课时测评44 二项式定理-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评44　二项式定理 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.二项式(a＋b)2n的展开式的项数是(　　) A.2n　　　　　　　　　 B.2n＋1 C.2n－1 D.2(n＋1) 答案：B 解析：根据二项式定理可知，展开式共有2n＋1项. 2.的展开式中的常数项为(　　) A.60　　　 B.－60　　　 C.250　　　 D.－250 答案：A 解析：因为Tr＋1＝)6－r(－1)r ＝(－1)r2r，令3－r＝0， 则r＝2，所以·＝60. 3.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨度克·牛顿于1664年、1665年间提出，据考证，我国至迟在11世纪，北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则，在的二项式展开式中，x的系数为(　　) A.10 B.－ C. D.－ 答案：D 解析：展开式的通项为Tk＋1＝x2(5－k)x－k＝x10－3k，令10－3k＝1，解得k＝3，所以二项式展开式中，x的系数为＝－. 4.(1＋x)6 展开式中x2的系数为(　　) A.15 B.20 C.30 D.35 答案：C 解析：根据二项式定理展开式的通项为Tr＋1＝an－rbr， (1＋x)6＝(1＋x)6＋·(1＋x)6， 则展开式的通项为Tr＋1＝xr， 则展开式中x2的项为x2＋·x4， 则 展开式中x2的系数为＋＝15＋15＝30，故选C. 5.(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案：ABC 解析：因为已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n＝7或n＝8或n＝9. 故选ABC. 6.若(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝　　　　.(用数字填写答案) 答案： 解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝x10－kak，当10－k＝7时，k＝3，T4＝a3x7，则a3＝15，故a＝. 7.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为　　　　.(用数字填写答案) 答案：－20 解析：利用二项展开式的通项公式求解. x2y7＝x·(xy7)，其系数为， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－， 所以x2y7的系数为－＝8－28＝－20. 8.在的二项展开式中，常数项是8，则实数a的值是　　　　；其中，第　　　　项的二项式系数最大. 答案：－1　3 解析：的二项展开式中，常数项是8， 由二项展开式通项可知Tr＋1＝＝·24－r··， 所以当r＝3时为常数项，代入可得·24－3·＝8， 解得a＝－1， 由二项式定理展开式可知共有5项，则根据二项式系数可知第3项二项式系数最大. 9.(10分)已知的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值； (2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数. 解：(1)因为T3＝)n－2＝4， T2＝)n－1＝－2， 依题意得4＋2＝162，所以2＋＝81， 所以n2＝81，又n∈N＋，故n＝9. (2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝)9－k＝(－2)k，所以＝3，k＝1， 所以含x3的项为T2＝－2x3＝－18x3. 二项式系数为＝9. 10.(10分)已知展开式中的第3项的系数为45，求： (1)含x4的项； (2)二项式系数最大的项. 解：(1)展开式的通项为Tr＋1＝ ·xr＝·x2r－n， 由于展开式中第3项的系数为45，即＝45，即＝45，整理得n2－n－90＝0， 因为n∈N＋，解得n＝10，则展开式通项为Tr＋1＝·x2r－10， 令2r－10＝4，解得r＝7，因此，展开式中含x4的项为T8＝·x4＝120x4； (2)由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为T6＝＝252. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.(多选)对于二项式(n∈N＋)，下列判断正确的有(　　) A.存在n∈N＋，展开式中有常数项 B.对任意n∈N＋，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N＋，展开式中有一次项 答案：AD 解析：二项式的展开式的通项公式为Tk＋1＝x4k－n，由通项公式可知，当n＝4k(k∈N＋)和n＝4k－1(k∈N＋)时，展开式中分别存在常数项和一次项，故选AD. 12.设(m∈R)的展开式前三项的二项式系数分别为p，q，r满足2q＝pr，且展开式的常数项为810，则实数m的值为(　　) A.3 B.±9 C.9 D.±3 答案：D 解析：因为前三项的二项式系数分别为，，，所以2n＝，n＝5， 又因为展开式的通项公式为Tk＋1＝2km5－k， 所以令－＝0，k＝1， 所以21m5－1＝810，m＝±3， 故选D. 13.若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为　　　 　. 答案：2 解析：(ax2＋)6展开式的通项为Tr＋1＝)r＝a6－rbrx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，由a6－3b3＝20得ab＝1，从而a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时，a2＋b2的最小值为2. 14.(13分)在二项式的展开式中， (1)求展开式中含x3项的系数； (2)如果第3k项和第k＋2项的二项式系数相等，试求k的值. 解：(1)设第k＋1项为Tk＋1＝(－2)k·， 令6－k＝3，解得k＝2， 故展开式中含x3项的系数为(－2)2＝264. (2)因为第3k项的二项式系数为，第k＋2项的二项式系数为， 因为＝ ，故3k－1＝k＋1或3k－1＋k＋1＝12， 解得k＝1或k＝3. 15.(5分)(多选)的展开式中(　　) A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 答案：AC 解析：＝＋x2，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是中含x3的系数·2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确；展开式中常数项只有展开式的常数项24＝16，故C正确. 16.(17分)已知的二项展开式中，第3项的系数为7. (1)求证：前三项系数成等差数列； (2)求出展开式中所有有理项(即x的指数为整数的项). 解：(1)证明：T3＝＝， 因为＝7， 所以＝28， 所以＝28所以n＝8，(负值舍去) 所以前三项分别为T1＝＝x4， T2＝＝4， T3＝＝7， 所以前三项系数分别为1，4，7， 因为2×4＝1＋7所以前三项系数成等差数列. (2)Tr＋1＝＝，r＝0，1，2，…，7，8， 所以r＝0，4，8时，展开式中x的指数为整数， 所以展开式中所有有理项为： T1＝＝x4，T5＝x＝x， T9＝x－2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $