专题08 角相关压轴题分类（6种类型36道）（期末复习压轴题专项训练，重庆专用）七年级数学上学期新教材人教版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08角相关压轴题分类 (6种类型36道) 类型]探究角的数量关系 类型2三角板相关旋转问题 类型坚求运动时间 角相关压轴题分类 类型4定值问题 类型5角相关证明题 类型6线段和角的知识迁移 目目 类型01 探究角的数量关系 1.如图1，点0是直线AB上一点，将一个直角三角形板（∠M0N=90)如图1放置，使其中一条直角边 ON在直线AB上，射线OC在∠B0M内部. 图1 图2 图3 (1)如图2，将三角板绕点0逆时针旋转，当∠B0N=∠C0N时，请判断OM是否平分∠AOC,并说明理由； (2)若∠B0C=40°，将三角板绕点0逆时针旋转，每秒旋转1°. ①多少秒时∠AOM=∠C0M? ②如图3，当ON在∠AOC内部，另一边OM在直线AB的另一侧，请探索∠AOM与∠CON的数量关系， 1/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 并说明理由。 2.己知：点0是直线AB上一点，∠C0D=90°，OE是∠B0C的三等分线， <E0c=号<c08 D E 0 B B 图1 图2 (1)在图①中，若∠E0D=50°，求∠C0A; (2)在图①中，若∠EOD=a(30°<a<90),用含a的式子表示∠C0A(直接写结果)： (3)将图①中的∠C0D按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若∠EOD=a(30°<a<90),用含a的式子表示∠C0A,写出你的结论，并说明理由： ②若∠C0A内部有一条射线0P,且满足4∠A0F-∠B0E=;∠A0F-∠A0C,试确定∠40F与∠D0E之 间的数量关系，（直接写结果） 3.如图，直线AB与CD交于点O,∠C0B=90°. C M 0 B D D DL P 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠M0N=90°，∠A0N=4∠B0M,∠C0M=-°； (2)如图2，若∠P0B=120°，射线0M从射线OB的位置开始，绕点O以逆时针每秒3°的速度向射线0C运 动，射线ON从射线0C的位置开始，绕点O以逆时针每秒1°的速度向射线OA运动的过程中(0<t<30), 求∠PON与∠C0M之间的数量关系 (3)如图3，射线0M从射线0C的位置开始，绕点O以顺时针每秒1°的速度运动，在运动的过程中，射线 OM始终是∠BON的角平分线，同时射线OP从射线OD的位置开始，绕点O以逆时针每秒3°的速度运动， 设射线0M、ON的运动时间均为(0<t<90),在运动的过程中，当射线0M、ON、OP其中一条射线为另 外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的值. 4.已知0为直线AB上一点，射线0D、0C、OE位于直线AB上方，0D在OE的左侧，∠A0C=120°， ∠DOE=80°. 2/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A B 图1 图2 图3 (1)如图1，当0D平分∠A0C时，求∠E0B的度数： (2)如图2，过点O作射线0F,且∠F0A=3∠A0D,请判断∠F0E和∠E0C的数量关系，说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，作射线0M、0N,满足∠D0C=∠F0N+∠C0M,且0F平分∠MON.当 ∠COM=∠BON时，求∠E0M的度数 5,如图，在一个平面内有四条射线OA,OB,OC,OD,射线OP平分∠A0D,射线0Q平分 ∠BOD,∠B0C=120,∠A0B=3∠COD 2 B B A D D 备用图1 备用图2 备用图1 备用图2 (1)当∠A0D=140°时，求∠A0B与∠DOQ的度数： (2)如备用图1，求2∠AOP+5∠BOQ的度数； (3)如备用图2，确定∠A0P与∠AOQ之间的数量关系，并说明理由. 6.如图，已知∠A0B=120°. B 图1 图2 图3 (1)0C,OD是以O为顶点的两条射线，OM,ON分别平分∠AOC,∠BOD. 3/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①如图1，当∠C0D=50°，∠B0D=40°时，∠M0N的度数为 ②如图2，当0<∠B0D<60°时，请写出∠A0D、∠B0C与∠MON之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当∠C0D=50°时，∠A0C以4.5度/秒的速度整体绕点0顺时针旋转，同时，∠B0D也以2度/ 秒的速度整体绕点O顺时针旋转，当∠BOD刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中∠AOC与 ∠BOD有重叠部分的总时长. 目目 类型02 三角板相关旋转问题 7.以直线AB上一点O为端点作射线0C,将一块直角三角板的直角顶点放在O处（注：∠D0E=90°）. B D B 图① 图② 图③ (1)如图①，若直角三角板DOE的一边0D放在射线OB上，且∠B0C=54°，求∠C0E的度数； (2)在(1)的条件下，将直角三角板D0E绕点O逆时针转动，当点E落在直线AB上时停止转动，在转动过 程中，存在某一时刻，恰好满足5LC0D=∠A0E,请在图②中画出这一时刻示意图，并求∠BOD的度数： (3)如图③，将直角三角板D0E绕点0逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC,请说明0D所 在射线是∠BOC平分线， 8.若A、O、B三点共线，∠B0C=70°，将一个三角板的直角顶点放在点O处（注：∠D0E=90°， ∠DE0=30°). C D B B B 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，使三角板的短直角边0D在射线OB上，则∠C0E= ；(直接写出结果) (2)如图2，将三角板DOE绕点O逆时针方向旋转，若OE恰好平分∠AOC,则0D所在射线是∠B0C的平 分线吗？如是，请说明理由. B)如图3，将三角板D0E绕点O逆时针转动到使∠C0D=∠AOE时，求∠B0D的度数： 4 (4)将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，OE所在 的直线恰好平分∠AOC,则t的值为 (直接写出结果) 4/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.如图1，直线DE上有一点0，过点0在直线DE上方作射线0C,∠C0E=140°，将一直角三角板A0B 的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O 按每秒20°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒 B B D 图1 图2 (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠C0D,求此时∠B0C的度数； (2)若射线0C的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA、0C、0D中的某一条 射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出t的取值，若不存在，请说明理由； (3)若在三角板开始转动的同时，射线0C也绕0点以每秒25°的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间， 射线0C平分∠BOD,直接写出t的值，（本题中的角均为大于0°且小于180°的角） 10.以直线AB上一点O为端点，在直线AB的上方作射线0C,使∠BOC=50°，将一个直角三角板DOE的 直角顶点放在O处，即∠D0E=90°，直角三角板DOE可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板 DOE所有部分始终保持在直线AB上或上方， D 0 B 图1 图2 (1)如图1，若直角三角板D0E的一边OE在射线OA上，则∠C0D= (2)将直角三角板D0E绕点O转动后，使其一边0D在∠B0C的内部，如图2所示， ①若OE恰好平分∠AOC,求此时∠BOD的度数； ②若∠COD=∠A0E,求此时∠B0D的度数： (3)直角三角板DOE在绕点O转动的过程中，∠COE与∠BOD之间存在一定的数量关系，请直接写出来， 不必说明理由. 11.点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处.射线OC平分∠MOB. 5/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0 图1 图2 (1)如图1，若∠AOM=30°，求∠CON的度数； (2)在图1中，若∠AOM=a,直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）： (3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON 在直线AB的下方.探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由 12.以直线AB上一点O为端点作射线OC,使∠B0C=40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即 ∠DOE=90°. (1)如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD=一； (2)如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC,则∠COD=一 (3)将直角三角板DOE绕点O顺时针转动(OD与OB重合时为停止)的过程中，恰好有∠COD=∠AOE, 31 求此时∠BOD的度数. E A O 8 图1 图2 目目 类型03 求运动时间 13. 以直线AB上一点0为端点作射线0C,使∠B0C=30°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即 ∠D0E=90°. 0 E C 2光 A 0 A B 图1 图2 6/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图1，若直角三角板D0E的一边OE放在射线OA上，则∠C0D=一； (2)如图2，将直角三角板D0E绕点0顺时针转动到某个位置，使0D在∠B0C内部，求∠BOD与∠C0E的 数量关系： (3)直角三角板DOE从边OE在射线OA上时，开始绕点O顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线0C绕 点0以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线OB重合，再绕点0以相同速度逆时针旋转，随直角三角板 D0E的停止而停止.记旋转时间为1秒，射线OE、OA形成的夹角（小于180度的角）为∠AOE,射线 0C、0D形成的夹角为∠C0D,当∠C0D=行∠40E时，求1的值， 14.知图，∠A0D=1B0,∠B0C:∠C0D=12,∠A0B是∠C0D补角的号 B 0 (1)∠C0D= (2)平面内射线OM满足∠AOM=2∠DOM,求∠AOM的大小； (3)将∠COD固定，并将射线OA,OB同时以2°s的速度顺时针旋转，到OA与OD重合时停止.在旋转 过程中，若射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，当∠POQ十∠AOD=50时，求旋转时间 t(秒)的取值范围， 15.如图①，直线AB、CD相交于点O,射线OE⊥CD,垂足为点O,过点O作射线OF使LB0F=130°. 图② 图① 图③ (1)将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，OE在∠B0F的内部，当OE平分∠B0F时，OC是否 平分∠AOF,请说明理由； (2)将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图③，OD在的内部，探究∠AOE与∠DOF之间的数量关系， 并说明理由； 7/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若LB0E=20°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度a度(0°<a<180°)，设 旋转的时间为t秒，当∠AOC与∠EOF互余时，求t的值 16.如图1，点O在直线AB上，过点O引一条射线0C,使∠A0C=50°，将一个直角三角尺的直角顶点 放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方. 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转，当它完成旋转一周时停止， 设旋转的时间为t秒. C E M E M M A B N N 图1 图2 图3 (1)∠B0C的度数是 图1中与它互补的角是 (2)三角尺旋转的度数可表示为 (用含t的代数式表示)；当t=时，M0⊥OC. 【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线0C上.如图3，在三角尺绕着 点O以每秒15°的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒5°的速度按顺时针方向旋转，当 一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒 (3》试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当0≤1≤2，是否存在某个时刻，使得∠C0M与∠C0E中 3 其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由 17.点O为直线1上一点，射线0A、0B均与直线1重合，如图1所示，过点0作射线0C和射线0D,使 得∠B0C=100°，∠C0D=90°，作∠A0C的平分线0M. B 图1 图2 D 图3 备用图 (1)求∠A0C与∠M0D的度数； 8/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)作射线OP,使得∠B0P+∠A0M=90°，请在图2中画出图形，并求出∠C0P的度数： (3)如图3，将射线OB从图1位置开始，绕点O以每秒5°的速度逆时针旋转一周，作∠C0D的平分线ON,当 ∠MON=25°时，求旋转的时间. 18.若∠A+2∠B=90°，我们则称∠B是∠A的“绝配角”.例如：若∠1=10°，∠2=40°，则∠2是∠1的"绝 配角”，请注意：此时∠1不是∠2的“绝配角”. A B B 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，己知∠A0B=60°，在∠A0B内存在一条射线0C,使得∠A0C是∠B0C的“绝配角”，此时 LAOC=_:(直接填写答案) (2)如图2，已知∠A0B=60°，若平面内存在射线0C、0D(0D在直线OB的上方)，使得∠A0C是 ∠BOC的"绝配角”，∠BOC与∠BOD互补，求LAOD大小： (3)如图3，若∠A0B=10°，射线0C从OA出发绕点O以每秒20°的速度逆时针旋转，射线0D绕点O从OB 出发以每秒10°的速度顺时针旋转，OM平分∠A0C,ON平分∠BOD,运动时间为t秒(0<t≤20). ①当0<1<17时，∠A0B是∠MON的“绝配角”，求出此时t的值： ②当17<t≤20时，t= 时，∠AOB是∠MON的"绝配角”（直接填写答案）. 目目 类型04 定值问题 19.点O为直线AB上一点，将一直角三角板0MN的直角顶点放在O处，射线0C平分∠MOB. 图1 图2 (1)如图(1)，若∠A0M=40°，则∠C0N= ； (2)将图(1)中的直角三角板0MN绕顶点0顺时针旋转至图(2)的位置，一边0M在直线AB上方，另一 边ON在直线AB下方. ①试探究∠AOM-∠BON的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由； 9/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②当∠AOC=3LB0N时，求∠BON的度数 20.如图，过点O在∠A0B内部作射线0C.OE,OF分别平分∠AOC和∠B0C,∠AOC与∠A0B互补， ∠AOC=a°. (1)如图1，若a=70,则∠AOB=°，LA0F=°，LE0F=°； 图1 (2)如图2，若0D平分∠A0B. 图2 ①当∠COD=a-32时，求∠EOF度数， ②试探索： ∠AOB-∠COD 2 是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由. ∠DOE 21.己知∠A0B=90°. B B B B M C N A D D 图 图2 图3 备用图 (1)如图1，若射线ON,OM分别为∠A0C,，∠B0C的角平分线，则∠M0N=- (2)如图2，射线0C从OA出发绕点0以每秒20°的速度沿逆时针方向旋转，射线0D从OA出发绕点0以每 秒10°的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为t,且OM平分∠BOC. ①当0<1<4.5时，若ON分∠A0C为1：3两个部分，求满足∠DON=∠MON时，t的值. 10/18 专题08 角相关压轴题分类 （6种类型36道） 1．如图1，点是直线上一点，将一个直角三角形板如图1放置，使其中一条直角边在直线上，射线在内部．地 城 类型01 探究角的数量关系 (1)如图2，将三角板绕点逆时针旋转，当时，请判断是否平分，并说明理由； (2)若，将三角板绕点逆时针旋转，每秒旋转． ①多少秒时？ ②如图3，当在内部，另一边在直线的另一侧，请探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分，理由见解析 (2)①20秒或200秒，② 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义． （1）由，结合，从而可得答案． （2）①当、在直线的同侧时，证明，可得，进一步可得答案，当、在直线的两侧时，如图，求解，可得，进一步可得答案．②求解，即，，进一步可得结论． 【详解】（1）解：平分，理由如下： ， ， ， ， 平分． （2）解：有两种情况：①当、在直线的同侧时， ， ， 若，则， ， ， 每秒旋转， ∴秒时； 当、在直线的两侧时，如图， ， 若， 则， ， 旋转角， 每秒旋转， ∴秒时， 综上，20秒或200秒时． ②， ， 即， ， ． 2．已知：点是直线上一点，，是的三等分线，   ． (1)在图①中，若，求； (2)在图①中，若，用含的式子表示(直接写结果)； (3)将图①中的按顺时针方向旋转至图②的位置： ①若，用含 的式子表示，写出你的结论，并说明理由： ②若内部有一条射线 ，且满足，试确定与之间的数量关系．(直接写结果) 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了角三等分线定义，求一个角度的余角、补角，数形结合是解题的关键； （1）根据得出，进而根据得出，再根据邻补角的定义，即可求解； （2）同（1）的方法求解； （3）①同（1）的方法求解； ②设，，由①可得：，，，进而可得，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②设，， 由①可得：，，， ∴， ∵， ∴， 整理得， 即． 3．如图，直线与交于点O，． (1)如图1，若，， ； (2)如图2，若，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动，射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度向射线运动的过程中()，求与之间的数量关系． (3)如图3，射线从射线的位置开始，绕点O以顺时针每秒的速度运动，在运动的过程中，射线始终是的角平分线，同时射线从射线的位置开始，绕点O以逆时针每秒的速度运动，设射线的运动时间均为，在运动的过程中，当射线其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为30、50、60 【分析】本题考查了角的和差运算、角平分线的性质、动态角度的表示及方程思想的应用，解题的关键是通过设未知数表示角度（尤其是动态问题中用时间t表示角度变化），利用角之间的等量关系建立方程求解． （1）设，则，根据列方程，求出x后，由计算结果． （2）用时间t表示、，分别推导和，得出两者的倍数关系． （3）用t表示、、的位置角度，分三种情况、、为角平分线），根据角平分线性质列绝对值方程，求解并筛选符合的解． 【详解】（1）解：设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． （2）解：依据题意可知：， ∴， ， ∴． （3）解：设射线定为旋转时的初始位置，即，按顺时针旋转一周：， 则射线：从（）顺时针运动，速度，位置为：（单位为度，顺时针角度随运动增大）． 射线：从（）顺时针运动，由“是的角平分线”推导： 为顺时针位置，设） ， 由，得 ，即，射线的位置为：（单位为度）． 射线：从 （）逆时针运动，速度（逆时针即顺时针角度减小），位置为：（单位为度）， 当时，下面分三种情况讨论： 情况1：平分 ∵， ∴ ，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与N重合，不合题意，舍去）． 情况2：平分，则， ∴，解得：（如图是角平分线）（另一解时，P与M重合，不合题意，舍去）， 情况3： 平分 ， （同上）， ∴，解得（如图是角平分线）（另一解时，N与M重合，不合题意，舍去）， 综上，t的值为、、． 4．已知为直线上一点，射线、、位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)如图2，过点作射线，且，请判断和的数量关系，说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，作射线、，满足，且平分．当时，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角的和差倍分运算，结合已知条件，熟练应用角平分线定义得到关于角的关系是本题解题的关键． （1）利用角平分线定义及角的和差进行计算即可； （2）设，则，然后利用角的和差及已知条件求得，继而得出答案； （3）利用已知条件及角的和差易得，再根据角平分线的性质及（）中所求可得，继而可得，再利用角的和差并结合已知条件列得关于的方程，解得的值，从而可得，的度数，最后利用角的和差计算即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ． （2），理由如下： 设，则， ， ， ，， ， ， ； （3），， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ，， ． 5．如图，在一个平面内有四条射线，射线平分，射线平分．                                     备用图1                  备用图2 (1)当时，求与的度数； (2)如备用图1，求的度数； (3)如备用图2，确定与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查的是角的和差运算及角平分线的定义，一元一次方程的应用； （1）设，，求解，可得，，再进一步求解即可； （2）由（1）得，，，表示，求解，可得，结合角平分线再进一步求解即可； （3）由（1）得，，，可得；表示，表示，，结合平分，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：由（1）得，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： 由（1）得，，， ∵， ∴ ； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴． 6．如图，已知． (1)，是以为顶点的两条射线，，分别平分，． ①如图1，当，时，的度数为_______； ②如图2，当时，请写出、与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图3，当时，以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，同时，也以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时，两个角都停止旋转，求旋转过程中与有重叠部分的总时长． 【答案】(1)①；② (2)秒 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线的定义； （1）①根据题意得出，进而根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； ②根据角平分线的定义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据题意得出第秒时，两个角都停止旋转，然后根据追及问题分析两角开始重合到分离的过程，转化为射线的旋转，分析与有重叠部分的时间，即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∵ ∴， ∵，分别平分，． ∴， ∴ 故答案为：． ②∵，分别平分，． ∴， ∴ ∴ （2）解：∵以2度/秒的速度整体绕点顺时针旋转，当刚好旋转一周时， ∴所用时间为秒， ∴第秒时，两个角都停止旋转， ∵以4.5度/秒的速度整体绕点顺时针旋转， ∴旋转过程中，同向旋转，且的速度大于的速度， 当第一次追上时， 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒时，两角开始有重叠部分 射线与射线重合时，所用时间为：秒，即第秒后，两角没有重叠部分； ∴与有重叠部分的时间为：秒 当第二次追上时，则射线旋转了 射线第二次与射线重合时，从开始起所用时间为：秒 同理射线第二次与射线重合时，与有重叠部分的时间为秒，即秒 又∵总用时间为秒， ∴第二次重叠时间为秒 ∴旋转过程中与有重叠部分的总时长为秒． 7．以直线上一点为端点作射线，将一块直角三角板的直角顶点放在处（注：）．地 城 类型02 三角板相关旋转问题 (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，且，求的度数； (2)在（1）的条件下，将直角三角板绕点逆时针转动，当点落在直线上时停止转动，在转动过程中，存在某一时刻，恰好满足，请在图②中画出这一时刻示意图，并求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，请说明所在射线是平分线． 【答案】(1)； (2)图见解析，或； (3)见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键． （1）利用角的和差关系直接求解即可； （2）分在右侧和在左侧两种情况讨论即可； （3）由角平分线定义得出得，再根据平角的定义得即可得证. 【详解】（1）解：，， （2）解：如图所示，当在右侧时，设，则． ， ， ，， ， 解得， 即， ， 当在左侧时， 设，则． ，，， ， 解得， 即， ． 综上所述，的度数为或． （3）证明：平分， ， ，， ， ， ， 即所在射线是的平分线． 8．若A、O、B三点共线，，将一个三角板的直角顶点放在点О处（注：，）． (1)如图1，使三角板的短直角边在射线上，则________；（直接写出结果） (2)如图2，将三角板绕点О逆时针方向旋转，若恰好平分，则所在射线是的平分线吗？如是，请说明理由． (3)如图3，将三角板绕点О逆时针转动到使时，求的度数； (4)将图1中的三角板绕点О以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，所在的直线恰好平分，则t的值为_________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2)所在射线是的平分线，见解析 (3) (4)7或43 【分析】本题考查了角的平分线，角的和差，余角， (1)根据题意，计算即可． (2)根据角的平分线的定义，结合题意，计算即可． (3)根据，设，根据题意，列出方程计算即可． (4)根据角的平分线的定义，分OE在角的平分线上和平分线的反向延长线上，计算即可． 【详解】（1）∵，，， ∴， 故答案为：． （2）所在射线是的平分线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴所在射线是的平分线． （3）∵， 设， 根据题意，得 ∴ 解得， ∵， ∴． （4）当与重合时，根据题意，得, 此时，； 当与重合时，根据题意，得, 此时，； 故当或时，所在的直线恰好平分， 故答案为：或． 9．如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为秒．    (1)当直角三角板旋转到如图2的位置时，恰好平分，求此时的度数； (2)若射线的位置保持不变，在旋转过程中，是否存在某个时刻，使得射线、、中的某一条射线是另两条射线所成夹角的角平分线？若存在，请求出的取值，若不存在，请说明理由； (3)若在三角板开始转动的同时，射线也绕点以每秒的速度逆时针旋转一周，从旋转开始多长时间，射线平分．直接写出的值．（本题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1) (2)存在，或4或16 (3)或或 【分析】（1）先根据补角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，最后根据余角定义即可求出的度数； （2）分三种情况讨论，①当平分时，②当平分时，③当平分时，可分别求出t的值； （3）设运动时间为t，分三种情况分别画出图形进行讨论，利用角平分线的定义列方程即可求出t的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）存在， 当平分时，，    即， 解得：； 当平分时，，    即， 解得：； 当平分时，，    即， 解得：； 综上所述：或4或16； （3）∵平分， ∴， ①设运动时间为t，如图，，，    ∴时， 解得：， ②如图，，，    ∴， 解得：， ③当回到起始位置后，    ∵平分， ∴， ， ∴， 所以t的值为 或或． 【点睛】本题考查了补角，余角及角平分线的定义，一元一次方程的应用，角的动态定义的理解，掌握分类讨论思想是关键． 10．以直线上一点O为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即，直角三角板可绕顶点O转动，在转动的过程中，直角三角板所有部分始终保持在直线上或上方． (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，则______； (2)将直角三角板绕点O转动后，使其一边在的内部，如图2所示， ①若恰好平分，求此时的度数； ②若，求此时的度数； (3)直角三角板在绕点O转动的过程中，与之间存在一定的数量关系，请直接写出来，不必说明理由． 【答案】(1)40°； (2)①，②； (3) 【分析】（1）根据两个角互为余角，求出的度数； （2）①根据平角定义先求出，根据角平分线的定义得，进而求出； ②如图，先求出，，然后代入计算即可． （3）根据题意，分成两种情况进行分析：当在内部时；当在外部时，分别求出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40°； （2）解：①∵， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴； ②如图，当在的内部时， ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：当在内部时，如图所示， ∵，， ∴． 当在外部时，如图所示， ∵，， ∴； 综合上述，则； 【点睛】本题考查了作图——复杂作图、余角和补角，几何图形中的角度计算，角平分线的定义等知识的综合运用，运用分类讨论的思想进行分析是解题的关键．． 11．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB． (1)如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数； (2)在图1中，若∠AOM＝a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)∠CON＝15° (2)∠CON＝a (3)∠CON＝∠AOM 【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设∠AOM=a，则∠BOM=180°-a，根据角平分线的定义得到∠MOC=90°-α，根据余角的性质得到∠CON=α，于是得到结论． 【详解】（1）解：由已知得∠BOM=180°-∠AOM=150°， 又∠MON是直角，OC平分∠BOM， 所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×150°=15°； （2）解：由已知得∠BOM=180°-∠AOM=180°-α， 又∠MON是直角，OC平分∠BOM， 所以∠CON=∠MON-∠BOM=90°-×（180°-α）=α； （3）解：∠AOM=2∠CON， 理由如下： 设∠AOM=，则∠BOM=180°-， ∵OC平分∠BOM， ∴∠MOC=∠BOM=（180°-）=90°-， ∵∠MON=90°， ∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-（90°-）=， ∴∠CON=∠AOM． 即∠AOM=2∠CON． 【点睛】本题主要考查了余角与补角，角的计算、角平分线的定义的运用，正确的理解题意是解题的关键．解题时注意方程思想的运用． 12．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝40°，将一个直角三角板的直角顶点放在O处，即∠DOE＝90°． （1）如图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD＝　 　； （2）如图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，则∠COD＝　 　； （3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD＝∠AOE，求此时∠BOD的度数． 【答案】（1）50°；（2）20°；（3）15°或52.5°． 【分析】（1）利用余角的定义可求解； （2）由平角的定义及角平分线的定义求解的度数，进而可求解； （3）可分两种情况：①当在的内部时，②当在的外部时，根据角的和差可求解． 【详解】解：（1）由题意得， ， ， 故答案为； （2），， ， 平分， ， ， ， 故答案为； （3）①当在的内部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ； ②当在的外部时， ，而， ， ，， ， 又， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． 13．以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即．地 城 类型03 求运动时间 (1)如图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_____； (2)如图2，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置，使在内部，求与的数量关系； (3)直角三角板从边在射线上时，开始绕点顺时针以3度/秒的速度转动一周，同时射线绕点以1度/秒的速度先顺时针旋转到与射线重合，再绕点以相同速度逆时针旋转，随直角三角板的停止而停止．记旋转时间为秒，射线、形成的夹角（小于180度的角）为，射线、形成的夹角为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)、或 【分析】本题考查几何图形中角度计算问题，与余角、补角有关的计算及一元一次方程的应用，分类讨论是解题关键． （1）根据平角的定义，利用角的和差关系计算即可得答案； （2）根据，，利用等量代换列式即可得答案； （3）分当顺时针旋转时，当逆时针旋转，在上方时，当逆时针旋转，在下方时三种情况，分别用表示出和，根据列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵若直角三角板的一边放在射线上，，， ∴． 故答案为： （2）解：如图所示，在内部， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，当顺时针旋转时， ∵的速度为3度/秒，的速度为1度/秒， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在上方时， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得：． 如图，当逆时针旋转，在下方时， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 综上所述：、或. 14．如图，∠AOD ＝ 130°，∠BOC：∠COD ＝ 1:2，∠AOB是∠COD补角的． （1）∠COD ＝ _______ ； （2）平面内射线OM满足∠AOM ＝ 2∠DOM，求∠AOM的大小； （3）将∠COD固定，并将射线OA，OB同时以2°/s的速度顺时针旋转，到OA与OD重合时停止．在旋转过程中，若射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线，当∠POQ＋∠AOD＝50°时，求旋转时间t（秒）的取值范围． 【答案】（1）；（2）∠AOM的大小为或（3）旋转时间t（秒）的取值范围为 【分析】（1），用分别表示出与的大小，利用角之间的关系，即可求解． （2）分射线OM在∠AOD 的内部和外部两类情况进行讨论，利用角与角之间的关系，即可求出答案． （3）先观察到，寻找临界情况，利用角的关系求出对应两种临界情况下的旋转角度，进而求出时间t（秒）的取值范围． 【详解】（1）解：设：， ∠BOC：∠COD ＝ 1:2，∠AOB是∠COD补角的． ，。 ， ， 解得：， 故． （2）解：当射线OM在∠AOD 的内部时，如下图所示： ∠AOD ＝ 130°，且∠AOM ＝ 2∠DOM， 当射线OM在∠AOD 的外部时，如下图所示： ∠AOD ＝ 130°，且∠AOM ＝ 2∠DOM， 故∠AOM的大小为或． （3）解：有（1）可得：， 射线OP为∠AOB的平分线，OQ为∠COD的平分线， ，， 可以观察到：， 若要求解时间的取值范围，需要找到临界情况， 当与重合时，此时恰好有，， 如下图所示： 可以观察到，若与未重合之前，必有一定不满足∠POQ＋∠AOD＝50°，故此时的时间恰好取到最小值， 由题意可知：一共旋转了，故时间， ， 当与重合时，此时有，， 如下图所示： 若此时继续往下旋转，必有，一定不满足∠POQ＋∠AOD＝50°，故此时的时间恰好取到最大值， 由题意可知：一共旋转了，故时间， ， 综上所述：． 【点睛】本题主要是考查了求解角度大小、角平分线的性质以及角中的动点问题，熟练地利用角与角之间的关系，求解未知角的度数，针对求解动点的时间取值范围，尝试利用条件，找到满足题意的临界情况，是求解该题的关键． 15．如图①，直线､相交于点O，射线，垂足为点O，过点O作射线使． （1）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图②，在的内部，当平分时，是否平分，请说明理由； （2）将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图③，在的内部，探究与之间的数量关系，并说明理由； （3）若，将图①中的直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转度度（），设旋转的时间为t秒，当与互余时，求t的值． 【答案】（1）平分，理由见解析；（2），理由见解析；（3）或时，与互余． 【分析】（1）根据平分线的定义可得，根据，可得，从而得到，所以可得结论； （2）设为，根据可得，根据可得，从而得到与之间的数量关系； （3）根据题意可知，因为，所以可得，可求出，根据“直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转”可得出，，，，然后分情况进行讨论：①时，②时，③时，，从而得出结果． 【详解】解：（1）平分，理由如下： ∵且平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即平分 （2），理由如下： 设为，则 ∵ ∴ ∴ 即 （3）∵且 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转 ∴①时， 若与互余，则 解得 ②时， 若与互余，则 此时无解 ③时， 若与互余，则 解得 综上所述，或时，与互余． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线有关的计算，余角相关计算．关键是认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系． 16．如图1，点O在直线上，过点O引一条射线，使，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边在射线上，另一边在直线的下方． 【操作一】：将图1中的三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒． （1）的度数是______，图1中与它互补的角是______． （2）三角尺旋转的度数可表示为______（用含t的代数式表示）；当______时，． 【操作二】：如图2将一把直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线上．如图3，在三角尺绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转的同时，直尺也绕着点O以每秒的速度按顺时针方向旋转，当一方完成旋转一周时停止，另一方也停止旋转，设旋转的时间为t秒． （3）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，当，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）130°；；（2）15t度；或；（3）存在，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍 【分析】（1）利用邻补角的定义解答即可； （2）利用旋转的角度等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间就是即可；分两种情况令旋转的角度为或即可求得结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况：①当在左侧时，②当在右侧时，分别用含的代数式表示出与的度数，利用或，列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】解：（1）， ； 与为邻补角， 图1中于互补的角为． 故答案为：；； （2）三角尺旋转的度数等于每秒旋转的角度数乘以旋转的时间， 三角尺旋转的度数可用度表示， 故答案为：度； 若，则需旋转或， 或， 解得：或． 故答案为：或． （3）当在左侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：． （ⅱ），如图， 由题意得：， 解得：． ②当在右侧时， （ⅰ），如图， 由题意得：， 解得：． （ⅱ），因为，所以不存在． 综上所述，当或或时两个角其中一个是另一个的两倍． 【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度运算,余角和补角的性质，图形的旋转，由题意用含的代数式表示出相应角度的值是解题的关键，注意分类讨论． 17．点O为直线l上一点，射线均与直线l重合，如图1所示，过点O作射线 和射线，使得，作的平分线． (1)求与的度数； (2)作射线，使得，请在图2中画出图形，并求出的度数； (3)如图3，将射线从图1位置开始，绕点O以每秒的速度逆时针旋转一周，作的平分线当时，求旋转的时间． 【答案】(1)， (2)或 (3)8秒或秒 【分析】（1）根据，，即可得出的度数，根据角平分线的定义得出，然后根据得出的度数； （2）根据题意得出的度数，然后分两种情况进行讨论：①当射线在内部时；②当射线在外部时；分别进行计算即可； （3）根据平分得出，根据题意画出图形，计算的角度，然后计算时间即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）由（1）知，， ∴， ①当射线在内部时，如图2（1）， ； ②当射线在外部时，如图2（2）， ， 综上所述，的度数为或； （3）∵平分， ∴， ①如图3， ， ∵平分， ∴， ∴， ∴旋转的时间（秒）； ②如图3（1）， 此时，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴旋转的时间（秒）； 综上所述，旋转的时间为8秒或秒． 【点睛】本题主要考查角度的计算，角平分线的定义等内容；第（2）问进行合适的分类讨论是解题的关键；第（3）问，搞清楚在射线旋转的过程中，和的相对位置在不断的变化，以此进行分类画图． 18．若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”． ． (1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时______：（直接填写答案） (2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，与互补，求大小： (3)如图3，若，射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为t秒（）． ①当时，是的“绝配角”，求出此时t的值： ②当时，______时，是的“绝配角”（直接填写答案）． 【答案】(1) (2)或 (3)①4或16；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义，一元一次方程的应用： （1）根据题意得到，再由，进行求解即可； （2）分当在下方时，当在内部时，当在外部时，三种情况讨论求解即可； （3）分当时，当时，两种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可；②分当时，当时，种情况分别求出，再根据“绝配角”的定义得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵是的“绝配角”， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：当在下方时， ∵是的“绝配角”， ∴ ， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当在内部时， 同（1）可得， ∵与互补， ∴， ∴； 当在外部时，且在的上方时， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵与互补， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； （3）解：①当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，或； 故答案为：4或16； ②当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得（舍去）； 当时， 由题意得， ∵平分，平分， ∴ ∴ ， ∵是的“绝配角”， ∴， ∴， 解得； 综上所述，， 故答案为：． 19．点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在O处，射线平分．地 城 类型04 定值问题 (1)如图（1），若，则______； (2)将图（1）中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图（2）的位置，一边在直线上方，另一边在直线下方． ①试探究的结果是否为定值？若为定值，求出这个值，若不是定值，请说明理由； ②当时，求的度数． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）由补角的定义可求，再由角平分线定义可求，由即可求解； （2）①由余角的定义可求，再由补角的定义可求，即可求解；②设，由角平分线的定义可得，由补角的定义及余角的定义可求，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 射线平分， ， ， ， 故答案：； （2）解：①是定值，， 理由如下： ， ， ， ， ； ②设， 射线平分， ， ， ， ， ， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查了角平分线相关角的数量关系，角平分线的定义，补角的定义，余角的定义，一元一次方程，理解定义，能用方程思想求角度是解题的关键． 20．如图，过点在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分． ①当时，求度数； ②试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)①，②是定值， 【分析】（1）根据互补的定义可得，然后求得，再根据角平分线的定义可得和,再根据角的和差可得； （2）①由互补的定义可得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，然后根据得到关于a的方程求解即可；②由①可得，然后分别表示出和，最后做商即可解答． 【详解】（1）解：∵, ∴ ∴ ∵，分别平分和 ∴, ∴ 故答案为，，． （2）解：①∵，与互补， ∴ 又∵平分，平分，平分， ∴ ∴，解得： ∴. ②由①得： ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了补角的定义、角平分线的应用、角的和差等知识点，灵活运用角平分线的定义是解答本题的关键． 21．已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②，为定值 【分析】本题考查了角的平分线的应用，解方程，角的和差计算，本题难度很大，熟练掌握定义和解方程，画出图形是解题的关键． （1）根据角平分线定义和角的和差关系即可求得答案； （2）①由题意得，，，，由平分，分为两个部分，可得：，或，，分别根据，建立方程求解即可； ②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值． 【详解】（1）解：如图1，， 则， 射线，分别为，的角平分线， ，， ， 故答案为：． （2）解：①如图2， 射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为， ，， ， 平分，分为两个部分， ，，或，， 当，时， ，， ， ， 解得：； 当，时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． ②当时，如图3，，，， 平分，平分， ，， ， ， ，为定值； 当时，如图4，，，， 平分，平分， ，， ，， ，为定值； 综上所述，，为定值． 22．已知，，平分，平分．（本题中的角均为大于且不大于的角） (1)如图1，当、重合时，求的度数； (2)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，如图2，的值是否为定值？若是定值，求出的值；若不是，请说明理由． (3)当从图1所示位置绕点顺时针旋转（不大于）时，满足，求的大小． 【答案】(1) (2)是定值， (3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，数形结合分析是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，，由即可求解； （2）根据题意，，由角平分线的定义可得，，由，即可求解； （3）延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，①当在时，射线、都在内部；②当在时，射线、分别在、的内部；③当在时，射线、都在的内部；图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：，，平分，平分， ，， ； （2）解：的值是定值，为．理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ； （3）解：延长到点，延长到点，则由角的旋转可得，生成的图形有三类情况，具体如下： ①当在时，射线、都在内部，由（2）得： ， ； ， ； ， ， ， ，解得； ②当在时，射线、分别在、的内部， 由（2）得：， ， ； 本题中的角均为大于且不大于的角， ， ， ； ， ， ，解得； ③当在时，射线、都在的内部，由（2）得：，，； 本题中的角均为大于且不大于的角， ； ， ，； ， ， ， 解得， 不满足， ③不成立，舍去． 综上所述，或． 23．活动课上，王老师将一副三角尺按图①位置摆放在直线上，45°角的顶点与60°的顶点重合于点，斜边与直角边在直线上，然后将直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转时间为秒． (1)旋转前，_________，_________； (2)“希望”小组同学发现：当时，是的角平分线，请利用图②说明理由； (3)“飞翔”小组同学发现：若直角三角板旋转至如图③的位置时，为定值．请你判断是否正确，如果正确，请求出该度数；如果不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)正确，； 【分析】本题考查了角的和差和角平分线，解题关键是正确识图，准确进行计算； （1）利用平角减去相邻的角即可； （2）求出的度数，再通过计算说明即可； （3）分别表示出，再求它们的和即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：直角三角尺绕点按15°/秒的速度顺时针方向旋转，当时， ，则, ∵, ∴是的角平分线． （3）解：正确，； 直角三角板旋转至如图③的位置时， ，， ． 24．已知，如图1，将一块直角三角板的直角顶点放置于直线上，直角边与直线重合，其中，然后将三角板绕点顺时针旋转，设，从点引射线和，平分，． (1)如图2，填空：当时，______． (2)如图2，当时，求的度数（用含的代数式表示）； (3)如图3，当时，请判断的值是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)30 (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意，可得，再结合角平分线的定义即可获得答案； （2）当时，由题意可得，结合角平分线的定义易得，再由，可知，然后根据即可获得答案； （3）当时，由题意可得，，结合角平分线的定义易得，再由，，可推导，然后根据，进而确定． 【详解】（1）解：当时，由题意可知，是平角， ∴， 又∵平分， ∴． 故答案为：30； （2）当时，如图2， ∵是平角，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）当时（如图3），为定值． 理由如下： ∵是平角，，， ∴， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值为． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、几何图形中角度运算等知识，解题关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 25．已知：平分，和互为补角．地 城 类型05 角相关证明题    (1)如图，求的度数； (2)如图，平分，求证：； (3)如图，在（）的条件下，连接，，，求的度数． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（1）由平分得到，再根据和 互为补角即可得到的度数； （2）由平分得到，再根据和互为补角得到， 从而得到，最后根据即可完成证明； （3）在()的条件下可得到，，由得到，最后由和可求得的度数． 【详解】（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵平分， ∴.， ∵， ∴， ∴， 由()知：，即 ， ∴， ∴， ∴； （3）在(2)的条件下， ，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了求角的度数和证明角相等的问题，掌握角平分线的性质和互为补角的关系是解题的关键． 26．已知，在∠AOB内部作射线OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°． （1）如图1，求∠AOB的度数； （2）如图2，在∠AOB的外部和∠BOD的内部分别作射线OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求证：OF平分∠DOE； （3）如图3，在（2）的条件下，在∠COD内部作射线OM，当∠BOM＝4∠COM，∠BOE∠AOC时，求∠MOF的度数． 【答案】（1）∠AOB＝120°；（2）见解析；（3）∠MOF＝66° 【分析】（1）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠AOD+∠COD＝120°，得∠AOD+∠BOD＝120°，即∠AOB＝120°； （2）根据OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠COD＝2∠BOF+∠BOE，得∠BOD＝2∠BOF+∠BOE，可得∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF，即可得出结论； （3）设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α，由∠AOB＝120°得∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α，根据OD平分∠BOC，得∠COD＝∠BOD∠BOC＝60°﹣5α，再由∠BOM＝4∠COM，得∠COM∠BOC（120°﹣10α）＝24°﹣2α，可得∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝36°﹣3α，∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝60°+6α，根据OF平分∠DOE可得∠DOF∠DOE（60°+6α）＝30°+3α，由∠MOF＝∠DOM+∠DOF可得结果． 【详解】（1）解：∵OD平分∠BOC， ∴∠BOD＝∠COD ∵∠AOD+∠COD＝120° ∴∠AOD+∠BOD＝120° 即∠AOB＝120°； （2）证明：∵OD平分∠BOC ∴∠BOD＝∠COD ∵∠COD＝2∠BOF+∠BOE ∴∠BOD＝2∠BOF+∠BOE ∴∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF ∴OF平分∠DOE； （3）解：设∠AOC＝10α，则∠BOE＝11α ∵∠AOB＝120° ∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣10α ∵OD平分∠BOC ∴∠COD＝∠BOD∠BOC＝60°﹣5α ∵∠BOM＝4∠COM ∴∠COM∠BOC（120°﹣10α）＝24°﹣2α ∴∠DOM＝∠COD﹣∠COM＝（60°﹣5α）﹣（24°﹣2α）＝36°﹣3α ∴∠DOE＝∠BOD+∠BOE＝（60°﹣5α）+11α＝60°+6α ∵OF平分∠DOE ∴∠DOF∠DOE（60°+6α）＝30°+3α ∴∠MOF＝∠DOM+∠DOF＝（36°﹣3α）+（30°+3α）＝66°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及角的计算．解题的关键是掌握角平分线的定义以及角的计算方法.容易出错的地方是解（3）小题角之间的和差计算． 27．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，OF平分． (1)求证：； (2)若与的度数比为，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为OE平分，OF平分， 所以，． 所以． 所以． （2）因为与的度数比为， 所以． 所以． 又因为OF平分，所以． 因为，， 所以． 所以． 28．如图，在平面内的五条射线中，射线是逆时针方向排列，，射线平分．    (1)当射线都在内部，且时，如图1． ①若，则______； ②若射线平分，则______； (2)当射线分别在内、外部时，如图2，求证：； (3)当射线都在外部时，如图3，若，则______（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算： （1）根据角平分线的定义可得，①根据题意可得，从而得到，即可求解；②根据射线平分，可得，进而得到，即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，从而得到，，即可求证； （3）根据，可得 ，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：射线平分 ， ①∵，， ， ， ， ∴， 故答案为： ②射线平分， ， ， ； 故答案为： （2）解：射线平分， ， ， ∴， ； （3）解：， ， ， ． 29．如图，、、在同一条直线上，射线平分，设．    (1)当时，求的度数； (2)若在的内部画射线，使，求证：与互余； (3)若与互余，求（可用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）根据邻补角的定义，得到，再根据角平分线的定义，得到，即可求出的度数； （2）根据互余的性质，得到，再根据角平分线的定义，得到，即可证明结论； （3）分两种情况讨论：①当射线在的内部时；②当射线在的外部时，根据余角和补角以及角平分线的定义分别求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 射线平分， ， ； （2）证明：如图，在的内部画射线，， ， 射线平分， ， ， 即与互余；    （3）解：①如图，当射线在的内部时，   与互余， ， 射线平分， ， ， ； ②如图，当射线在的外部时，   与互余， ， ， ， ， 射线平分， ， ， 综上可知，的度数为或． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角度的计算，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 30．已知：射线在的内部，射线是的平分线，射线是的平分线．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，当A、O、B在一条直线上时， (3)在（2）的条件下，，射线与射线夹角是求，的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 或 【分析】（1）直接利用角平分线的定义得出，再相加即可得出答案； （2）由（1）结论进行计算即可； （3）先求出，再分当射线在射线下方时与当射线在射线上方时两种情况求解即可． ． 【详解】（1）证明：∵射线OM是∠AOC的平分线，射线ON是∠BOC的平分线， ∴， ∴； （2）当A、O、B在一条直线上时，由（1）得： ， 故答案为：； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当射线在射线下方时，， 当射线在射线上方时，， 或 【点睛】本题考查了余角与补角、角平分线的定义，邻补角的定义，正确把握角平分线的定义是解题关键． 31．【特例感知】地 城 类型06 线段和角的知识迁移 （1）如图1，已知线段，，点A、B在线段上，点C和点D分别是和的中点，则 ； ； 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部（在的上方），射线和射线分别平分和； ①若，，求的度数； ②若，，用含α、β的代数式表示． 【答案】（1），24；（2）①；② 【分析】本题主要考查线段中点的性质、角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握线段中点的性质、角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据线段的和差关系可进行求解； （2）①由题意易得，，然后根据角的和差关系可进行求解； ②同理①可进行求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵点C和点D分别是和的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为，24； （2）①∵射线和射线分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②∵射线和射线分别平分和， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 32．（1）理解计算：如图①，，．射线平分，平分，求的度数； （2）拓展探究：如图②，，（α，β为锐角）．射线平分，平分，求的度数； （3）迁移应用：线段的计算与角的计算存在着紧密的联系．如图③，线段，延长线段到C，使得，点M，N分别为，的中点，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由题意依据射线平分可得，依据平分可得，进而依据可得答案； （2）由题意依据射线平分可得，依据平分可得，进而依据可得答案； （3）根据题意依据中点性质得出，，进而依据可得答案. 【详解】解：（1）， 射线平分， ， ∵平分， ， ． （2）， ∵射线平分， ， ∵平分， ， ． （3），， ， ∵点M，N分别为，的中点， ，， ． 【点睛】本题考查角的运算以及线段两点间距离，熟练掌握角平分线性质和线段中点性质并利用数形结合思维分析是解题的关键. 33．已知是内部的一条射线，、分别为、上的点，线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转． (1)如图①，若，当、逆时针旋转时，分别到、处，求的值； (2)如图②，若、分别在、内部旋转时，总有，求的值． (3)知识迁移，如图③，是线段上的一点，点从点出发在线段上向点运动，点从点出发在线段上向点运动，点、的速度比是，在运动过程中始终有，求___________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了角的计算，两点间的距离，解方程等知识点， （1）先求出、，再表示出、，然后相加并根据，计算即可得解； （2）设旋转时间为t，表示出，然后列方程求解得到，再整理即可得解； （3）设运动时间为t，表示出，再列出方程求解得，进而即可得解； 熟练掌握其性质并能正确读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵线段、分别以、的速度绕点逆时针旋转， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）解：设旋转时间为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设运动时间为，N点速度为v，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．【问题探究】 在数学的几何世界里，我们常常会遇到一些具有特殊关系的图形元素．其中，在同一条直线上，有一个公共端点的两条线段被定义为“共端点线段”． 例如：如图1，和都有公共端点，所以这两条线段是“共端点线段”． （1）当两个“共端点线段”的长度分别为6和4时，它们非共端点的两个点间的线段的长度为____________； 【类比迁移】 （2）类比上述过程，在同一平面内，把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”．已知和是一组“共边角” ①若，则的度数为___________； ②如图2，若是和的角平分线，求的度数（结果用和表示），请画出图形并完成解答过程； 【综合运用】 （3）如图3，已知，射线按顺时针方向以秒的速度旋转至，按顺时针方向以/秒的速度旋转至，设旋转时间为，且为的角平分线，为的角平分线，当时，直接写出的值． 【答案】（1）2或10；（2）①或；②或，见解析；（3）或 ． 【详解】解：（1）根据题意：线段的长度为或， 故答案为：2或10． （2）①根据题意：的度数为或， 故答案为：80或35． ②当在内部时，如图2： 是和的角平分线， ，， ； 当在外部时，如备用图： 是和的角平分线， ，， ； 综上，的度数为或． （3）当与重合时，， 解得：， 当与重合时，， 解得：， 当时，，， 为的角平分线，为的角平分线， ，， 当时，， 解得：， 当时， ， 解得：（不合题意，舍去）， 当时，如备用图： ，， 为的角平分线，为的角平分线， ，， ∴， 解得：， 的值为5或20． 35．综合与探究 旧知回顾： （）如图，线段厘米，为线段上的一个动点，点，分别是，的中点． 若厘米，则线段的长为__________厘米． 设厘米，则线段的长为__________厘米． 知识迁移： （）我们发现角的很多规律和线段一样，如图，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 拓展探究： （）已知在内的位置如图所示，，，且，，求的度数．（用含的代数式表示）    【答案】（）；；（）；（）． 【分析】（）先求出的长，再根据线段的中点的定义求出的长，即可求出的长；方法同上； （）根据角平分线的定义得出，，再根据 即可求解； （）求出的度数，根据， ，得出，，根据求解即可； 本题考查了线段的和差，线段中点的定义，角的和差，角平分线的定义，根据图形得出线段之间的等量关系、角之间的等量关系是解题的关键． 【详解】解：（）∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； ∵厘米，厘米， ∴厘米， ∵点，分别是，的中点， ∴厘米，厘米， ∴厘米， 故答案为：； （）∵射线平分，射线平分， ∴，， ∵， ， 即的度数为； （）∵，， ，， ，， ， ， ， ， ， 即的度数为． 36．（1）特例感知：如图①，已知线段，，线段在线段上运动（点A不超过点，点B不超过点N），点C和点D分别是，的中点． ①若，则______； ②线段运动时，试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由． （2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知在内部转动，射线和射线分别平分和． ①若，，求______度． ②请你猜想，和三个角的数量关系______． （3）类比探究：如图③，在内部转动，若，，，用含有k的式子表示的度数．（直接写出计算结果） 【答案】（1）①16；②不变，；（2）①90；②；（3） 【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键． （1）①欲求，需求．点C和点D分别是，的中点，得，，那么，进而解决此题． ②与①同理． （2）①欲求，需求．由和分别平分和，得，，进而解决此题． ②与①同理． （3）由可得，，所以，根据可得结论． 【详解】解：（1）①∵，，， ∴， ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：16； ②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是，的中点， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）①∵和分别平分和， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90； ②．理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴， ∵ ， ∴，， ∴， ， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $