专题02 二项式定理（压轴题专项训练）数学湘教版2019选择性必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 专题02二项式定理 目录 专题02二项式定理 类型一、求展开式 类型二、求指定项的系数 类型三、求指定项的二项式系数 类型四、求常数项 类型五、含有三项的二项展开式 类型六、含有乘积的二项展开式 类型七、有理项无理项问题 类型八、二项式系数和 类型九、各项系数和 类型十、二项式系数的增减性 类型十一、求系数的最大最小 类型十二、整除和余数问题 类型十三、近似计算问题 类型十四、杨辉三角 类型十五、二项式定理与数列 压轴专练 典例详解 类型一、求展开式 二项式定理： (a+b)”=C0a”+Cna-b+.+Ca"-b++Cb"(neN) 例1.若1+34=a+bV3(a,b为有理数)，则a+b=(() A.44 B.32 C.28 D.52 变式1-1.(24-25高二下.贵州贵阳第六中学联盟校)化简C-1+2Cn-2+4C-3+ () 4.3”-1 B. 3”-2 c.2”-1 D. 2”-2 2 2 3 3 变式1-2.(24-25高三下.北京东城区)已知1+x5=1-2C5+4C号-8C+16C 变式1-3.计算C+3C+9C++3”-1C=元一· 1/13 上好每一堂课 +2”-1C,其结果等于 32C3, 则实数x=( 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、求指定项的系数 通项公式：T=Ca-r+1b-1 例2,2425高下吉林长春长春吉大附中实验学校期末0，b为正实数，且a+2b=2,当。片君取最 小值时，(ax b 的展开式中x项的系数为() -9 27 -1 -27 A. B. C. 16 32 64 D.64 变式2-1.（多选）若x+ +-x+ n∈N的展开式中存在含x的项，则n的值可能是() A.2 B.11 C.15 D.20 变武2-2.已知x+15=a+a,x-1+a,x-1++a。x-15,则84=6 216 变式2-3.(25-26高三上·天津第二中学月考)Vx+ 2 的展开式中x?的系数是.（用数字作答） 类型三、求指定项的二项式系数 通项公式：T,=Ca-+b n 例3.(24-25高二下.安徽期末)已知 X一 的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为4 则展开 式中的有理项的项数为() A.2 B.3 C.4 D.5 x-1 n 变式3-1.(24-25高二下.江苏南京文枢高级中学.)在 2.x n∈N的展开式中，第2、3、4项的二 项式系数依次成等差数列，则n=(() A.2 B.5 C.6 D.7 变式3-2.(1+2x的所有二项式系数的第三四分位数是() A.35 B.28 C.21 D.7 变式3-3.已知二项式(1+ax)”的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，x项的系数 是x2项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 2/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型四、求常数项 例4.24-25高二下上海闵行区五校联考调研(x-1)°的二项展开式中，常数项为一 (用数字作答) 变式4-1.二项式 x 3 的展开式的常数项是 n 变式4-2.(24-25高二下山东泰安新泰一中老校区（新泰中学）·月考)已知 X+ 的展开式中第3项与 2x 倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为 变式4-3.(24-25高三下河南信阳商城县丰集高级中学)已知2x-1 n∈N的展开式中第三项和第四 项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为. (用数字作答) 类型五、含有三项的二项展开式 15 例5. 2 的展开式中的常数项为() A.120 B.88 C.24 D.18 变式5-1.(x+y+2z5的展开式中，xy2z的系数为() A.4 B.32 C.60 D.120 变式5-2.(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校期中)在(2x+y+3z)的展开式中xy3z项的系数为 () A.360 B.540 C.720 D.1080 10 变式5-3.在2+x- 2020 展开式中，x4的系数为一 类型六、含有乘积的二项展开式 例6.(25-26高三上·湖北部分名校·月考)(1-x+x2)(1+x)1的展开式中x的系数为() A.162 B.168 C.180 D.185 变式6-1.(25-26高三上湖南益阳)若x+1(x-2)=ao+a1x+a2x2+…+a2x,则() A.Q0=-64 B.Q2=64 C.a0+a1+a2+…+a2=2 3/13 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.a1+a3+a5+a7=a2+a4+a6 1 变式6-2. 1+ 1+a了的展开式中a2的系数为() A.10 B.15 C.20 D.25 变式6-3.（多选）已知1-2x21+x”=a+a1X+02x2+a3x3+a4x+a5x+a6x+a7x7,则(） A.n=5 B.do=1 C.a4=25 D.a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a2=32 类型七、有理项无理项问题 x的幂次是整数的为有理项 例7.一组数据按照从小到大的顺序排列为0,2,4,5,6,8，记这组数据的上四分位数为，则二项式 2 n 展开式的有理项共()项 A.3 B.4 c.5 D.6 变式7-1.（多选24-25高二下·江苏苏州工业园区西安交通大学苏州附属中学.月考）已知(x+ 1 )的展开 2x1 式中，前三项的系数成等差数列() A.n=8 B.展开式中第三项与第四项的二项式系数比为1：2 C.展开式中系数最大的项为第二项和第三项 D.展开式中所有的无理项的系数和为 05 16 变式7-2.(23-24高二下·湖北云学名校联盟期中)关于多项式 的展开式，下列结论正确的是 () A.各项系数之和为1 B.存在无理项 C.常数项为400 D.x3的系数为一80 18 变式7-3. 2X- 的展开式中所有有理项的二项式系数和为一· 类型八、二项式系数和 项式系数和为2” 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例8.若2x-1 的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为() A.160 B.-160 C.20 D.-20 变式8-1.（多选）设2-3x2=a+a1X+a2x2+…+a12x2,则下列说法正确的有() A.(2-3x12的展开式中所有项的二项式系数的和为22 B.Q0=22 C.dotoatdp=1 2 D.a+a+a2++a12=1 变式8-2.（多选）(24-25高二下河北保定高中.期末)已知(5x-1)9=ao+a1x+a2x2+…+ax,则（) A.a0=-1 B.a2=-900 C.(5x-1)9的展开式的二项式系数之和为49D.ao+a2+…+a8= 49-6 2 110 变式8-3.（多选)(24-25高二下·重庆第八中学校期末)在x+ 2 的二项展开式中，下列说法中正确的 有() A.所有奇数项的二项式系数和为20 B.所有项的系数和为310 C.二项式系数最大的项为第5项或第6项D.展开式中的常数项是第9项 类型九、各项系数的和 l.对形如(ax十b)n(ax2+bx十c)"(a,b,c∈R,m,n∈N)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令x=l即可；对(ax+by)(a,b∈R,n∈N)的式子求其展开式各项系数之和， 只需令x=y=1即可； 2.一般地，若f()=a十ax+2x+…+anx,则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)奇数项系数之和为 a+a+a4t=f1+f-1） 2 偶数项系数之和为0，+a,+as+…=f1-f-1) 2 例9.(25-26高三上·江苏镇江丹阳吕叔湘中学、马相伯高级中学)己知 (1+2x)4=a+2a1x+4a2x2+8a3x3+16a4x4,则a1+a2+a3+a4=元() A.15 B.16 C.80 D.81 变式9-1.（多选)(25-26高三上山西长治)已知函数 fx=3x-10°=a+a1x-2+a2x-22+…+a1ox-20,则() 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a0+a1+a2+…+a10=710 B.a1+a3+a5+……+ag= 1-710 2 c.f13的个位数是9 D.Qg=-40×39 变式9-2.（多选）(25-26高二上黑龙江哈尔滨第三中学校月考)已知(1+2x)5=a+a1x+a2x2+…+a6x, 则下列结论正确的是() A.a0=1 B.a1+a2+…+a6=729 C.ao+a2+a4+a6=364 D.2a4=3a3 变式9-3.（多选)(25-26高三上·宁夏银川一中·月考)在下列关于二项式的命题中，正确的是() 11 A.在2X- 的展开式中，常数项为60 B.1+x1-x5的展开式中，x2的系数为5 C.若二项式a+b”的展开式中，第3项的二项式系数最大，则n=5 D.若1-2x8=a+a1X+02x2++agx8,则a1+a2+a3+…+ag=0 类型十、二项式系数的增减性和最值 二项式系数的最大项的求法： 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a十b)"中的n进行讨论： (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大： (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 例10.（多选)(25-26高三上广东中山中山纪念中学.月考)已知(2+x)”=a+a1x+a2x2+…+anx”,展开 式中只有第五项的二项式系数最大，以下说法正确的是() A.n=8 B.展开式中x4的系数为70 C.展开式中奇数项的系数和为3+1 D.展开式中偶数项的二项式系数和为2 2 变式10-1.（多选)(24-25高二下河南商丘期末)已知在x- 2 的展开式中，各项的二项式系数之和为 64,则下列说法正确的有() A.n=6 B.只有第4项的二项式系数最大 C.x4的系数为-12 D.各项系数之和为-1 变式10-2.（多选）(24-25高二下.四川成都蓉城联盟期末)已知(1-2x)8=ao+a1X+a2x2+…+agx8,则 () A.a0=1 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 38+1 B.ao+a2+a4+a6+a8= 2 C.展开式中二项式系数最大的项是第5项 D.展开式中系数最大的项是第5项 变式10-3.(25-26高三上·江西创智协作体.调研)已知 x 2 的展开式中二项式系数最大项仅为第4项， 2 则其常数项为」 类型十一、求系数的最大最小项 二项式系数最大的项与系数最大的项不同，二项式系数最大的项即中间一项或两项； T,+1项系数≥T,项系数 展开始终系数最大的项的求法用解不等式组 T1项系数≥T2项系数米确定r 例11.二项式1-x4*n∈N)的展开式中系数最大的项是(). A.第2n+2项 B.第2n+1项 C.第2n项 D.第2n-1项 变式11-1.（多选）(24-25高二下-湖北仙桃，期末)设x2026=0+a1x+1+a2x+1P++a2o26x+1026,则 () A.01=-2026 B.a0-01+a2-+a2026=22026 C.00,01,02,…,02026中最大的是01013 D.a1+2a2+3a3+…+2026a2026=0 变式11-2.(24-25高二下河南开封高级中学·)已知x+ 2x2 n≥4，n∈N的展开式中，第5项与第3 项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 变式11-3.在二项式ax+bx2a,b>0,m,n≠0中，2m+n=0,若它的展开式中系数最大的项是常数 项，则号的取值范用是一 类型十二、整除和余数问题 例12.设a,b,B为正整数B>0,若a和b被B除得的余数相同，则称a和b对B同余，记为a=bmod B, 已知a=1+C20+C30·2+C3·2++C2029,b=amod10,则b的值可以是() A.2020 B.2013 C.2022 D.2021 变式12-1.(24-25高二下江苏南京第五高级中学.月考)已知f(x)=(2-x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x,则 下列描述正确的是() 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a1+a2+…+ag=1 38-1 B.a2+a4+a6+a8= 2 c.a+a2+…+lagl=38 D.f(-1)除以5所得的余数是1 变式12-2.(24-25高三下.河南许昌九师联盟若(2x+1)10=a+a1x+a2x2++a10ox0,则 2(a1+a3+…+ag9)-4被8整除的余数为() A.2 B.3 C.4 D.5 变式12-3.(24-25高二下.山东泰安新泰中学期末)已知C+2C+2C+…+2”-1Cn=Mn∈N, ①若2M+1=81,则n=4 ②若2M+1+4"=5,则n=2 ③若M=121,则x2+3x+2”中含x项的系数为48 ④若n为偶数，则M能被4整除 则正确命题的序号是 左类型十三、近似计算问题 例13.（多选）下列说法正确的是() A.C929+C2+…+C9=39 B.若2x-18=a+a1x+a2x2+…+ax8,则a1+a2+…+ag=0 C.5555被8整除的余数为1 D.1.0510精确到0.1的近似数为1.6 变式13-1.（多选)(23-24高二下河北石家庄赵县河北赵县中学、高邑县第一中学、无极中学.月考)下列 说法正确的是() A.若(x-2)°=a+a1x+a2x2+…+a6x,则a+a1+…+a6=729 B.若3”+3”-1C+3”-2C%+…+C0=218,则C+C+…+C=512 C.0.988精确到0.01的近似值为0.85 D.22024除以15的余数为3 变式13-2.(23-24高二上江西九江同文中学.期末)实数1.996精确到0.001的近似值为 变式13-3.定义x表示不超过x的最大整数x∈R,如：-1.3=-2,0.8=0：定义x=x-x. (1) 999 999 9993 9994 X 1000 1000 1000 1000 (2)当n为奇数时， 999 9992 9993 999” 1000 1000 1000 1000 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型十四、杨辉三角 例14.(24-25高二下.重庆第七中学月考)在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工 具，从图1中可以归纳出等式：C+C+C+…+C=C7+1类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题： 如图2，该“刍童垛”共2023层，底层如图3，一边2025个圆球，另一边2024个圆球，向上逐层每边减 少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为() 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 2024 第4行 14641 第5行 15101051 第n行1CC2…Cl.Cm2C11 2025 图1杨辉三角 图2刍童垛 图3刍童垛底层 A.2C05-2 B.2C326-2 C.C2026-2 D.C2025-2 变式14-1.（多选)(24-25高二下.广东广州天河区·期末)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章 算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨 辉三角的说法正确的是() 第0行 第1行 1 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行15101051 A.第6行从左到右第4个数是20 B.第2022行的第1011个数最大 C.210在杨辉三角中共出现了6次 0.记第n行的第i个数为a则》2a=3 i=1 变式14-2.（多选)(24-25高二下.内蒙古赤峰.期末)“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的 《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数 都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命 题中正确的是() 9/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第0行 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行15101051 … A.第6行中，有两个相等的最大数 B.C3+C4+…+C1=219 C.第n行所有数之和为2” D.在第3行以后，还会出现全为奇数的行 变式14-3.（多选)(24-25高二下江苏连云港灌云县等2地·月考)杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝 之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中.“杨辉三角”揭示了二项式 系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.下列关于“杨辉三角”的结论正确的是() 杨辉三角 第0行 1 第1行 11 第2行 121 第3行 1331 第4行 14641 第5行15101051 第6行1615201561 A.2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B.C+C3+C6+.+C0=330 c.记第10行的第i个数为a,则∑(i-1)a,=5120 i=1 D.记第n行的第个数为a,则24-1a,=5°-4 i=1 类型十五、二项式定理与数列 例15.（多选）对于n∈N,将n表示为n=a0·3°+a1·3+a23+..+ak·3.其中 a,∈{-1,0,1}(i=0,1,2,,k),ak≠0.记I(n)为上述表示中a为0的个数（例如8=(-1）3°+03+132， 则I(8)=1,则下列结论正确的是() A.I(9)=2 B.I3"-1=n-1 c.I(9n)=I(n)+2 D.I(9n+4)=I(n)+4 变式15-1.将集合M=a1,a2,a3,·,an分拆成两个集合A,和B,且M2AUB,A,nB,=0,这样的 分拆方法共有种。 10/13 专题02 二项式定理 目录 专题02 二项式定理 类型一、求展开式 类型二、求指定项的系数 类型三、求指定项的二项式系数 类型四、求常数项 类型五、含有三项的二项展开式 类型六、含有乘积的二项展开式 类型七、有理项无理项问题 类型八、二项式系数和 类型九、各项系数和 类型十、 二项式系数的增减性 类型十一、求系数的最大最小 类型十二、整除和余数问题 类型十三、近似计算问题 类型十四、杨辉三角 类型十五、二项式定理与数列 压轴专练 类型一、求展开式 二项式定理： ， 例1．若（a，b为有理数），则（    ） A．44 B．32 C．28 D．52 【答案】A 【分析】先将利用二项式定理展开，然后根据等式确定和的值即可得到答案. 【详解】利用二项式定理展开，得 ， ，， 即， 故选：． 变式1-1．(24-25高二下·贵州贵阳第六中学联盟校·)化简，其结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理，对所给式子进行变形，然后结合二项式定理的形式求出结果． 【详解】设． 根据组合数的性质，则． 由二项式定理可知， 即． 那么， 因为，所以． 即，则． 故选：A． 变式1-2．(24-25高三下·北京东城区·)已知，则实数 【答案】 【分析】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【详解】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 变式1-3．计算 ． 【答案】 【分析】逆向使用二项式定理即可. 【详解】 . 故答案为：. 类型二、求指定项的系数 通项公式：Tr=Can－r＋1br－1 例2．(24-25高二下·吉林长春长春吉大附中实验学校·期末)为正实数，且，当取最小值时，的展开式中项的系数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用基本不等式求出取最小值时的值，得出；再利用二项式的展开式的通项公式求解即可. 【详解】由可得：. 因为为正实数， 所以由基本不等式可得： ， 当且仅当，即时等号成立. 所以当取最小值时，， 所以的展开式的通项公式为， 令，得，所以， 所以当取最小值时，的展开式中项的系数为. 故选：A. 变式2-1．（多选）若的展开式中存在含的项，则的值可能是（    ） A．2 B．11 C．15 D．20 【答案】BD 【分析】由二项式的展开式通项得或，其中，且，对分四种情况讨论即可求解. 【详解】展开式的通项，展开式的通项. 因为的展开式中存在含的项，所以或， 即或，其中，且. 经检验知，当时，，，不符合题意， 当时，，不存在，符合题意； 当时，不存在，也不存在，不符合题意； 当时，，，，符合题意. 故选：BD. 变式2-2．已知，则 . 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项求，计算比值. 【详解】因为， 所以二项展开式通项， 所以，， 所以， 故答案为：. 变式2-3．(25-26高三上·天津第二中学·月考)的展开式中的系数是 .（用数字作答） 【答案】240 【分析】先写出二项展开式的通项公式，再令通项公式中的指数为，进而解出的系数. 【详解】展开式的通项公式为， 令，可得，则展开式中的系数为. 故答案为：240. 类型三、求指定项的二项式系数 通项公式：Tr=Can－r＋1br－1 例3．(24-25高二下·安徽·期末)已知的展开式中第3项与第5项的二项式系数之比为，则展开式中的有理项的项数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据第项的二项式系数为，求出，再根据二项展开式的通项，即可求出其有理项. 【详解】由题知，又， 所以，展开式通项为，令， 则，所以展开式中有4项的有理项. 故选：C 变式3-1．(24-25高二下·江苏南京文枢高级中学·)在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题干条件得出，结合，可求得的值. 【详解】因为展开式中第、、项的二项式系数依次成等差数列，即， 即，整理得，即， 又因为，，故的值为. 故选：D. 变式3-2．的所有二项式系数的第三四分位数是（    ） A．35 B．28 C．21 D．7 【答案】B 【分析】由二项式定理写出二项式系数，根据第三四分位数的计算方法，可得答案. 【详解】由，则其二项式系数为，，，， 由小到大排列为，，则第三四分位数为. 故选：B. 变式3-3．已知二项式的展开式中，第三项的二项式系数是第二项二项式系数的2倍，项的系数是 项系数的4倍，则展开式中系数最大的项是 ． 【答案】 【分析】根据二项式系数及项的系数的关系求出，由展开式通项公式列出不等式组得解. 【详解】由题意，，即，解得， 因为，， 所以，解得或（舍去）， 因为， 设第项系数最大，则， 即，解得， 因为为正整数，所以， 所以展开式中系数最大的项为. 故答案为：. 类型四、求常数项 例4．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令，解得， 所以常数项为. 故答案为： 变式4-1．二项式的展开式的常数项是 . 【答案】/ 【分析】首先写出二项式展开式的通项公式，然后找出常数项并求出常数项. 【详解】在二项式中，其展开式的通项公式为： ，进一步化简得 . 令，即. 将代入通项公式得. 故答案为：. 变式4-2．(24-25高二下·山东泰安新泰一中老校区（新泰中学）·月考)已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为 . 【答案】/ 【分析】由题意求得，然后根据二项展开式的通项公式求解. 【详解】由题意，即， 即，解得（舍去）， 根据展开式的通项， 令，则， 故常数项为. 故答案为： 变式4-3．(24-25高三下·河南信阳商城县丰集高级中学·)已知的展开式中第三项和第四项的二项式系数之比为3：4，则展开式中的常数项为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】结合二项式定理展开式的通项公式求二项式的通项公式，由条件列方程求，再确定常数项的项数及常数项. 【详解】二项式的展开式的通项公式为 ，， 所以的展开式中第三项和第四项的二项式系数分别为，， 由题意知，解得， 所以展开式的通项为 ， 令，得，所以常数项为． 故答案为：. 类型五、含有三项的二项展开式 例5．的展开式中的常数项为（    ） A．120 B．88 C．24 D．18 【答案】B 【分析】利用多项式乘多项式的规则及分类计数原理即可求解. 【详解】因为， 要想得到常数项，则有两种可能性： （1）5个括号都取常数项，则得到的常数项为； （2）2个括号取常数项，2个括号取，1个括号取，则得到的常数项为. 根据多项式乘多项式的规则可知展开式的常数项为. 故选：B 变式5-1．的展开式中，的系数为（    ） A．4 B．32 C．60 D．120 【答案】D 【分析】根据二项式的通项公式求解即可.也可速解即根据乘法的运算规律进行求解. 【详解】的展开式通项为， 的展开式通项为， 所以的展开式通项为 ， 由得 因此展开式中的系数为． 故选：D． 速解： 由5个相乘得到，要得到含的项的系数， 需要1个提供x，2个提供y，2个提供， 则展开式中的系数为． 故选：D． 变式5-2．(24-25高二下·江苏南京南京外国语学校·期中)在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【答案】D 【分析】根据给定多项式，结合指定项及组合数求对应系数即可. 【详解】相当于6个因式相乘， 其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有3个取，有种取法， 最后2个因式中全部取，有种取法， 故展开式中的系数为． 故选：D 变式5-3．在展开式中，的系数为 ． 【答案】180 【分析】根据题意其展开式为，求的展开式中通项，令，即可求解. 【详解】，若满足题意可知其展开式为， 其的展开式中通项，令可得， 所以系数得180， 故答案为：180． 类型六、含有乘积的二项展开式 例6．(25-26高三上·湖北部分名校·月考)的展开式中的系数为（   ） A．162 B．168 C．180 D．185 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 所以的展开式中的系数为. 故选：B 变式6-1．(25-26高三上·湖南益阳·)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 变式6-2．的展开式中的系数为（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】B 【分析】先把两项相乘化简，再应用二项式展开式的通项公式结合组合数的计算求解. 【详解】的展开式中含的项为， 所以的系数为15. 故选：B. 变式6-3．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】观察二项式展开式两边的次数可得，即可判断A；由赋值法，令得即可判断B；求出展开式中与的系数，结合得即可判断C；由赋值法，令求解即可判断D. 【详解】对于A，等式右边最高次数为7，故，A正确； 对于B，令，则，B正确； 对于C，的系数为 ，C错误； 对于D，令 则，D错误. 故选：AB. 类型七、有理项无理项问题 x的幂次是整数的为有理项 例7．一组数据按照从小到大的顺序排列为0，2，4，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的有理项共（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】求出“0，2，4，5，6，8”这组数据的上四分位数，代入二项式，并写出二项式展开式的通项，分析其有理项,即可得到答案. 【详解】“0，2，4，5，6，8”，这组数据共有6个数，所以， 所以这组数据的上四分位数为第5个数，即6. 二项式展开式的通项为：. 当分别取时，是整数，为有理项，所以共有4项. 它们分别是： 故选：B. 变式7-1．(多选)(24-25高二下·江苏苏州工业园区西安交通大学苏州附属中学·月考)已知的展开式中，前三项的系数成等差数列（   ） A． B．展开式中第三项与第四项的二项式系数比为 C．展开式中系数最大的项为第二项和第三项 D．展开式中所有的无理项的系数和为 【答案】ABD 【分析】求出展开式的通项，列出方程求出，再结合二项式系数及项的系数逐项判断. 【详解】对于A，展开式的通项为， 由展开式中的前三项系数成等差数列，得，则，而，解得，A正确； 对于B，展开式中第三项与第四项的二项式系数比为，B正确； 对于C，展开式中第二项和第三项的系数分别为，C错误； 对于D，展开式的通项为，当时， 为无理项，即展开式的偶数项，令展开式的奇数项系数和为，偶数项系数和为， 则，，解得，因此展开式中所有的无理项的系数和为，D正确. 故选：ABD 变式7-2．(23-24高二下·湖北云学名校联盟·期中)关于多项式的展开式，下列结论正确的是（   ） A．各项系数之和为1 B．存在无理项 C．常数项为400 D．的系数为－80 【答案】AD 【分析】由二项展开式的通项公式，令即可判断A；因为，故所有项中没有无理数，即可判断B；令或或，即可判断C；令或即可判断D． 【详解】由题意可知， 多项式展开式的通项为 ， 即， 对于A，令，则，即为各项系数之和，故A正确； 对于B，因为展开式的通项公式中，所以不存在无理项，故B错误； 对于C，常数项中的次数为0，则或或，则 ，故C错误； 对于D，的系数即的系数之和，表示为，故D正确. 故选：AD． 变式7-3．的展开式中所有有理项的二项式系数和为 . 【答案】85 【分析】写出的二项展开式的通项公式，再由为整数，求出有理项的二项式系数即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为，. 所以当为整数，即时，二项式展开式第项为有理项， 其对应的二项式系数分别为：，，， 故所有有理项的二项式系数和为. 故答案为：85. 类型八、二项式系数和 二项式系数和为 例8．若的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（    ） A．160 B． C．20 D． 【答案】B 【分析】先根据二项式系数和求出，求出展开式通项，令得，代入通项即可求出常数项. 【详解】因为的展开式的二项式系数和为64，即，解得， 则的展开式通项为， 令得，所以的常数项为 . 故选：B． 变式8-1．（多选）设，则下列说法正确的有（    ） A．的展开式中所有项的二项式系数的和为 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，由结论直接可得二项式系数的和为，A正确；B选项，令得；C选项，赋值得到，相加可得C正确；D选项，令得，D错误. 【详解】A选项，的展开式中所有项的二项式系数的和为，A正确； B选项，中，令得，B正确； C选项，中，令得 ①， 令得②， 两式①+②得， 即，C正确； D选项，， 由二项式定理得， 故，， 令得，D错误. 故选：ABC 变式8-2．（多选）(24-25高二下·河北保定高中·期末)已知，则（    ） A． B． C．的展开式的二项式系数之和为 D． 【答案】ABD 【分析】令得即可判断A，利用二项式定理的通项公式求即可判断B，二项式系数之和为即可判断C，令和即可求即可判断D. 【详解】由题意有：令有，故A正确； 由，故B正确； 的展开式的二项式系数之和为，故C错误； 令有， 令有， 两式相加有，故D正确. 故选：ABD. 变式8-3．（多选）(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)在的二项展开式中，下列说法中正确的有（   ） A．所有奇数项的二项式系数和为 B．所有项的系数和为 C．二项式系数最大的项为第5项或第6项 D．展开式中的常数项是第9项 【答案】BD 【分析】对于A，根据的奇数项二项式系数和为计算即可；对于B，赋值法令计算即可；对于C，由当为偶数时，二项式系数最大的项为第项计算即可；对于D，根据二项式通项公式，令的指数为0，求得即可判断. 【详解】对于A，奇数项的二项式系数和为，故A不正确； 对于B，令有各项系数之和为，故B正确； 对于C，二项式展开式共有11项，则二项式系数最大的项为第项，故C不正确； 对于D，的展开式中常数项为，， 令，解得，所以常数项是第9项，故D正确. 故选：BD. 类型九、各项系数的和 1.对形如(ax＋b)n, (ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和， 常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可； 2.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)奇数项系数之和为 偶数项系数之和为 例9．(25-26高三上·江苏镇江丹阳吕叔湘中学、马相伯高级中学·)已知，则（    ） A．15 B．16 C．80 D．81 【答案】A 【分析】应用赋值法求得、，作差即可得. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故选：A 变式9-1．（多选）(25-26高三上·山西长治·)已知函数，则（    ） A． B． C．的个位数是9 D． 【答案】BD 【分析】赋值法求系数和判断A、B；由，结合展开式通项得个位数由决定，即可判断C；由并应用二项式定理求对应项系数判断D. 【详解】由题设，令，则，A错； 令，则， 所以，即，B对； 由，展开式通项为， 显然个位数由决定，即个位数是1，C错； 由， 展开式通项为，， 当时，，即， D对. 故选：BD 变式9-2．（多选）(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】ABC选项，利用赋值法进行求解；D选项，得到展开式的通项公式，从而求出，，故，D正确. 【详解】A选项，中，令得，A正确； B选项，中，令得 ， 又，故，B错误； C选项，中，令得 ， 与相加可得， 故，C错误； D选项，展开式的通项公式为， 故，，故，D正确. 故选：AD 变式9-3．（多选）(25-26高三上·宁夏银川一中·月考)在下列关于二项式的命题中，正确的是（    ） A．在的展开式中，常数项为60 B．的展开式中，的系数为5 C．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】A选项，求出的展开式的通项公式，得到常数项为60；B选项，根据展开式通项公式，得到的系数；C选项，分为偶数和奇数两种情况，求出或4或5，C错误；D选项，赋值得到，，从而D正确. 【详解】对于A，的展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为，故A正确； 对于B，展开式通项公式为，故， ， 故展开式中的系数为，故B正确． 对于C，由二项式的系数的性质可知最中间项的二项式系数最大， 当为偶数时，最中间项只有一项，又第3项的二项式系数最大，故共为5项， 所以，解得， 当为奇数时，中间项有二项，又第3项的二项式系数最大， 所以可能第二项与第三项二项式系数相同都最大或第三项与第四项二项式系数相同都最大， 此时或，解得或，综上，或4或5，C错误； 对于D，令，可得， 令，可得，所以，故D正确． 故选：ABD 类型十、二项式系数的增减性和最值 二项式系数的最大项的求法： 求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论： （1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； （2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 例10．（多选）(25-26高三上·广东中山中山纪念中学·月考)已知，展开式中只有第五项的二项式系数最大，以下说法正确的是（   ） A． B．展开式中的系数为70 C．展开式中奇数项的系数和为 D．展开式中偶数项的二项式系数和为 【答案】ACD 【分析】由展开式中只有第五项的二项式系数最大可得可判断A，由二项展开式的通项可判断B，分别令和可判断C，由二项式系数的性质可判断D. 【详解】对于A，由展开式中只有第五项的二项式系数最大，可得第五项为中间项，故展开式共有9项，从而，故A正确； 对于B，展开式中的系数为，故B错误； 对于C，令，可得；令，可得， 两式相加可得，从而，故C正确； 对于D，根据二项式系数的性质，可知展开式中偶数项的二项式系数和为，故D正确. 故选：ACD. 变式10-1．（多选）(24-25高二下·河南商丘·期末)已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（    ） A． B．只有第4项的二项式系数最大 C．的系数为 D．各项系数之和为 【答案】ABC 【分析】根据二项式系数和得，结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断A、B、C，最后应用赋值法求各项系数之和判断D. 【详解】由题设，可得，A对； 展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，B对； 展开式通项为，， 令，可得，则的系数为，C对； 令，则，D错. 故选：ABC 变式10-2．（多选）(24-25高二下·四川成都蓉城联盟·期末)已知，则（   ） A． B． C．展开式中二项式系数最大的项是第5项 D．展开式中系数最大的项是第5项 【答案】ABC 【分析】对于A令即可判断，对于B令和即可求解，进而判断，对于C由二项式系数的性质即可判断，对于D由，求出即可判断. 【详解】对于A：令，得，故A正确； 对于B：令有， 令有， 所以，故B正确； 对于C：由于展开式中共有9项，故二项式系数最大的项为第5项，故C正确； 对于D：由，所以， 所以系数最大的项不是第5项，故D错误. 故选：ABC. 变式10-3．(25-26高三上·江西创智协作体·调研)已知的展开式中二项式系数最大项仅为第4项，则其常数项为 . 【答案】 【分析】根据二项式系数的性质，得到n，再利用展开式的通项，得到常数项. 【详解】依题意有， ， 令得， 所以常数项为， 故答案为：. 类型十一、求系数的最大最小项 二项式系数最大的项与系数最大的项不同，二项式系数最大的项即中间一项或两项； 展开始终系数最大的项的求法用解不等式组来确定 例11．二项式的展开式中系数最大的项是（    ）. A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】B 【分析】根据已知写出二项式展开式通项，结合组合数的性质确定参数，即可得. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 显然系数最大项对应为偶数，而对于其最大值为或时取得， 综上，系数最大项对应，即第项. 故选：B 变式11-1．（多选）(24-25高二下·湖北仙桃·期末)设，则（   ） A． B． C．中最大的是 D． 【答案】ABD 【分析】令，可得，可得出，令，利用二项展开式通项可判断A选项；利用赋值法可判断B选项；利用二项式系数的增减性可判断C选项；利用赋值法可得出，可判断D选项. 【详解】令，可得，代入题干等式得. 令. 对于A选项，展开式通项为， 所以，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，由A选项可知，， 当为奇数时，，且， 当为偶数时，，且， 结合二项式系数的增减性可知，中最大的是和，C错； 对于D选项，因为， 故，D对. 故选：ABD. 变式11-2．(24-25高二下·河南开封高级中学·)已知的展开式中，第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，展开式中系数最大项是 . 【答案】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合已知条件可先求出，再利用递推不等式组可求出系数最大项. 【详解】由题意，可得二项式展开式的通项为， 因为第5项与第3项的二项式系数之比为15：2，可得，即， 所以，则或（舍）， 设展开式中第项的系数最大，则，可得， 解得，因为，所以， 所以系数最大的项为． 故答案为： 变式11-3．在二项式中，，若它的展开式中系数最大的项是常数项，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据的关系确定第5项是常数项，再根据第5项的系数最大求的取值范围. 【详解】 ， 由，且 . 即当时，既是常数项又是系数最大的项，故， 即， 由， ； 由，， . 所以：． 故答案为： 类型十二、整除和余数问题 例12．设为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对同余，记为，已知，则的值可以是（    ） A．2020 B．2013 C．2022 D．2021 【答案】D 【分析】根据已知中和对同余的定义，结合二项式定理，即可求出的值，结合，比照四个选项即可得到答案. 【详解】， ， 即，因为个位为3，个位为9，个位为7，个位为1，个位为3， 所以个位为1，所以个位也是1， ，的个位也是1． 故选：D． 变式12-1．(24-25高二下·江苏南京第五高级中学·月考)已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 【答案】D 【分析】利用赋值法即可判断ABC；根据二项式展开式的通项即可求解D. 【详解】 ， 令，可得，再令，可得， ，故A错误． 因为， 所以， 所以，故B错误． 由于为展开式各项系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故D确． 故选：D 变式12-2．(24-25高三下·河南许昌九师联盟·)若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令得，令得，两式相减即可得，即 利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，令得， 两式相减得 ， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以 被8整除的余数为4. 故选：C. 变式12-3．(24-25高二下·山东泰安新泰中学·期末)已知， ①若，则 ②若，则 ③若，则中含项的系数为48 ④ 若为偶数，则能被4整除 则正确命题的序号是 【答案】①②④ 【分析】由，令得，由解出即判断①，由得，令，利用单调性即可判断②，先求，利用二项式定理即可判断③，由，利用二项定理得能被8整除，进而判断④. 【详解】由，令得：， 所以，故①正确； 由得，令， 可知在上单调递减，又，故②正确； 若，则， 所以，由的通项为，的通项为， 所以中的系数为：，故③错误； 由，若时，， 由能被8整除，所以能被4整除，故④正确. 故答案为：①②④. 类型十三、近似计算问题 例13．（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．被8整除的余数为1 D．精确到的近似数为 【答案】ABD 【分析】逆用二项式定理计算可判断A项，运用赋值法，令，求解可判断B项，由，结合二项式定理计算可判断C项，，结合二项式定理计算可判断D项. 【详解】对于A项，由二项式定理可知，故A项正确； 对于B项，令得①，令得②， 所以①②可得，故B项正确； 对于C项，， 由此可得被8整除的余数为，故C项错误； 对于D项， ， 所以精确到的近似数为，故D项正确. 故选：ABD. 变式13-1．（多选）(23-24高二下·河北石家庄赵县河北赵县中学、高邑县第一中学、无极中学·月考)下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．精确到0.01的近似值为0.85 D．除以15的余数为3 【答案】AC 【分析】赋值法可判断A；由求出，由二项式系数和可判断B；，由二项式定理展开，取展开式前3项可判断C；，由二项式定理展开可判断D. 【详解】在中， 令，则，故A正确； 因为，所以， 所以，故B错误； ， 取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为．故C正确； ，其中， 所以能被15整除， 所以除以15的余数为1，故D错误． 故选：AC． 变式13-2．(23-24高二上·江西九江同文中学·期末)实数精确到的近似值为 . 【答案】 【分析】先将变形为，再利用二项式定理展开化简即可得解. 【详解】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 变式13-3．定义表示不超过的最大整数，如：，；定义． （1） ； （2）当为奇数时， ． 【答案】 【分析】（1）利用新定义求出，利用二项展开式求、的值，然后根据规律求出的值，代入所求的式子求解即可； （2）由（1）归纳出规律，利用此规律求出所求的式子的值． 【详解】解：（1）由题意得，， ， ， ， ， 由二项式定理同理可得，， ； （2）由（1）可归纳出当是奇数时，， 当是偶数时，， 当为奇数时，则有个偶数，个奇数， . 故答案为：2；. 类型十四、杨辉三角 例14．(24-25高二下·重庆第七中学·月考)在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：.类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2，该“刍童垛”共2023层，底层如图3，一边2025个圆球，另一边2024个圆球，向上逐层每边减少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由杨辉三角中观察规律，推广之后，代入计算即可得到结果. 【详解】由杨辉三角中观察得可得， 即； 由题意，2021层“刍童垛”小球的总个数为： . 故选：B 变式14-1．（多选）(24-25高二下·广东广州天河区·期末)我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【分析】选项A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，将第6行第4个数代入即可；选项B：根据组合数的性质，即可找到第2022行中的最大数；选项C：列举出值为210的组合数即可；选项D：使用二项式定理进行转化即可. 【详解】选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第行的第个数可表示为，故第6行从左到右第4个数是，故选项A正确； 选项B：第2022行的第个数可表示为，由组合数的性质可知，最大，因此，，故第2022行的第1012个数最大，选项B错误； 选项C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项C正确； 选项D：第行的第个数，因此，令，则，即，故选项D正确. 故选：ACD. 变式14-2．（多选）(24-25高二下·内蒙古赤峰·期末)“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【分析】根据由杨辉三角的规律直接写出第6、7行可判断AD；利用性质化简可判断B；由二项式系数性质可判断C. 【详解】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 变式14-3．（多选）(24-25高二下·江苏连云港灌云县等2地·月考)“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（     ）    A．2024行中从左往右第1012个数与第1014个数相等 B． C．记第10行的第个数为，则 D．记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用的展开式的二项式系数计算，对于B，利用性质计算即可；对于CD，代入，利用二项式定理计算即可. 【详解】对于A，第2024行中的数为的展开式的二项式系数， 则从左往右第1012个数为，第1014个数为，由于，故A正确； 对于B，由可得 ，故B不正确； 对于C，第行的第个数为， 因为 ， 所以 ，故C正确； 对于D，第行的第个数为， 则，故D正确； 故选：ACD 类型十五、二项式定理与数列 例15．（多选）对于，将n表示为．其中．记为上述表示中为0的个数（例如，则，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据的定义逐项判断即可. 【详解】对A，∵，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，∵设， ， 增加了，两项系数为0，∴ ，故C正确； 对于D，∵， ∴，故D错误； 故选：ABC. 变式15-1．将集合分拆成两个集合和，且，，这样的分拆方法共有 种． 【答案】 【分析】按集合中元素的个数进行分类，再应用二项式展开式逆用求解. 【详解】按集合中的元素个数进行分类： 若中有0个元素（即种）时，则有种，共有种； 若中有1个元素（即种）时，则有种，共有种； 若中有2个元素（即种）时，则有种，共有种； 若中有3个元素（即种）时，则有种，共有种； … 若中有个元素（即种）时，则有种，共有种. 可得，故这样的分拆方法有种. 故答案为： 变式15-2．(25-26高三上·北京中国人民大学附属中学·)已知，则 ； ． 【答案】 【分析】直接用二项展开式的通项可求得.用赋值法（令和），然后两式作差，可求得答案. 【详解】解：根据二项展开式的通项公式得：，所以 令, 得： ……(1) 令, 得： 即： ……(2) (1)式与(2)式作差，得：, 所以. 故答案为：； 变式15-3．已知，则 . 【答案】 【分析】先利用二项式展开式的通项求出，然后利用二项式系数的性质即可求解. 【详解】由于， 所以展开式的通项为， 又， 所以， 所以由二项式系数的对称性知， 所以. 故答案为：. 压轴专练 一、单选题 1．(24-25高二下·广东中山永安中学·)的展开式中常数项为（    ） A．120 B．-120 C．180 D．-180 【答案】D 【分析】因为 ，所以分别求和展开式中的常数项，即可得出结果. 【详解】 展开式的通项为:，. 不存在的值使得，所以的展开式中没有常数项； 当且仅当时，的展开式可取到常数项，则的常数项为. 综上所述：的展开式中常数项为-180. 故选：D. 2．的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 【答案】C 【分析】将变形成，利用二项式定理，可得项的系数. 【详解】因为， 所以的展开式中项的系数为. 故选：C. 3．的展开式中的系数为（　　） A．-20 B．-15 C．15 D．20 【答案】C 【分析】直接利用二项式定理计算得到答案. 【详解】展开式的通项为， 取，得. 即的系数为. 故选：C. 4．若（）的展开式中x与项的系数相等，则（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】利用二项式定理列式求出值. 【详解】依题意，，，由展开式中x与项的系数相等， 得，因此，所以. 故选：C 5．(25-26高三上·山东济南·)的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据二项式的通项公式确定展开式中的奇数次幂项的系数和的表达式，列方程求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 则的展开式中的奇数次幂项的系数和为， 故，则， 故选：B 6．(25-26高三上·北京清华大学附属中学·开学考)若，则（    ） A． B．0 C．1 D．32 【答案】D 【分析】利用赋值法直接求值即可. 【详解】由题意得， 令，可得， 则，故D正确. 故选：D 7．设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，再利用二项式定理变形后再计算． 【详解】由， 则 ． 故选：A. 8．如图是第14届国际数学教育大会的会标，会标中“ICME－14”的下方展示的是八卦中的四卦——3，7，4，4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制数是，正是会议最初计划召开的年份，那么八进制数换算成十进制数，换算后十进制数的末尾数字是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先将八进制数换算成十进制数得，进而得，利用二项式定理即可求解. 【详解】由进位制的换算方法可知，八进制数换算成十进制数为 ． 根据二项式定理，可得 ， 因为 是10的倍数， 所以换算后十进制数的末尾数字为的末尾数字，由， 可得末尾数字为3． 故选：B． 二、多选题 9．(23-24高二下·广东清远第二中学·)若的二项展开式共有8项，则该二项展开式（    ） A． B．各项二项式系数和为128 C．二项式系数最大项有2项 D．第5项系数等于-35 【答案】BC 【分析】利用二项展开式的性质和通项公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，的二项展开式共有8项，则 ，即，故A错误； 对于B，二项式展开式中各项的二项式系数的和为，故B正确； 对于C，因该二项展开式共有8项，则可得中间两项的二项式系数最大，即第4和第5项的二项式系数最大，故C正确； 对于D，因，则第5项的系数是35，故D错误. 故选：BC. 10．(25-26高二上·黑龙江哈尔滨第三中学校·月考)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表.数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是（    ） A．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 B．第20行第7个数和第8个数的比为 C．从第4行起到第19行，每一行的第4列数字之和为 D．第行所有数的平方和等于第行最中间的数 【答案】ACD 【分析】对A：由题意可得，再借助二项式的展开式计算即可得；对B：计算即可得；对C：借助计算即可得；对D：借助，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对A：第48行的所有数字之和为， 由， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，故A正确； 对B：第20行第7个数为，第8个数为， ，故B错误； 对C：第行的第4个数字为，由， 则 ，故C正确； 对D：第行所有数的平方和为， 第行最中间的数为， 由 ， 则的展开式中的系数为， 又对，有，则其展开式中的系数为， 即有，故D正确. 故选：ACD. 11．设 ，则（     ） A． B． C．的最小值为 D．若且当时， 则有 【答案】AC 【分析】先写出二项式的展开式的通项，根据各选项中对各项系数的要求，对照可得其表达式，分别求解可判断A，C两项；采用赋值法即可判断B项；根据题意先求出，即得时，，将其代入化简计算即可判断D项 【详解】因二项式的展开式的通项为， 对于A，由题意，故A正确； 对于B，在中， 取，可得，故B错误； 对于C，， 因，当时，的最小值为，故C正确； 对于D，由二项式的通项， 令，可得， 因且当时， 则当时，， 于是当时， ， 故，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．(25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔克东县第一中学·)被9除的余数是 . 【答案】7 【分析】本题可先根据二项式定理将原式变形，然后分析变形后的式子被9除的余数. 【详解】根据二项式定理， 对进行变形， 可得，即. 因为，所以. 根据二项式定理展开： ， 则. 除了最后一项，其余各项都含有因数9，都能被9整除， 所以除以9的余数就是. 即被9除的余数是. 故答案为：7. 13．设，则 . 【答案】3 【分析】由二项式定理得，代入求值即可. 【详解】由二项式定理可得， ， 则有， 当时，. 故答案为：3. 14．已知，则 ；则 ． 【答案】 【分析】第一个空可用赋值法求得； 第二个空关键是将，再通过并项求和得到. 【详解】（1）由， 令，得，令，得，所以． （2）由二项式定理可得，， 所以 ， 因为 注： ， 所以 ． 故答案为：；. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $