3.1.1 椭圆及其标准方程课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1.1 椭圆及其标准方程 第二章 圆锥曲线的方程 1 在课前我们留了两项作业：1.为什么椭圆、双曲线、抛物线都称为圆锥曲线？ 2.用我们给定的工具画一个椭圆. 圆 椭圆 抛物线 双曲线 圆锥曲线 知识背景 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢? 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线. 本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力. 4 4 追问1：圆锥曲线在现实生活中是较常见到的，以椭圆为例，你能举出一些实例说明吗？ 椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础. 6 6 如果将圆的定义中的一个定点变成两个定点,动点到定点距离为定长变成动点到两定点的距离之和为定长。那么，将会形成什么样的轨迹曲线呢？ 问题探究 动手实践 [1]取一条细绳（10cm） [2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2 [3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形 思考：在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么? ①移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值； ②并且这个定值大于两定点间的距离，即 这个细绳长与两定点|F1F2|有什么关系呢？ 8 8 探究新知 1. 椭圆的定义: 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距（2c）. 焦距的一半称为半焦距（c）. 数学符号表示：|MF1|+|MF2|=2ɑ常数（绳长） F1 F2 M • • 图形表示 特别注意: 当常数>|F1F2|时,轨迹是椭圆; 当常数=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2; 当常数<|F1F2|时,轨迹不存在. 9 9 探究1： 动点的轨迹是椭圆满足细绳长度一定的前提下，椭圆的大小及形状与|F1F2|间的距离有什么关系？ . . . . . . . . . . 分析成果 在同样的绳长下， 两定点间距离较长，则所画出的椭圆 ; 两定点间距离较短，则所画出的椭圆 . （两定点间距离为零时，则所画出的是圆 ） 由此可知，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关． 较圆（　　圆） 较扁（　　线段） 探究新知 问题1：怎样推导椭圆的方程？ 建立直角坐标系 列等式 设点坐标 代入坐标 化简方程 问题2：求曲线方程的一般步骤是什么？ 下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程. 12 12 ♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案 O x y O x y O x y M F1 F2 方案一 F1 F2 方案二 O x y M O x y 求椭圆的方程： (对称、 “简洁”) 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴.) 椭圆标准方程的推导 13 13 椭圆标准方程的推导 化 简 列 式 设 点 建 系 F1 F2 x y P( x , y ) 设 P( x，y )是椭圆上任意一点 设|F1F2|=2c，则有F1(-c，0)、F2(c，0) F1 F2 x y P( x , y ) 椭圆上的点满足|PF1 | + | PF2 |为定值，设为2a，则2a>2c 则： 设 得 即： O 方程: 是焦点在x轴上椭圆的标准方程． 焦点坐标为： F1( -c , 0 )、F2( c , 0 ) 注：椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦 点的中点为坐标原点. 14 14 椭圆的标准方程 2. 椭圆的标准方程: F1 F2 M • • x y O (x,y) 如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 中心在坐标原点，则椭圆的标准方程为 其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2. 15 15 椭圆的标准方程 1、方程的右边是常数1; 2、方程的左边是和的形式，每一项的分，分母是一个正数. 若 项的分母大，则其焦点就在 轴上，项的分母大，则其焦点就在 轴上，简称“分母大小定焦点” 追问1：椭圆的标准方程有何特点？ 追问2：根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？ (焦点在x轴上) (焦点在y轴上) 16 16 思考3: 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？ 由图可知， F1 F2 P • • x y O c a b F1 F2 P • • x y O 长轴：2a 长半轴：a 短轴：2b 短半轴：b 焦距：2c 半焦距：c c2＝a2－b2 例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0),(2，0)，并且经过点（ , - )，求它的标准方程。 解：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知 所以　　　　．　　　　　　 又因为c=2，所以b2=a2-c2=10-4=6. 因此，所求的椭圆的标准方程为 只要求出a、b则可求出椭圆的方程 焦点在哪条坐标轴上？ 你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点. 例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0),(2，0)，并且经过点（ , - )，求它的标准方程。 解：因为椭圆的焦点在x轴，所以设它的标准方程为 只要求出a、b则可求出椭圆的方程 焦点在哪条坐标轴上？ 由已知得，c=2 又由已知得， ① ② 联立①、②解方程组得　 因此，所求椭圆的标准方程为 待定系数法 1. 椭圆的定义: 平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距（2c）. 焦距的一半称为半焦距（c）. 数学符号表示：|MF1|+|MF2|=2ɑ常数（绳长） F1 F2 M • • 图形表示 特别注意: 当常数>|F1F2|时,轨迹是椭圆; 当常数=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2; 当常数<|F1F2|时,轨迹不存在. 课堂小结 图 形 方 程 焦 点 F(±c，0) F(0，±c) a,b,c之间 的关系 c2=a2-b2 |PF1|+|PF2|=2a (2a>2c>0) 定 义 1 2 y o F F P x 1 o F y x 2 F P 共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1. 不同点：焦点在轴的椭圆项分母较大；焦点在轴的椭圆项分母较大. 注: 课堂小结 2. 椭圆的标准方程: 21 21 教材109页练习1，2，3，4。补充：1.“神州5号”宇宙飞般的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别为 ， 求“神州5号”宇宙飞船运行的轨道方程。 课后作业： 2.探究：通过学习，你能根据椭圆的定义，利用直尺和圆规描点画椭圆吗？若能，请你设计画法。 3.1.1 椭圆及其标准方程 （教学阐述） 目录 1 教材分析 学情分析 教法教学 教学过程 板书设计 2 3 4 5 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 1.1教材的地位与作用 从本章知识的内部结构看，椭圆、双曲线、抛物线的研究背景、研究问题、研究方法具有高度的相似性，椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式，因而本节课的学习在全章的学习中具有基础和示范性作用. 在本节课中，学生通过动手画、观察抽象图形的几何特征，直观感知椭圆形状，选择适当的平面直角坐标系，建立椭圆标准方程，从而为研究椭圆的几何性质做好铺垫.培养了学生从特殊到一般、数形结合等思想，通过观察-猜想-论证-应用，提升了学生的思维品质和科学的态度，培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养。 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 1.2教学目标 1）通过动手实践，直观体会椭圆生成的过程，从中归纳概括出椭圆的定义，发展数学抽象、直观想象的核心素养； 2）通过小组合作经历椭圆方程的建立与推导过程，发展逻辑推理、数学运算的核心素养。 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 1.3教学重点难点 教学重点： 理解椭圆的定义，会用待定系数法和定义法求椭圆的方程； 教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 2.1学情分析 高二学生 在此之前，学生在上一章已经学习了直线和圆，已经初步经历和体验了研究解析几何的方法——坐标法，所以，学生对用坐标法研究本节内容，并不陌生，已有相关知识经验，为顺利开展本节课的教学提供了方法保障.由于本节课的教学重点就是利用解析思想推导椭圆的标准方程，同时这也是本节的难点.教学中，根据椭圆的定义，按着建系、设点、列式，化简、这五个步骤推导椭圆标准方程.引导学生类比圆的标准方程的简洁、优美的形式，小组讨论，得到椭圆的标准方程，这个运算过程需要学生有沉着冷静的思维品质，特别有利于提升数学运算这一核心素养. 一.教材分析 一.学情分析 一.教学教法 一.教学过程 一.板书设计 2.2评价目标 （1）能通过观察平面截圆锥认识到:当平面与圆锥的轴所成的角不同时，可以分别得到圆、椭圆、双曲线和抛物线.能通过实例知道圆锥曲线在生产、生活中有广泛的应用.能初步认识本章的学习内容、学习方法与学习价值. （2）能通过绘制椭圆的过程认识椭圆的几何特征，给出椭圆的定义，建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件列出椭圆上的点的坐标满足的方程，化简所列出的方程，得到椭圆的标准方程. 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 3教学教法 结合本课时的内容特点和学情分析，本节课主要采用任务驱动、问题启发、直观演示的教学方法. 学生主要采取自主探究、合作交流的学习模式.在课前作业中既有全体参与的活动，也有小组合作的活动. 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.书设计 4.教学过程 4.1 背景引入 4.2 探究新知 4.3 拓展提高 4.4 课堂小结 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.1背景引入 一、知识背景引入 1.为什么椭圆、双曲线、抛物线都称为圆锥曲线？ 2.根据教材P105，用我们给定的工具画一个椭圆. 【设计意图】 1.布置课前预习作业，充分调动全体学生学习探究的积极性和主动性，有利于开阔学生思路，提高课堂广度和深度.分组活动，有利于促进小组内的相互合作，更有利于发挥学生的特长，更广泛更深入的探究自己小组的课题. 2.让学生从直观上感受椭圆有大有小、有圆有扁，但要如何才能精确的作出一个椭圆，椭圆的大小及圆扁程度受什么因素影响，这些是需要我们去探究思考的。 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.2探究新知 【问题探究】大家合作一起来做个实验：取一条定长的细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1、F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 小组合作探讨椭圆几何特征与规律： 【设计意图】在动手实验中，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力；在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“定值”取值范围，在变化的过程中建立起用降级与发展的观点看问题；结合几何画板演示，形象直观地说明定义中的必备条件，感受椭圆位置与大小的影响因素，体会数学的理性与严谨。 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.2探究新知 问题3：回顾用坐标法求曲线方程的步骤，结合椭圆的形状特点，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆的方程形式简单？你能根据所建的坐标系求出椭圆的方程吗？ 设计意图：方程的推导过程采用学生分组探究，师生共同研讨方程的化简和方程的特征的方式，可以让学生主体参与椭圆方程建立的具体过程，使学生真正了解椭圆标准方程的来源，并在这种师生尝试探究、合作讨论的活动中，使学生体会成功的快乐，提高学生的数学运算能力，培养学生独立主动获取知识的能力，培养数学抽象、数学直观、数学运算、逻辑推理等数学素养。 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.3例题讲解 例 1 追问：你还能用其他方法求它的标准方程吗？试比较不同方法的特点. 设计意图：设计例题、不同方法解题，是为了让学生能灵活地运用椭圆的知识解决问题，同时也是为了更好地调动、活跃学生的思维，发展学生数学思维能力，让学生在解决问题中发展学生的数学应用意识和创新能力，同时培养学生大胆实践、勇于探索的精神。 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.4课堂小结 设计意图：归纳小结由学生来完成，让学生回顾本节所学知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力，及时发现并纠正自己学习中存在的问题，培养学生学习的主动性和良好的学习习惯。 教师提出问题供学生思考： 1）本节课我们是如何得到椭圆的定义中，椭圆的定义是什么？ 2）坐标法是研究曲线常用的方法，这节课我们是如何建立坐标系去推导椭圆的标准方程的，椭圆方程有什么特点？ 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 4.5 作业布置 设计意图：通过教材练习及补充题，培养学生归纳总结的能力，反馈学生对知识的掌握情况。通过补充题的探究，拓展学生的思维，加强学生的动手能力与举一反三的能力。 2）课后作业：.教材109页练习1，2， 补充：1.“神州5号”宇宙飞般的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别为，，求“神州5号”宇宙飞船运行的轨道方程。 一.教材分析 二.学情分析 三.教学教法 四.教学过程 五.板书设计 5.板书设计 3.1.1 椭圆及其标准方程 椭圆的定义 例1 多媒体课件 练习（学生板演） 椭圆的标准方程 谢谢观看 EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $