17.1用提公因式法分解因式 课时作业 2025-2026学年人教版八年级数学上册

§17.1用提公因式法分解因式 课时作业 一、单选题 1．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 3．下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 5．把提公因式后， 则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 6．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（   ） A．3 B． C． D．x 7．如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 8．多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的因式分解方法是（    ） A．提公因式法 B．公式法 C．提公因式法和公式法 D．以上都不是 9．利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 10．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 二、填空题 11．分解因式： ． 12．若，，则的值为 ． 13．利用分解因式计算： ． 14．若可分解为，则的值为 ． 三、解答题 15．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)． 16．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 18． 因式分解：． 19．已知实数，满足是17的算术平方根，是的立方根． (1)求的值； (2)求的值． 19． 计算 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 22．一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． (1)直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； (2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 23．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为、．若，，求图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请直接写出一个恒等式： ；注：长方体体积长宽高 (4)已知，，利用（3）中的恒等式求的值． 24．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 25．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ §17.1用提公因式法分解因式 课时作业 解析版 一、单选题 1．下列各式中，从左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题考查因式分解的概念，即把一个多项式分解为几个整式的积的形式．根据定义判断各选项即可． 【详解】解：A选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； B选项是整式的乘法，不是因式分解； C选项右边为，是和的形式，不是积的形式，不是因式分解； D选项是因式分解； 故选D． 2．对于式子：①；②，从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①②都是因式分解 B．①②都是整式的乘法 C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解 【答案】D 【知识点】计算多项式乘多项式、判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法；因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，整式的乘法是将整式的积化为多项式．对于①，左边是积的形式，右边是多项式，属于整式的乘法；对于②，左边是多项式，右边是积的形式，属于因式分解． 【详解】解：对于①：左边为，是整式的积，右边为，是多项式，从左到右是整式的乘法． 对于②：左边为，是多项式，右边为，是整式的积，从左到右是因式分解． ①是整式的乘法，②是因式分解， 故选：D． 3．下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 4．将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公因式 【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 系数 6、、的最大公因数为 3， 字母 a 的指数最小值为 2， 字母 b 的指数最小值为 2， ∴ 公因式为 ． 故选：C． 5．把提公因式后， 则另一个因式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解．通过将转化为，然后提取公因式，即可得到另一个因式，即可作答． 【详解】解：∵依题意，， ∴， 因此，另一个因式为 ， 故选：A． 6．用提公因式法分解因式，多项式中能提出的公因式是（   ） A．3 B． C． D．x 【答案】B 【知识点】公因式 【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关键．通过提取公因式法，找出多项式各项的公因式，包括系数和字母部分． 【详解】解：多项式 中，系数3和9的最大公因数为3，字母部分和的公因式为， 多项式中公因式为， 故选：B． 7．如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可 【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 8．多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的因式分解方法是（    ） A．提公因式法 B．公式法 C．提公因式法和公式法 D．以上都不是 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题可根据整式乘法中“单项式乘以多项式”的运算规则以及因式分解中各方法的特点来进行分析． 【详解】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的， 在整式乘法中，“单项式乘多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法． 故选：． 9．利用提取公因式法计算，结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了提公因式法因式分解， 通过提取公因式 ，将原式化简为 ，再结合负数的偶次幂为正的性质，得到结果． 【详解】解：． 故选：A． 10．已知的三边长a，b，c满足，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 【答案】A 【知识点】三角形三边关系的应用、提公因式法分解因式、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用和三角形三边关系的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 通过因式分解给定方程，得出只有符合三角形三边关系，进而即可判断． 【详解】解：由题意得， ∴或， ∴或． ∵是的三边长， ∴由三角形三边关系，（两边之和大于第三边）， ∴不成立， ∴只有成立， ∴是等腰三角形． 故选：A． 二、填空题 11．分解因式： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键；提公因式分解因式即可． 观察多项式，两项均含有公因式，因此直接提取公因式即可分解． 【详解】解：． 故答案为：． 12．若，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解、代数式求值等知识点，掌握运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先运用提取公因式法进行因式分解，然后将、整体代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴原式． 故答案为． 13．利用分解因式计算： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了利用因式分解进行简便运算，直接提公因数即可解答． 【详解】 ． 故答案为：． 14．若可分解为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了因式分解，通过将因式分解形式展开，比较多项式对应项的系数，建立方程求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴，； 解得，； ∴； 故答案为： 三、解答题 15．用提公因式法分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，正确找出各项的公因式是解答本题的关键． （1）先确定各项的公因式，然后提取公因式即可； （2）先确定各项的公因式，然后提取公因式即可； （3）先确定各项的公因式，然后提取公因式即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 16．分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底． （1）原式变形为，提取公因式分解即可； （2）原式提取公因式分解即可； （3）原式变形为，再提公因式分解即可； （4）原式提取公因式分解，整理后再提取公因式2分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．利用因式分解简便计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)0 【知识点】因式分解在有理数简算中的应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，因式分解，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）利用提公因式法因式分解后计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 18．因式分解：． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 19．已知实数，满足是17的算术平方根，是的立方根． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、通过对完全平方公式变形求值、求一个数的算术平方根、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了平方根，立方根，完全平方公式，因式分解，正确计算是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，根据立方根的定义求出，然后将要求的式子变形为，代入计算即可； （2）根据求出的值，然后将要求的式子变形为，代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， ， ， ． （2）由题意可知：，， 由（1）知，， ． ． 当时， 原式． 当时， 原式． 即原式的值为. 20．计算 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用， 对分子、分母提取公因式分解因式，最后约分． 【详解】解： ． 21．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 ∴ 解得：，．∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． 【答案】(1)6 (2)， 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了恒等式的性质，解方程组，多项式乘以多项式，熟练掌握性质和运算是解题的关键． （1）将等式的右边展开，根据恒等式的性质，解答即可； （2）仿照示范的例子解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． （2）解：设另一个因式为， 则， ∴， 解得：，， ∴另一个因式是． 22．一个四位数，记千位和百位的数字之和为a，十位和个位的数字之和为b，如果，那么称这个四位数为“心平气和数”．例如：1625，，，因为，所以1625是“心平气和数”． (1)直接写出：最小的“心平气和数”是 ，最大的“心平气和数”是 ； (2)将一个“心平气和数”的个位与十位的数字交换位置，同时将百位与千位的数字交换位置，称交换前后的这两个“心平气和数”为一组“相关心平气和数”，例如：1625与6152为一组“相关心平气和数”．求证：任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 【答案】(1)1001，9999 (2)证明见解析 【知识点】列代数式、整式加减的应用、提公因式法分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用提取公因式的方法提出11是本题的一个关键，此外，关于数字取值范围的判断也是一个关键之处． （1）因为是求最小的“心平气和数”和最大的“心平气和数”，所以一个必须以1开头的四位数，不难得到1001和9999这两答案； （2）可以设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为，根据题意列出一组“相关心平气和数”之和，利用提取公因式进行因式分解就可以了． 【详解】（1）最小的“心平气和数”必须以1开头，而1000显然不符合题意，所以最小的只能是1001，最大的“心平气和数”必须以9开头，后面的数字尽可能在0-9这10个数字中选最大的，所以最大的“心平气和数”一定是9999． （2）证明：设千位和百位数字之和为，十位和个位的数字之和为，千位数字为，十位数字为， 个位数字为，百位数字为， 依题意可得，这组“相关心平气和数”之和为： ， 为整数， 是11的倍数， 任意的一组“相关心平气和数”之和都是11的倍数． 23．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为、．若，，求图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，请直接写出一个恒等式： ；注：长方体体积长宽高 (4)已知，，利用（3）中的恒等式求的值． 【答案】(1)2 (2)12 (3) (4)14 【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、求一个数的平方根、提公因式法分解因式 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，利用数形结合的思想求解是解题的关键； （1）用两种方式表示出大正方形面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，可得，，则，再根据结合（1）所求求出，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方体体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）解：由图①可知，大正方形面积为或， ， ∵，， ∴， ∴ （2）解：∵四边形和都是正方形， ，， ∵ ， ， 又∵， ， ∴， ， ∴ ， 即阴影部分的面积为； （3）解：由图③得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4）解：由（3）可得， ， ∵，， ∴， ∴． 24．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ．．． 解决下列问题： (1)请写出符合上述规律的第4个等式_________； (2)请写出符合上述规律的第n个等式，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】与算术平方根有关的规律探索题、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了算术平方根规律探究、分解因式，理解题意是解题的关键． （1）根据规律写出第4个等式，即可求解； （2）根据规律写出第个等式，进而根据算术平方根的意义，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，第4个等式：； 故答案为：； （2）解：第n个等式为，理由如下： 等式左边 等式右边， ∴． 25．先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题． ． (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次； (2)分解因式：； (3)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．（为正整数） 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3)； 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，读懂题意得出分解因式的规律是解题的关键． （1）已知材料的运算过程符合提取公因式法，根据运算步骤即可得出答案； （2）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案； （3）利用已知材料提取公因式，根据运算规律可得答案． 【详解】（1）解：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次， 故答案为：提公因式法，2； （2） ； （3） ， 故需应用上述方法次，结果是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $