4.2.2等差数列的前n项和课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列前n项和公式，以高斯求和历史故事导入，通过“1+2+…+100”到“1+2+…+n”再到一般等差数列的问题链，搭建从特殊到一般的学习支架，衔接等差数列概念与通项公式，为等比数列求和奠定基础。 其特色在于融合数学眼光与思维，通过历史情境激发好奇心，引导学生观察数列配对性质，用倒序相加法突破分类讨论难点，培养推理与化归思想。例题分层设计，覆盖公式不同应用场景，助力学生用数学语言表达和解决问题，既提升学生探究能力，也为教师提供清晰教学路径。

第 4 章 数列 人教A版2019选修第一册 4.2.2等差数列的前n项和 宋老师数学精品工作室 1. 等差数列前n项和的公式推导 宋老师数学精品工作室 高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100＝？”同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了是5 050！”老师和其他同学都很吃惊. 你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 情景导入 (1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51) 宋老师数学精品工作室 高斯求和问题 1+2+3+……+99+100 = 50×101 = 5050 101 101 问：有多少组101 1.高斯采用的什么方法？ 实质：通过配对凑成相同的数 “不同数的求和”化归为“相同数的求和” 高斯求和问题 首尾配对 2.求和过程利用了数列1，2，...，100的什么性质？ 宋老师数学精品工作室 问题2 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 探究新知 法一：需要对项数的奇偶进行分类讨论. 当n为偶数时， + 个 宋老师数学精品工作室 问题2 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 个 所以对任意正整数n，都有1＋2＋3＋… ＋n. 当n为奇数数时， n－1为偶数 + 宋老师数学精品工作室 问题3 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 探究1：涉及对 n 分奇数、偶数进行讨论，较麻烦，能否设法避免分类讨论？ 宋老师数学精品工作室 下面再来看1+2+3+…+98+99+100的其它算法。 1 + 2 + 3 +…+98+99+100=？ 倒序100+99+98+…+ 3+ 2+ 1=？ 作 加 法 多少个101 ? 100个101 所以 (1+100)×100 首项 尾项 总 和 + × 项数 2×？=101+101+101+…101+101+101 // // // // // \\ \\ + + + + + + =5050 ） 倒序相加法 = 宋老师数学精品工作室 解： 由 . 探究2 你能用倒序相加法求等差数列{an}的前n项和吗？ 上述两式相加，得 p，q，s，t∈N*， 且 p＋q＝s＋t， 则 ap＋aq＝as＋at 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例6.已知数列{an}是等差数列. （1）若a1=7, =101,求 解:因为a1=7,=101,根据公式,可得=2700. （2）若a1=2, = ,求； 因为a1=2, = ， 所以d= .根据公式 ， 可得 = （3）若=，d= , = 5,求 . 把=,d= ,= 5代入 ,得 整理,得解得或(舍),所以 宋老师数学精品工作室 公式解析 功能1：已知a1，an和n，求Sn . 功能2：已知Sn，n，a1 和an中任意3个，求第4个. 宋老师数学精品工作室 例7.已知一个等差数列 前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 解=310, =1220, 把它们代入公式 得 解方程组，得 宋老师数学精品工作室 课堂小结 03 02 01 首尾配对法，倒序相加法 宋老师数学精品工作室 课后 作业 第22页练习第1，2，3，4，5题。 宋老师数学精品工作室 4.2.2等差数列的前n项和 （教学阐述） 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 目录 1 教材分析 学情分析 教法教学 教学过程 板书设计 2 3 4 5 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 1.1教材的地位与作用 《 等差数列的前项和公式》是新人教版A版选择性必修第二册教材第四章第二单元的内容，本单元内容具有承上启下的作用，不仅是等差数列的概念和等差数列的通项公式与性质的延续，也为后面学习等比数列前n项和公式提供类比对象。 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 1.2教学目标 （1）掌握等差数列前n项和公式以及推导过程； （2）能简单地运用等差数列前n项和公式； （3）通过公式的推导，体会历史与现实，简单到复杂，特殊到一般，数与形的有机结合，培养学生化归与转化思想。 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 1.3教学重点难点 重点：等差数列前n项和公式的推导和应用，在等差数列前n项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法 教学难点是：倒序相加法的发现。 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 2.1学情分析 高二学生 数列是一类特殊的函数，学习路径和函数有相似之处。对于高二的学生，从知识结构上来看，在高一时经历了研究函数的一般路径，在知识、经验方面有所积累,并且学生通过前面的的学习，对等差数列的概念、通项公式以及前n项和公式学生也有了初步的理解,这些都为本课时的应用提供了探究方法和理论基础；在能力水平上方面，学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力，但公式的灵活应用能力不足、从实际情境中建立数学模型的能力还有待提升. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 能够解释等差数列的通项公式与前n项和公式的内在联系，体会转化与化归纳的数学思想； 能简单地运用等差数列前n项和公式； 将问题化归到用等差数列的定义去解决，充分认识到定义是本质，将知识之间的联系展现各更透彻； 2.2评价目标 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 3教学教法 本节课设计以该理论指导思想，采用“诱思探究教学法”，通过启发引导--独立思考--合作探究--交流表达，同时合理利用信息技术等教学手段，使学生尽可能地参与到课堂中来，教师真正成为课堂教学的引导者、组织者和学生学习的合作者,真正体现学生的主体地位和教师的主导作用。同时灵活应用多媒体手段，以学生为主体，创设和谐、愉悦、互动的课堂环境，组织学生自主、合作的探究活动，引导学生探索新知。 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.书设计 4.教学过程 4.1 情境引入 4.2 探究新知 4.3 例题讲解 4.4 课堂小结 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.1情境引入 一、创设情景问题 高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋……＋100＝？”同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了是5 050！”老师和其他同学都很吃惊. 【设计意图】通过历史故事的引入，从学生熟悉的处理问题的方法入手，激发学生的兴趣和自信，让学生体会数学与生活的联系，消除学生对数学的畏难情绪和枯燥感。 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.2探究新知 【设计意图】设置冲突，启发学生思考解决问题的新办法，培养学生的发现意识，引导学生进行分类讨论，通过问题的解决，引入“倒序相加”的方法，让学生体会从特殊到一般的思想。。 问题2 你能计算1＋2＋3＋… ＋n吗？ 探究1：涉及对 n 分奇数、偶数进行讨论，较麻烦，能否设法避免分类讨论？（引导使用倒叙相加法） 探究2 你能用倒序相加法求等差数列{an}的前n项和吗？ 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.2探究新知 追问1：当已知首项a1和公差d，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们是否也可以用a1和d 来表示Sn. 【设计意图】将问题化归到用等差数列的定义去解决，让学生充分认识到定义是本质，培养学生化归思想，将知识之间的联系展现更透彻；让学生通过不同的方法，从不同的角度参与公式的形成过程，提高兴趣，体验成就感，培养学生思维的灵活性，也为后面等比数列前n项和奠定基础； 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.3例题讲解 例6 已知数列是等差数列. 追问 例6的求解过程有什么共同特点？，其中主要运用看什么思想方法？ 设计意图：通过对比等差数列前n项和的两个公式特征，培养学生细致的观察能力，更深层次地对公式进行剖析，找到量与量之间的关系，便于后期对公式的灵活运用，培养学生等价转化的能力和逆向思维的能力，进一步让学生清晰公式形成的来龙去脉。 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.4课堂小结 设计意图：通过课堂小结，使学生厘清本节课的只是发展脉络，加深对等差数列前n项和公式的理解，提升学生逻辑推理与数学运算素养。 1）方法总结： 2）课堂小结： （1）推导等差数列前n项和公式时，用了哪些方法？ （2）等差数列的前n项和公式有几种形式？分别具有什么几何意义？它们与平均数、等差数列的通项公式又分别有什么关系？ （3）你能画出本节课的知识结构图吗？ 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.4课堂小结 课后作业：练习1，2，3，4，5 4.5 作业布置 设计意图：初步体验知识的应用，学以致用。需要注意，具体完成题量根据时间而定，可以只完成部分题目。 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 5.板书设计 4.2.2 等差数列的前n项和 等差数列的公式推导 例6、7 多媒体课件 （学生板演） 等差数列前n项和公式 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 谢谢观看 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 Sn＝________ Sn＝_____________ $