第7章 2.1 相关系数+2.2 成对数据的线性相关性分析-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学选择性必修1同步课件（北师大版）

数学 选择性必修 第一册 BS 1 §2 §2 成对数据的线性相关性 2 §2 2.1 相关系数+ 2.2 成对数据的线性相关性分析 刷基础 3 1.对样本相关系数 ，下列说法正确的是( ) D A. 越大，线性相关程度越强 B.的取值范围是 C.若 ，则两个变量正相关 D.，且越接近1，线性相关程度越强， 越接近0，线性相关程度越弱 题型1 样本相关系数的应用 4 解析 时，两个变量正相关，C错误； 的取值范围为 ，B错误； 越接近1，表示两个变量的线性相关程度越强， 越接近0，表示两个变量的线性相关程度越 弱，A错误,D正确.故选D. 题型1 样本相关系数的应用 5 2.在一次试验中，测得随机变量,的四组观测值分别为,,,，则与 的相 关系数为( ) B A. B. C.0 D. 题型1 样本相关系数的应用 6 解析 因为过点,的直线的斜率为，所以过点, 的直线的方程为 ,即.经检验点，都在直线上，所以与 是函 数关系.又因为单调递减，所以与的相关系数为 ，故选B. 题型1 样本相关系数的应用 7 3.［安徽合肥2024高二期末］对四组数据进行统计，获得如下散点图，关于其样本相关系数的比 较，正确的是( ) A 图①（样本相关系数r 1） 图②（样本相关系数r 2） 图③（样本相关系数r 3） 图④（样本相关系数r 4） A. B. C. D. 题型1 样本相关系数的应用 8 解析 由散点图可知，样本相关系数,所在散点图呈负相关，样本相关系数, 所在散点图呈 正相关，所以,都为正数，, 都为负数. ,所在散点图近似为一条直线，线性相关程度比较强，样本相关系数的绝对值越接近1，而 , 所在散点图比较分散，线性相关程度比较弱，样本相关系数的绝对值越接近0. 综上可得， .故选A. 题型1 样本相关系数的应用 9 4. ［陕西西安交大附中2024诊断考试］某骑行爱好者近段时间在专业人士指导下对骑行 情况进行了统计，各次骑行期间的身体综合指标评分与对应用时 （单位：时）如表： 身体综合指标评分 1 2 3 4 5 用时 10 8.5 8 7 6.5 （1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与 的关系，请用样本相关系数加以说明； 【解】由题意得， ， ， ， ， 题型1 样本相关系数的应用 10 因此相关系数 . 即相关系数近似为，与负相关，且相关程度较高，从而可用线性回归模型拟合与 的 关系. 题型1 样本相关系数的应用 11 （2）建立关于 的线性回归方程. 参考数据和参考公式： 样本相关系数 ， ，， . [答案] 由（1）中数据， 得，，所以关于 的线性回归方程为 . 题型1 样本相关系数的应用 12 链接教材 此题对应教材第244页例1，的取值范围是，当 越接近1时，线性相关程度越强. 题型1 样本相关系数的应用 13 5.［辽宁沈阳2024高二月考］为研究某池塘中水生植物覆盖水塘的面积（单位： ）与水生 植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合 与 的关系，设,与的数据如表格所示,得到与的线性回归方程，则 ( ) 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 C A. B. C. D. 题型2 非线性回归分析 14 解析 由已知可得， ， 所以有，解得，所以，由，得 ， 所以，则 .故选C. 题型2 非线性回归分析 15 6.汽车轮胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎面磨损.某实验室通过实验测得 行驶里程与某品牌轮胎凹槽深度的数据，建立了如下回归模型 ，通过实验数据分析 与计算得到如下结论：；，令， ，则回归方程应为______ _________. 解析 因为回归模型为，由，可得 ， 两边同时取自然对数，可得，令 ，此时 . 又因为，，所以，即 ， 所以 . 题型2 非线性回归分析 16 7.［广东湛江多校2025联考］中国茶文化博大精深，饮茶深受大 众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.某数学建模小组 为了获得茶水温度（单位：）关于时间（单位： ）的回 归方程模型，通过实验收集在 室温下，茶水温度随时间变化 的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示的散点图以及如 表所示的数据. 73.5 3.85 表中：， . 题型2 非线性回归分析 17 （1）根据散点图判断，与哪一个更适宜作为该茶水温度 关于时 间 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？请根据你的判断结果及表中数据建立该 茶水温度关于时间 的回归方程. 【解】由题中散点图知，更适宜的回归方程类型为②，即 . 由，得，两边同时取自然对数，得 ， 令，则， , ， 结合题表中数据，得，结合参考数据可得 ， 由，得，所以茶水温度 关于时间 的回归方程为 . 题型2 非线性回归分析 18 （2）已知该茶水温度降至 口感最佳，根据（1）中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶 水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ 附：对于一组数据,， ，，其回归直线 的斜率和截距的最小二 乘估计公式分别为， ; 参考数据：，，，， . [答案] 依题意，在室温下，茶水温度降至口感最佳，即 ，整理 得，于是，解得 ，所 以在相同条件下冲泡的茶水大约需要放置 才能达到最佳饮用口感. 题型2 非线性回归分析 19 8.［河北沧州2025高二月考］变量与相对应的一组数据为，， ， ，；变量与相对应的一组数据为，，，， ， 表示变量与之间的样本相关系数，表示变量与 之间的样本相关系数，则( ) C A. B. C. D. 易错点 样本相关系数的判断方法不当 20 解析 由变量与相对应的一组数据可得变量与正相关，所以.而由变量与 相对应的 一组数据可知变量与负相关，所以.因此与的大小关系是 . 易错点 样本相关系数的判断方法不当 21 易错警示 给出一组数据，仅是判断该组数据的样本相关系数符号而非计算具体数值时，可以先把第一维坐 标按由小到大排列，若此时对应的第二维坐标大致呈由小到大的顺序排列，则样本相关系数为正； 若第二维坐标大致呈由大到小的顺序排列，则样本相关系数为负.切忌直接代入样本相关系数公式 计算，此法计算复杂、耗时且易出错. 易错点 样本相关系数的判断方法不当 22 $$