5.3诱导公式【六大考点+六大题型】讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

5.3诱导公式 【考点归纳】 知识点01：诱导公式归纳 【知识梳理】 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点02.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为0～之间的角求值 知识点03.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 知识点04.用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名． 【题型归纳】 题型一：诱导公式一的应用 【例1】．（24-25高一上·安徽宣城·月考）的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·广东东莞·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·湖北·期末）（    ） A． B． C． D． 题型二：诱导公式二、三、四应用 【例2】．（24-25高一上·湖北·期末） . 【变式1】．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知角的终边经过点，则 . 【变式2】．（24-25高一上·上海·期末），则的值是 . 题型三：诱导公式五、六应用 【例3】．（25-26高一上·上海·月考）已知，则 【变式1】．（25-26高一上·河北保定·开学考试）已知，则 ． 【变式2】．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则 . 题型四：诱导公式求值化简 【例4】．（25-26高一上·贵州铜仁·月考）已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【变式1】．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知. (1)求的值；(2)若为第二象限角，求的值. 【变式2】．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知角是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值. 题型五：诱导公式证明恒等式 【例5】．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【变式1】．（21-22高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 【变式2】．（2021高一·全国·专题练习）求证：． 题型六：诱导公式的综合问题 【例6】．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 【变式1】．（2025高一上·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【变式2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一·全国·专题练习）已知，则等于（    ）． A． B． C．或 D． 7．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·周测）已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广东梅州·期末）下列等式正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．. D． 11．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·贵州毕节·期末）在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（    ） A． B． C．扇形的面积 D．角所对的弧长 14．（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若是第三象限角，且，则 D．若角的终边过点，则 三、填空题 15．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知，则 . 15．（25-26高一上·全国·课后作业）若的终边不在轴上，且，则 ． 17．（24-25高一上·江苏南通·期末）设tan10°＝m，则＝ （结果用含m的式子表示）. 18．（25-26高一上·全国·课后作业）求值： ． 19．（2025高一上·全国·专题练习）如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆O与x轴的正半轴的交点，A点的坐标为，，则 ， ． 四、解答题 20．（24-25高一下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)若，化简并求值. 21．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点，且，求下列各式的值： (1)及； (2)． 22．（22-23高一上·北京·月考）在平面直角坐标系中，是单位圆上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限，记且． (1)求点的坐标； (2)求的值． 23．（24-25高一上·海南海口·月考）已知，且是第二象限角. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 24．（24-25高一下·陕西汉中·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 25．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3诱导公式 【考点归纳】 知识点01：诱导公式归纳 【知识梳理】 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 知识点02.明确各诱导公式的作用 诱导公式 作用 公式一 将角转化为0～2π之间的角求值 公式二 将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 公式三 将负角转化为正角求值 公式四 将角转化为0～之间的角求值 知识点03.诱导公式的记忆 这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号.α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角. 知识点04.用诱导公式化简求值的方法 (1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少． (2)对于π±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而运用后一套公式必须变名． 【题型归纳】 题型一：诱导公式一的应用 【例1】．（24-25高一上·安徽宣城·月考）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简求值． 【详解】由诱导公式可得，． 故选：B． 【变式1】．（24-25高一上·广东东莞·期末）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】 故选： 【变式2】．（24-25高一上·湖北·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由诱导公式求解． 【详解】， 故选：C． 题型二：诱导公式二、三、四应用 【例2】．（24-25高一上·湖北·期末） . 【答案】0 【分析】由诱导公式及特殊角三角函数值即可求解； 【详解】， 故答案为：0 【变式1】．（24-25高一上·新疆喀什·期末）已知角的终边经过点，则 . 【答案】/0.6 【分析】根据诱导公式和三角函数定义即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一上·上海·期末），则的值是 . 【答案】 【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 题型三：诱导公式五、六应用 【例3】．（25-26高一上·上海·月考）已知，则 【答案】/ 【分析】利用诱导公式进行化简，再利用齐次式思想化为的相关式子，代入求解即可. 【详解】； 故答案为： 【变式1】．（25-26高一上·河北保定·开学考试）已知，则 ． 【答案】 【分析】把看作整体，根据诱导公式五求解 【详解】设，由题意得，， 根据诱导公式五，. 故答案为： 【变式2】．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用诱导公式计算即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 题型四：诱导公式求值化简 【例4】．（25-26高一上·贵州铜仁·月考）已知． (1)化简； (2)若是第三象限角，且，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）. （2）因为是第三象限角，且， 所以，故， 因此. （3）当时，. 【变式1】．（23-24高一上·江苏常州·月考）已知. (1)求的值； (2)若为第二象限角，求的值. 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）由于，解得.故. （2）由（1）知， 则，解得或， 又为第二象限角，则，，故， 所以. 【变式2】．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知角是第三象限角，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3). 【详解】（1）由得，则， 所以. 又因为角是第三象限角，则，， 所以，，所以. （2）由（1）可得解得，所以. （3）， 所以. 题型五：诱导公式证明恒等式 【例5】．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【详解】左边右边， 所以． 【变式1】．（21-22高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 【变式2】．（2021高一·全国·专题练习）求证：． 【详解】左边==–tanα=右边， ∴等式成立． 题型六：诱导公式的综合问题 【例6】．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点， ∴，∴. （2） . 【变式1】．（2025高一上·全国·专题练习）已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简，并由弦化切法求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以 ； （2） . 【变式2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去掉根号，化简得到； （2）在（1）基础上，得到，所以； （3）计算出，根据诱导公式得到，，得到答案. 【详解】（1）式子中有根号，先考虑去根号， ． （2）由，可得， 所以． （3）当时，， 所以，所以， 于是， ， 所以． 【高分达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式化简，即可得到结果. 【详解】. 故选：D 2．（24-25高一下·广东湛江·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助诱导公式计算即得. 【详解】. 故选：D. 3．（2025高三·全国·专题练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式化简条件可得，再结合诱导公式求结论. 【详解】因为，， 所以 所以， 故选：B 4．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式对目标式合理变形，得到，再结合得到，进而利用同角三角函数的基本关系求出，最后得到即可. 【详解】由题意结合诱导公式得， 因为，所以，则， 因为，所以， 解得（负根舍去），可得，故B正确. 故选：B 5．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简已知等式，可得，结合角的范围，即得答案. 【详解】因为， 所以，解得或，故或， 由于，则，所以， 故选：A 6．（2025高一·全国·专题练习）已知，则等于（    ）． A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】利用诱导公式化简得到，结合同角三角函数关系，分在第二象限和第四象限两种情况，进行求解. 【详解】因为，， 所以，又， 当在第二象限时，，此时； 当在第四象限时，，此时． 综上，. 故选：A． 7．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合诱导公式逐一验算各个选项即可求解. 【详解】已知，且是第一象限角，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高一上·全国·周测）已知角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义可得出的值，再利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值. 【详解】由题意，点为角终边上一点，由三角函数定义可得， 所以． 故选：B． 二、多选题 9．（24-25高一上·广东梅州·期末）下列等式正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据诱导公式化简可判断ABC的真假；根据同角三角函数的商数关系结合诱导公式可判断D的真假. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD 10．（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．. D． 【答案】AC 【分析】先利用同角三角函数的基本关系可求与值，进而利用诱导公式逐项判断. 【详解】由，得，. 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：AC 11．（24-25高一下·甘肃平凉·开学考试）已知且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】计算即可得出A；根据A判断范围，再利用齐次化思想得到，即可得出B. C；利用齐次化思想得到D. 【详解】由，得，所以，A正确； 因为，所以，，则， 而，得出或， 若，则，与矛盾. 故，故C错误； ，B正确； ，D错误． 故选：AB 12．（24-25高一上·湖北·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用三角函数定义计算可得A错误，将代入计算可判断BD正确，再由诱导公式化简计算即可得出C正确. 【详解】对于A，由三角函数定义可知，即A错误； 对于B，易知，所以，即B正确； 对于C，化简，即C正确； 对于D，将代入可得： 原式，可得D正确. 故选：BCD 13．（24-25高一上·贵州毕节·期末）在单位圆中，已知角的始边和终边分别与单位圆的交点为和，则（    ） A． B． C．扇形的面积 D．角所对的弧长 【答案】BC 【分析】根据三角函数的定义求出、，，即可判断A、B，由扇形的面积公式及弧长公式判断C、D. 【详解】因为角的始边和终边分别与单位圆的交点为和， 所以，，，故A错误； ，故B正确； 又，则， 所以扇形的面积，故C正确； 角所对的弧长，故D错误. 故选：BC 14．（24-25高一上·内蒙古·期末）已知，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若是第三象限角，且，则 D．若角的终边过点，则 【答案】ABD 【分析】由已知结合诱导公式对已知函数进行化简，然后结合同角基本关系，诱导公式检验各选项即可判断. 【详解】，A正确； 若，则，即，B正确； 若是第三象限角，且，则， 所以， 所以，C错误； 若角的终边过点，则， ，D正确. 故选： 三、填空题 15．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据诱导公式计算即可. 【详解】， 所以. 故答案为：. 15．（25-26高一上·全国·课后作业）若的终边不在轴上，且，则 ． 【答案】/ 【分析】利用诱导公式化简，结合同角三角函数关系解出即可. 【详解】由已知结合诱导公式得， 又，将代入解得，， 所以， 故答案为： 17．（24-25高一上·江苏南通·期末）设tan10°＝m，则＝ （结果用含m的式子表示）. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式可求答案. 【详解】. 故答案为： 18．（25-26高一上·全国·课后作业）求值： ． 【答案】 【分析】结合特殊角的函数值利用诱导公式化简求值即可. 【详解】原式 ． 故答案为： 19．（2025高一上·全国·专题练习）如图，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆O与x轴的正半轴的交点，A点的坐标为，，则 ， ． 【答案】 【分析】根据点的坐标求解三角函数值，并且利用诱导公式求解. 【详解】因为A点的坐标为， 所以，． 因为，所以． 又点B在第二象限，所以， 故． 答案：； . 四、解答题 20．（24-25高一下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点. (1)求和的值； (2)若，化简并求值. 【答案】(1)，； (2)化简结果为，值为 【分析】（1）由三角函数定义得到正弦和正切值； （2）利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到，代入求值. 【详解】（1）由三角函数定义可知，， ； （2） ， 将代入得 21．（25-26高一上·湖南邵阳·月考）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第三象限的点，且，求下列各式的值： (1)及； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的终边经过第三象限的点可得，再根据列出关于m的等式，解出m的值即可． （2）通过三角函数诱导公式对原式进行恒等变换，再分式上下同除化为表达式，最后代入（1）中的即可． 【详解】（1）因为点P在第三象限，所以， 由三角函数的定义可知，解得， 此时，故， 得到，故，． （2）原式． 22．（22-23高一上·北京·月考）在平面直角坐标系中，是单位圆上的点，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在第二象限，记且． (1)求点的坐标； (2)求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由同角三角函数的基本关系求出的值，结合三角函数的定义求出点的坐标. （2）求出的值，结合诱导公式可求得所求代数式的值. 【详解】（1）依题意，角为第二象限角，则，， 由三角函数的定义，得点的坐标为. （2）由（1）得， 所以. 23．（24-25高一上·海南海口·月考）已知，且是第二象限角. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用同角公式列式求解. （2）利用诱导公式及正余弦齐次式法求解. （3）利用正余弦齐次式法求解. 【详解】（1）由，得，则， 又是第三象限角，所以. （2）由，得. （3）由，得 . 24．（24-25高一下·陕西汉中·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可； （2）根据诱导公式化简即可； （3）先根据诱导公式化简，再结合同角求值进行切弦互化，即可求解. 【详解】（1）； （2） ； （3）由，得， 所以，又， 所以. 25．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】（1）根据同角关系式去掉根号，化简即得； （2）在（1）基础上，得到，所以； （3）计算出，根据诱导公式得到，，得到答案． 【详解】（1）． （2）由，可得， 所以． （3）当时，所以， 所以，所以， 于是， ， 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $