期末模拟练习卷2025-2026学年人教版数学九年级上册

期末复习练习卷2025-2026学年人教版数学九年级上册 一、单选题 1．二次函数y=2(x-3)2+5的顶点坐标是（　　）. A．(3，5) B．(-3，5) C．(3，-5) D．(-3，-5) 2．下列事件中，属于不可能事件的是(　　) A．任意选择某一电视频道，它正播放动画片 B．任意掷一枚硬币，正面朝上 C．射击运动员射击一次，命中10环 D．在只装有红球的袋子里摸出一个黑球 3．小明把一张长、宽 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子(如图所示)．如果这个无盖的长方体底面积为，设剪去的正方形边长为，那么满足的方程是（ ） A． B． C． D． 4．如图，把绕点顺时针旋转，得到，交于点，若，则的度数（　　） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A(8，0)．与y轴分别交于点B(0，4)与点C(0，16)．则圆心 M 到坐标原点O 的距离是 (　　) A．10； B．8； C．4； D．2； 6．是的外接圆，是直径，的平分线交于点D，过D点作的切线交的延长线于点E．有下面四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．已知一个布袋里装有2个红球，4个白球和a个黄球，这些球除了颜色外其余都相同.若从该布袋里任意摸出1个球，是黄球的概率为，则a等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，在平行四边形中，，，将绕点逆时针旋转角得到，连接，．给出下面四个旋转角的度数：①；②；③；④．其中能使为直角三角形的旋转角的度数为（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④ 9．如图，直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，满足横坐标为整数的点P的个数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．二次函数 的部分图象如图所示，与y轴交于 ，对称轴为直线 .下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，都有 成立；④若 ， ， 在该函数图象上，则 ；⑤方程 （ ，k为常数）的所有根的和为4.其中正确结论有（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．若关于x的方程的一根为1，则方程的另一个根为　 　． 12．在一个不透明的盒子中装有若干个球，这些球除颜色外均相同，其中只有个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在左右，则这个盒子中装有球的个数约为　 　． 13．在“众志成城，共战疫情”党员志愿者共进社区服务活动中， 小晴和小霞分别从 “A ，B ，C 三个社区”中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一社区的概率为　 　． 14．如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值是　 　． 15．记抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，且与x轴的正半轴交于点 C.当△ABC是直角三角形时，抛物线C2的解析式为　 　. 16．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置．过点作于点，连接，若，，则的长为　 　． 三、解答题 17．解下列方程： （1） （2） 18．已知二次函数（b为常数）． （1）若图象过，求函数的表达式． （2）在（1）的条件下，当时，求函数的最大值和最小值． （3）若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围 19．如图，在中，，是绕着点顺时针方向旋转得到的，此时、、在同一直线上．求： 旋转角的大小； 若，，求的长． 20．如图，转盘中A，B，C三个扇形的圆心角均为120°，让转盘自由转动两次，当转盘停止转动时，求指针两次都落在A扇形的概率．（转盘停止转动时，若指针箭头恰好停留在分界线上，则重转一次） 21．已知实数满足，且，则是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知： 根据上述材料，解决以下问题： （1）直接应用：已知实数满足，且，则___________，___________，___________； （2）拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 22．如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式 无人机从西侧距坡底 O 为10米处的 B 点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似满足抛物线 当无人机飞越坡底上空时(即点 D)，与地面的距离为20米. （1）直接写出无人机飞行轨迹的函数解析式； （2）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近.当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由. 23．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴相交于、两点，点为直线在第二象限的点． （1）求、两点坐标； （2）作的外接圆，延长交于点，当时，求的半径． 24．如图所示，已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点，对称轴为直线. （1）求抛物线的函数表达式. （2）如图甲所示，若是线段上的一个动点(不与点重合)，过点作轴的平行线，交抛物线于点，连结，当线段的长最大时，判断四边形的形状，并说明理由. （3）如图乙所示，在(2)的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线相交于点，且，连结.在轴上是否存在一点，使得?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可得： 二次函数y=2(x-3)2+5的顶点坐标是 (3，5) 故答案为：A 【分析】根据二次函数的顶点式即可求出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A.任意选择某一电视频道，它正播放动画片，是随机事件，故此选项不合题意； B.任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故此选项不合题意； C.射击运动员射击一次，命中10环，是随机事件，故此选项不合题意； D.在只装有红球的袋子里摸出一个黑球，是不可能事件，故此选项符合题意； 故答案为：D . 【分析】直接利用随机事件以及不可能事件、必然事件的定义分析得出答案. 3．【答案】D 4．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意，把绕点顺时针旋转，得到， 由旋转的性质，可得，， ， ， ． 故答案为：D． 【分析】 根据旋转的性质得到，，再利用直角三角形的两锐角互余计算可得，由此即可解答． 5．【答案】D 6．【答案】C 7．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得，，解得a=2， 经检验，a=2是方程的解，且符合题意. 故选：B． 【分析】根据黄球的个数÷总球数=黄球的概率，j即可建立关于a的方程，解方程验证a的值即可． 8．【答案】D 9．【答案】A 【解析】【解答】解：根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，再利用三角形相似得出圆与直线相切时的坐标，进而得出相交时的坐标． ∵直线y＝ x＋ 与x轴、y轴分别相交于A、B两点，圆心P的坐标为（1，0）， ∴A点的坐标为0＝ x＋ x=-3，A（-3，0）， B点的坐标为：（0， ）， ∴AB=2 将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C1时，P1C1=1， 根据△AP1C1∽△ABO， ∴AP1=2， ∴P1的坐标为：（-1，0）， 将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于C2时，P2C2=1， 根据△AP2C2∽△ABO， ∴AP2=2， P2的坐标为：（-5，0）， 从-1到-5，整数点有-2，-3，-4，故横坐标为整数的点P的个数是3个． 故答案为：A． 【分析】先求出函数与x轴、y轴的交点坐标，进一步求出函数与x轴的夹角，计算出 ⊙P 与AB相切时点P的坐标，判断出P的横坐标的取值范围. 10．【答案】A 【解析】【解答】解：∵与y轴交点为，即c=-1， 又∵二次函数对称轴为，则，即b=-2a， ∴该二次函数解析式为y=ax2-2ax-1. 对于①，由图象可知抛物线开口向上，则a＞0， ∴abc＞0， ∴①正确，符合题意； 对于②，由图象可知：当x＝-1时，y＞0， ∴a+2a-1＞0，即a＞ ， ∴②正确，符合题意； 对于③，将不等式变形，即有， 不等式左侧，即当x=m时，y=am2+bm+c；不等式右侧，即当x=1时，y=a+b+c； 根据图象可知，， ∴③错误，不符合题意； 对于④， ∵，且a>0， ∴， ∴④错误，不符合题意； 对于⑤，|ax2+bx+c|＝k，即可视作与y=k的交点问题，如下图， 可知，其交点个数可分为3种情况， 即当y=k1时，此时结合对称轴x=1，有，即该类情况方程|ax2+bx+c|＝k的所有根之和为4； 同理，当y=k2时，该类情况方程|ax2+bx+c|＝k的所有根之和为3； 当y=k3时，该类情况方程|ax2+bx+c|＝k的所有根之和为2； ∴⑤错误，不符合题意， ∴正确的为①②. 故答案为：A. 【分析】根据抛物线图象与y轴交点及对称轴可列等式，即c=-1，b=-2a，进而消元得到该解析式为y=ax2-2ax-1； 对于①，结合开口a>0，可判断abc符号； 对于②，利用图象的不等信息，即当x=-1时，y>0，代入y=ax2-2ax-1可判断； 对于③不难看出，即不等式右侧是函数x=1时的值，左侧为抛物线上任一点进而判断； 对于④，结合开口及二次函数对称性，根据点横坐标距离对称轴远近可判断其大小关系； 对于⑤，可将方程|ax2+bx+c|＝k代数问题转化为函数与y=k的交点的几何图象问题，进而根据函数交点情况结合对称轴分析易得. 11．【答案】4 12．【答案】15 【解析】【解答】解：设这个盒子中装有球个，由题意得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：． 【分析】设这个盒子中装有球个，根据简单事件的概率结合题意列出分式方程，进而解方程，最后检验即可求解。 13．【答案】 【解析】【解答】解：列表如下： 　 A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B，B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人选择同一社区的结果数有3种， ∴两人恰好选择同一社区的概率为， 故答案为：． 【分析】本题考查用树状图法或列表法求解概率．先列出表格，找出事件等可能性的结果数，进而再找出两人选择同一社区的结果数，利用概率公式进行计算可求出答案. 14．【答案】1 15．【答案】y＝﹣x2+1或y＝﹣ x2+1 【解析】【解答】由抛物线C1：y＝(x﹣2)2+3的顶点为A，抛物线C2：y＝ax2+1(a＜0)顶点是点B，可知：A(2，3)、B(0，1)， ∴AB2＝(2﹣0)2+(3﹣1)2＝8. 设点C坐标为(c，0)， ∴AC2＝(2﹣c)2+32＝c2﹣4c+13，BC2＝c2+1. ∵△ABC是直角三角形， 则：①当∠ABC＝90°时，AC2＝BC2+AB2， 即c2﹣4c+13＝(c2+1)+8，解得：c＝1 ∴C1(1，0)， 将点C1坐标代入y＝ax2+1得：a+1＝0；解得：a＝﹣1， ∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1， ②当∠BAC＝90°时，BC2＝AC2+AB2， 即c2+1＝(c2﹣4c+13)+8，解得：c＝5， ∴C2(5，0)， 将点C2坐标代入y＝ax2+1得：25a+1＝0，解得：a＝﹣ ， ∴抛物线C2的解析式为：y＝﹣ x2+1， 综上，当△ABC为直角三角形时，抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+1或y＝﹣ x2+1. 故答案是：y＝﹣x2+1或y＝﹣ x2+1. 【分析】根据题意分别求出点A、点B的坐标，继而可得AB2的值，设点C坐标为(c，0)，表示出AC2和BC2，根据△ABC是直角三角形，分∠ABC＝90°和∠BAC＝90°两种情况分别讨论求解即可得. 16．【答案】 17．【答案】（1） （2） 18．【答案】（1） （2）最小值，最大值8 （3）0≤b≤8 19．【答案】（1）90°；（2）7； 20．【答案】 21．【答案】（1）7，1，7 （2）1 22．【答案】（1）解： （2）解：无人机此次飞行安全.理由如下：无人机与山坡的竖直距离d= 时，d有最小值 ∴无人机此次飞行是安全的. 【解析】【分析】(1)利用待定系数法，点B(-10，0)，D(0，20)代入，即可求出抛物线的解析式； (2)无人机与山坡的竖直距离，d的最小值与10比较即可得解. 23．【答案】（1）， （2） 24．【答案】（1）解：将点A（1，0）代入y=ax2+bx+4得a+b+4=0①； ∵抛物线y2=ax2+bx+4的对称轴直线为x=， ∴， ∴b=-5a②， 将②代入①得4a-2=0， 解得a=1， ∴b=-5， ∴抛物线的解析式为：y=x2-5x+4； （2）解：四边形OCPQ是平行四边形，理由如下： 令抛物线y=x2-5x+4中的x=0，得y=4， ∴C（0，4）， 令抛物线y=x2-5x+4中的y=0， 得x2-5x+4=0， 解得x1=1，x2=4， ∴B（4，0）； 设直线BC的函数表达式为 y=kx+t， 将点B（4，0）与C（0，4）分别代入得 ， 解得， ∴直线BC的函数表达式为y=-x+4； 设点P（x，-x+4），则点Q（x，x2-5x+4）， ∴PQ=（-x+4）-（x2-5x+4）=-x2+4x=-（x-2）2+4， 由于-1＜0，∴当x=2时，PQ最大为4，此时点Q（2，-2）， ∵PQ=4=CO，PQ∥CO， ∴四边形OCPQ是平行四边形； （3）解：存在，理由如下： 过点Q作QH⊥x轴于点H， 则QH∥CO， ∴∠DQH=∠ODQ， 又∵∠DQE=2∠ODQ， ∴∠DQH=∠EQH， ∴直线AQ和直线QF关于直线QH对称， ∵点D是OC的中点， ∴D（0，2）， 设直线DQ的解析式为y=mx+n， 将点D（0，2）与Q（2，-2）分别代入 得， 解得， ∴直线DQ的解析式为y=-2x+2， 可设直线QE的函数表达式为y=-2x+r， 把Q点坐标代入得r=-6， ∴ 直线QE的函数表达式为 y=2x-6， 解， 得 或 ， ∴点E（5，4）， ∴BE2=（5-4）2+（4-0）2=17， 设点F（0，m），则BF2=16+m2，EF2=（0-5）2+（m-4）2=25+（m-4）2， 当BE=BF， ∴m2+16=17， 解得m=±1， ∴点F的坐标为（0，1）或（0，-1）. 【解析】【分析】（1）将点A（1，0）代入y=ax2+bx+4得a+b+4=0①，由抛物线y=ax2+bx-2的对称轴直线为x=，可得b=-5a②，解联立①与②组成的方程组可求出a、b的值，从而得到抛物线的解析式； （2）分别令抛物线中的x=0与y=0算出对应的y与x的值可得点B、C的坐标，进而利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点的坐标与图形的性质，设点P（x，-x+4），则点Q（x，x2-5x+4），根据两点间的距离公式表示出PQ关于x的函数解析式，再将所得函数解析式配成顶点式，由该二次函数的性质得出，当x=2时，PQ最大为4，此时点Q（2，-2），最后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论； （3） 过点Q作QH⊥x轴于点H，首先判断出直线AQ和直线QF关于直线QH对称，易得点D（0，2），利用待定系数法求出直线DQ的解析式，可设直线QE的函数表达式为y=-2x+r，把Q点坐标代入求出r的值，从而可得直线QE的解析式；解联立抛物线与直线QE的解析式组成的方程组求出点E的坐标，设设点F（0，m），利用两点间的距离公式分别表示出BE2、BF2、EF2，根据BE=BF建立方程，求解即可解决此题. 学科网（北京）股份有限公司 $