数列中，，，则数列的通项公式为 ． 四、解答题 15．在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 16．在数列中，，，求数列的通项公式. 17．在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求； (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，求； (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，求； (10)若，，求； (11)若，，求； (12)若，，求； (13)若，，求； (14)若，，求； (15)若，，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题训练 累加法在数列中的应用（解析版） 一、单选题 1．已知在数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】利用累加法可求得，进而得到. 【详解】，， 当时，， 当时，满足， ，. 故选：C. 2．记为数列的前项积，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】累加法求数列通项、根据数列递推公式写出数列的项、求等差数列前n项和 【分析】先利用累加法求得，再由求解即可. 【详解】由题意， 当时，，，， 累加得， 所以 又当时，也满足， 所以. 故选：C. 3．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就.如图，这是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，构成的数列的第项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和 【分析】由图可得，再借助累加法结合等差数列求和公式计算即可得. 【详解】由图可知的递推公式为， 所以， 因为，所以， 故. 故选：B. 4．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和 【分析】由题知，则，代入计算即可得到，继而得到. 【详解】数列满足，则， ， 则 ， 故选：A. 5．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 6．在图中，第1个图案包含3粒点子．对任意正整数，第个图案由第个图案加上粒点子组成．求第7个图案的点子数目．（　　）    A．17 B．23 C．33 D．45 【答案】D 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】利用累加法结合题意求出通项公式，进而求出第7个图案的点子数目即可. 【详解】设第个图案的点子数目为， 由题意得，，， 则，，， 可得， 则，即，得到，故D正确. 故选：D 7．一个饼，用刀切4次，最多能将其切成多少块？（   ） A．4 B．11 C．8 D．10 【答案】B 【知识点】累加法求数列通项、递推数列的实际应用、求等差数列前n项和 【分析】根据题意分析列出递推数列，进而可求出第4项的值. 【详解】设刀最多能将饼切成块，前刀已经得到块， 对于第n刀，要使得切出的块数最多，则这一刀所在直线必须与前刀所在直线都相交， 在此直线上有个交点，则最多增加n块，从而得到递推公式为， 显然，从而累加得到． 当时，． 故选：B. 8．设数列满足，若表示大于的最小整数，如，，记，则数列的前2026项和为（   ） A．4053 B．4052 C．4051 D．4050 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】根据题意，由递推关系可得数列的通项公式，然后结合的定义得到数列的通项公式，进而求和即可. 【详解】由，得， 故数列是公差为2的等差数列，首项为， 所以， 则 ，， 显然满足上式，则， 故，故， 当时，，故， 所以数列的前2026项和为． 故选：A． 二、多选题 9．将自然数，，，，，按照如图排列，我们将，，，，，称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解． 【详解】不妨设第个“拐弯数”为， 不难发现，，，，， 所以， 利用累加法得， 因而， 当时，也符合上式， 所以 令，可得，解得或（舍去），故是“拐弯数”， 令，可得，解得（舍去）或（舍去），故不是“拐弯数”， 令，可得，解得或（舍去），故是“拐弯数”， 令，可得，解得或（舍去），故是“拐弯数”， 故选：ACD． 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】根据的值，结合图形，可得，利用累加法可得，即可判断选项A、C，再计算前6项的和，即可判断选项B，得用裂项求和可判断选项D，进而可得到答案. 【详解】由题意可知：所以，所以选项A错误； 时，, 以上式子累加可得：，即， 也适合上式，故，所以选项C正确； 因为， 所以，所以选项B正确； 因为， 所以，所以选项D正确； 故选：BCD. 11．设数列的前n项和为，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为递增数列 C．数列为等差数列 D．当取最小值时， 【答案】ABD 【知识点】判断数列的增减性、根据数列递推公式写出数列的项、判断等差数列、求等差数列前n项和的最值 【分析】A. 由递推求解判断；C.由，利用累加法求解判断；B.由，利用二次函数的单调性判断；D.由数列为递增数列，且判断. 【详解】解：由题意，，所以选项A对； ，由累加法有： ，， 显然满足上式，则， 所以，所以数列不是等差数列，所以选项C错误； 又，且在区间单调递增， 所以数列为递增数列，所以选项B对： 数列为递增数列，，所以取最小值时，，故选项D对. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知数列满足，则 ； 【答案】 【知识点】累加法求数列通项 【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，再赋值计算即得. 【详解】， ， ．显然满足上式， ． 故答案为：. 13．已知数列满足，，则其通项公式为 . 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、求等比数列前n项和 【分析】设，则可得，利用累加法求出，即得数列的通项公式. 【详解】不妨设，则， 由 ， 经检验当时满足，故，解得， 即数列的通项公式为. 故答案为：. 14．已知在数列中，，，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】由变形得到，然后利用累加法以及等比数列前项和公式求解即可. 【详解】若中有一个为0， 则得：， 此时有，由，则， 令带入中， 得出， 解得：与矛盾，所以， 由得：， 即， 所以， ， ， ， ， 将上面式子累加得：， 即 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题 15．在数列中，，，且． (1)证明：是等差数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）根据等差数列的定义进行证明. （2）利用累加法求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以，，，…，. 以上各式相加得：， 又，所以 16．在数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】将已知条件中的递推公式进行变形，再利用累加法即可求解. 【详解】，， 当时， ， 当时，，与相符， 数列的通项公式为. 17．在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求； (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，求； (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，求； (10)若，，求； (11)若，，求； (12)若，，求； (13)若，，求； (14)若，，求； (15)若，，求． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) 【知识点】累加法求数列通项、由递推关系式求通项公式、求等比数列前n项和、构造法求数列通项 【分析】根据已知条件应用累加法计算或构造等差数列或构造等比数列求解通项公式. 【详解】（1）型． 递推累加，等差数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （2）型． 递推累加，等比数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （3）型． 同除转化为等差数列：，令，则，转化为等差数列． 本小题中，同除转化为等差数列， 由得， 令，则，， 得，即，． （4）型． 直接待定系数：． 本小题中，， 令， 则，， 得，即，即． （5）型． 直接待定系数：， 其中，． 本小题中，由，得， 令，则，， 得，即， 故． 直接待定系数时必须是完整的关于的一次函数． （6）型． 直接待定系数：， 其中，，． 本小题中，由， 得， 同（5）方法可得． （7）型． 先待定系数配制掉多项式部分，再同除转化为等差数列． ， ，令，则，转化为等差数列． 本小题中，由， 得， 同除得， 同（3）方法可得， 故． （8）型． 先同除转化为等差数列，再待定系数转化为等比数列． ， 令，则， ， 再令，则．以下步骤略． 本小题中，由得， ， 可得， 故． 变式： ． 本小题中，， ， 故． （9）先同除转化为（1）类求解． 由得， 再令，得．最终得． （10）型． 先待定系数转化为（8）类求解： ， ， 令，则， ． 或直接待定系数转化为等比数列： ． 本小题中，直接待定系数得， 得， 故． （11）先待定系数转化为（9）类求解． 由题意得， 令，则．最终得． （12）型． 直接待定系数求解： ． 本小题中，， 最终得． （13）， ， 最终得． （14）由得， ， 最终得． （15）由得， ， 最终得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $