2025-2026学年青岛版数学九年级上册期末培优检测试题

九年级上册期末综合培优检测试题 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，选出符合题目要求的一项。 1.如图，已知是边上的一点，连接以下条件中不能判定∽的是(    ) A. B. C. D. 2.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将的面积扩大到原来的倍，得到若点的坐标为，则点的坐标为(    ) A. B. C. 或 D. 或 3.如图，、、是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为，则的值为(    ) A. B. C. D. 4.为测量小河的宽度，小明在河两岸，测得大楼楼顶的仰角分别为，若大楼的高为，则的长可表示为(    ) A. B. C. D. 5.如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为米，宽为米一辆卡车宽为米，若该卡车要通过该隧道，则它的高必须低于(    ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6.如图，为的直径，点为圆上一点，，若将劣弧沿弦翻折交于点，连接，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是(    ) A. B. C. D. 8.已知关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 且 9.某超市销售一种文创产品，每个进货价为元．调查发现，当销售价为元时，平均每天能售出个；而当销售价每降低元时，平均每天就能多售出个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到元，设每个文创产品降价元，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 10.如图，是大半圆的直径，以点为圆心，的长为半径的小半圆交于，两点，弦切小半圆于点，，，则图中阴影部分的面积是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.如图，四边形中，，，，，是上一点，若以，，为顶点的三角形与相似，则          ． 12.如图，在中，，，点从出发，以的速度向运动，点从同时出发，以的速度向运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间是          ． 13.如图，点为的边上一点，且，点为的中点，交于点，则等于          ． 14.如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上已知直角三角纸板中，，测得眼睛离地面的高度为，他与“步云阁”的水平距离为，则“步云阁”的高度是           15.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上，当，则的长度为        ． 16.如图，四边形为的内接四边形，已知，则的度数为          ． 17.某市积极响应国家的号召“房子是用来住的，不是用来炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由去年月份的每平方米元下降到月份的每平方米元且去年房价在月份、月份、月份、月份的下降率保持一致，则去年月份的房价单价为每平方米______元． 18.如图，在平面直角坐标系中，是直线：上的一个动点，的半径为，过点作的切线，切点为，则长度的最小值为        ． 三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.（本小题8分） （1）计算：． （2）解方程： 20.本小题分 已知：，与交于点，过点作，交于点． 如图，当时，求证：； 如图，求证：． 21.本小题分 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处已知试管，，试管倾斜角为参考数据：，， 求酒精灯与铁架台的水平距离的长度结果精确到； 实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且点，，，在一条直线上，经测得：，，，求线段的长度结果精确到． 22.本小题分 如图，以的边为直径作，点在圆上，作，交的延长线于点．在上，，垂足为，连接交于点． 求证：是的切线； 若，，求阴影部分的面积． 23.本小题分 今年以来四川通过“国补”把家电以旧换新作为惠民生的重要举措。某商家在“双十一购物节”对一款“级”节能洗衣机和一款“级”节能液晶电视机实行降价促销． 原售价为每台元的“级”节能液晶电视机，连续两次降价相同的百分率后售价为每台元，则该款电视机每次降价的百分率是多少 经市场调研发现，该款洗衣机原销售单价为元时，平均每月能售出台如果售价每降价元，那么平均每月可多售出台已知购进这款洗衣机的单价是元，商家决定每台洗衣机降价元进行销售根据政策，降价销售后，商家每销售一台洗衣机可获得元的补贴若商家所获的总利润为元，尽可能让利于顾客，求的值。 24.本小题分 综合与探究 【定义】我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”． 【示例】如的“友好方程”是．一元二次方程的“友好方程”是          ． 【探究】已知一元二次方程的两根为，，请求出它的“友好方程”的根． 【猜想】当时，方程的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为          ． 【证明】证明中的特殊关系，请完成下面填空，并补全证明过程备注：证明一组关系即可证明：方程的两根为，，方程的两根为，________________， 【拓展】已知关于的方程的两根是，，请利用上述结论，直接写出关于的方程的两根． 25.本小题分 在中，动点在边上从点向终点运动，同时点在边上从点向终点运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接交于点． 【特例初探】如图，若为等边三角形，点和点以同样的速度运动，则在此运动过程中，的度数始终为          ； 【类比探究】如图，若为等腰直角三角形，斜边为，点的速度为，点的速度为，则在此运动过程中，的角度是否发生变化？如果不变，请求出具体度数；如果发生变化，请写出理由； 【总结提升】如图，若为等腰三角形，底边为，且，，点的速度为，点的速度为，则在此运动过程中，请直接写出用含有，，的代数式表示的度数． 参考答案 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11. 或  12. 秒或秒  13.   14.   15.   16.   度  17.   18.   19. 解：原方程可变形为 即 ， 两边开平方，得： 解得：，， 所以方程的解为：，．  20. 解：原式 ．  21. 证明， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ；   ，， ， ∽ ， ， ∽ ， ， ，   22. ．   的长度约为．  23. 【小题】 证明：连接， ， ， 又， ， ， 为直径作， ， ，即， 又是的直径， 是的切线； 【小题】 解：，， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ， ， 阴影部分的面积为．  24. 解：设该款电视机每次降价的百分率是，由题意得：， 解得或不符合题意，舍去， 答：该款电视机每次降价的百分率是． 由题意得：当每台冰箱降价元时，平均每月的销售量为台， 则， 整理得：， 解得，， 又尽可能让利于顾客， 答：的值为．  25. 【小题】 【小题】 其“友好方程”为因式分解，得于是得，或，，  【小题】 互为倒数 【小题】 ． 补全证明过程如下：．与互为倒数  【小题】 ，．  26. 【小题】 【小题】 的角度不发生变化，为． 理由如下：在等腰直角三角形中，， ， ， ，由题知， ， ， ， ， ． 【小题】 ， ， 点的速度为，点的速度为， ， ， ， ， ， ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $