三角函数的图像与性质题型专项练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

三角函数图像与性质题型专项练习 知识梳理 知识点1正弦函数的图象 正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫做正弦曲线 y个y=sinx,x∈R 5π 元 3π 5π 7元 -4π 长3元2 7元2 2 2<--2 3元 死3亡Z4πx 2 2元 知识点2正弦函数图象的画法 (1)几何法 ①在单位圆上，将点A绕着点O旋转x,弧度至点B,根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y=snx.由此，以x 为横坐标，。为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(x,sinx) T(xo,sinxo) A 3 2π 2 2 ②将函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平行移动（每次移动2π个单位长度） (2)“五点法”： 在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点： @0.受x0,受-0,2,0 在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确 度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图 第1页共20页 知识点3余弦函数的图象 余弦函数y=COsx,x∈R的图象叫做余弦曲线 y个y=coSx,x∈R 7元5元 3元元 1 3元 5π7匹 <2---2 -----222---2 -43-=2π-∠ 2元Z2死-3-4π 2 知识点4余弦函数图象的画法 (①)要得到y=cosx,x∈R的图象，只需把y=sinx,x∈R的图象向左平移”个单位长度即可，这是因为 cosx=sin(x+-) 2 2用“五点法”画余弦函数y=cosx在x∈0,2m]上的图象时，所取的五个关腱点分别为(0，)， (π，-1)， 严，0)，(2x,）再用光滑的曲线连接起来 知识点5函数的周期性 1.周期函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且 f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做∫(x)的最小正周期. 知识点6正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 f(x)=sinx 奇函数 f(x)=cosx 偶函数 f(x)=Asin(@x+p) 当x+p=kπ时，f(x)=Asin(ox+p)为奇函数； 当ox+p=k元+花时，f)=Asin(ox+p)为偶函数； 2 第2页共20页 f(x)=Acos(@x+) 2x+p=kπ+时，f)=Ac0s(ox+p)为奇蓝 当ox+p=kπ时，f(x)=Acos(ox+p)为偶函数； 知识点7正弦、余弦型函数的常用周期 函数 最小正周期 f(x)=Asin(@x+p)+bg(x)=Acos(ox+)+b (bER) 7-2元 |o f(x)=Asin(ox+p)川或g(x)Acos(ox+p)川 Tsπ o f(x)=Asin(@x+)+bg(x)=Acos(@x+)+b 7-2π (b≠0) o f(x)=sinx 无周期 g(x)=cosx T=2π 知识点8正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 f(x)=sinx g(x)=cosx 图象 y◆ 定义域 -2①π 2π 定义域 R R 值域 [-1,1 [-1,1川 周期性 T=2元 T=2元 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在能-个用X同P云-，2k+受keZ)上都 在每一个闭区间[2kπ-π，2kπ] (k∈Z)上都单调递增：在每一个闭区 单调递增：在每一个闭区间 间[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上都单调递 2k元士2π+k∈Z上都单调递速 减 最值 当x=2kπ+(k∈Z)时，yx=1; 当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1; 2 当x=2kπ+π(k∈Z)时， 当x=2k元-花(keZ)时，y=-1: 2 Ymin =-1; 第3页共20页 图象的对称 对称中心为(kπ，0)(k∈Z), 对称中心为(k元+0)(k∈2 性 对称轴为直线x=kπ+(k∈Z) 2 对称轴为直线x=kπ(k∈Z) 知识点9正切函数的图象 知识点10正切（型）函数的性质 正切函数f(x)=tanx 正切型函数f(x)=Atan(ox+p) 定义域 xx≠kx+T,k∈Z3 π+不 2 之 由0x+p≠kπ+二 2 尤≠ 3-9 值域 R R 周期性 T=π T=1 0 奇偶性 奇函数 当p= 刀时f(c)=Atan(ox+p)是奇函 2 数 单调性 当A>0,0>0时，由 在(kπ- k红+，eZ上单 2 π π <0x+⑩<kπ+ ,解出单调增区 调递增 kπ- 2 间 对称性 kπ 对称中心： ，0)k∈Z;无对称 2 令：0x+p= k kπ ，对称中 轴 0 kn - 心为：(2 ，0)’无对称轴 0 第4页共20页 考点精析 考点一利用图象解三角不等式 【例1】不等式n2x+≥，的解集为 3 【答案】x-工+≤x≤不+际.k∈Z 12 【详解】画出x∈[0,2π]时，y=sinx的图象， 2 5π 6 6 -1 令sina 2'c[02m,解得a=元或a&=5 6 6 又y=如x的周期为2r,所以sma的解集为{a名+2≤a:g+2zke2 6 6 用2x+元代替a解出x,可得-元+≤x≤工+，k∈Z 12 则m2x+写引的解集为-+红≤x子红eZ 故答案为：-日版≤x≤子+低keZ 变式1：在(0,2π)内使sinx>cosx的x的取值范围是（ ) π3m A.44) B. ππ.5π3π 424,2 C. (42 D. 5π7π 4’2 【答案】A 【详解】因为sinx>cosxl且xe(0,2r), 所以sinx>0,所以xeO,π)， 第5页共20页 在同一平面直角坐标系中画出y=sic,xE(0,)与y=|cosx,xE(0,)的图象， y=cosx v=sinx 观察图象易得xe( 元3π 4'4 故选：A 匹3ππX 考点二 利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 【例2】函数f(x)=3sinx-x的零点个数为 【答案】3 【详解】由f(x)=0→sinx= ，则函数f八)零点个数为)=8nx)=言图象交点个数，在同一坐标系中 画出两函数图象如下，则交点有3个，即∫(x)有3个零点. 故答案为：3 y=sinx 变式1：已知函数e=42x+)3,则元在吾 上的零点个数为 【答案】2 【详解】令四-4e2+君》3-0，可得m2x+后)子 上的交点个数， 且cos0=1>3cos11-V3、3 4 624 3 （。11元 有余弦函数可知y=cosr与y=一在O, 上有2个交点 4 6 所w=w与y上有2个交点 故答案为：2 第6页共20页 x=IIn 6 V=coSx 考点三三角函数的周期问题及简单应用 【例3】下列函数，最小正周期为2π的是() A.y=sn方 B.y=sin2x C.y=sin D.y=sin2x 【答案】C 详解】数)三加的最小正相为7红空五 1 元，故A不符合 2 函数y=sn2x,其最小正周期为1-经=，故B不符合 因为函数y=sin的最小正周期为T=4元，所以函数y=sin 的最小正周期为2π，故C符合： 为函数y=sin2x的最小正周期为T=x,所以函数y=sn2的最小正周期为，故D不符合，故 变式1：下列函数中，最小正周期为π的函数是() A.y=sinx B.y=cosx C.y=cosx D.y=sinx 【答案】B 【详解】对于A,函数y=sinx的最小正周期为2元，故A不符合题意； 对于B,作出函数y=cosx的图象， 12 y=cosx 3π 由图可知，函数y=Cosx的最小正周期为π，故B符合题意： 对于C,函数y=Cosx的最小正周期为2元，故C不符合题意； 对于D,函数y=sinx= sinx,x≥0 -sinx. 其图象如图， 第7页共20页 y=sinx 2π 由图可知，函数y=sinx不是周期函数，故D不符合题意.故选：B. 考点四三角函数的奇偶性及其应用 【例4】己知函数了(x)=c0s(x+,则p是f八纠为奇函数的（ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】p=时，可得fy)=cosx+ -sinr,定义域为R, 此时f(-x)=-sin(-x)=sinx=-f(x), 故f(x)为奇函数，故充分性成立， 而当f(x)为奇函数时，得p=m+元，(k∈Z),故P不一定为 ,故必要性不成立， 0=乃是(y为奇函数的充分不必要条件。故选：日 变式1：使函数f(x)=V3sin(2x+0)+cos(2x+0)为奇函数，则0的一个值可以是() A B. C.-π 3 【答案】D 【详解】由函数f(y)=V5sin(2x+0)+cos(2x+0)=2sn(2xc+0+, 6 因为f()为奇函数，可得0+元=，kZ,所以0=km-元ke乙，令k=0,可得0=- 故选：D. 6 6 6 考点五函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 【例5】已知f(x)=sin(ox+p)(o∈N,0<p≤元)是R上的奇函数，且f(x)在区间 元元 22'11 上是单调函数， 则ω的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【详解】函数f(x)=sin(ox+p)(oeN,0<p≤元是R上的奇函数， 则sinp=0,所以p=k元，k∈Z,又0<p≤π，所以P=元， 则y=m(a+到-mm,当x益引，则a 元0兀w L22’11 吊ǒ贝共U贝 又f(x)在区间 上是单调函数，所以 2- 22'11 兀0元 ,解得a号又@cN 112 所以则o的最大值为5.故选：C 变式1：（多选题）已知定义域为R的函数f(x)满足f(1+x)+f(1-x)=0,函数g(x)=f(x)sin@x(o>0), 若函数y=g(x+1)为奇函数，则o的值可以为() A牙 B. π C,π D. π 2 2 【答案】BD 【详解】解：因为f1+x)+f(1-x)=0,所以f(x)关于点(1,0)对称， 要使g(x+1)=f(x+1)sino(x+1)为奇函数，因为f(x+1)关于点(0,0)对称，为奇函数， 所以只需使y=sin(x+1)=sin(or+o)为偶函数即可，所以o=T+kπ，k∈Z, 2 故符合题意的有B、D;故选：BD 考点六 求三角函数的单调区间 【例6】已知函数fy=2cos工3x,x∈[ 兀元 2'2 ,则f(x)的单调递增区间是() 4 元兀 A. 0 2 B. 4'12 5π C 元5π 2’41212 D. L4'12 122 【答案】D 【详解】f(x)=2cos 任可化为fe-2o3x到 故单调增区间： 2m-元≤3x-元≤2km,keZ, 4 3 4 3 12’k∈Z. 令k=0,≤x≤元 5 5ππ ,X∈ 22」所以f()的单调递塔区间是 ππ「 4'1212'2 故选：D 变式1：已克展数了)=m2x引则了心右引上的单调墙区同为〈） 5π B 0 12 第9页共20页 C. 5ππ ππ 12'2 D. 32 【答案】B 【详解1当xe0引时，2x-( 所以当2x- 元元 332 即x∈o,5π 时，函数f(x)单调递增. 故选：B 12 考点七； 利用单调性比较三角函数值的大小 【例7】己知a=sin 4π 元，b=sim7，c=sm2,则C A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>c>a 【答案】D 【详解】由诱导公式：。m-引n子6=sm》 =sin 3n ,y=sinx在 0, 上单调递增，∴si in sin 2π > 7 sm,即b>c>a.故选：D. 变式1：令a=sin π 10 b=sin 18 判断a与b的大小关系是() A.a>b B.a<b C.a=b D,无法判断 【答案】B 【详解】因为函数y=sinx在 元 ,0 2 上草调递增，且-受<0， 10 18 所以a=sin 10 <s1n18 =b.故选：B 考点八已知三角函数的单调情况求参数问题 【例8】已知函数f)-smor+写) 在x=π时有最大值，且f(x)在区间0， 18 上单调递增，则⊙的最大值是 ( A.11 1 19 B6 C. 13 D, 6 6 6 【答案】C 【详解】f(y)在x=元时取得最大值，即Isina+=1,可得om+-不+2，k∈乙， 3 3-2 所以。=+2k,kZ，因为要求0的最大值，所以这里可只考虑0>0的情况， 6 又因为f(x)在0， 十 18 18+32,解得0<0s3, 上单调递增，所以m+刀≤元 第10页共20页三角函数图像与性质题型专项练习 知识梳理 知识点1正弦函数的图象 正弦函数y=sinx,x∈R的图象叫做正弦曲线 y=sinx,x∈R 5π 元 3元 5元 7元 卡3元2 2<---2--- 3匹 4元X 知识点2正弦函数图象的画法 (1)几何法： ①在单位圆上，将点A绕着点O旋转x,弧度至点B,根据正弦函数的定义，点B的纵坐标y。=sinx,·由此，以x 为横坐标，y,为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T(xo,sinx。) y Txo,sin xo） 一一一● 元 3π 2π 2 2 ②将函数y=snx,x∈[0,2π]的图象不断向左、向右平行移动（每次移动2π个单位长度）. (2)“五点法 在函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上，以下五个点： @o.受0.a.0.(受-0.2x,0 在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点，函数y=six,x∈[0,2π]的图象形状就基本确定了.因此，在精确 度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图. 知识点3余弦函数的图象 余弦函数y=COsx,x∈R的图象叫做余弦曲线， 第1页共11页 y个y=cosx,x∈R 7元 5元 3π 3元 5π 7元 2- -2 上3 2π 2元 3匹 4匹X 知识点4余弦函数图象的画法 ()要得到y=c0sx,x∈R的图象，只需把y=sinx,x∈R的图象向左平移亚个单位长度即可，这是因为 2 π cosx=sin(x+-) 2 (②用五点法面余弦函数y=c05x在xe[0,2如]上的图象时，所取的五个关能点分别为0，)，（否，0。 . ,0),(2π，1)再用光滑的曲线连接起来 知识点5函数的周期性 1.周期函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且 f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. 2.最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做∫(x)的最小正周期. 知识点6正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 函数 奇偶性 f(x)=sinx 奇函数 f(x)=cosx 偶函数 f(x)=Asin(ox+o) 当ox+p=kπ时，f(x)=Asin(ox+p)为奇函数； 当ox+0=k元+匹时，f()=Asin(ox+p)为偶函数： f(x)=Acos(@x+) 当Or+0=kπ+元时，fx)=Acos(Ox+p)为奇函数； 当Ox+p=kπ时，f(x)=Ac0s(Ox+p)为偶函数； 知识点7正弦、余弦型函数的常用周期 用∠贝共11贝 函数 最小正周期 f(x)=Asin(ox+)+bg(x)=Acos(ox+)+b 72π (bER) 0 f(x)=Asin(ox+p)川或g(x)=Acos(ox+p)川 T=π @l f(x)=Asin(ox+)+bg(x)=Acos(ox+o)+b Ts2元 (b≠0) o f(x)=sinx 无周期 g(x)=cosx T=2π 知识点8正弦函数、余弦函数的图象和性质 函数 f(x)=sinx g(x)=cosx 图象 y 定义域 ： 定义域 R R 值域 [-1,1] [-1,] 周期性 T=2π T=2π 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在每-个闭2红-号2+1ez)上制 在每一个闭区间[2kπ-元，2kπ] (k∈Z)上都单调递增：在每一个闭区 单调递增：在每一个闭区间[2k元+不，2kx+ 间[2kπ，2kπ+π](k∈Z)上都单调递 减 (k∈Z上都单调递减 最值 当x=2kx+T(keZ)时，yam=1: 当x=2kπ(keZ)时，ymax=1; 2 当x=2kπ+π(keZ)时， 当x=2kr-T(keZ)时，y=-1: 2 Ymin =-1; 图象的对称 对称中心为(kπ，0)(k∈Z), 性 对称中心为优红+子0eZ, 对称轴为直线x=k红+无(kEZ)》 2 对称轴为直线x=kπ(keZ) 第3页共11页 知识点9正切函数的图象 元 知识点10正切（型）函数的性质 正切函数f(x)=tanx 正切型函数f(x)=Atan(ox+p) 定义域 x6红+受keZ π 由ox+0≠kr+2 kπ+ -0 X≠ 2 0 值域 R 周期性 T=π T=π |0 奇偶性 奇函数 当p= 时f()=Atan(or+p)是奇函 2 数 单调性 在(kπ 2k红+7).ke2上单调 π 当A>0,0>0时，由 2 π 解出单调增区 递增 <0x+p<kπ+ 2 间 对称性 对称中心： kπ 0)keZ；无对称 kπ 2 令：0x+p= kπ 2 x=2”,对称中 轴 0 kπ 心为：(2,0' 无对称轴 0 第4页共11页 考点精析 考点一利用图象解三角不等式 【例1】不等式2x+}的解集为 变式1：在(0,2π)内使sinx>cosx的x的取值范围是( 任引 5π7π C. D. 4’2 考点二利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 【例2】函数f(x=3sinx-x的零点个数为】 变式1：已知函数f)=4c02x+引-3，则在（受 上的零点个数为 考点三三角函数的周期问题及简单应用 【例3】下列函数，最小正周期为2π的是( A.y=sin B.y=sin2x 2 C.y=sin D.y=sin2x 2 变式1：下列函数中，最小正周期为π的函数是() A.y=sinx B.y=cosx C.y=cosx D.y=sinx 第5页共11页 考点四 三角函数的奇偶性及其应用 【例4】已知函数=co:+p,则p-5是/纠为奇函数的（ A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D,既不充分也不必要条件 变式1：使函数f(x)=V3sin(2x+0)+cos(2x+0)为奇函数，则O的一个值可以是() A B.π C.-π D.π 6 考点五函数奇偶性与周期性、单调性，对称性的综合问题 【例5】己知f)=sin(ox+pj(o∈N,0<p≤是R上的奇函数，且fd在区间22i ππ 上是单调函数， 则⊙的最大值为() A.3 B.4 c.5 D.6 变式1：（多选题）已知定义域为R的函数f(x满足f(1+x)+f(1-x=0,函数gx)=f(x)sin@x(o>0), 若函数y=g(x+)为奇函数，则⊙的值可以为() A.π B. C.π D. 3π 4 2 2 考点六求三角函数的单调区间 【例6】已知函数f(x)=2cos 引 则f(x)的单调递增区间是() A[0 B. c[引品 [引 5ππ 变式1：已知函数f(x)=sin2x-),则f(到在(Q习)上的单调递增区间为() A. B. c(到 D. π元 32 第6负共11负 考点七利用单调性比较三角函数值的大小 【例7】已知a=ngbm经。m牙则 4π A.a>b>c B.cxb>a C.cxaxb D.bxc>a 变式1：令a=sin 判断a与b的大小关系是( A.a>b B.a<b C.a=b D.无法判断 考点八已知三角函数的单调情况求参数问题 【例8】已知函数f(x)=sin@x+ 在x=π时有最大值，且f(x)在区间 0元 上单调递增，则ω的最大值是 3 18 A.、11 8.1 c.3 D. 19 6 6 6 6 变式1：已知函数f(x)=sinox+交 (o>0)的周期为T,且满足T>2π，若函数(x)在区间 不单调， 则0的取值范围是() A B. c D 考点九 三角函数的对称性 【例9】设函数f(x)=cos@x- 4 (@>0)的最小正周期为胥，则它的一条对称锥方程为《) A,x= 8 B.x=_I 8 C.x= 12 D.x=-I 12 变式1：函数y=5sin(x-乃的一条对称轴为() 4 A.x=3 4 D.x=5 4 考点十正切函数的定义域 第7页共11页 【例10】函数y=snx+cos的定义域为】 tanx 变式1：函数y=-anx+4 的定义域为 考点十一 正切函数的值域 π5π 的值域为() A.（-5, c.(,5 变式1：函数y=1-m任≤写到的值城为 考点十二求正切函数的单调区间 【例12】函数y=an-3x+刀的单调区间是( 6 A. a-+e B.(a-a+}ez C. kπ_kπ， 2 (keZ) 3-93+9 D. 变式1：若函数y=tan(ox)在 ππ 44 上为严格减函数，则实数⊙的取值范围是 考点十三正切函数单调性的应用 【例13】已知函数y=tanox在 ππ 2'2 上是严格减函数，则实数⊙的取值范围是 变式1：已知函数y=tan0x在 ππ 22 内是减函数，则@的取值范围为( A.-2,0 B.【-1,0 c.(0, D.[1,2 考点十四正切函数的周期性与奇偶性 【例14】函数y=tan 后)的最小正周期为 第8页共11页 变式1：已知函数f(x=x3+tanr-3,且f(-m)=-2,则f(m)=() A.-4 B.-1 C.1 D.4 考点十五正切函数图象的对称性 【例15】以点 2,0k∈Z)为对称中心的函数是( ) A.y=sin x B.y=cosx C.y=tan x D.y=tanxl 变式1：函数f=am2x-引 图象的对称中心可能是( 8.（0 c.( 分层提分 1.函数y=-cosx(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为() A. B.（π，1 c.(0,1) D.(2元，1 2.三角函数y=2sinx在区间[-π，π]上的图像为() 第9页共11页 3.从函数y=co0,2的图象来看，当x∈0,2x时，对于cosx-5的x有（） 2 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.函数y=sinx,xe[0,2π]与y=号图像交点的个数为（) A.0 B.1 C.2 D.3 5.函数y=cos(-x),x∈[0,2π]的简图是() /女a 6.函数y=cosx的一个单调减区间是() B(年 3π c.，2 D.(2 7.函数y=cos2x+3cosx+2的最小值为() A.2 B.0 C.1 D.6 8.函数=m及-2)是() A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.以上都不对 9.使函数f(x)=V3sin(2x+0)+cos(2x+0)为奇函数，则6的一个值可以是() 第10页共11页