专题07 线段相关压轴题分类（6种类型48道）（期末复习压轴题专项训练）七年级数学上学期新教材北师大版

专题07 线段相关压轴题分类 （6种类型48道） 地 城 类型01 动点定值问题 1．如图，，点C是线段延长线上的动点，在线段上取一点N使得，点M为线段的中点，则是否是定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．    【答案】是定值，5 【分析】此题考查了线段的和差运算，线段的中点有关的计算，解题的关键是熟练掌握线段的和差关系．根据题意设，则，由点M为线段的中点，表示出的长度，进而表示出的长度，然后代入求解即可． 【详解】解：是定值．理由：设，则， 所以，所以． 因为点M为线段的中点． 所以， 所以， 所以． 2．如图，已知C，D是线段上两点；E，F两点分别是线段，上的点，且，；M，N两点分别是线段，上的点，且，． (1)如图1，已知，，若，请直接写出线段的长度：________； (2)如图2，在（1）的条件下，若，求线段和的长度． (3)如图3，若，下列两个结论，①是定值，②是定值，其中只有一个是正确的，请直接写出正确结论的序号：_______，并直接写出其定值：_______． 【答案】(1)10.5 (2)； (3)①； 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差；能根据所求线段或等式用线段和差表示，并由线段中点进行等量转换是解题的关键． （1）若， 则，， 根据题意得出，可得， 再根据，即可求解． （2）若，则，，，，根据题意得出，，算出；再根据，即可算出． （3）若，则，，，，根据题意得出，表示出，得出；再根据，得出，代入①和②即可求解． 【详解】（1）解：若， 则，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：若， 则，，，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴． （3）解：若， 则，，，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． ∴①，故①是定值，值为 ②不是定值； 故答案为：①，． 3．如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且 (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)是，见解析 【分析】此题主要考查了线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，熟练掌握线段的计算是解决问题的关键．先根据非负数的性质求出，，则． （1）若，则有以下两种情况，①当点C在点B的左侧时，则，根据可得的长；②当点C在点B的右侧时，根据可得的长； （2）设，则，根据线段中点定义得，， ，从而得，由此可得的长； （3）设，根据点D与点B重合，点C在点D的左侧得点C在线段上，再根据点P在线段的延长线上画出图形，结合图形得，则，据此可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ， 解得：， ， 若，则有以下两种情况， ①当点C在点B的左侧时，如图1①所示： ， ， ； ②当点C在点B的右侧时，如图1②所示： ， ； 综上所述：线段的长为或． （2）解：设，如图2所示： ， ∵点分别是线段的中点， ， ， ∴， ∴； （3）解：为定值，理由如下： 设， ∵点D与点B重合，点C在点D的左侧， ∴点C在线段上， 又∵点P在线段的延长线上，如图3所示： ∴， ∴， ∴． ∴为定值． 4．如图①，已知线段，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且． (1)若，求的长． (2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点M，N分别是线段的中点，求的长． (3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由． 【答案】(1)17或25 (2) (3)不是定值，理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，线段的和差关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据非负数的性质求出m、n的值，分类讨论进行求解即可； （2）根据线段和差关系进行计算即可．； （3）先根据线段和差关系证明，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ①当点C在点B的左侧时， ， ， ， ②当点C在点B的右侧时， ， ， ， 综上所述，的长为17或25． （2）解：∵点M，N分别为线段的中点， ，． ∴； （3）解：不是定值，说明如下： 点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点，如图所示： ∴， ∵， ∴ ， ∵点位值不确定， ∴长度不确定， 故不是定值． 5．如图，已知线段，点是线段上任意一点（不与点、重合），点和点分别是线段、的中点． (1)线段是图中哪条线段的长度； (2)若，求线段的长度； (3)若点为线段的中点，则线段与线段的数量关系是______； (4)试说明，无论点如何移动，线段的长度为定值，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，数形结合是解答本题的关键． （1）由线段中点定义得，，然后根据可得答案； （2）由线段中点定义得，然后根据即可求解； （3）由（2）得，结合点为线段的中点即可求解； （4）利用（2）的过程即可解答． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点和点分别是线段、的中点， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：； （4）解：由（2）得，． 6．如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 7．如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3) 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）当时，，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵M 为的中点， ∴， ∴， ∴的长为． （2）解：当P在线段上运动时， 是定值； 由题意知，，， ∴， ∴是定值，定值为； （3）解：当P在线段上运动时，如图1，            图1 由题意知，， ∴； 当P在线段的延长线上运动时，如图2，                  图2 由题意知，， ； 综上所述，的长度为． 8．【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段的延长线上，且，请仅用一把圆规在图中确定D点的位置． 【认识概念】在同一直线上依次有四点，且，那么称与互为“对称线段”，其中为的“对称线段”，亦为的“对称线段”． 如图2，下列情形中与互为“对称线段”的是________（直接填序号）． ①，；②，，；③，． 【运用概念】如图3，与互为“对称线段”，点M为的中点，点N为的中点，且． （1）若，求的长； （2）在的长度可以变化的情况下，试说明与互为“对称线段”． 【拓展提升】 （3）如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且（a为常数），点M为的中点，点N在上且．是否存在m的值使得的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由． 【答案】一、感悟体验：见解析；二、认识概念：③；三、运用概念：（1）；（2）见解析；四、拓展提升：存在时，可使的长为定值，且 【分析】本题以新定义题型为背景，重点考查了线段的和差关系，找准线段之间的关系是解题关键． 一、感悟体验：以点为圆心，长为半径画弧即可；二、认识概念：分别求出即可判断；三、运用概念：由中点的定义得， ，根据即可求解；四、拓展提升：设，则，，；根据即可求解． 【详解】解：一、感悟体验： 如图所示：点D即为所求： 二、认识概念： ①∵，， ∴ ②∵，， ∴ ∴ ③∵ ∴ 即： 故答案为：③ 三、运用概念： ∵点M为的中点， ∴ ∵点N为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵与互为“对称线段”， ∴ ∴ 即： ∴ （1） （2）由以上解析可知， ∴与互为“对称线段”． 四、拓展提升： 设， ∵且， ∴，， ∵点M为的中点， ∴ ∵点N在上且， ∴ ∵ ∴ 整理得： ∴当，即时，可使的长为定值 且 9．如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段、的中点．地 城 类型02 探究线段数量关系 (1)如图1所示，若C是线段上一点，当时；求线段的长度 (2)如图2所示，若C为线段延长线上的一点，则与有着怎样的数量关系？请你说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了线段的和差，两点间的距离，掌握线段的和差计算，线段的中点定义，两点间的距离是解题的关键． （1）根据点M、N分别是线段、的中点，由线段的中点定义可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案； （2）同（1）可得，，进而可得：，再根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵点M、N分别是线段、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 10．线段，点在线段上，是线段的中点，是线段的中点．    (1)求线段的长度； (2)老师说：其它条件不变，无论长度怎么改变，线段和始终满足一个不变的数量关系，请你直接写出来． 【答案】(1)线段的长度为； (2)． 【分析】本题考查线段中点的相关计算，线段和差，线段之间的数量关系． （1）根据题意可得，，由，即可得； （2）根据题意可得，，结合，即可得线段和的数量关系． 【详解】（1）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长度为． （2）解：∵点在线段上，是线段的中点，是线段的中点， ∴， ∴． 11．如图，点都在直线上，是线段的中点，是线段的中点，．    (1)当点在线段上且时，求和的长． (2)若是直线上的动点，动点从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着的方向运动，运动时间为秒． ①已知另一动点从点出发，以2个单位长度/秒的速度沿着的方向同时运动．是否存在？若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由． ②当动点在线段上运动时，分别是线段和的中点，试判断与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】本题主经考查了动点产生的线段的计算．熟练掌握线段中点定义，线段的和差倍分关系，是解题的关键． （1）根据中点，得，，根据，得； （2）①存在，当P、Q相遇时，，得，解得；当P、Q相遇后，，得，解得；②根据中点，得，得，根据，即得． 【详解】（1）解：∵是线段的中点，．∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴， ∵点在线段上且， ∴；    （2）解：①存在， 当P、Q相遇时， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； 当P、Q相遇后， ∵， ∴， 解得； 故或；       ②，理由： ∵分别是线段和的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．    12．已知点，，，，在同一直线上． (1)是线段的中点，是线段上的点，， ①如图（1），若，求线段的长； ②如图（2），是线段上的点，是线段的中点．若，求线段的长； (2)C是线段上一点，是线段的中点．若，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题的关键． （1）①根据中点定义求得的长度，根据，即可求解； ②设，则，根据，求解即可； （2）分当点在点的右侧时和左侧两种情况，讨论即可求解； 【详解】（1）解：①是线段的中点 ， 又， ， ②设，则， 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：根据题意，当点在点的左侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， 则， 则， ， ， ； 根据题意，当点在点的右侧时，作图如下； 是线段的中点， ， ， ， ， ， ， 则 综上所述，或 13．如图，C是线段的中点，D是线段的中点． (1)根据所示图形填空：①_______；②_______． (2)利用直尺和圆规作图：①延长线段到点E，使得；②在线段上截取．根据所作的图形，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)在（2）所作的图形中，若，直接写出的长为_______． 【答案】(1)①；②； (2)画图见解析； (3) 【分析】本题考查的是线段的和差运算，作一条线段等于已知线段，线段的中点的含义． （1）由线段的和可得，由线段的和差可得； （2）延长至，使，在线段上截取即可，证明，结合中点含义证明，从而可得结论； （3）证明，，结合（2）可得：，，证明，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：①； ②． 故答案为：， （2）解：如图，线段，即为所求； ∵，， ∴， ∴； ∵为的中点， ∴， ∴． （3）解：∵，C是线段的中点，D是线段的中点． ∴，，， 由（2）可得：，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6 14．点C、点D在线段上，． (1)如图1，请判断和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，点M是的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，线段的和与差，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用线段的和求解； （2）先利用线段中点的意义得出，利用线段的和差得出，再得出，然后结合，，得出，从而可得，求得，再求得线段的长度． 【详解】（1）解：∵点C、点D在线段上，， ∴， 即； （2）解：∵点M是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∵，， ∴， ∴，解得：， ∴，解得：， 即． 15．如图，已知线段，在线段上确定两点，使得，分别是线段的中点． (1)试分析线段的数量关系； (2)求线段的长度． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查求线段长度，数形结合，找准相关线段之间的和差关系是解决问题的关键． （1）由题意，数形结合，得到即可得到答案； （2）由题意，根据中点定义，数形结合，表示出线段之间的和差关系即可得到答案． 【详解】（1）解：， 理由如下： ， ∴， 即； （2）解：∵，， ∴， 又∵分别是线段的中点， ∴，， ∴． 16．已知线段，点C，E，F在线段上，点F是线段的中点． (1)如图1，当点E是线段的中点时，求线段的长； (2)如图2，当点E是线段的中点时，请你猜想线段与线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的有关计算．解题的关键在于明确线段的数量关系． （1）由题意知，，有，进而可求的值； （2）由题意知，，，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的长为6； （2）解：， ∵点E是线段的中点， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴， ∴， ∴． 17．如图，点C在线段AB上，，点D、E分别是AB和CB的中点，，.地 城 类型03 存在性问题 (1)求线段CD，DE，AB的长； (2)是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和等于8cm，为什么？ (3)是否存在点M，使它到A，C两点的距离之和大于10cm？如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为什么？这样的点M有多少个？ 【答案】(1)cm，cm，cm； (2)不存在，见解析，这样的点M有无数个； (3)存在，见解析． 【分析】（1）根据线段中点的意义计算即可； （2）根据两点之间线段最短，可得出结论； （3）A，C两点之间线段最短为10cm，线段AC外的点均满足题意． 【详解】（1）解：设cm，则cm，cm，， 所以， 所以，cm，cm，cm，cm． （2）不存在，因为两点之间线段最短为10cm； （3）存在 线段AB外任何一点到A，C两点的距离之和都大于10cm，两点之间线段最短为10cm，这样的点M有无数个． 【点睛】本题考查了线段的中点、距离的相关定义，难度较易，掌握线段的基本概念是解题的关键． 18．如图，已知线段，若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动．E，F分别为和的中点．设运动时间为t． (1)当M，N两点相遇时，求线段的长； (2)当t为何值时，线段的长为线段的； (3)在运动过程中，E，F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段的长．若不存在，请说明理由． 【答案】(1)EF的长为10 (2)当t＝6时，当EF的长为线段AB的 (3)存在，线段EF＝ 【分析】（1）由E，F分别为AM和BN的中点得EM＝AM，FN＝BN，可证明当点M与点N相遇时，则EF＝AB，因为AB＝20，所以EF＝10； （2）因为点N的速度比点M的速度快，所以点N先到达终点，求出t的取值范围是0≤t≤，再根据EF＝AB＝×20＝5列方程求出t的值并进行检验，得出问题的正确答案； （3）由EF＝20−（t＋t）＝20−t可知，EF的长随t的增大而减小，可见当t取得最大值时，则EF取得最小值，将t＝代入EF＝20−t求出EF的值即可． 【详解】（1）解：∵E，F分别为AM和BN的中点， ∴EM＝AM，FN＝BN， 当M、N两点相遇时，则AM＋BN＝AB＝20，EF＝EM＋EN， ∴EF＝EM＋FN＝（AM＋BN）＝×20＝10， ∴EF的长为10． （2）当点N到达点A时，则3t＝20， 解得t＝， ∴t的取值范围是0≤t≤， ∵AB＝20， ∴AB＝×20＝5， ∵AM＝2t，BN＝3t， ∴AE＝AM＝t，BF＝BN＝t， ∴EF＝20−（t＋t）或EF＝t＋t−20， 当EF的长为线段AB的，即EF＝5时，则20−（t＋t）＝5或t＋t−20＝5， 解得t＝6或t＝10（不符合题意，舍去）， ∴当t＝6时，当EF的长为线段AB的． （3）存在，EF＝． 由（2）得， ∴EF随t的增大而减小， ∴当t＝时，EF的值最小，此时，， ∴当线段EF最短时，则线段EF＝． 【点睛】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题、线段上的动点问题的求解等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长是解题的关键． 19．如图，线段AB＝5cm，AC：CB＝3：2，点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点Q以1cm/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→…运动），当点P运动到点C时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)当t＝1时，PQ＝　 　cm； (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)3.5 (2)t为2或时，点C为线段PQ的中点 (3)存在，PM的长度为3cm或1cm，理由见解析 【分析】（1）根据题意可求出AC的长，AP和CQ的长，再由即可求出PQ的长； （2）由题意可得出t的取值范围，再根据点C在线段CB上做来回往返运动，可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CQ的长度，再根据中点的性质，列出等式，求出t的值即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出t的值即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出t的值即可．最后舍去不合题意的t的值即可． （3）同理（2）可分类讨论①当Q由C往B第一次运动时，即时，分别用t表示出CP和CM的长度，再根据，求出即可；②当Q由B往C点第一次返回时，即时，同理求出即可；③当Q由C往B第二次运动时，即时，同理求出即可．最后根据判断所求PM的代数式中是否含t即可判断． 【详解】（1）解：当时， ∵ ∴， ∴． 故答案为：3.5． （2）∵点P运动到点C时，点P、Q都停止运动， ∴． ∵ ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，， ∴， ∵点C为线段PQ的中点， ∴，即， 解得：； ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， 解得：，不符合题意舍； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， 解得：； 综上可知，t为2或时，点C为线段PQ的中点； （3）根据（2）可知． ∵点M是线段CQ的中点， ∴． ①当Q由C往B第一次运动时，即时， 此时，． ∵， ∴， ∴此时PM为定值，长度为3cm，符合题意． ②当Q由B往C点第一次返回时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM的长度，随时间的变化而变化，不符合题意； ③当Q由C往B第二次运动时，即时， 此时，， ∴， ∴此时PM为定值，长度为1cm，符合题意． 综上可知PM的长度为3cm或1cm． 【点睛】本题考查线段的和与差，线段的中点的性质，与线段有关的动点问题．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 20．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，且AB:BC:CD=2:3:5，线段BC=6． (1)求线段AB、CD的长； (2)若在直线上存在一点M使得AM=2，求线段DM的长． 【答案】（1）AB=4，CD=10；（2）若点M在点A左侧，则DM=22；若点M在点A右，则DM =18 ． 【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论； （2）分两种情况：点M在点A左侧，点M在点A右侧，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：（1）∵AB：BC：CD=2:3:5，且BC=6； ∴AB=4，CD=10 （2）AD=AB+BC+CD=20 若点M在点A左侧，则DM=AM+AD=22； 若点M在点A右侧，则DM=ADAM=18 ； 综上所述，线段DM的长为22或18． 【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差倍分，正确的理解题意是解题的关键，注意分类讨论． 21．如图，已知线段，点C是的中点，点D是的三等分点，且点D在点C的右边． (1)若，求的长； (2)在线段上是否存在一点E，使得点E是的中点，同时点C也是的中点？若存在，请用圆规找出点E的位置，并说明理由；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)存在，画图及理由见解析 【分析】（1）根据中点定义，三等分点定义，得到，，根据，，即得； （2）以点D为圆心， 长为半径画弧，交 于点E，E即为的中点，C为的中点．理由：根据，得到，得到，得到E是的中点，根据，得到，得到C是的中点． 【详解】（1）∵点C是的中点，点D是的三等分点， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）存在，理由如下， 以点D为圆心，以长为半径画弧，交 于点E，E即为所求作，如图． 理由：∵， ∴， ∴， ∴E是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴C是的中点． 22．点在线段上，在线段中，若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半，则称点为线段的“半分点”．    (1)当点是线段的中点时，点______线段的“半分点”（填“是”或“不是”）； (2)已知，若点为线段的“半分点”，求线段的长度； (3)已知点是数轴上互不重合的三个点，点为原点，点表示的数是，若存在这三个点中，一个点是另外两个点为端点的线段的“半分点”，求点表示的数的最大值与最小值的差（用含的式子表示）． 【答案】(1)是； (2)，或； (3)． 【分析】本题主要考查数轴、列代数式，解题的关键是理解“半分点”的定义，利用分类讨论的思想答题． （1）根据“半分点”的定义即可解答； （2）分三种情况：①，②，③，分别列式计算即可解答； （3）当点在点右侧，且时取最大值，当点在点左侧时，且时取最小值，以此列出代数式求解即可． 【详解】（1）是． 当点是线段的中点． 根据“半分点”的定义，点为线段的“半分点”． 故答案为：是． （2）①当时 ②当时， cm ③当时，， cm 综上所述：的长为，或 （3）点表示的数的最大值与最小值的差为，理由如下： 当点在点的右侧，且时取最大值． 因为点表示的数是． 所以，即点表示的数为． 当点在点的左侧，且时取最小值． 因为点表示的数是． 所以，即点表示的数为． 所以点表示的数的最大值与最小值的差为． 23．某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A，B两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作组长F也站在该侧，且到A，B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐． (1)如图1，当位于A，B之间时，F发现工具筐的C端离自己只有1米，则工具筐C端离A___________米，工具筐E端离B___________米． (2)工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达A点为止，这期间工具筐E端到B的距离BE和工具筐E端到F的距离存在怎样的数量关系，并用等式表示．（你可以在图2中先画一画，再找找规律） 【答案】(1)7，1 (2)或或． 【分析】（1）根据线段的和差可得答案； （2）分三种情况：当点在线段上时或当点在线段上时或当点在线段的延长线上时，正确画出图形即可得到结论． 【详解】（1）由题意得，， 到，距离相等， ， 米，， ，． 故答案为：7，1； （2）①当点在线段上时，如图， 设，则，， ； ②当点在线段上时，如图， 设，则，， ； ③当点在线段的延长线上时，如图， 设，则，， ； 综上，或或． 【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段的和差是解题关键． 24．如图，线段，A是线段的中点，B是线段的中点． (1)求线段的长． (2)若线段上存在一点C位于点A的右侧，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的性质，两点间的距离，线段的和差定义，灵活掌握线段中点性质以及线段和差定义是解题的关键． （1）根据线段中点的性质，算出的长，由即可求解； （2）先算出的长，再由即可求解． 【详解】（1）解：，A是的中点， ． ∵B是的中点， ， ； （2）解：，， ． ∵点C在点A的右边，， ∴的长为． 25．如图，点B在线段上，，线段．地 城 类型04 动点问题求时间 (1)求线段的长． (2)点E从A点出发，以每秒的速度向右移动，点F从C点出发，以每秒的速度向左移动，经过t秒后，点E和点F相遇，求t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的和差倍分，有理数的混合运算的应用； （1）由，线段，可得，； （2）由路程除以速度和即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点B在线段上，，线段． ∴，． （2）解：∵点E从A点出发，以每秒的速度向右移动，点F从C点出发，以每秒的速度向左移动， ∴． 26．A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 27．如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点． （1）若，则DE的长为_____________； （2）若，求DE的长； （3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？ 【答案】（1）6；（2）6；（3）或2 【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE， (3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出． 【详解】解：如图 (1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点， ∴DC=2，BC=EC=4 ∴DE=DC+CE=6 (2)∵AB= 12， BC= m ∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点 ∴DC=6-m，BC=EC= ∴DE=DC+CE=6 (3)由题意得，如图所示， 或 AP=3t，BQ= 6t ∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12 ∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12 解得t=或t= 2 故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6. 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式． 28．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． (1)当秒时，写出数轴上点B，P、Q所表示的数分别为_______________、_______________、_______________； (2)若点P，Q分别从A，B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； (3)若M为线段的中点，点N为线段的中点．当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求t的值． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为；点P表示的数为； （2）点P运动x秒时，与Q重合，则AP＝3x，BQ＝2x，根据，列出方程求解即可； （3）根据动点P在数轴上运动，点到原点的距离等于点到原点的距离相等， 故，由此可得出结论； 【详解】（1）∵点A表示的数为8，B在A点左边，， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数是， 故答案为：； （2）设点P运动t秒时，与点Q重合，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点P运动秒时与点Q重合； （3）由（1）知，表示，表示，表示，表示， 为中点， 表示， 为中点， 表示， 点到原点的距离等于点到原点的距离相等， ， 即， 当时，（舍去）， 当时，， 答：当时，点到原点的距离等于点到原点的距离相等． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 29．【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点”． (1)线段的中点       这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）； 【初步应用】如图②，若CD＝12cm，点N是线段CD的和谐点，则CN＝       cm； (2)【解决问题】如图③，已知AB＝15cm，动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为t，请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【答案】(1)是 (2)6或4或8c (3)t为3或或或或或6 【分析】（1）若点M是线段AB的中点时，则AB＝2AM＝2BM，由此即可得到答案； （2）分①当N为中点时，CN＝＝6cm；②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm；③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． （3）分P为A、Q的和谐点，Q为A、P的和谐点，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：若点M是线段AB的中点时，满足AB＝2AM＝2BM， ∴线段的中点是这条线段的“和谐点”， 故答案为：是； （2）解：①当N为中点时，CN＝＝6cm； ②N为CD的三等分点，且N靠近C时，CN＝＝4cm； ③N为CD的三等分点且N靠近D时，CN＝＝8cm． 故答案为：6cm或4cm或8cm； （3）解：∵AB＝15cm， ∴t秒后，AP＝t，AQ＝15﹣2t（0≤t≤7.5）， 由题意可知，A不可能为P、Q的和谐点，此情况排除； ①P为A、Q的和谐点，有三种情况： 1）P为中点，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； 2）P为AQ的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝3； 3）P为AQ的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即t＝（15﹣2t）， 解得t＝； ②Q为A、P的和谐点，有三种情况： 1）Q为中点，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝6； 2）Q为AP的三等分点，且P靠近A，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝； 3）Q为AP的三等分点，且P靠近Q，AP＝AQ，即15﹣2t＝t， 解得t＝． 综上所述，t为3或或或或或6时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的和谐点． 【点睛】本题主要考查了与线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． 30．如图，点О在线段上，线段，，动点P，Q分别从A，B同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动． (1)如图1，点M，N分别为的中点，求线段的长； (2)求运动时间为多少时，点P与点О重合？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段和差的计算，线段的中点； (1)根据题意，得，，整理得到，计算即可． (2)设运动时，P，O重合，根据路程、速度与时间的关系列式计算即可． 【详解】（1）∵线段，， ∴， ∵点M，N分别为的中点， ∴， ∴． （2）设运动时，P，O重合， ∵点P以的速度沿向右运动， ∴， 当P，O重合时，根据题意，得， 解得 故经过5秒钟，两点重合． 31．如图，直线上有两点，点是线段上的一点，． (1)若，则___________，___________． (2)在（1）的条件下，若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，、两点停止运动．当为何值时，． (3)为直线上一点，且满足，直接写出的值___________． 【答案】(1)12；6 (2)或12 (3)或或1 【分析】（1）根据，且，代入计算即可． （2）根据题意，得，，此时 ，当点与点重合时，，此时 根据，得，解答即可． （3）分点Q在上，上，点的左侧，点的右侧，结合，分类求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12，6． （2）解：∵动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为， 得，，此时 ， 当点与点重合时，，此时， 解得， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 都符合题意， 故当为或时，． （3）解：当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得或， 此时或； 当点Q在上时，，， ∵， ∴， ∴或， 解得（舍去）或， 此时； 当点Q在点左侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时； 当点Q在点右侧时，，， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 此时． 综上所述，的值为或或1． 故答案为：或或1． 【点睛】本题考查了线段的和差倍分的计算，绝对值的应用，运动问题，分类思想，有理数的计算，熟练掌握线段的关系，绝对值的计算是解题的关键． 32．【探索新知】如图1，点在线段上，图中共有3条线段：、和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点___________这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”） 【深入研究】如图2，若线段，点从点的位置开始，以每秒2cm的速度向点运动，当点到达点时停止运动，运动的时间为秒． (2)问为何值时，点是线段的“二倍点”． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)为5或或 【分析】（1）根据“二倍点”定义即可说明； （2）根据线段，是线段的“二倍点”，即可求得的三种结果． 【详解】（1）解：根据点在线段上，其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点是线段的“二倍点”． 一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：点是线段的“二倍点”，则分以下三种情况： ①， ，解得； ②， ，解得； ③， ，解得． 为5或或时，点是线段的“二倍点”． 【点睛】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是分情况讨论思想的利用． 33．如图，，C为线段上一动点，点D在线段上且满足．地 城 类型05 动点求值 (1)当C为线段的中点时，求的长． (2)若E为线段的中点，当E时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 34．如图，P是线段上一点，，C，D两动点分别从点P，B同时出发沿射线向左运动，到达点A处即停止运动．    (1)若点C，D的速度分别是，． ①当动点C，D运动了2s，且点D仍在线段上时，_________cm； ②若点C到达中点时，点D也刚好到达的中点，则_________； (2)若动点C，D的速度分别是，，点C，D在运动时，总有，求的长 【答案】(1)①12；② (2) 【分析】（1）①先分别求出，再根据即可得； ②设运动时间为，则，再根据线段中点的定义可得，由此即可得； （2）设运动时间为，则，从而可得，再根据可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：①依题意得：， ，点仍在线段上， ∴， 故答案为：； ②设运动时间为，则， ∵当点到达中点时，点也刚好到达的中点， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设运动时间为，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了与线段有关的动点问题、线段的和与差、线段的中点，熟练掌握线段之间的数量关系是解题的关键． 35．如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 36．如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①不会发生变化，的长是；②或 【分析】本题考查两点间的距离， （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案； （2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可； 熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2， ∴， 由①知：， ∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 37．如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 ； ②若，则 ； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ； 【答案】（1）①6；② 6；（2） 【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键． （1）①根据线段的中点性质可得、、,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得，再根据线段的和差可得,,然后根据线段的和差即可解答； （2）根据线段的中点性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴； ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）∵点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 39．线段，C，D是线段上的两个动点（点C在点D的左侧），且，E为的中点， (1)如图1，当时，求的长． (2)如图2，F为的中点 ①点C，D在线段上移动的过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由，若不会，请求出的长． ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)4 (2)①不变，4；②4.2或5.8 【分析】（1）首先根据题意求出的长度，然后由为的中点求出的长度，最后即可求出的长； （2）由题意可得，由为的中点和为的中点表示出，代入，即可求出长． 【详解】（1）解：因为 所以 因为为的中点． 所以，因为， 所以 （2）解：①因为是线段的中点，是线段的中点， 所以，． 因为 所以线段的长度不会发生变化，． ②或． 提示：当点在点的左侧时，如图1所示。 因为， 所以． 由①知． 所以． 当点在点的右侧时，如图2所示． 因为． 所以 由①知，所以 综上所述，当时，线段的长为或． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 40．线段AB＝16，C，D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧），且CD＝2，E为BC的中点． (1)如图1，当AC＝4时，求DE的长． (2)如图2，F为AD的中点．点C，D在线段AB上移动的过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请求出EF的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据题意求出BC的长度，然后由E为BC的中点求出BE的长度，最后即可求出DE的长； （2）由题意可得，由F为AD的中点和E为BC的中点表示出，代入，即可求出EF长． 【详解】（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4， ∴，, ∵E为BC的中点， ∴， ∴； （2）线段EF的长度不会发生变化，， ∵AB＝16，CD＝2， ∴， ∵F为AD的中点，E为BC的中点， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了线段的和差计算以及有关线段中点的计算问题，解题的关键是正确分析题目中线段之间的数量关系． 41．如图，线段上依次有，，三点，，是的中点，．地 城 类型06 线段相关证明题 (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了线段和差倍分，线段中点的性质，解题的关键是掌握线段和差倍分的计算． （1）利用线段的倍分关系即可证明； （2）利用线段中点性质得出，利用线段的倍分关系求出长度，然后利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵是的中点， ∴, 由（1）得， ∴， ∴， ∴线段的长为． 42．如图，线段在射线上运动，，且． (1)求线段、的长； (2)点M、N分别为线段、的中点，若，求的长； (3)当运动到某一时刻时，点D与点B重合，点P是线段延长线上任意一点求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查非负数的性质，线段和差倍分的计算，分类讨论是解题的关键． （1）依据非负数的性质可知，，从而可求得m、n的值； （2）需要分类讨论：①如图1，当点C在点B的右侧时，根据“M、N分别为线段、的中点”，先计算出、的长度，然后计算；②如图2，当点C位于点B的左侧时，利用线段间的和差关系求得的长度； （3）先求得，然后求得，从而可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：①点C在点B右边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； ②点C在点B左边时，如图： M、N分别为线段的中点， ， ， ； 综上，． （3）证明：当点B与点D重合时，如图： ， ， ． ， 即． 43．如图，点在线段上，点是的中点，点是的中点． (1)若，，求的长度； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，采用数形结合的思想，找准线段之间的关系是解此题的关键． （1）先求出，，再根据线段的中点得出，，最后根据计算即可得出答案； （2）根据线段的中点得出，，得出，即可得证． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， 点是的中点，点是的中点， ，， ； （2）证明：点是的中点，点是的中点， ，， ． 44．如图所示，点M、N分别是线段AC、BD的中点．求证MN=（AB-CD）． 【答案】证明见解析 【分析】由中点的定义得到AM=AC，BN=BD，再根据MN=AB-AM-BN即可证明． 【详解】证明：∵点M、N分别是线段AC、BD的中点， ∴AM=AC，BN=BD， ∴MN=AB-AM-BN=AB-AC-BD =AB-（AC+BD） =AB-（AB+CD） =（AB-CD）． 【点睛】本题考查了两点间的距离，中点的定义，结合图形找准线段之间的关系是解题的关键． 45．如图，C，D是线段上的两点，且满足，M，N分别为和的中点． (1)若，求的长度； (2)证明：． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查与线段中点有关的线段和差计算，正确理清线段之间的关系是解题的关键． （1）先根据线段之间的关系求出，则，再由线段中点的定义得到，则； （2）设，则，由线段中点的定义得到，则，，由此可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴； （2）证明：设， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴． 46．如图，点是线段上一点，，点是线段上一点，且． (1)若，求线段的长； (2)若，请问点是否是线段的中点吗，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点是线段的中点，见解析 【分析】（1）根据，可得的长，再由，可求出的长，即可求解； （2）根据，可得的长，再由，可求出的长，继而得到的长，即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：点是线段的中点， 证明：，， ， ， ， ， ， 点是线段的中点． 【点睛】本题主要考查了线段的和与差，准确得到线段之间的数量是解题的关键． 47．如图，已知线段，点D是线段上的一点，延长到C，使． (1)请补全图形； (2)若．求线段的长． (3)试说明：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查作一条线段等于已知线段，线段的和差，解题的关键在于结合图形进行分析． （1）根据作一条线段等于已知线段的作图步骤，作线段即可； （2）根据线段的和差结合图形分析即可； （3）根据线段的和差结合图形分析说明即可； 【详解】（1）解：所作线段如图所示： （2）解：， ， ， ； （3）解： ． 48．如图，P是线段AB上任意一点，，点C，D分别从点P，B同时向点A运动，且点C的运动速度为，点D的运动速度为，运动的时间为t． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点D在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了两点间的距离，掌握列代数式，注意分类讨论是解题的关键． （1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07线段相关压轴题分类 (6种类型48道) 类型动点定值问题 类型2探究线段数量关系 类型3存在性问题 线段相关压轴题分类 类型4动点问题求时间 类型5动点求值 类型6线段相关证明题 目目 类型01 动点定值问题 1.如图，AB=I0,点C是线段AB延长线上的动点，在线段BC上取一点N使得BN=2CV,点M为线 段AC的中点，则W-BN是否是定值？若是，求出这个值：若不是，请说明理由。 A N C 2如图，已知CD是线段AB上两点：EF两点分别是线段AC,BD上的点，且4E=片4C, BF-BD:MN丙点分别是线段DRC上的点，且仙-AD,BNDC, 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AEC D F B A CM ND B 图1 图2 (1)如图1，已知AB=12,CD=9,若n=2,请直接写出线段EF的长度： (2)如图2，在(1)的条件下，若n=3,求线段EF和MN的长度. EF+MN EF-MN 3)如图3，若n=4,下列两个结论，① AB 是定值，②AB 是定值，其中只有一个是正确的， 请直接写出正确结论的序号： 并直接写出其定值： AE CM ND FB 图3 3.如图①，己知线段AB=m,CD=n,线段CD在射线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左 侧)，且m-14+(7-mj2=0 B 图① B D 图② (1)若BC=4,求AD的长 2当CD在线段1B的延长线上时，如图②所示，若点M M,N AD,BC 分别是线段 的中点，求MW的长。 (3)当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断 PA+PB PC一是否为定值，并说明理由. 4.如图①，已知线段AB=m,CD=n,线段CD在射线AB上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左 侧)，且m-14+(7-m)2=0 A B B 图① 图② (1)若BC=4,求AD的长 (2)当CD在线段AB的延长线上时，如图②所示，若点M,N分别是线段AD,BC的中点，求MN的长. 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当CD运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段AB延长线上任意一点，请判断PA+PB 是否为定值，并说明理由. 5.如图，已知线段AB=24cm,点C是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），点D和点E分别是线 段AC、BC的中点. A D C E B (1)线段DB-CE是图中哪条线段的长度： (2)若AC=18cm,求线段DE的长度； (3)若点C为线段AB的中点，则线段AD与线段AB的数量关系是一； (4)试说明，无论点C如何移动，线段DE的长度为定值，并求出这个定值 6.如图线段AB=24,动点P从A出发，以2个单位长度/秒的速度沿射线AB运动，M为AP中点. A M P B A B 备用图 (1)当点P在线段AB上运动时， ①出发多少秒后，PB=2AM? ②试说明2MB-BP为定值： (2)当点P在线段AB延长线上运动时，设N为BP的中点，有下列两个结论： ①MN长度不变： ②MN+PN的值不变. 选出一个正确的结论，并求其值： 7.如图，线段AB=24,动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点. 点P的运动时间为x秒， M P B B 备用图 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若x=5时，求BM的长： (2)当P在线段AB上运动时，2BM-PB是定值吗？如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由： (3)当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度 8.【感悟体验】如图1，A、B、C三点在同一直线上，点D在线段AC的延长线上，且AB=CD,请仅用 一把圆规在图中确定D点的位置. A B C 图1 图2 A B M N C D 图3 A B M NC P 图4 【认识概念】在同一直线上依次有A、B、C、D四点，且AB=CD,那么称AB与CD互为“对称线段”， 其中AB为CD的“对称线段”，CD亦为AB的“对称线段” 如图2，下列情形中AB与CD互为“对称线段”的是 （直接填序号). ①AB=2,CD=3;②AB=1,BC=3,BD=5;③AC=7,BD=7. 【运用概念】如图3，AB与CD互为“对称线段”，点M为AC的中点，点N为BD的中点，且AB=2. (1)若BC=10,求MN的长； (2)在BC的长度可以变化的情况下，试说明MN与AB互为“对称线段”， 【拓展提升】 (3)如图4，在同一直线上依次有A、B、C、D四点，2AB=CD且AB=a(a为常数)，点M为AC的中 点，点N在BD上且ND=mBD.是否存在m的值使得MN的长为定值？若存在，请求出m的值以及这个 定值（用含a的代数式表示）；若不存在，请说明理由. 目目 类型02 探究线段数量关系 9.如图，A、B、C三点在同一直线上，点M、N分别是线段AC、BC的中点. A M C N B A M B NC 图1 图2 (1)如图1所示，若C是线段AB上一点，当AB=14cm时：求线段MN的长度 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2所示，若C为线段AB延长线上的一点，则MN与AB有着怎样的数量关系？请你说明理由. 10.线段AB=8Cm,点M在线段AB上，C是线段AM的中点，D是线段MB的中点. D B (1)求线段CD的长度： (2)老师说：其它条件不变，无论AB长度怎么改变，线段CD和AB始终满足一个不变的数量关系，请你直 接写出来， C,D,E 都在直线MB上，C是线段MB的中点，E是线段CB的中点， CB CE=4 11.如图，点 C E B (1)当点D在线段AC上且AD:DC=1:3时，求DC和AB的长. (2)若P是直线AB上的动点，动点P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度沿着AB的方向运动，运动时 间为1秒. ①已知另动点P从点E出发，以2个单位长度/秒的速度沿者E1 PB=OB 的方向同时运动.是否存在 若存在，求出此时运动的时间；若不存在，请说明理由. AC 分别是线段1C和BP。 M.N AC AB-CP MN ②当动点在线段上运动时， 的中点，试判断 与线段之间的 数量关系，并说明理由. 12.已知点A,B,C,D,E在同一直线上. BA DC (1) (2) (1)C是线段AB的中点，D是线段AC上的点，AB=30, ①如图(1)，岩CD-8D,求线段CD的长： ②如图(2)，E是线段AB上的点，D是线段AE的中点.若AD=2BE,求线段CE的长： (2)C是线段AB上一点，D是线段AE的中点.若AC=2BC=8CD,直接写出BE与AB的数量关系. 13.如图，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点. A D 5/16 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)根据所示图形填空：①AC+CD= ②AD-AC+DB= (2)利用直尺和圆规作图：①延长线段AB到点E,使得BE=BC;②在线段BE上截取BF=BD.根据所作 的图形，写出EF与CB之间的数量关系，并说明理由. (3)在(2)所作的图形中，若AD=3cm,直接写出AE的长为 cm 14.点C、点D在线段AB上，AD=BC D B A C M DB 图1 图2 (1)如图1，请判断AC和BD的数量关系，并说明理由： (2)如图2，点M是AD的中点，BM=4AC,CM=2,求线段AB的长度. 15.如图，已知线段AB=10,在线段AB上确定两点C、D,使得AC=BD=8,M、N分别是线段 AC、AD的中点. AN D M B (1)试分析线段AD,BC的数量关系： (2)求线段MN的长度. 16.已知线段AB=12,点C,E,F在线段AB上，点F是线段BC的中点. A E C F B A E C F B 图1 图2 (1)如图1，当点E是线段AC的中点时，求线段EF的长： (2)如图2，当点E是线段AB的中点时，请你猜想线段EF与线段AC之间的数量关系，并说明理由. 目目 类型03 存在性问题 17.如图，点C在线段AB上，AC<CB,点D、E分别是AB和CB的中点，AC=10cm,EB=8cm A CD E B (1)求线段CD,DE,AB的长； (2)是否存在点M,使它到A,C两点的距离之和等于8cm,为什么？ (3)是否存在点M,使它到A,C两点的距离之和大于10c?如果点M存在，点M的位置应该在哪里？为 什么？这样的点M有多少个？ 18.如图，己知线段AB=20,若点M以每秒2个单位的速度由A向B运动，同时，点N以每秒3个单位 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的速度由B向A运动，当某个点到达终点时，另一个点也停止运动.E,F分别为AM和BN的中点.设运 动时间为t. y 必 (1)当M,N两点相遇时，求线段EF的长： (2)当t为何值时，线段EF的长为线段AB的4； (3)在运动过程中，E,F的距离是否存在最短？若存在，请直接写出线段EF的长.若不存在，请说明理由， 19.如图，线段AB=5cm,AC:CB=3:2,点P以0.5cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动：同时点 Q以1c/s从点C出发，在线段CB上做来回往返运动（即沿C→B→C→B→运动），当点P运动到点C 时，点P、Q都停止运动，设点P运动的时间为t秒 ò B (1)当1=1时，PQ=cm: (2)当t为何值时，点C为线段PQ的中点？ (3)若点M是线段CQ的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存 在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由. 20.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，且AB:BCCD=2:3:5,线段BC=6. (1)求线段AB、CD的长： (2)若在直线上存在一点M使得AM=2,求线段DM的长. AB C D 21.如图，己知线段AB,点C是AB的中点，点D是AB的三等分点，且点D在点C的右边. A C D B (1)若AB=6,求CD的长： (2)在线段AC上是否存在一点E,使得点E是AD的中点，同时点C也是DE的中点？若存在，请用圆规找 出点E的位置，并说明理由：若不存在，请说明理由， 22.点C在线段AB上，在线段AB,BC,CA中，若有一条线段的长度恰好是另一条线段长度的一半，则称 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点C为线段AB的“半分点” 0 (1)当点C是线段AB的中点时，点C线段AB的“半分点”（填“是”或“不是”）； (2)已知AB=9Cm,若点C为线段AB的“半分点”，求线段AC的长度： 3已知点D,0,E是数轴上互不重合的三个点，点O为原点，点D表示的数是1>0，若存在这三个点中， 一个点是另外两个点为端点的线段的“半分点”，求点E表示的数的最大值与最小值的差（用含t的式子 表示)· 23.某操作车间有一段直线型向左移动的传输带，A,B两位操作工人站于传输带同侧且相距16米，操作 组长F也站在该侧，且到A,B距离相等，传输带上有一个8米长的工具筐CE CE EB 图1 A 图2 (1)如图1，当CE位于A,B之间时，F发现工具筐的C端离自己只有1米，则工具筐C端离A 米，工具筐E端离B 米 (2)工具筐C端从B点开始随传输带向左移动直至工具筐E端到达A点为止，这期间工具筐E端到B的距离 BE和工具筐E端到F的距离EF存在怎样的数量关系，并用等式表示.（你可以在图2中先画一画，再找 找规律) A FCBE设BC=x,则BE=8-x,EF=16-x, .EF-BE=(16-x)-(8-x)=8: A C F E B 设BC=x,则BE=x-8,EF=16-x, .EF+BE=16-x)+(x-8)=8: EF Bt设BC=x,则BE=x-8,EF=x-16 .BE-EF=(x-8)-(x-16)=8: 综上，EF-BE=8或EF+BE=8或BE-EF=8 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.如图，线段MN=10,A是线段MN的中点，B是线段MA的中点. M B A (1)求线段BN的长. 2若线段上存在一点C位于点A的右侧，且4C-写4N,求Cy的长. 31 目目 类型04 动点问题求时间 25.如图，点B在线段AC上，AB:BC=3:2,线段AC=20cm. E A B (1)求线段BC的长 (2)点E从A点出发，以每秒3cm的速度向右移动，点F从C点出发，以每秒2Cm的速度向左移动，经过t 秒后，点E和点F相遇，求t的值. 26.A,B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为-4，且AB=10.动点P从点A出发， 以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒(t>0), A 0 B (1)当t=1时，AP的长为，点P表示的有理数为； (2)当PB=2时，求t的值： (3)M为线段AP的中点，N为线段PB的中点.在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若 变化，请说明理由：若不变，求出线段MN的长 27.如图①，已知线段AB=12,点C为线段AB上的一点，点D,E分别是AC和BC的中点. A D C E ② B ① (1)若AC=4,则DE的长为 (2)若BC=m,求DE的长： (3)如图②，动点P,Q分别从A,B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段 AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时， P,Q之间的距离为6？ 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.已知在数轴上有A,B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB=12.若有一动点P从数 轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长 度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为1秒， B A (1)当t=1秒时，写出数轴上点B,P、Q所表示的数分别为 (2)若点P,Q分别从A,B两点同时出发，当点P与点Q重合时，求t的值； 3)若M为线段心的中点，点N为线段P AO 的中点.当点M到原点的距离和点N到原点的距离相等时，求 t的值。 29.【新知理解】 如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB、AM和BM,若其中有一条线段的长度是另外一条线 段长度的2倍，则称点M是线段AB的“和谐点” B D 图① 图② B 图③ (1)线段的中点 这条线段的“和谐点”（填“是”或“不是”）： 【初步应用】如图②，若CD=12cm,点N是线段CD的和谐点，则CN=cm: (2)【解决问题】如图③，已知AB=15cm,动点P从点A出发，以1cm/s速度沿AB向点B匀速移动：点Q 从点B出发，以2c/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停 止，设移动的时间为t,请直接写出t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的 和谐点。 ,点O在线段B上，线段015mOB=A0,动点P,Q分别从4，B同时出 5 3cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B,点Q以lcm/s的速度沿BA向左运动，终点为A,当一个点到达 终点，另一个点也随之停止运动. 10/16