精品解析：浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校五校联考2025-2026学年八年级上学期期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校五校联考八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形．将一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的图形能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是轴对称图形，不符合题意；； B、它不是轴对称图形，不符合题意；； C、它是轴对称图形，符合题意；； D、它不是轴对称图形，不符合题意；． 故选：C． 2. 下列各组长度的线段能构成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边． 根据三角形的三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A、，故不能构成三角形； B、，故不能构成三角形； C、，故能构成三角形； D、，故不能构成三角形； 故选：C． 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段， A、是边上的高，故此选项不符合题意； B、不是边上的高，故此选项不符合题意； C、是边上的高，故此选项不符合题意； D、是边上的高，故此选项符合题意． 4. 如图，，，添加下列条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键：全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合，，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可以利用证明，故B不符合题意； 添加条件可得，即，结合，，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不是对应角，不法证明，故D符合题意； 故选：D． 5. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，注意不等式两边乘负数要变号是解题关键． 不等式的性质：1．两边加减同数，不等号方向不变；2．两边乘除同正数，不等号方向不变； 3．两边乘除同负数，不等号方向改变． 【详解】A．不等式两边同时减3，不等号方向不变，不符合题意． B．无法确定的正负，所以无法确定的大小关系，不符合题意． C．，，，故选项正确． D．可能为0，所以可能存在，不符合题意． 故选：C． 6. 下列选项中，能说明命题“如果，那么”属于假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法．据此逐项判断即可． 【详解】解：当时，，，， ∴，但是， ∴是假命题的反例，故选项A符合题意； 而选项B、C中都是，故不符合题意； 当时，，，， ∴，， ∴不是假命题的反例，故选项D不符合题意， 故选：A． 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作角平分线，角平分线的性质. 过点G作于点H，根据题意得，是的角平分线，得，根据三角形面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：过点G作于点H， 根据题意得，是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，分类讨论，是解决问题的关键． 分两种情况讨论：为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角形三边关系． 【详解】解：当为底边时： 周长为，两腰之和为，则腰长为． 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 2． 当为腰长时，周长为， 底边长为， 验证：，满足三角形三边关系． ∴． 综上，优美比k为或． 故选：C． 9. 已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解问题，解题的关键是先解不等式，再根据正整数解的个数确定不等式的取值范围． 1．解不等式，得到； 2．根据“有且仅有三个正整数解”确定正整数解为1、2、3，进而列出关于的不等式； 3．解该不等式，得到的取值范围． 【详解】解： 有且仅有三个正整数解， 正整数解为 1， 2， 3． 且 由 ，得 ，即 ； 由 ，得 ，即 ． ． 故选C． 10. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若点是的中点，连接并延长交于点，若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，根据点是的中点，得出垂直平分，设，则，证明得出，设，则，，在中，，，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：解：四个直角三角形全等， 设，则， 点是的中点， ， 又 垂直平分， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 设，则，， 在中，，， 即 解得： ∴， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出不等式的一个正整数解______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法及正整数解的确定，解题关键是先解不等式求出解集，再从解集中找出正整数解． 先解不等式 ，得到解集 ，再从中选取一个正整数解即可． 【详解】 因此，不等式的解集为 ． 满足条件的正整数解有 、、，任选其一即可． 故答案为：（故答案不唯一）． 12. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是____________________，它是__(填真/假)命题． 【答案】 ①. 两个锐角互余的三角形是直角三角形． ②. 真 【解析】 【分析】根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题，然后分析其真假即可． 【详解】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形． 因为符合三角形内角和定理，故是真命题． 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．真 【点睛】此题主要考查学生对逆命题的掌握及对命题真假的判定能力． 13. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___． 【答案】135° 【解析】 【分析】直接利用网格证明△ABC≌△CDE，得出对应角∠1=∠3，进而得出答案． 【详解】解：如图所示： 可知：AB=CD=3，BC=DE=1，∠B=∠D=90°， ∴△ABC≌△CDE（SAS）， ∴∠1=∠3， 则∠1+∠2=∠2+∠3=135°． 故答案为：135°． 【点睛】 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，正确借助网格分析是解题关键． 14. 如图，和分别是线段和的垂直平分线，若，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点．根据线段垂直平分线的性质得出，，求出，根据等边对等角得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：连接，如图， ，分别是线段，的垂直平分线， ，， 即， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，分别是，上的点，，，若，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，三角形的面积；先由求出，再由得出，即可得出结论． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，有一直角三角形纸片ABC，，∠B=30°，AC=1，于点D，F，G分别是线段AD，BD上的点，H，I分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处，当FG=EG时，AF的长是________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则,利用30°的Rt△ACD，可得,则，，利用勾股定理可得在，,列出方程，解方程即可； 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴，， 在，， ∴， 解得：， ∴； 【点睛】本题考查了勾股定理以及30°的直角三角形的性质，掌握利用勾股定理列出方程是解题的关键. 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． （1）； （2）． 【答案】（1）， 在数轴上表示如图： （2）， 在数轴上表示如图： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集． （1）移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可； （2）去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解集，将解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解： 移项得： 系数化为1得：． 【小问2详解】 解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 18. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 【答案】 证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】在和中，利用HL定理判定即可． 【详解】略 【点睛】本题考查直角三角形的判定，牢记判定定理并能够灵活应用是解题关键． 19. 如图所示，一根长米的木棍，斜靠在墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为．此时木棍端沿墙下滑，端沿地面向右滑行． （1）求证：； （2）木棍在滑动的过程中，线段的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求的长． 【答案】（1） 证明：由题意可知，米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）不改变，的长为米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半； （1）根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形，且，即可得证； （2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 木棍在滑动的过程中，线段的长度不发生改变，理由如下： 如图，连接， 由（1）可得， 为木棍的中点， ， 斜边的长不变， 斜边上的中线的长度不发生改变，（米） 20. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质： （1）根据等边对等角可得，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰三角形的定义证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 某中学开展物理跨学科综合实践活动，作有关大气压的测量实验，需要准备红色和黄色两种气球，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：包） 总费用（单位：元） 红色气球 黄色气球 3 4 85 2 3 60 （1）红色气球、黄色气球每包各是多少元？ （2）该中学决定购买红色和黄色两种气球共100包，且总费用不超过1300元，那么该中学至少可以购买多少包黄色气球？ 【答案】（1）红色气球每包为元，黄色气球每包为元 （2）该中学至少可以购买包黄色气球 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设红色气球每包为元，黄色气球每包为元，利用总价单价数量，结合表格中的数据，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买黄色气球为包，则购买红色气球为包，利用总价=单价×数量，结合总价不超过元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设红色气球每包为元，黄色气球每包为元， 根据题意得：， 解得： 答：红色气球每包为元，黄色气球每包为元； 【小问2详解】 解：设购买黄色气球为包，则购买红色气球为包， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为， 答：该中学至少可以购买包黄色气球． 22. 如图，，，． （1）求证：． （2）若F为的中点，，，求和的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ∴． （2）； 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和垂直平分线的性质是解题的关键， （1）利用即可证得答案； （2）由（1），可得，，再根据， F为的中点，得到垂直平分，从而求得，利用勾股定理得到的长，即可求得的长，在中，利用勾股定理即可求得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 由（1）， ∴，， ∵， F为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；． 23. 【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 （1）若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； （2）如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用. （1）根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据题意列方程即可得到结论； （2）①根据“对角互补四边形”的定义得到，根据角平分线的定义得到，当时，求得（不符合题意，舍去），当时，求得；当时，求得； ②如图②，过点B作于G，于H，根据已知条件得到，根据四边形是“对角互补四边形”，求得，根据全等三角形的性质得到，解方程即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 ①∵四边形是“对角互补四边形”，， ∴， ∵平分， ∴， 当时， ∴（不符合题意，舍去）， 当时， ∴， ∴； 当时， ∴，， ∴． 综上所述：的度数为或； ②如图②，过点B作于G，于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是“对角互补四边形”， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 已知和都是等腰直角三角形，，且A，D，E三点在同一条直线上． （1）当与在如图1所示位置时，连接，求证：； （2）在（1）的条件下，证明：； （3）当与在如图2所示的位置时，连接，若平分，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴． （2） 证明：过点C作于点F． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ∴， ∴，． ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． （3） 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据同角的余角相等即可证明； （2）过点C作于点F．证明，得，，得到．根据是等腰直角三角形，得到，从而根据线段的和差可得，在中，根据勾股定理即可证明． （3）过点C作交的延长线于点F．证明，得出，．进而证明．从而求得，，．最后由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点C作交的延长线于点F，则， ∵， ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在等腰中，， ∴． ∵在等腰直角中，，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，． ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市西湖区保俶塔实验学校五校联考八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段能构成三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，添加下列条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列选项中，能说明命题“如果，那么”属于假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 36 8. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为，一边长为，则它的“优美比”为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 已知关于x的不等式有且仅有三个正整数解，则a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若点是的中点，连接并延长交于点，若，则线段的长为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 写出不等式的一个正整数解______． 12. 命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是____________________，它是__(填真/假)命题． 13. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝___． 14. 如图，和分别是线段和的垂直平分线，若，，则的度数为______． 15. 如图，在中，，分别是，上的点，，，若，则的面积为______． 16. 如图，有一直角三角形纸片ABC，，∠B=30°，AC=1，于点D，F，G分别是线段AD，BD上的点，H，I分别是线段AC，BC上的点，沿HF，GI折叠，使点A，B恰好都落在线段CD上的点E处，当FG=EG时，AF的长是________. 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解下列不等式，并将它们的解集表示在数轴上． （1）； （2）． 18. 如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，求证：△ACB≌△BDA． 19. 如图所示，一根长米的木棍，斜靠在墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为．此时木棍端沿墙下滑，端沿地面向右滑行． （1）求证：； （2）木棍在滑动的过程中，线段的长度发生改变吗？说明理由；若不变，求的长． 20. 如图，在中，，点D、E、F分别在边上，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，求的度数． 21. 某中学开展物理跨学科综合实践活动，作有关大气压的测量实验，需要准备红色和黄色两种气球，学校计划前往某超市购买．通过调查，将获取的相关数据整理如下表： 购买数量（单位：包） 总费用（单位：元） 红色气球 黄色气球 3 4 85 2 3 60 （1）红色气球、黄色气球每包各是多少元？ （2）该中学决定购买红色和黄色两种气球共100包，且总费用不超过1300元，那么该中学至少可以购买多少包黄色气球？ 22. 如图，，，． （1）求证：． （2）若F为的中点，，，求和的长． 23. 【问题背景】 如图①，在四边形中，和称为它的对角，若这个四边形满足：，则这个四边形叫做“对角互补四边形”． 【问题解决】 （1）若四边形是“对角互补四边形”，且，求的度数； （2）如图②，，平分，A是射线上一动点，C是射线上的动点，且四边形是“对角互补四边形”． ①若是等腰三角形，求的度数； ②若，若，求的长． 24. 已知和都是等腰直角三角形，，且A，D，E三点在同一条直线上． （1）当与在如图1所示位置时，连接，求证：； （2）在（1）的条件下，证明：； （3）当与在如图2所示的位置时，连接，若平分，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $