6.1.1条件概率的概念课件-2025-2026学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

§1 随 机 事 件 的 条 件 概 率 第六章 第 六 章：概 率 1.1 条 件 概 率 的 概 念 1.结合古典概型，了解条件概率的定义，体现逻辑推理能力（重点） 2.掌握条件概率的计算方法，体现数学运算能力（重点） 3.利用条件概率公式解决一些简单的实际问题，体现数学运算能力（难点） 学习目标 情景导入 思考: 小明是北京冬奥会的志愿者，服务结束后获得了一个冬奥会的吉祥 物冰墩墩，小明有三个侄子，都想要这个冰墩墩，他不知如何分配.三个侄 子都说抓阄，其中较大的一个说：“我让你们，我最后一个抓.” 请问他抽中的概率是否比前两个的小？你能用相关概率知识解答吗？ 问题1：三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学不放回地抽取，那么最后一名同学中奖的概率是否比前两位小？ 分析：在3名同学抽取奖券的试验中，设事件Y表示“抽到中奖奖券”，事件N1，N2分别表示“抽到未中奖奖券1”“抽到未中奖奖券2”，则该试验的样本空间为Ω＝{YN1N2,YN2N1,N1YN2,N2YN1,N1N2Y,N2N1Y}. 事件B表示“最后一名同学抽到中奖奖券”，则B={N1N2Y,N2N1Y}, 由古典概型概率公式，P(B)= 探索新知 这说明最后一名同学抽到中奖奖券的概率不比其他同学的小.抽签虽有先后，但抽签是公平的，即每个人抽到中奖奖券的概率相等. 问题2：继续考虑上面的问题，如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少呢？ 分析：用事件A表示"第一名同学未抽到中奖奖券"， 事件B表示 "最后一名同学抽到中奖奖券"，则A={N1YN2,N2YN1,N1N2Y,N2N1Y}，B={N1N2Y,N2N1Y}. 第一名同学没有抽到中奖奖券，所以此时样本点的个数由原来的6个减少为4个. 由古典概型计算概率的公式可知，如果已知第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 ，即 . 显然知道了事件A的发生与否，会影响事件B发生的概率. 探索新知 问题3：知道第一名同学的抽奖结果会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率吗？ 分析：会。因为已经知道事件A发生，所以只需局限在事件A发生的范围内考虑问题， 即样本空间Ω由缩小为A.在事件A发生的情况下事件B发生，等价于事件A和事件B同时发生，即原来的事件B缩小为AB. 因此相应的概率会发生变化. 探索新知 问题4：如何计算在事件A发生的情况下事件B发生的概率呢？ 事件AB样本点个数 事件A样本点个数 条件概率 一、条件概率的概念 设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则称 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率. 显然：0≤P(B|A)≤1 探索新知 从集合的角度看，已知A已经发生， 故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点, 即此点必属于AB (如图). 思考交流1：概率P(B|A)与P(AB)有什么区别和联系？ 区别：P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率， P(AB)是事件A，B同时发生的概率. 联系:事件A，B 都发生. 探索新知 思考交流2:若B和C是两个互斥事件,则P[(B∪C)|A]=P(B|A)+P(C|A)是否成立？ 因为B和C是两个互斥事件， 所以P[(B∪C)|A]＝ =P(B|A)＋P(C|A) 所以P[(B∪C)|A]＝P(B|A)＋P(C|A)成立. 例1:在5道题中有3道选择题和2道填空题.如果不放回地依次抽取2道题，求： (1)第一次抽到选择题的概率； 解：设事件A=“第一次抽到选择题”，事件B=“第二次抽到选择题”，则事件AB=“第一次和第二次都抽到选择题”. 样本空间包含的样本点个数为：n(Ω)= =20. 于是 典例讲解 (2)第一次和第二次都抽到选择题的概率； (3)在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率. 由分步乘法计数原理，得n(A)= =12 ∙ 解：因为n(AB)= =6，所以 例1:在5道题中有3道选择题和2道填空题.如果不放回地依次抽取2道题，求： (2)第一次和第二次都抽到选择题的概率； 典例讲解 (3)在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率. 解：由(1)(2)可知P(A)=，P(AB)= ； 所以 故在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到选择题的概率为。 方法2：由(1)(2)可知n(AB)=6，n(AB)=12，所以 （方法1） 典例讲解 方法总结 计算条件概率的两种方法 提醒：（1）对定义法，要注意 的求法；（2）对缩减基本事件 总数法，要注意与 的求法． 例2：一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0-9中任选一个.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.求： (1)任意按最后一位数字，不超过两次就按对的概率； 故任意按最后一位数字，不超过两次就按对的概率为. 典例讲解 (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过两次就按对的概率. 解：设事件Ai(i=1,2)=“第i次按对密码”，事件A=“不超过两次就按对密码”，则A=A1 A1A2 （1）依题意知事件A1与事件A1A2 互斥，由概率的加法公式得 （2）设事件B=“密码的最后一位数字按偶数”，则 P(A|B)= 故如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过两次就按对的概率为. 典例讲解 巩固训练2： 现有准备参加比赛的6个节目，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目， 如果不放回地依次抽取2个节目，求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率； （2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； （3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． 巩固训练1 已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中 有放回地随机取2个球，每次取1个球，记第一次取出的球的数字是 ，第二次取出的 球的数字是.若事件为“为偶数”，事件为“，中有偶数且 ”，则 ( ). A. B. C. D. C 典例讲解 解： 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件，“第2次抽到舞蹈节目”为事件 ，则“第1次和 第2次都抽到舞蹈节目”为事件 ． （1）从6个节目中依次不放回地抽取2个节目的事件数 ， 根据分步乘法计数原理，得 ， 故 . （2）因为，所以 . （3）（法一）由（1）（2）可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈 节目的概率 . （法二）因为，，所以 二、条件概率的性质 设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)=1; (2)如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C | A)=P(B|A)+P(C|A); (3)设和B互为对立事件，则 探索新知 典例讲解 例3 在一个袋子中装有除颜色外其他完全相同的10个球，其中有1个红球， 2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次不放回地摸出2个球，求在摸出的第 一个球是红球的条件下，摸出的第二个球是黄球或黑球的概率． 解： （法一）设“摸出的第一个球是红球”是事件 ，“摸出的第二个球是黄球”是事 件，“摸出的第二个球是黑球”是事件 ， 则，， . ， , ，即所求的概率为 . （法二）， ， ，即所求的概率为 典例讲解 方法总结 利用条件概率性质的解题策略 （1）分析条件，选择公式：首先看事件<m></m>，<m></m>是否互斥，若互斥，则 选择公式<m></m>． （2）分解计算，代入求值：求比较复杂的事件的概率，一般先把该事 件分解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事 件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． 典例讲解 巩固训练 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，且考生能答对其中的4道 题即可通过考试，能答对其中的5道题就能获得优秀的评级.已知某考生能答对其中的 10道题，并且知道他已经通过这次考试，求他获得优秀评级的概率． 解： 设“该考生6道题全答对”为事件，“该考生恰好答对了5道题”为事件 ，“该考 生恰好答对了4道题”为事件，“该考生通过这次考试”为事件 ，“该考生在这次考试 中获得优秀的评级”为事件，则，，且，， 两两互斥， 由古典概型的概率计算公式知， ， 又， ， 所以 ． 课堂检测 1.若某种元件的使用寿命超过1年的概率为，超过2年的概率为 ，则已经使用了1 年的该种元件使用寿命超过2年的概率为( ). B A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.1 2.已知一个盒子内装有形状、大小完全相同的5个小球，其中3个红球，2个白球.如果不放 回地依次抽取3个球，那么在第一次抽到红球的条件下，第二次抽到红球的概率为__． 3.某学校有8名学生组成志愿小分队，其中高一年级有5人，高二年级有3人，现从这8 人中选出4人参加某项公益活动. （1）求高一学生甲或高二学生A被选中的概率； （2）求在高一学生甲被选中的情况下，高二学生A也被选中的概率. [解析] （1）依题意，高一学生甲或高二学生A被选中的概率为 . （2）依题意，在高一学生甲被选中的情况下，高二学生A也被选中的概率为 课堂检测 4.已知盒内装有16个球，其中6个球标了数字“0”，10个球没有标号.标了数字“0”的球中 有2个是红色的，4个是蓝色的；没有标号的球中有3个是红色的，7个是蓝色的.现从中 任取1个球，已知取到的是蓝球，问该球是标了数字“0”的球的概率是多少？ [解析] 由题意得球的分布如下： 标了数字“0”的球 没有标号的球 总计 红 2 3 5 蓝 4 7 11 总计 6 10 16 设取得蓝球，取得标了数字“0”的球 ， ，， $