上海市浦东模范中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年上海市浦东模范中学九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，，，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是(    ) A. B. C. D. 3.在下列函数关系式中，二次函数的是(    ) A. B. C. D. 4.在中，点D、E分别在AB、AC上，且，那么下列结论中错误的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在三角形纸片ABC中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是(    ) A. B. C. D. 6.已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似. 下列对这两个命题的判断，正确的是(    ) A. ①和②都是真命题 B. ①和②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。 7.已知点P是线段AB的黄金分割点，较长线段厘米，则线段BP的长是        厘米. 8.在比例尺为1：10000000的地图上量得两个城市间的距离是5cm，那么这两个城市的实际距离是       9.如果两个相似三角形的面积之比1：4，那么它们的对应高之比为      . 10.点D、E分别在的边AB、AC上，如果，那么      时， 11.已知是锐角，且，则______. 12.如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则        . 13.如图，在中，D是AB的中点，E是AC上一点，且，如果，，那么______用，表示 14.如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，且如果的面积为，的面积为，那么的面积为       15.如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，∽点A、点B、点O的对应点分别是点A、点、点，的坐标为，点在第四象限，那么点的坐标为      . 16.如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若，，则的值是______. 17.如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”.如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于3，下底等于6，那么它的周长为        . 18.如图，已知在中，，，，点P是边AC上一点，将沿着BP翻折，点C落在点E处，连接AE，如果，设PE与边AB交于点M，那么的值是        . 三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题10分 20.本小题10分 在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE、AC相交于点 设，，试用、表示； 先化简，再求作：直接作在图中 21.本小题10分 一副三角尺由两块直角三角尺组成，其中一块是含角的直角三角形，另一块是含角的直角三角形.用这两块三角尺可以拼成一个四边形如图，设 用含a的代数式直接表示：______. 求的正切值. 22.本小题10分 小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？小平面镜的大小忽略不计 23.本小题12分 已知：如图，在梯形ABCD中，，联结AC、BD，是等边三角形，，DE与AC交于点E， 求证：∽； 求证：点E是线段AC的黄金分割点. 24.本小题12分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点A，，与y轴相交于点C，与直线相交于点D，与x轴相交于点 求反比例函数与一次函数的表达式； 求的正弦； 若点M在反比例函数第一象限的图象上，点N在x轴上，使得与相似，求点M的坐标. 25.本小题14分 如图1，在中，，，D是AB边上一点，，F是BC边上一点，求BF的长； 如图2，在四边形ABFC中，点D是AB边的中点，，若，，求线段CF的长. 在中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上.若，，求y关于x的函数解析式及定义域. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：，，， ， 故选： 先利用勾股定理计算出AB，然后根据余弦的定义求解． 本题考查了锐角三角函数的定义，正确理解余弦的定义是解决问题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项正确； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选 根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答． 本题主要考查线段的中点定义，难度不大，注意向量的方向及运算法则． 3.【答案】C  【解析】解：A、是反比例函数关系，故此选项不符合题意； B、是一次函数关系，故此选项不符合题意； C、是二次函数关系，故此选项符合题意； D、是一次函数关系，故此选项不符合题意； 故选： 分别利用正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义分析得出答案． 此题主要考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键． 4.【答案】B  【解析】解：， ，A正确，不符合题意； ，B错误，符合题意； ，C正确，不符合题意； ，D正确，不符合题意； 故选： 根据平行线分线段成比例定理判断即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：在三角形纸片ABC中，，， A、，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不符合题意； C、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不符合题意； D、， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故此选项不符合题意； 故选： 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可． 本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 6.【答案】C  【解析】解：两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似，正确，是真命题； 两边及其中一边上的高对应成比例的两个三角形一定相似，故原命题错误，是假命题． 故选： 利用相似三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 本题主要考查了命题与定理及相似三角形的判定方法，解题的关键是了解相似三角形的判定定理，难度不大． 7.【答案】  【解析】解：设线段AB的长为x厘米， 点P是线段AB的黄金分割点，较长的线段AP的长等于4厘米， ， 解得：， 故答案为： 根据黄金分割的定义求解． 本题考查的是黄金分割的概念和黄金比值，掌握黄金比值是解题的关键． 8.【答案】500  【解析】解：根据“实际距离=纸上距离比例尺”可得： ， 故答案为： 根据“实际距离=纸上距离比例尺”即可求解，熟知比例尺的应用是解题的关键． 此题考查比例尺，熟练掌握该知识点是关键． 9.【答案】1：2  【解析】解：两个相似三角形的面积之比1：4， 这两个三角形的相似比为1：2， 它们的对应高之比为1：2， 故答案为：1： 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形的对应边上的高的比等于相似比解答即可． 本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 10.【答案】  【解析】解：，， ∽， ， ， 由，可推导出，从而证明∽，进而证明， 故答案为： 由，证明∽，得，则，所以由可推导出，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明∽，推得，进而推导出是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：如图，，， ， ， 设，， ， 故答案为： 由，可设，，然后勾股定理可求得AC的长，继而求得答案． 此题考查了三角函数的定义与勾股定理．此题难度不大，注意数形结合思想的应用． 12.【答案】2  【解析】解：过点A作BC的垂线，垂足为M， 令正方形网格的边长为a， 则， 所以 故答案为： 过点A作BC的垂线，构造出直角三角形，再结合余切的定义即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知余切的定义是解题的关键． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了平面向量的线性运算，解题的关键是掌握平面向量的计算法则． 根据平面向量的三角形法则进行解答． 【解答】 解：是AB的中点，， ，， ， 14.【答案】8  【解析】解：如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，且过A作点H与交DE于F， 的高等于FH，∽，∽， ，， ， 设，则， ， 的面积为，的面积为， ，， ，， ， 整理得：， 解得：或不合题意，舍去， ， 的面积为， 故答案为： 如图：过A作交DE于F，易得∽、∽、的高等于FH，进而得到，设，则、；再根据题意可得，，整理得到，解得；然后求得的面积，最后根据面积的和差即可解答． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：作轴于点C，轴于点D，则， ∽， ， 、、， ，，， ，， ∽， ， ， ，， ， 点在第四象限， 点的坐标为， 故答案为： 作轴于点C，轴于点D，则∽，所以，由、、，得，，，则，，由∽，得，则，求得，，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题． 如图，作，交AB于N，交BE于设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可. 【解答】 解：如图作，，交AB于N，交BE于 四边形ABCD是正方形， ， ， 四边形ANFD是平行四边形， ， 四边形ANFD是矩形， ， 则设，则，，， ，， ， ， ， ， ∽， ， 故答案为： 17.【答案】  【解析】解：如图，直角梯形ABCD中，，，，， 过D作于H， ， ， ， 四边形ABHD是矩形， ，， ， ， 垂直平分BC， ， 梯形ABCD是“优美梯形”， ∽， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 梯形ABCD的周长 故答案为： 过D作于H，判定四边形ABHD是矩形，推出，，求出，得到，判定DH垂直平分BC，推出，由∽，推出，得到是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质推出，得到，由等腰直角三角形的性质求出，即可得到梯形的周长． 本题考查相似三角形的性质，直角梯形，矩形的判定和性质，关键是由相似三角形的性质推出是等腰直角三角形． 18.【答案】  【解析】解：如图， 将沿着BP翻折，点C落在点E处， ，，， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 根据勾股定理， 连接CE交BP于H， ，，利用面积法求得， ， ， ， 根据勾股定理， ， ∽， ， 故答案为： 根据折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据平行线的性质得到，，根据勾股定理得到BP的长，连接CE交BP于H，根据面积公式得到CH的长度，得出CE的长，利用两直线平行同位角相等，得出，求出AE的长度，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 19.【答案】解：原式   【解析】代入特殊角三角函数值进行计算即可． 本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 20.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， 点E是AD的中点， ， ， ， ，， ， ， ； ， ，， 如图，过点E作交BC于点G，连接GA，则即为所求．   【解析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质得出EF与BE的关系即可得出结果； 化简，根据化简结果可知即为所求． 本题考查了平面向量，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，正确化简并掌握平面向量的三角形计算法则是解题的关键． 21.【答案】；    【解析】解：在中， ， 在中， ， 故答案为： 过点B作CD的垂线，垂足为M， ，且是等腰直角三角形， ，， ， 是等腰直角三角形， 在中， ， ， 在中， 先用a表示出AC的长，再进一步表示出AD长即可． 过点B作CD的垂线，垂足为M，用a分别表示出BM及CM的长，再结合CD的长及正切的定义即可解决问题． 本题主要考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形及等腰直角三角形，熟知正切的定义及等腰直角三角形的性质是解题的关键． 22.【答案】解：如图，过点C作于点H， 则，米， ， ， ， 在中，， ， ，， 由反射角等于入射角得， ∽， ， 即， 解得：， 答：这棵古树的高AB为18米.  【解析】过点C作于点H，则，米，，进而得出，那么，再证明∽，根据相似三角形对应边成比例求出米，进而求出AB即可． 本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系求解． 23.【答案】证明：是等边三角形， ， ，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ∽； ∽， ， ，都是等边三角形， ，， ， 点E是线段AC的黄金分割点．  【解析】证明，可得结论； 利用等边三角形的性质以及相似三角形的性质证明即可． 本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，黄金分割，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． 24.【答案】反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为    点M的坐标为或或  【解析】解：将点B坐标代入得，， 反比例函数的表达式为， 将点B坐标代入得，， 一次函数的表达式为； 联立， 解得，即； ， 令得，， ，即， ， 如图，过D作轴于点K，过O作于点L， 则， ， ， ； 由题可知， ， ， 由点D坐标可知； ①当时，如图， 此时有两种情况∽，∽， 但M点只有一个， 此时点M在直线上， 令，可得负值舍去， ； ②当，且时，如图， ， 则点M在直线上， 令，可得负值舍去， ； ③当，且时，如图，过M作轴， 此时， ，即， ， 此时点M在上， 令，可得负值舍去， ； ④当，且时，如图， 此时点M坐标同第二种情况，； ⑤当，且时，如图， 此时，同第3种情况，； 综上，点M的坐标为或或 分别将点B坐标代入反比例函数和一次函数即可得解； 先求出点D坐标，可得OD、DE，过D作轴于点K，过O作于点L，利用等面积可得OL，即可得解； 由题可知，；然后分6种情况讨论，根据特殊角求解坐标即可． 本题主要考查了反比例函数与一次函数综合题，涉及反比例函数与一次函数解析式及交点问题、两点距离公式、锐角三角比、相似三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 25.【答案】      【解析】解：，， ，， ， ，， ， ∽， ， ， ； 如图2中，延长AC交BF的延长线于点 ， ，， ， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ，， ； 如图，过点E作EF与CD交于点F，使， ， ， ∽， ， ，， ， ，， ， ∽， ， ， 利用一线三等角模型，可说明∽，得； 如图2中，延长AC交BF的延长线于点证明∽，推出，求出AD，，再利用勾股定理求解； 过点E作EF与CD交于点F，使，由同理得∽，可知，再利用∽，可得答案； 本题是相似形综合题，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握一线三等角基本几何模型是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $