7.2.1相关系数、7.2.2成对数据的线性分析练习-2025--2026学年高二数学北师大版(2019)·选择性必修第一册

相关系数、成对数据的线性分析 一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.以下说法不正确的是( ) A.78，82，83，85，86，87，89，89的第75百分位数为88 B.相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性 C.的展开式中常数项为15 D.必然事件和不可能事件与任意事件相互独立 2.某团队尝试用回归模型甲、乙、丙、丁描述人的1000米跑步成绩与肺活量的关系，已知模型甲、乙、丙、丁对应的决定系数分别为0.14，0.17，0.72，0.45，则拟合效果最好的模型是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.下列四组成对数据：①，，，，；②，，，，；③，，，，；④，，，，.其中样本相关系数最小的是( )（附：样本相关系数） A.① B.② C.③ D.④ 4.为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是( ) x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A. B.x与y的样本是负相关 C.当时，y的预估值为2.2 D.去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 5.变量x与y相对应的一组数据为，，，，；变量u与v相对应的一组数据为，，，，，表示变量y与x之间的线性相关系数，表示变量v与u之间的线性相关系数，则( ) A. B. C. D. 6.现有一组样本数据点，，，，则该组样本数据点的相关系数( ) A. B. C. D.1 二、选择题：本题共4小题.每小题6分.共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 7.两个具有相关关系的变量x，y的一组数据为，，…，，其经验回归方程为，记，，决定系数为；若将数据调整为，，…，，其经验回归方程为，记，决定系数为，则( ) 附：，， A. B. C. D. 8.已知某区域的水源指标x与某种植物的分布数量y之间的数据如下表所示，则( ) x 10 20 30 40 50 y 23 45 60 78 94 附：相关系数 A.y与x的相关系数为正数 B.y与x的回归直线经过点 C.删去数据后，y与x的相关系数变小 D.增加数据后，y与x的相关系数不变 9.一组成对样本数据，，点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中，，由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则( ) A.若，则 B.若，则成对数据的样本相关系数等于r C.若，则成对数据的样本相关系数大于r D.若，则成对数据的经验回归方程 10.由一组样本数据，利用最小二乘法得到两个变量的回归直线方程为，记，，则下面说法正确的是( ) A.直线至少经过点中的一个点 B.直线必经过点 C.样本相关系数r与回归系数同号 D.对样本相关系数r，越大，两个变量之间的线性相关性越强 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11.为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数，求得的数值依次为，，0.36，0.93，则这四组数据中线性相关性最强的是___________组数据. 12.现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中简单随机抽样的方法抽取20个作为样本，调查得到样本数据，其中，分别表示第i个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，构造向量，，其中，，并计算得，，，，，由选择性必修二教材中的知识，我们知道n对数据的相关系数，则上述数据的相关系数____________. 13.已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为_____________. 14.甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，____________研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 四、解答题：本题共1小题，共20分.解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15.根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示. （1）依据数据散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）； （2）求y关于x的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少?附：相关系数公式，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，. 1.答案：B参考答案 解析：对于A：因为，所以第75百分位数为，故A正确； 对于B：相关系数r的绝对值接近于0，表示两个变量之间几乎不存在线性相关关系，并不说明变量之间不存在其它相关关系，故B错误； 对于C：常数项为，故C正确； 对于D：由必然事件和不可能事件的定义，可得D正确.故选：B. 2.答案：C 解析：越大，模型的拟合效果越好，因为，所以模型丙拟合效果最好.故选：C. 3.答案：C 解析：对于①，数据均在上，故样本相关系数为1， 对于③，数据均在上，故样本相关系数为-1， 对于②，可看出其数据为正相关，故样本相关系数大于0， 对于④，显然所有数据无法落在某一个一次函数上，故，事实上，，其中，故，故，综上，样本相关系数最小的是③.故选：C 4.答案：A 解析：，，则样本中心点为， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得x与y的样本是正相关，B错误； 对于C，当时，y的预估值为，C错误； 对于D，由相关系数公式知，去掉样本中心点后，x与y的样本相关系数r不会改变，D错误.故选：A 5.答案：C 解析：由变量x与y相对应的一组数据为，，，，， 可得变量y与x正相关，所以.而由变量u与v相对应的一组数据为，，，，，可知变量v与u负相关，所以，所以与的大小关系是.故选：C. 6.答案：D 解析：根据题意可知：这些样本数据点均在直线上，故，由直线的斜率为正，可知，所以.故选：D. 7.答案：BC 解析：，А错误； 的计算中，数据不变，也不变，所以不变，B正确； ，C正确；由于，变成了，，，从而，都不变，所以，D错误.故选：BC 8.答案：ABD 解析：对于A选项，因为y与x呈正相关，故相关系数为正数，A选项正确； 对于B选项，，， 样本中心点为，故y与x的回归直线经过样本中心点，B选项正确； 对于C选项，删去数据后，，，故的值不变，和的值也不变，故相关系数不变，C选项错误； 对于D选项，增加数据后，，，故的值不变，和的值也不变，故相关系数不变，D选项正确.故选：ABD. 9.答案：ABD 解析：当时，变量正相关，所以，故A正确； 因为，所以成对数据对应点相当于把成对数据对应的点向下平移2个单位，不改变变量的相关性，故B正确； 因为，则成对数据对应点相当于把成对数据对应的点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，故变量间的相关性不变，故C错误； 当，由可知，新的回归直线方程中斜率变为，，则成对数据的经验回归方程，故D正确. 故选：ABD 10.答案：BCD 解析：回归直线是由点拟合而成的，可能不过任何一个样本点，但必过数据的中心点，A错误，B正确. 样本相关系数r为正时，两个变量为正相关，回归系数为正；样本相关系数r为负时，两个变量为负相关，回归系数为负.故样本相关系数r与回归系数同号，C正确. 样本相关系数，越大，两个变量之间的线性相关性越强，D正确.故选：BCD. 11.答案：甲 解析：因为值越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强，且，所以甲组数据的线性相关性最强. 12.答案： 解析：由题干数据，，可得，，根据夹角公式的定义，，而， 根据 ， 于是.故答案为：. 13.答案： 解析：因为，， ， ， 所以.故答案为：. 14.答案：甲 解析：由甲、乙、丙的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，可得，所以这三人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 15.答案：（1）答案见解析； （2），9.9百千克. 解析：（1）因为，， ， ，， 因此相关系数， 所以可用线性回归模型拟合y与x的关系. （2）由（1）知，，， 因此，当时，， 所以预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克. 学科网（北京）股份有限公司 $