精品解析：湖北省武汉市江岸区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

湖北省武汉市江岸区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，1 B. ， C. 3， D. 5，1 2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 5. 在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 6. 已知点与点关于原点O对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4051 D. 7. 中，，、的长是方程的两根，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）的函数关系式是．飞机着陆后滑行（ ）秒才能停止 A. 18 B. 20 C. 40 D. 72 9. 如图，正方形内接于⊙，点E是上一点，，，连接，，则的面积为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 10. 在平面直角坐标系中，抛物线，直线．过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，在点P从原点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，则a的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为________． 12. 已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系为_____．（用“<”连接） 13. 某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 14. 如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则_____． 15. 二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点； ②； ③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是____（填序号）． 16. 如图，在中，，，点D为边上一点，点E为的中点，交于点F，将绕E点顺时针旋转得到，连，若，，则长为____． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程：． 18. 如图，某小区有一块长，宽的矩形场地，准备沿平行于两边的方向横、纵各修建一条同样宽的小路，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为，求小路的宽． 19. 已知抛物线：． （1）若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ； （2）若抛物线交轴于点，，当时． ①则的值为 ，抛物线的对称轴为直线 ； ②若直线与该抛物线有公共点，则的取值范围为 ． 20. 如图，是的直径，点C、D、E在上，，连交直径于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若点G为中点，，求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． （1）在图中，画线段，使平分的面积；过点作射线交于点； （2）在图中，作点关于的对称点，过点作交于点． 22. 某校无人机兴趣小组开展以“无人机飞行路线”为主题的综合实践活动，在电脑上进行模拟飞行测试． 研究背景 如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式．在此平面进行无人机模拟飞行． 收集数据 无人机从坡底O点左侧的点B起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分，x（米）与飞行的高度（米）记录的部分数据如下： x …… 0 10 15 30 35 50 …… …… 25 40 45 …… 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，发现飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分． 建立模型 求与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 模型应用 （1）当无人机飞行的水平距离为35米时，求无人机到山坡的竖直距离d； （2）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于15米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次模拟飞行是否安全，并说明理由． 23. 如图，中，． 问题背景 如图1，将绕点C逆时针旋转得到线段，作于点D，求证：； 问题探究 如图2，将绕点C逆时针旋转得到线段，连，过中点F作于点H，求证：； 问题拓展 如图3，将绕点A逆时针旋转得到线段，连，点N、P分别为、中点，连，若，，则 ． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C的直线与x轴交于点D，点P为y轴右侧的抛物线上一点，过P作轴交直线于点E．若点是点E关于直线的对称点，且点落在y轴上，求点P的横坐标； （3）如图2，将抛物线向左平移2个单位得到抛物线，不过原点的直线与抛物线交于点M，交y轴的正半轴于点F，直线，直线和抛物线有且只有一个公共点N，若，请你证明直线恒过定点，并求出这个定点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省武汉市江岸区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. ，1 B. ， C. 3， D. 5，1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程的一般形式为，其中 是一次项系数，是常数项．根据一元二次方程的一般形式，直接识别一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是，， 故选：B． 2. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180度，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据中心对称和轴对称的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线顶点坐标的求法是解题的关键． 根据抛物线的顶点式直接可得到顶点坐标． 【详解】解：∵ 抛物线为 ， ∴ 顶点坐标为 ． 故选：B． 4. 方程的根的情况正确的是（ ） A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程的根的情况由判别式Δ决定：时有两个不相等的实数根；时有两个相等的实数根；时没有实数根． 通过计算判别式Δ的值，根据Δ的正负判断根的情况． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 5. 在直角坐标系中，点，以点P为圆心，4为半径作，则与y轴的位置关系为（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相切 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．通过计算圆心到y轴的距离，与半径比较，判断圆与y轴的位置关系，即可作答． 【详解】解：∵点， ∴圆心到y轴的距离为4， ∵以点P为圆心，4为半径作， ∴圆P与y轴相切． 故选：B． 6. 已知点与点关于原点O对称，则的值为（ ） A. 1 B. C. 4051 D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查关于原点对称的点的坐标特征．掌握“关于原点对称的点，横坐标和纵坐标分别互为相反数”是解题关键． 根据题意可得，的值，计算的值即可． 【分析】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：A． 7. 中，，、的长是方程的两根，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，一元二次方程根与系数的关系． 在中，，为斜边，根据勾股定理，，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求和，进而计算，进而可知的长． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴，． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：米）与滑行的时间t（单位：秒）的函数关系式是．飞机着陆后滑行（ ）秒才能停止 A. 18 B. 20 C. 40 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． 飞机停止滑行时，滑行距离达到最大值，对应二次函数顶点处的时间，利用对称轴公式求解即可． 【详解】解：∵函数关系式为，为二次函数，顶点处时间，其中，， ∴． 因此，飞机着陆后滑行20秒停止． 故选：B． 9. 如图，正方形内接于⊙，点E是上一点，，，连接，，则的面积为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，在取一点T，使，连接，在上取一点Q，使，连接，过点A作于点H，证明，得出，根据等腰直角三角形的性质得出，，同理得：，为等腰直角三角形，得出，，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，在上取一点T，使，连接，在上取一点Q，使，连接，过点A作于点H， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴、为的直径， ∴点O在、上，即与交于点O， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理得：，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练作出辅助线，是解题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，抛物线，直线．过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，在点P从原点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，则a的取值范围为（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】解：当点从点运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得， 即， 将代入，可得， 即， ∴ 令，即， 解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如图， 当时，可有， 其图象开口向下，对称轴为直线， 若的长随的长增大而增大，即的长随的增大而增大， 则， 解得， ∴； 当时，可有，其图象开口向上，对称轴为直线，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如图， 当时，可有，其图象开口向上，对称轴为直线， 若的长随的长增大而增大，即的长随的减小而增大， 则， 解得， ∴， 综上所述，a的取值范围为且． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系，一次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 关于x的一元二次方程有一个根为，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．由题意得，代入到方程求出k的值即可． 【详解】解：代入到方程得，， 解得：． 故答案为：． 12. 已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系为_____．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 由二次函数解析式可知，抛物线开口向上，对称轴为直线．点和点的横坐标均在对称轴右侧，函数值随自变量增大而增大，故． 【详解】解：二次函数中，二次项系数，因此抛物线开口向上， 对称轴为直线， 点和点的横坐标分别为1和2，均大于， 故两点均在对称轴右侧， 由于开口向上，在对称轴右侧，函数值随自变量的增大而增大， 因为， 所以． 故答案为：． 13. 某校九年级要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两班级之间赛一场），计划安排28场比赛，问某校九年级有多少个班？设该校九年级有x个班，请依据题意列出方程（化为一般式）：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，准确找到关键语句，从而根据等量关系准确列出方程是解答的关键． 根据题意，每一个球队和其它球队可打场比赛，又赛制为单循环形式，则可列出方程求解． 【详解】解：设共有x个队参赛， 依题意，得， 化为一般式为． 故答案为：． 14. 如图，是的内接三角形，，，将绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为（点B与点对应，点C与点对应），若点落在上，则_____． 【答案】##27度 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质，圆内接四边形，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图，再运用三角形内角和性质，得，结合四边形是的内接四边形，得，再根据旋转的性质，得，，则，运用三角形内角性质列式计算得，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，点落在⊙上，连接如图所示： ∵，， ∴， ∵点落在⊙上，是的内接三角形， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：． 15. 二次函数，其图象经过点，则下列说法： ①该函数图象过点； ②； ③若点在该函数图象上，则也在该函数图象上； ④当时，y只有3个整数值，则或； 其中正确的是____（填序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 当时，，可判断①；再由图象经过点，可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，可判断②；根据题意可得点关于对称轴的对称点为，可判断③；当时，，然后分两种情况：当时，可得；当时，可得，可判断④． 【详解】解：当时，， ∴该函数图象过点，故①正确； ∵二次函数，其图象经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， 即点在该函数图象上，则也在该函数图象上，故③正确； ∵， ∴， 当时，， 当时， ∵当时，y只有3个整数值，1，2，3，且图象经过点， ∴， ∴； 当时， ∵当时，y只有3个整数值，3，4，5，且图象经过点， ∴， ∴， 综上所述，当时，y只有3个整数值，则或，故④正确； 故答案为：①③④． 16. 如图，在中，，，点D为边上一点，点E为的中点，交于点F，将绕E点顺时针旋转得到，连，若，，则长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，四点共圆，旋转，全等三角形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键．过点作于，易得，再证，可得四点共圆，进而证，据此求解即可． 【详解】解：过点作于， 在中，, ， ， ， ， 为中点， 在中，, 在中，, ， 四点共圆， ， 绕点顺时针旋转得到, ， ， 在和中， ， 故答案为：. 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 18. 如图，某小区有一块长，宽的矩形场地，准备沿平行于两边的方向横、纵各修建一条同样宽的小路，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为，求小路的宽． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键，设小路的宽为，根据矩形的面积公式构造一元二次方程求解即可． 【详解】解：设小路的宽为，依题意有 ， 整理，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：小路的宽应是． 19. 已知抛物线：． （1）若抛物线与轴只有一个公共点，则的值为 ； （2）若抛物线交轴于点，，当时． ①则的值为 ，抛物线的对称轴为直线 ； ②若直线与该抛物线有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】（1） （2）①；；② 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、根的判别式的关系等，关键是灵活应用知识点解题； （1）由抛物线与轴只有一个公共点可得，则值可求； （2）①根据根与系数的关系可求值，进而得到抛物线的对称轴； ②由可得，令，即可得到的取值． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴只有一个公共点， ∴， 即：， 解得：； 故答案为：； 【小问2详解】 ①解：由题意得：是方程的两个根，， ∴，即：；对称轴为：， 故答案为：；； ②∵直线与该抛物线有公共点， ∴， 即：， ∴， 即：， ∴． 故答案为：． 20. 如图，是的直径，点C、D、E在上，，连交直径于点F，交于点G． （1）求证：； （2）若点G为中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：设交于点H， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理． （1）设交于点H，根据圆周角定理得到，，进而可得，即可证明； （2）连接交于点M，根据等边对等角得到，根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，根据三角形中位线定理得到，根据证明，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点M． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是中位线， ∴， ∵点G为中点， ∴， ∴（）， ∴， 在中，， 在中，， 在中，． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过五条． （1）在图中，画线段，使平分的面积；过点作射线交于点； （2）在图中，作点关于的对称点，过点作交于点． 【答案】（1） 如图所示，线段和射线即为所求； （2） 如图所示，点及线段即为所求． 【解析】 【分析】（）根据矩形的性质和网格的特征画图即可； （）根据（）的方法过点作出的垂线，与相交于点，将向左平移个单位，再向上平移个单位得到直线，交直线于点，由平移的性质可得，即点是点关于的对称点，同理将向右平移个单位，再向下平移个单位得到直线，交直线于点，可得，进而可得四边形是平行四边形，故； 本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，平移的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 某校无人机兴趣小组开展以“无人机飞行路线”为主题的综合实践活动，在电脑上进行模拟飞行测试． 研究背景 如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴，西侧的坡底为原点建平面直角坐标系，山坡近似满足函数解析式．在此平面进行无人机模拟飞行． 收集数据 无人机从坡底O点左侧的点B起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分，x（米）与飞行的高度（米）记录的部分数据如下： x …… 0 10 15 30 35 50 …… …… 25 40 45 …… 探索发现 数学小组借助计算机画图软件，发现飞行轨迹可以近似看作抛物线的一部分． 建立模型 求与x的函数解析式（不要求写自变量取值范围）． 模型应用 （1）当无人机飞行的水平距离为35米时，求无人机到山坡的竖直距离d； （2）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于15米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次模拟飞行是否安全，并说明理由． 【答案】建立模型：； 模型应用：（1）米； （2）无人机飞行安全，理由： ， ∵， ∴d关于x的函数图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，d有最小值， ∴， ∴无人机飞行安全． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理解题意是解决本题的关键． 建立模型：设抛物线的解析式为，将、和代入求解即可； 模型应用：（1）先求出点B坐标为，则可以求出无人机飞行的水平距离为35米时的水平坐标，将其代入两个解析式并求解即可； （2）根据题意，计算出，并将其化为顶点式，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：建立模型：依题意，设抛物线的解析式为， 将代入得，， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将和代入得，， 解得， ∴该抛物线的解析式为； 模型应用：（1）当时，， 解得， ∴点B坐标为， 当时，； ； ， ∴无人机到山坡的竖直距离d为米； （2）略 23. 如图，中，． 问题背景 如图1，将绕点C逆时针旋转得到线段，作于点D，求证：； 问题探究 如图2，将绕点C逆时针旋转得到线段，连，过中点F作于点H，求证：； 问题拓展 如图3，将绕点A逆时针旋转得到线段，连，点N、P分别为、中点，连，若，，则 ． 【答案】 （1）证明：作于点K， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，． ∵于点D， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． （2）证明：连接，作于点K，过点F作的垂线交的延长线于点G． ∵于点H， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，点F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）作于点K，易得是等腰直角三角形，再证，即可得证； （2）连接，作于点K，过点F作的垂线交的延长线于点G，证，可得矩形是正方形，可得； （3）作于点H，过M作于点E，过A作于点Q，易证，可得点M、Q、P、E四点共线，延长交于点D，易得，可证点N、A、H三点共线，再利用其线段长求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）作于点H，过M作于点E，过A作于点Q， 则， ∵，， ∴， 由题可知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∵， ∴是的中位线，即， ∵，且， ∴点M、Q、P、E四点共线， 延长交于点D，连， ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴是中位线， ∴，， ∴点N、A、H三点共线， 过P作于点F， 则，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、中位线定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点C的直线与x轴交于点D，点P为y轴右侧的抛物线上一点，过P作轴交直线于点E．若点是点E关于直线的对称点，且点落在y轴上，求点P的横坐标； （3）如图2，将抛物线向左平移2个单位得到抛物线，不过原点的直线与抛物线交于点M，交y轴的正半轴于点F，直线，直线和抛物线有且只有一个公共点N，若，请你证明直线恒过定点，并求出这个定点的坐标． 【答案】（1） （2）2或12 （3） 证明：∵抛物线：， ∴抛物线向左平移2个单位得到抛物线：， 设点，，直线解析式为, 把，代入， 得， 解得， ∴：， 设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 联立， ∴， 化简，得， ∵直线和抛物线有且只有一个公共点N， ∴， 解得， ∴：， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴：， 当时，， ∴， ∵； ∴， ∴； ∴； ∴； ∴：， ∴当时，， ∴直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与x轴交于A，B两点，，与y轴交于点．求出对称轴，得点B（或A）的坐标，代入即可求得a的值即可得解； （2）连接，作于点G，设点，则．可得，由，建立方程，即可解答； （3）可得平移的抛物线：，设点，则．求出直线解析式∴，直线的解析式，可得直线的解析式，可得，求出，由，得；得；得，即得直线恒过定点． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点， ∴， ∵对称轴为直线， ∴． ∴， 代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 连接，作于点G，设点， 则． ∴， ∵点是点E关于直线的对称点，轴，交直线于点E． ∴， ∴， ∴， ∴当，即或时，， 解得（舍），， 当，即时，， 解得（舍），， ∴点P的横坐标为2或12． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，熟练掌握待定系数求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数的图像和性质，二次函数与线段周长综合，二次函数平移，分类讨论，勾股定理，等腰三角形性质，轴对称性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $