精品解析：四川省成都石室中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

成都石室中学2025-2026学年度上期高2028届期中考试 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一､单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定求解即可. 【详解】由存在量词命题的否定知， 的否定是， 故选：C 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的形状和二次函数的性质，分别求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由函数有意义，则，即， 所以，解得，所以， 又由函数，所以集合， 所以. 故选：D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及常见函数的单调性判断各选项即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 且，则函数为偶函数，故A错误； 对于B，函数在上单调递增，故B错误； 对于C，的定义域为， 且，则函数为奇函数， 而函数在上单调递减， 则在上单调递减，故C正确； 对于D，函数在上单调递增，故D错误. 故选：C 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】化简两个不等式，通过集合之间的关系判断. 【详解】，则，得； 等价于且，得， 因， 则“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 5. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则,由， 所以， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为6次． 故选：C. 6. 已知，在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，根据二次函数与反比例函数的性质，结合分段函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得 因为函数在为单调递增函数， 即分段函数每一段都是递增函数，且处的函数值，小于或等于当时，在处的临界值， 即满足，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用幂指对函数的单调性比较自变量的大小，然后根据的单调性和奇偶性即可得出答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，且在上单调递增， 由幂函数和指数函数的单调性可知， 由对数函数单调性可知， 所以，故，即. 故选：D 8. 函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数单调性的关系先判断函数是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可判断． 【详解】设，则， 当时，为增函数，也是增函数，则为增函数， 当时，为减函数，也是减函数，则为增函数， 综上可得：为增函数，即在内是单调函数． 因为是单调递增函数，所以若为“梦想函数”， 则有，即方程有两个不同的解， 即可得有两个不同的解， 令，即方程有两个不等的正实数根， 即，有两个不等的正实数根， 即和在的图象有两个不同交点， 又在的最小值为， 所以结合图象可知： 即. 即的取值范围为. 故选：A 二､多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于任意两个集合，都有 B. ，若是的充分条件，则 C. 函数的值域为 D. 已知，则的取值范围是. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由集合的交集和并集的定理即可判断A选项；由充分条件得到不等式，解得的范围即可判断B选项；由二次函数及幂函数得到的范围，然后得到函数值域判断C选项；由不等式的基本性质求得的取值范围判断D选项. 【详解】∵，，∴，A选项正确； 是的充分条件，则，解得，B选项正确； 函数，∴，则，C选项错误； ∵，∴，则，∴，即，D选项正确. 故选：ABD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数的最大值为 B. 已知，则的最小值为 C. 已知正数满足，则 D. 已知，则的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式直接进行求解；对于B，分离常数后直接利用基本不等式计算求解即可；对于C，将分母转化已知条件，代换即可；对于D，构造再利用基本不等式即可求解. 【详解】对于A，因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以则函数的最小值为，故A错误； 对于B，因为，则， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为，故B正确； 对于C，设，， 因为，则，， 要证，即证， 因为， 即，所以，故C正确； 对于D，由得：， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数关于对称，函数关于直线对称，且的，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. ，都有成立，则的取值范围是 D. 时，若的最小值为2，则的最小值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象平移得出函数的对称性，可得奇偶性，利用奇偶性构造方程解方程组求出可判断A，再由奇函数的性质求值判断B，由函数的单调性，分类讨论求的范围判断C，利用基本不等式求最值判断D. 【详解】因为函数关于对称， 所以由函数的图象平移知关于对称，故为奇函数， 因为函数关于直线对称， 所以图象关于轴对称，故为偶函数； 因为， 所以， 两式相加可得，故，故A正确； 因为，所以， 所以，故B正确； ，都有成立，即， 所以在上单调递增， 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，由对勾函数的性质知在上单调递增，所以，解得， 综上的取值范围是，故C错误； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以， 当时，则，故，当且仅当，即时等号成立； 当时，则有，不合题意； 当时，则有，即，不合题意； 综上可知的最小值为2，故D正确. 故选：ABD 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时，__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，，求出，再利用奇偶性可求. 【详解】当时， 若，则，则， 因函数是定义在上的偶函数，则， 故当时，. 故答案为： 13. 已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义以及偶函数的性质可得，结合指数函数的恒过点求解即可. 【详解】函数为幂函数，所以，解得：或， 当时，为奇函数，图象不关于轴对称，舍去； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意； 所以，则函数且， 令，得，， 所以函数且的图象过定点为; 故答案为： 14. 已知函数.若，若恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论求解即可. 【详解】设， 对任意的，， 故对任意的，，则函数的定义域为， 因为 ， 所以函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以函数在上为增函数， 由， 则， 则， 所以，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，解得； 当时，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）求值：； （2）； （3）已知，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算法则和对数运算性质计算； （2）利用对数运算法则和换底公式性质计算； （3）将指数式化为对数式，并利用对数运算法则计算. 【小问1详解】 【小问2详解】 【小问3详解】 令，则， 所以， 所以，又， 所以 16. 已知函数. （1）命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； （2）当时，不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）问题化为，恒成立，分，，讨论求解可得的取值范围； （2）问题化为在时有解，利用换元法与对勾函数的区间单调性求范围，进而得实数的取值范围. 【小问1详解】 由已知命题为假，则，恒成立， 当时，即时，，显然在上不恒成立； 当时，即时，此时为开口向下，故不等式在上不恒成立； 当时，则，即， 综上，的取值范围是. 【小问2详解】 不等式，即，即． 由恒成立，则在时有解， 设，有，， 而在上单调递增，则，故， 所以，实数的取值范围为. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）1 （2） 在上单调递减，证明如下： 由（1）知，， 任取，且， 则， 因为，所以，，， 故，即， 所以在上单调递减. （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由奇函数性质求参数，并验证结果即可； （2）任取，且，应用作差法比较的大小，即可证明； （3）根据函数的奇偶性及单调性将问题转化为解不等式，进而根据一元二次不等式解法求解即可. 【小问1详解】 由题意，则， 此时， 则，即为奇函数，满足题意， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由， 则， 由（2）知，在上单调递减， 所以，则，即， 当时，不等式为，解得； 当时，，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为， 当时，，解得或； 当时，，解得； 当时，，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，8点18分时，壶中热水自然冷却到. （1）求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； （2）若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①设从降至的时间为，从加热至的时间为，用表示，； ②判断这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数（不需要写出理由），并求该养生壶保温的临界值. 【答案】（1） （2）①，，②1次， 【解析】 【分析】（1）设待定系数法求，根据已知有求参数a，即可写出解析式，注意定义域范围. （2）①计算从降至的时间、从加热至的时间即可； ②由题意，研究情况下从降至、从加热至、从降至所需的时间，进而分析出加热次数，列方程求值． 【小问1详解】 当时，设，则，可得， 所以. 当时，，则，可得， 综上，； 【小问2详解】 ①从降至，则， 可得， 从加热至，则，可得， ②1次，理由如下： 由题意， 从降至，则， 可得分钟， 所以降至，所需时间分钟， 由于小王出门34分钟， 从加热至，则，可得分钟， 则从加热至所需时间分钟； 从降至，则，可得分钟， 则从降至所需时间分钟； 故34分钟内至少加热了一次，若加热两次则分钟， 又在上递减，且，即， 综上，只加热过一次，． 19. 定义：对于函数.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，证明：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 【答案】（1）由函数， 对于任意，存在正常数，可得， 则， 又由，要使得，即， 因为，则，所以， 又因为，即，解得， 所以存在满足条件，所以函数是“一致变化函数”. （2） （3）证明：由函数，假设是“一致变化函数”， 存在正常数，使得，且 由， 因为，所以对恒成立， ①当时，可得，则， 可得， 当且仅当时，取等号； ②当时，可得，所以， 则， 所以， ③当时，可得，所以， 则，可得， 当时，，可得； 当时，，可得， 综上可得，， 又由存在正常数，且，所以， 可得，解得，因为，所以， 所以存在，使得， 所以函数是“一致变化函数”，且“一致变化系数”的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，且，得到，进而求得的取值范围，进而得到答案； （2）由，且，得到，求得，得到，结合基本不等式，即可求解； （3）假设是“一致变化函数”，得到，分，和，三种情况讨论，求得，结合题意，得到，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数是“一致变化函数”， 则存在正常数，使得当时，，且， 由， 又由，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立，此时， 所以的最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都石室中学2025-2026学年度上期高2028届期中考试 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一､单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. Deepseek（深度求索）是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ） （参考数据：） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 已知，在上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，设，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数；（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于任意两个集合，都有 B. ，若是的充分条件，则 C. 函数的值域为 D. 已知，则的取值范围是. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则函数的最大值为 B. 已知，则的最小值为 C. 已知正数满足，则 D. 已知，则的最小值为 11. 已知函数关于对称，函数关于直线对称，且的，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，且，则 C. ，都有成立，则的取值范围是 D. 时，若的最小值为2，则的最小值为2 三､填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时，__________. 13. 已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点__________. 14. 已知函数.若，若恒成立，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出必要文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1）求值：； （2）； （3）已知，求的值. 16. 已知函数. （1）命题，使得成立为假命题，求实数的取值范围； （2）当时，不等式有解，求实数的取值范围. 17. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）试判断的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式. 18. 物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过一段时间后的温度为，则，其中为环境温度，为参数.某日室温为，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到，8点18分时，壶中热水自然冷却到. （1）求8点起壶中水温（单位：）关于时间（单位：分钟）的函数； （2）若当日小王在1升水沸腾时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值时，开始加热至后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为.（参考数据：） ①设从降至的时间为，从加热至的时间为，用表示，； ②判断这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数（不需要写出理由），并求该养生壶保温的临界值. 19. 定义：对于函数.如果存在正常数，使得当取其定义域中任意值时，有，且成立，则称是“一致变化函数”，而这个常数就叫做函数的“一致变化系数”. （1）给出，判断函数是否为“一致变化函数”，并说明理由； （2）给出，若是“一致变化函数”，求“一致变化系数”与之和的最小值； （3）给出，证明：函数是“一致变化函数”，并求“一致变化系数”的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $