第二十一章《一元二次方程》单元检测卷 2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十一章《一元二次方程》单元检测卷 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m＝（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．0 2．将方程x2+4x+1＝0配方后，原方程变形为（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+4）2＝3 C．（x+2）2＝﹣3 D．（x+2）2＝﹣5 3．若a，b是方程的两根，则（    ） A．2016 B．2017 C．2014 D．2019 4．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（    ） A．24 B．48 C．24或 D． 5．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A．100×80﹣100x﹣80x=7644 B．（100﹣x）（80﹣x）+x2=7644 C．（100﹣x）（80﹣x）=7644 D．100x+80x=356 6．我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律． 1                        1   1                      1   2   1                    1   3   3   1                  当代数式的值为1时，则x的值为（    ） A．2 B． C．2或4 D．2或 7．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A．-25 B．-24 C．35 D．36 8．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若a≠b，且则的值为（    ） A． B．1 C．.4 D．3 10．如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B． C． D． 二：填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则关于的不等式的解集为 ． 12．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围为 ． 13．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数 ． 14．已知，则 ． 15．若关于x的一元二次方程的解为，则关于y的一元二次方程的解为 ． 16．习近平总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．某校开展师生阅读活动，打造书香校园．据统计，九（1）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周递增，第三周参与阅读达到361人次．设阅读人次的周平均增长率为x，则可得方程 ． 17．已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共62分．） 18．解方程 (1) (2) (3) (4) 19．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，． (1)求k的取值范围；(2)若，求k的值． 20．某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同． (1)求该公司销售A产品每次的增长率； (2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？ 21．阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝ 材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n＋mn2的值． 解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m＋n＝1，mn＝－1， 则m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的两个根为x1，x2，则x1＋x2＝ ；x1x2＝ ． (2)类比应用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值． 22．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． (1)求甲、乙两种品牌的洗衣液的进价； (2)在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为多少元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若方程的两个根分别为，，且，求k的值． 24．如图，在中，∠B=90°，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． (1)填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示） (2)当t为几秒时，的长度等于？ (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 25．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数，满足，，且，显然，是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 方程的解为 ； (2)间接应用： 已知实数，满足：，且，求的值． 参考答案 一：选择题 1．B 【详解】若关于x的一元二次方程的常数项为0， 则， 解得， 故选：B． 2．A 【详解】∵x2+4x+1=0， ∴x2+4x=−1， ∴x2+4x+4=−1+4， ∴(x+2) 2=3. 故选A. 3．C 【详解】解：a，b是方程的两根， ， ， 故选：C． 4．C 【详解】解：， ， 或， 所以，， 当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积， 当第三边长为10时，∵, ∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积． 故选C． 5．C 【详解】设道路的宽应为x米，由题意有 （100-x）（80-x）=7644， 故选：C． 6．C 【详解】解：由规律可得：， 令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 故选：C． 7．D 【详解】解：∵已知，是方程的两根 ∴，，a+b=3 ∴=0+5+30+1=36． 故选D． 8．B 【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为， 根据题意可得， 故选：B． 9．B 【详解】解：由得： ∴ 又由可以将a，b看做是方程 的两个根 ∴a+b=4，ab=1 ∴ 故答案为B. 10．D 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ， ∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， ∴，即：， ∴，即：． 故选：D． 二：填空题 11． 【详解】解：是一元二次方程， 且， 解得：且， ， 原不等式为：，即 ∴， 故答案为：． 12．且 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 13．3 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∵，， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴ 故答案为：3 14．3． 【详解】解：， 又∵， ∴， 则， 故答案为：3． 15． 【详解】解：设， 则原方程可化为， ∵关于x的一元二次方程的解为， ∴， ∴或， 解得． 故答案为：． 16． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 17．-3或29 【详解】解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得 ， 两式相加得， 即， 所以或 解得或 又因为 所以；或者， 故或29． 故答案为-3或29 三、解答题 18．（1）∵,∴, ∴， 解得：，； （2）∵，∴ ,即， 两边开平方得， ， 解得：，； （3）移项得，，因式分解得，，∴或， 解得：，； （4）这里，，，∴，∴，解得：，． 19．（1）解：关于的一元二次方程有两个不等实数根， 此方程根的判别式， 解得． （2）解：由题意得：， 解得或， 由（1）已得：， 则的值为2． 20．（1）解：设该公司销售产品每次的增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该公司销售产品每次的增长率为． （2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答尽量减少库存， ． 答：每套产品需降价1万元． 21．（1）解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两个根为x1，x2， ∴，． 故答案为：；． （2）∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的两根分别为m、n， ∴，， ∴ （3）∵实数s、t满足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0， ∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的两个根， ∴，， ∵ ∴或， 当时，， 当时，， 综上分析可知，的值为或． 22．（1）解：设甲种品牌的洗衣液的进价为x元，乙种品牌的洗衣液的进价为（x+10）元，由题意得： ， 解得：， 经检验：x=30是原方程的解， ∴乙种品牌的进价为：30+10=40（元）， 答：甲种品牌的洗衣液的进价为30元，乙种品牌的洗衣液的进价为40元． （2）解：设当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为m元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元，由题意得： 整理得：， 解得：， 答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为80元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元． 23．（1）∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∴方程有两个实数根； （2）设方程的两个根分别为，， 则，， ∵， ∴ 解得，． 24．（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ，， ， 故答案为：，； （2）由题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，的长等于； （3）存在，理由如下： 若四边形的面积等于∆ABC面积的， 的面积等于∆ABC面积的， ， ， 解得：或， 当时， 当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去， 存在时刻，使四边形的面积等于∆ABC面积的，的值为2． 25．（1）解：， 设，则原方程可化为， 解得：，， 当时，，解得：，， 当时，，解得：，， ∴原方程的解为，，，， 故答案为：，，，； （2）解：∵实数，满足：，且， 当时，，解关于的一元二次方程， 得：， ∴； 当时，则、是方程的两不相等的实数根， ∴，， ∴； ∴的值为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $