《3.8圆内接正多边形》同步练习 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《3.8圆内接正多边形》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 2．若正八边形绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，则这个角度不可能是（   ） A． B． C． D． 3．正多边形的一部分如图所示，若，则该正多边形的边数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 6．如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是正五边形的外接圆，这个五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系是错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 二、填空题（满分24分） 9．如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是 ． 10．若正多边形的一个中心角为，边长为，则这个正多边形外接圆的半径为 ． 11．图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则的值为 ． 12．如图，是半径为3的正八边形的外接圆，连接，则的长为 ． 13．如图，为正六边形的一条对角线，于点，连接，若正六边形的边长为2，则的长为 ．    14．如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，与交于点G，则的度数是 ． 15．如图，正六边形 的边、分别与相切于点C、F，连接、，则 的度数是 ． 16．已知圆是正方形的内切圆，为圆上任一点，为的中点，连接． （1）如图1， ； （2）如图2，连接，若，则的最大值为 ． 三、解答题（满分72分） 17．如图所示，正的外接圆的圆心为O，半径为2，求的边长a，周长P，边心距r，面积S． 18．如图所示，圆内接中，，、为的半径，于点，于点，求证：阴影部分四边形的面积是的面积的倍．    19．国旗上的每颗星都是标准五角星，圆圆对五角星进行了较深入的研究：延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形的边、 的延长线相交于点，的平分线交于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．如图，为的直径，点都在上，且平分，交于点． (1)请判断的形状，并说明理由． (2)若，求的半径； (3)于点，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知．    (1)判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由； (2)求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集． 22．已知的直径，弦与弦交于点，，垂足为点．    (1)如图，如果，求弦的长； (2)如图，如果为弦的中点，求的值； (3)连接，，，如果是的内接正边形的一边，是的内接正（）边形的一边，求的面积． 23．摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如）始终垂直于水平线l．    (1)________° (2)若，的半径为10，小圆的半径都为1： ①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________； ②当圆心H到l的距离等于时，求的长； ③求证：在旋转过程中，的长为定值，并求出这个定值． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键． 根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 【详解】解：设正多边形的边数为． 由题意可得：，解得：． 故选B． 2．B 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．正八边形绕中心旋转的最小角度为，所有可能的旋转角度均为的整数倍，据此即可求解． 【详解】解：正八边形是旋转对称图形，其旋转对称角度为． 因此，旋转后的重合角度必须满足（k为整数）． 选项A：是，符合条件； 选项B：无法表示为的整数倍，不符合条件； 选项C：是，符合条件； 选项D：是，符合条件． 综上，不可能的角度为， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理．根据正多边形的性质得出点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，设正多边形的中心为， ∵、、为正多边形的顶点， ∴点、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∵， ∴该正多边形的边数为． 故选：B． 4．B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质是正确解答的关键．根据正六边形、正方形的性质以及正三角形，等腰直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：点O是正六边形的中心， 是正三角形， ， 又点O是正方形的中心， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 5．D 【分析】本题考查方向角、圆周角以及正多边形和圆，掌握正八边形的性质，方向角、圆周角的定义是正确解答的关键．根据正八边形与圆的性质以及圆周角、方向角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、、， ∴正八边形的中心角为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点位于点的北偏东． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，切线的性质，连接．求出，再利用圆周角定理求出，连接，可得，由得，求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵M，N，F分别是与的切点， ∴，， ∴， ∵正五边形中，， ∴， ∴， 连接，由对称性可得三点在同一条直线上， 在和中， , ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．D 【分析】本题主要考查了圆和正多边形的结合，垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用垂径定理，勾股定理，利用锐角三角函数解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识点逐项进行判断即可． 【详解】解：如图所示，，交于点， A.由垂径定理和勾股定理可得，该选项正确，故不符合题意； B.由题意可得，，由等腰三角形的三线合一性质可得， ∴， 由垂径定理得， 该选项正确，故不符合题意； C. 由题意可得，，由等腰三角形的三线合一性质可得， ∴， 由垂径定理得， 该选项正确，故不符合题意； D. 由题意可得，，由等腰三角形的三线合一性质可得， ∴， 即 该选项错误，故符合题意； 故选：D． 8．B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，求正多边形的中心角，连接，则，可证明是等边三角形，，则可得到，再求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 9．8 【分析】此题考查正多边形内角与中心角，根据正边形的中心角的度数为，内角和为，列出方程即可，解题的关键是熟知正多边形的内角和公式及中心角． 【详解】解：正边形的中心角的度数为，内角和为， 由题意可得：， 解得：，（负值舍去）， 故：，经检验，符合题意， 故答案为：8． 10．4 【分析】本题考查正多边形与圆的综合，涉及正六边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意得到该正多边形是正六边形，其的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，即可得到答案，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵正多边形的一个中心角为， ∴该正多边形的边数为，即该正多边形为正六边形， 正六边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形， ∵边长为， ∴这个正多边形外接圆的半径为， 故答案为：4． 11． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正六边形，>三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于点，作于点，得到，，设正六边形的边长为，则，求出，得到，继而得到，，求得，得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点，作于点， ，， 设正六边形的边长为，则， ， 正六边形的一个内角为， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆， 先求出中心角，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：连接，如图所示， ∵这个多边形是正八边形， ∴， ∴． 在中，， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查正多边形，根据正六边形是轴对称图形可求出，由可得，得，由勾股定理可求出，． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴ ∵六边形是轴对称图形， ∴是它的一条对称轴， ∴ ∵，即 ∴ ∴， 在中， ∴ 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 14．54 【分析】连接，根据正五边形的中心角得，，结合圆周角定理得，再运用直角三角形的两个锐角互余列式计算，即可作答．本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵五边形是的内接正五边形，是的直径， ∴，， ∵， ∴， 则在中，， 故答案为：54． 15． 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，掌握正六边形的性质，切线的性质以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键．根据正六边形的性质可求出各个内角的度数，由切线的性质以及五边形内角和的计算方法即可求出答案． 【详解】解：∵正六边形的边，与相切于点C，F， ∴， ∵六边形是正六边形， ∴， 在五边形中， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题是圆的综合题，考查了正方形内切圆，相似三角形的判定和性质，三角形的三边关系，勾股定理等知识，将的最大值转化为求的长是解题关键． （1）过点作，垂足为．圆半径为，则，证明，即可求出的值； （2）结合（1）的结论可得，则当在的延长线上时，即点、、三点共线时，有最大值，最大值为的长，过点作，垂足为，证明，得出，，从而求出，即可得解． 【详解】解：（1）如图1，过点作，垂足为． 设圆半径为，则， ， 为的中点， ， ，， 又 ， ， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，， ， 当在的延长线上时，即点、、三点共线时，有最大值，最大值为的长， 如图2，过点作，垂足为， ， ， ， ，， ，， ， 的最大值为， 的最大值为， 的最大值为． 故答案为：． 17． 【分析】本题考查了等边三角形、等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆，三角形的面积， 作AD⊥BC于D，根据等边三角形性质得出，，求出，根据勾股定理求出，即可求出，的三倍即为周长，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：作于D． ∵是正三角形， ∴点O在上，， 在中，， ， ∴，． 又∵， ∴， ∴，，，． 18．见解析 【分析】首先连接，根据垂径定理的知识，易证得，设，根据直角三角形的性质与等边三角形的知识，即可求得阴影部分四边形的面积与的面积，继而求得答案． 【详解】连、、，如图(2)所示，      图(2) 则，又．   ， 又于，于，由垂径定理得 ， ，   ．    ∴ ． 即阴影部分四边形的面积是的面积的倍． 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 19．(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】（1）根据正五边形的性质可得，从而利用平角定义可得，进而利用三角形内角和定理可得，然后利用角平分线的定义可得，从而可得，进而可证，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； （2）设，利用（1）的结论可得：，从而可得，在利用（1）的结论可得：，从而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再利用线段的和差关系可得，最后利用（1）的结论可得：，从而可得，进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：五边形是正五边形， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， 由（1）可得：， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 解得或（舍去）， ， 的长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的定义，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．(1)等腰直角三角形，理由见解析 (2)12 (3)．理由见解析 【分析】（1）由平分，根据圆周角定理，可得，从而得解； （2）过点作于点，求出长，则，可求出，则答案得出； （3）过点作，交的延长线于点，证明与，则，则结论可得出． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）解：如图1，过点作于点，   为的直径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 如图2，过点作，交的延长线于点，   四边形内接于圆， ， ， ， ，，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 即． 【点睛】此题考查了和圆有关的综合性题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握圆的有关性质定理是解题的关键． 21．(1)点E在该反比例函数的图象上，理由见解析 (2)， 【分析】（1）根据正六边形的性质得出，，则，，得出，， 连接，推出为等边三角形，得出，则反比例函数表达式为把，代入 ，求出，即可解答； （2）把，代入，求出a和b的值，即可得出直线的解析式，根据图象，找出直线位于双曲线上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴，， ∴，， 连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为． ∵为等边三角形， ∴点E和点A关于对称， ∴， 把代入得：， ∴点E在该反比例函数的图象上；    （2）解：把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴由图可知，当时，． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，正六边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正六边形的性质． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）连接OC，根据得出，然后进一步得出，从而得到，然后进一步利用三角函数求解即可； （2）连接，证明，则，，再证明是的中位线，设，则，则，解得，则，，得到，根据即锐角三角函数的定义即可得到答案； （3）连接，由，，即，解得．求出，，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵ ，， 又， ，即， ， ∴， ， ， ， ， 则； （2）如图，连接，   为直径，， ， ， ， ∵为弦的中点， ∴， ∵， ， ，， 又， 是的中位线， 设，则， ， ， 解得：， 则，， ， ， ， 则； （3）如图，    是的内接正边形的一边，是的内接正边形的一边， ，， 则， 解得：或（舍去）． ，， ， ， ， 则， ． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质定理、多边形的基本概念、三角函数及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关概念是解题关键. 23．(1)60 (2)①25；②；③的长为定值，定值为10． 【分析】（1）将平均分6份即可； （2）①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解； ②设的挂点为K，过点H作于点T，先证四边形是矩形，再用勾股定理解即可； ③先证是等边三角形，再证是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：， 故答案为：60； （2）解：①当圆心M在的延长线上时，圆心M与l有最大距离， 最大距离为， 故答案为：25； ②如图，设的挂点为K，过点H作于点T，    ∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴K，H，T在同一直线上， ∵圆心H到l的距离等于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ③证明：如图所示，连接，，    由（1）知， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的长为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $