专题06 相似三角形的基本判定方法的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06相似三角形的基本判定方法的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、两角对应相等，两个三角形相似 类型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 类型三、三边对应成比例，两个三角形相似 类型四、判断两个三角形是否相似 类型五、添一个条件使两个三角形相似 类型六、相似三角形的判定综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、两角对应相等，两个三角形相似 知识点总结 1.相似三角形定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形为相似三角形，“两角对应相等”是判定相 似的核心定理。 2.三角形内角和性质：三角形内角和为180°，若两三角形已有两角对应相等，则第三角必相等，满足 相似三角形角的全部对应关系。 解题技巧 1.寻找等角条件：通过对顶角、公共角、平行线同位角/内错角、直角(90°)等隐含条件，快速识别 相等的角，为判定提供依据。 2. 转化角的关系：若直接角不相等，可利用三角形外角性质（外角等于不相邻两内角和）或等角的余 角/补角相等，推导角的对应关系，间接证明两角相等。 例1.如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE,F为AE上一点，且 ∠BFE=∠C 1/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (I)求证：△ABF∽△EAD (2)若AE=2,∠BAE=30°，求AB的长 【变式I-1】如图，已知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A,且AB=AC,AD=AE, ∠EAC=∠DAB,点E恰好落在边BC上（与B、C不重合），连接BD. (1)求证：BD=CE: (2)若AB与DE相交于点F,求证：△CAE∽△BEF 【变式1-2】如图，在R1△ABC中，∠ACB=9O°，CD是△ABC的中线，作AE⊥CD于点E,EFBC,交 BD于点F. B (I)求证：△ACE∽△BAC: 2诺4C=5,CE=,求D及F的长 【变式I-3】在等边三角形ABC和等边三角形DMN中，点D为AB边的中点，DM、DN分别交AC、BC于 点EF,连接EF. 2/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)如图1所示，若∠ADM=70°，则∠DFB的度数为」 (直接写出结果)· (2)如图1所示，若∠ADE为任意锐角，证明：△ADE∽△BFD (3)若将△DMN绕D点顺时针旋转，如图2所示DM与AC的延长线交于点E,其他条件不变，则(2)中 的结论是否仍成立？并写出证明过程 类型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 知识点总结 1.相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，其中“夹角”指两组对应边的公 共角，是判定的关键条件。 2.比例线段性质：对应边成比例需满足线段长度的比值相等，可通过已知线段长度、比例式或相似三角 形传递性得出比例关系。 解题技巧 1.精准定位夹角：明确两组对应边的公共角为夹角，避免误将非夹角（如其中一边的对角）作为判定 角，确保条件符合定理要求。 2.利用比例转化：若直接比例关系不明显，可通过线段和差、等量代换（如公共边、相等线段）转化比 例式，再结合角相等条件完成判定。 例2.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD=5,BC=6,CD=4,求证：△CDBACBA. D B 【变式2-】如图，∠4CB=∠D=90,且4B 3，BC=5,BD=3,求证：△ABC∽△CBD: 3/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-2】如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC和△DEF的顶点都在 边长为1的小正方形的格点上. (1)∠ABC= 0 (2)判断△ABC与△DEF是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由。 (3)求 SAABC SADEF 【变式2-3】在等边三角形ABC中，AB=4,点M,N分别是BC,AC上的点，且∠AMN=60°. B M (1)求证：∠BAM=∠CMN: (②)点M在什么位置时，CN的长为4： 类型三、三边对应成比例，两个三角形相似 知识点总结 1.核心判定定理：若两个三角形的三组对应边长度的比相等（即三边对应成比例），则这两个三角形相 似，此定理无需角的条件即可判定相似。 4/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.比例的传递性：若线段比例通过中间量关联（如a/b=cd且cld=ef,则alb=ef),可推导三边对应 比例关系，为判定提供依据。 解题技巧 1.规范比例书写：按对应边顺序列出比例式（如△ABC与△DEF相似，写AB/DE=BCIEF=ACIDF), 避免因顺序混乱导致误判。 2.计算验证比例：通过已知边长计算比值，或利用线段中点、等分点等条件转化长度关系，验证三组边 是否成比例，确保判定准确性。 例3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在网格的 格点上.求证：△ABC∽△EFD D 【变式3-1】如图，△ABC与△DEF在6×6的正方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶 点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由 【变式3-2】如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似，并说明理由. 类型四、判断两个三角形是否相似 知识点总结(2点) 1. 角的判定：两角分别相等的两个三角形相似(AA),这是最常用的判定方法，因三角形内角和固 定，两角相等则第三角必相等。 2.边的判定：两边对应成比例且夹角相等(SAS),或三边对应成比例(SSS),需注意“夹角”是成 5/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 比例两边的夹角，不可忽略。 解题技巧(2点) 1.优先找等角：先观察图形中是否有对顶角、公共角或已知相等的角，快速验证AA判定，减少计算 量。 2.规范列比例：用边判定时，按对应顶点顺序列出比例式（如△ABC∽△DEF,则AB/DE=BC/EF),避 免因对应关系混乱出错。 例4.(25-26九年级上·福建漳州·期中)若△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽aDEF的是 () A.4B=3'BC=8'AC=9'DE=2,FE=6 3,DF=6 B.AB=3’BC=8’AC=9,DE、16 3，FE=2’DF=6 C.4B=1,BC=AC=1.5 DE-2 FE-2 DF=4 D.4B=1,BC-AC=2.DE-33 FE=2 DF-6 【变式4-1】(24-25九年级上·甘肃酒泉·期末)如图，选项中的阴影三角形与△ABC相似的为() 【变式4-2】(25-26八年级上·上海期中)如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB:③ AC AB CD=BC:④AC?=AD·AB·其中不能够判定△ABC∽A4CD的个数为（） D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式4-3】(25-26九年级上·陕西西安期中)如图，已知点E和点D分别是△ABC的边CA和边BA的延 6/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB BC AC AB 长线上的点，连接ED'则添加下列条件：①∠B=∠D:②∠C=∠E:③AD-DE:④AE-AD:能够 判定△ABC一△ADE的有() A B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 类型五、添一个条件使两个三角形相似 知识点总结(2点) 1.补角相等：已有一组角相等时，可添加另一组角相等（如公共角的余角、对顶角等），满足“AA” 判定，直接证相似。 2.补边成比例：已有一组角相等时，添加该角两边对应成比例(SAS);无等角时，添加三边对应成比 例(SSS),补全边的关系。 解题技巧(2点) 1.先看己有条件：若图中有公共角、对顶角，优先添“另一组角相等”；若有已知边的比例，优先添 “夹角相等”或“第三边成比例”。 2.避免无效条件：不添与判定无关的条件（如非夹角的角相等、非对应边成比例），添加后需快速验 证是否符合AA、SAS或SSS。 例5.(25-26九年级上·河北唐山期中)如图，点D是△ABC的边AB上的一点，AD=3,BD=1,当 AC=时，△ABCP△ACD」 D B 【变式5-1】(25-26九年级上·河北课后作业)已知∠1=∠2，添加一个条件使得△ADE∽△ACB,则添加 的条件是- 7/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-2】(25-26九年级上·陕西西安·期中)如图，在RABC中，DB=90°，点D在边BC的延长线上， 过点D作DE⊥BD,连接CE,请添加一个条件：（不添加字母及辅助线），使△ABC∽△CDE. (写出一个即可) 【变式5-3】(25-26九年级上·上海阶段练习)如图，已知△ABC中，∠ACB>∠ABC,点P(与点B不重 合)是边AB上的一点，那么当AC与AP、AB满足时，△ABC与△ACP相似. B 牙类型六、相似三角形的判定综合问题 知识点总结(2点) 1.判定：核心有3种，“AA”(两角分别相等)最常用，“SAS”(两边成比例且夹角相等)和 “SSS”(三边成比例)需注意边的对应关系与夹角要求。 2.性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且对应高、中线、角平分线及周长的比都等于相似 比，面积比是相似比的平方。 解题技巧(2点) 1.判定找“桥梁”：遇复杂图形，先标记公共角、对顶角等隐含等角，或通过线段平行、等腰三角形 性质推导等角，再结合边的关系判定。 2.性质用“比例”：求边长、面积时，先确定相似比，再用“对应边成比例”“面积比=相似比2”列等 式，避免对应顶点顺序混乱。 例6.(25-26九年级上·浙江温州·期中)如图，在△ABC中，以边AB为直径作⊙0，⊙0交边BC于点D, 延长CA交⊙O于点E,连接DE交AB于点F,且DE=DC. 8/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：BD=CD: (2)若EF=DF=3,求图中阴影部分的面积. 【变式6-1】(2025·广西贵港·一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点 E,点D为AC的中点，连接DE. B D (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若DE=1,⊙0的半径为2，求CE的长. 【变式6-2】(24-25九年级上·浙江金华期中)如图，BC是⊙0的直径，点A在⊙0上，AD1BC,垂 足为D,B=C,E分别交D,AC于点F,G. E )若Ac的度数为52 ，求<C 的度数： (2)求证：FA=FG； (3)求证：△ABF∽△B.AE 【变式6-3】(2024安徽模拟预测)如图(1)，在△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，点P是AC边上 一点，过点P作PD⊥AB于点D,连接CD,BP,O为PB的中点，连接OD. 9/16 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图(1) 图(2) (I)如图(1)，若∠PBC=a. ①填空：∠POD=；(用含a的式子表示) ②求证： CD=√2OD (2)将△ADP绕点A旋转，使点P落在AB边上，如图(2)，则(1)②中结论是否仍然成立？若成立，请 写出证明过程；若不成立，请说明理由. 压轴专练 一、单选题 1.(2425九年级上·陕西西安阶段练习)如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是() D AC2=AD·AB A. B.BC2=BD.AB C.∠ACD=∠B D.∠ADC=∠ACB 2.(2025河北中考真题)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点 M,N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN,则这个条件是() 10/16 专题06 相似三角形的基本判定方法的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、两角对应相等，两个三角形相似 类型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 类型三、三边对应成比例，两个三角形相似 类型四、判断两个三角形是否相似 类型五、添一个条件使两个三角形相似 类型六、相似三角形的判定综合问题 压轴专练 类型一、两角对应相等，两个三角形相似 知识点总结 1.相似三角形定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形为相似三角形，“两角对应相等”是判定相似的核心定理。 2.三角形内角和性质：三角形内角和为180°，若两三角形已有两角对应相等，则第三角必相等，满足相似三角形角的全部对应关系。 解题技巧 1.寻找等角条件：通过对顶角、公共角、平行线同位角/内错角、直角（90°）等隐含条件，快速识别相等的角，为判定提供依据。 2. 转化角的关系：若直接角不相等，可利用三角形外角性质（外角等于不相邻两内角和）或等角的余角/补角相等，推导角的对应关系，间接证明两角相等。 例1．如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、证明两三角形相似 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 【变式1-1】如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角、证明两三角形相似 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F． (1)求证：； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、证明两三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由是的中线可得，即，结合可得从而得证； （2）由（1）可得对应边成比例，从而求出，根据勾股定理即可求出，再由可得，代入数据即可求出． 【详解】（1）证明：是的中线， 即， ， ， ， ； （2）， ，即， 解得， 是的中线， ， ， ， ，即， 解得． 【变式1-3】在等边三角形和等边三角形中，点为边的中点，分别交于点，连接． (1)如图1所示，若，则的度数为__________（直接写出结果）． (2)如图1所示，若为任意锐角，证明：． (3)若将绕点顺时针旋转，如图2所示与的延长线交于点，其他条件不变，则（2）中的结论是否仍成立？并写出证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)成立，证明见解析 【知识点】证明两三角形相似、三角形的外角的定义及性质、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的外角，相似三角形的判定，熟练掌握一线三等角相似模型，是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，结合三角形的外角的性质，进行求解即可； （2）等边三角形的性质，得到，利用三角形的外角得到，即可得证； （3）成立，同法（2）即可得证． 【详解】（1）解：∵边三角形和等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）证明：由（1）知：， ∵，， ∴， 又∵， ∴； （3）成立，证明如下： ∵等边三角形和等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 类型二、两边成比例且夹角相等，两个三角形相似 知识点总结 1.相似三角形判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，其中“夹角”指两组对应边的公共角，是判定的关键条件。 2.比例线段性质：对应边成比例需满足线段长度的比值相等，可通过已知线段长度、比例式或相似三角形传递性得出比例关系。 解题技巧 1.精准定位夹角：明确两组对应边的公共角为夹角，避免误将非夹角（如其中一边的对角）作为判定角，确保条件符合定理要求。 2.利用比例转化：若直接比例关系不明显，可通过线段和差、等量代换（如公共边、相等线段）转化比例式，再结合角相等条件完成判定。 例2．如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【答案】答案见解析 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 【变式2-1】如图，，且，，求证：．    【答案】见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、证明两三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，先求出，， 再证明即可． 【详解】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， 【变式2-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． (1)____________． (2)判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． (3)求． 【答案】(1)135 (2)，理由见解析 (3)2 【知识点】三角形内角和定理的应用、勾股定理与网格问题、证明两三角形相似、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质． （1）先求出，即可解答； （2）先得出，再得出，即可求证； （3）分别求出与的面积，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：135． （2）证明：由（1）同理可得， ∵， ∴， 又∵ ∴； （3）解：∵， ∴． 【变式2-3】在等边三角形中，，点M，N分别是，上的点，且． (1)求证：； (2)点M在什么位置时，的长为． 【答案】(1)见解析 (2)当或时，的长为 【知识点】等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质得出，由三角形内角和定理得出，求出，即可得解； （2）证明，得出，设，则，代入计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，， 故当或时，的长为． 类型三、三边对应成比例，两个三角形相似 知识点总结 1. 核心判定定理：若两个三角形的三组对应边长度的比相等（即三边对应成比例），则这两个三角形相似，此定理无需角的条件即可判定相似。 2. 比例的传递性：若线段比例通过中间量关联（如a/b = c/d且c/d = e/f，则a/b = e/f），可推导三边对应比例关系，为判定提供依据。 解题技巧 1. 规范比例书写：按对应边顺序列出比例式（如△ABC与△DEF相似，写AB/DE = BC/EF = AC/DF），避免因顺序混乱导致误判。 2. 计算验证比例：通过已知边长计算比值，或利用线段中点、等分点等条件转化长度关系，验证三组边是否成比例，确保判定准确性。 例3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，和的顶点都在网格的格点上．求证：． 【答案】见解析 【知识点】证明两三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用勾股定理分别求得各边长，利用相似三角形的判定定理“ 三边对应成比例，两个三角形相似”即可证明结论成立． 【详解】解：观察图形得，， 根据勾股定理，得， ， ， ∴． 【变式3-1】如图，△与△在的正方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△与△是否相似，并说明理由．    【答案】△与△相似，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、证明两三角形相似 【分析】根据题意得，，，，，，进行计算得，，，即可得． 【详解】证明：根据题意得，， ， ， ， ， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似，解题的关键是掌握相似的判定． 【变式3-2】如图判断方格中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【知识点】勾股定理与网格问题、证明两三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可． 【详解】相似，理由如下： ∵在中，，，， 在中，，，， ∵，，， ∴， ∴． 类型四、判断两个三角形是否相似 知识点总结（2点） 1. 角的判定：两角分别相等的两个三角形相似（AA），这是最常用的判定方法，因三角形内角和固定，两角相等则第三角必相等。 2. 边的判定：两边对应成比例且夹角相等（SAS），或三边对应成比例（SSS），需注意“夹角”是成比例两边的夹角，不可忽略。 解题技巧（2点） 1. 优先找等角：先观察图形中是否有对顶角、公共角或已知相等的角，快速验证AA判定，减少计算量。 2. 规范列比例：用边判定时，按对应顶点顺序列出比例式（如△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF），避免因对应关系混乱出错。 例4．（25-26九年级上·福建漳州·期中）若和满足下列条件，其中能使的是（   ） A．，，，，， B．，，，，， C．，，，，， D．，，，，， 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定——三组对应边成比例，则两个三角形相似． 分别计算对应边的比例，判断是否相等，即可得出两个三角形是否相似． 【详解】解：A、∵，，，∴，∴．故此选项符合题意； B、∵，，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式4-1】（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 【变式4-2】（25-26八年级上·上海·期中）如图，给出下列条件：①；②；③；④．其中不能够判定的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：A． 【变式4-3】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：，， ， 故①符合题意； ，， ， 故②符合题意； 由③不能判定， ，， ， 故④符合题意； 其中能够判定的条件有3个， 故选：C． 类型五、添一个条件使两个三角形相似 知识点总结（2点） 1. 补角相等：已有一组角相等时，可添加另一组角相等（如公共角的余角、对顶角等），满足“AA”判定，直接证相似。 2. 补边成比例：已有一组角相等时，添加该角两边对应成比例（SAS）；无等角时，添加三边对应成比例（SSS），补全边的关系。 解题技巧（2点） 1. 先看已有条件：若图中有公共角、对顶角，优先添“另一组角相等”；若有已知边的比例，优先添“夹角相等”或“第三边成比例”。 2. 避免无效条件：不添与判定无关的条件（如非夹角的角相等、非对应边成比例），添加后需快速验证是否符合AA、SAS或SSS。 例5．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，点D是的边上的一点，，，当 时，． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据，当时，则，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，当时， 则， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式5-1】（25-26九年级上·河北·课后作业）已知，添加一个条件使得，则添加的条件是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查相似三角形的判定，由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， 当或或时，． 故答案为：或或． 【变式5-2】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件： （不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 当添加或时，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加或时，则有，所以，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加时，可根据“两组对应边分别成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”得到； 故答案为（答案不唯一）． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，，点P（与点B不重合）是边上的一点，那么当与、满足 时，与相似． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：当时，与相似，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 类型六、相似三角形的判定综合问题 知识点总结（2点） 1. 判定：核心有3种，“AA”（两角分别相等）最常用，“SAS”（两边成比例且夹角相等）和“SSS”（三边成比例）需注意边的对应关系与夹角要求。 2. 性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，且对应高、中线、角平分线及周长的比都等于相似比，面积比是相似比的平方。 解题技巧（2点） 1. 判定找“桥梁”：遇复杂图形，先标记公共角、对顶角等隐含等角，或通过线段平行、等腰三角形性质推导等角，再结合边的关系判定。 2.性质用“比例”：求边长、面积时，先确定相似比，再用“对应边成比例”“面积比=相似比²”列等式，避免对应顶点顺序混乱。 例6．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接交于点，且． (1)求证：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证明，可通过连接，利用等腰三角形的性质（等边对等角）以及圆周角定理，得出，再结合直径所对圆周角为直角，根据等腰三角形三线合一的性质证明． （2）要求阴影部分面积，需先连接、，利用垂径定理、相似三角形的性质得出为等边三角形，进而求出圆的半径和圆心角的度数，最后分别计算扇形和的面积，通过面积差得到阴影部分面积． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图2，连接，，则， ∵是的直径，且， ∴， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-1】（2025·广西贵港·一模）如图，在中，，以为直径的交于点E，点D为的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径为2，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接、，由等边对等角可得，判断是的中位线，得到，进而推出，得到，即可证明结论； （2）连接，根据直角所对的圆周角是直角，得到，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半得到，，从而得出，再证明，得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵， ∴， ∵点D是的中点，O是AB的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ∵的半径为2， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，是的直径，点在上，，垂足为，，分别交，于点，． (1)若的度数为，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据已知条件得到的度数为，求得，于是得到； （2）根据圆周角定理得到，求得，得到，根据等腰三角形的判定定理得到； （3）根据圆周角定理得到，求得，推出，根据相似三角形的判定定理得到结论． 【详解】（1）解：连接， ，的度数为， 的度数为， ， ； （2）证明：是的直径， ， ； ， ； ， ， ， ； （3）证明：是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式6-3】（2024·安徽·模拟预测）如图（1），在中，，，点P是边上一点，过点P作于点D，连接，O为的中点，连接． (1)如图（1），若． ①填空： ；（用含α的式子表示） ②求证：． (2)将绕点A旋转，使点P落在边上，如图（2），则（1）②中结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)①；②见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造等腰直角三角形是解答本题的关键． （1）①根据题意得，得出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边一半得出，得到，再根据外角的性质可得结论； ②连接，证明是等腰直角三角形即可； （2）过点D作于点H．证明、是等腰直角三角形，得到，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，且， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； ②如图，连接． ∵，点O是的中点， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形， ∴． （2）解：成立 证明：如图，过点D作于点H． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴=， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 又， ∴， 又， 又， ∴， ∴，即（1）②中结论仍然成立 一、单选题 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键；利用相似三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：在和中， A. 若，则有，又由，由两组对应边成比例，且夹角对应相等的两三角形相似，故不符合题意； B. ∵， ∴， ∵ ∴，故选项符合题意； C. ，，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； D. ，又由，由两组角分别对应相等的两个三角形相似，故不符合题意； 故选：B． 2．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 3．（2025·贵州贵阳·模拟预测）如图，与在一条直线上，，将图（2）的三角形截去一块，使他变为与图（1）相似的图形，下列做法不正确的是(    ) A．过点E作，交于点G，则 B．取的中点M，连接，则 C．在线段和上分别取点M、N，使得，则 D．在上取一点G，使得，则 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线的性质，难度不大，运用空间想象判断是解题的关键．根据题意可得，即一组角相等，选项A、C，都可以利用平行证明另一组角相等，选项D直接给出另一组角相等，从而可以证明相似，选项B不能证明三角形相似，从而得解． 【详解】解：连接， ∵与在一条直线上， ∴点B，C，E，F四点共线， ∵， ∴， A、如下图，过点E作，交于点G， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项A正确，不符合题意； B、如下图，取的中点M，连接， 无法证明，，因此无法证明，选项B错误，符合题意； C、如图在线段和上分别取点M、N，使得， ∵， ∴， 又∵， ∴，选项C正确，不符合题意； D、如下图，在上取一点G，使得， ∵，， ∴，选项D正确，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，为的角平分线，交于点，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键．首先证明为等腰三角形，易得，可设，，则，，证明，由相似三角形的性质可得，解得，然后计算的值即可． 【详解】解：∵为的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 可设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴． 故选：B． 二、填空题 5．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点M、N分别在正方形的边上，，，．那么可以判断与 （选填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定．先求得，根据，推出． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：相似． 6．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 7．（2025·河北邯郸·二模）如图，锐角三角形中，，以为直径的半圆交于点，过点作半圆的切线，交的延长线于点，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质得到，，再根据平行线的判定定理得到，根据切线的性质得到，再由勾股定理得，最后根据平行证明，由相似三角形的性质可求出的长． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）矩形中，，，点E是边上的一点，沿过点E的直线折叠，使点B落在对角线上的点F处，当是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分两种情况讨论，当和时，结合图象进行解题． 【详解】解：矩形中，，， 如图，当折痕为，时， ∵， ∴， 根据折叠的性质，得，， ∴， 设，则， 则有， 即， 解得：； 如图，当折痕为，时，， 由折叠可知，， 设，则， ∵， ∴∽， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3或 ． 三、解答题 9．（25-26九年级上·福建泉州·期中） 如图，在矩形中，点在边上，交于，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，掌握证明方法是解题的关键． 根据矩形的性质，利用相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， ， ∴， ∴， ∴． 10．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上． (1)填空：___________，___________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)．见解析 【分析】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系． （1）根据已知条件，结合网格可以求出的度数，根据，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上，利用勾股定理即可求出线段的长； （2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明△ABC与△DEF相似． 【详解】（1）解：， ； 故答案为：；． （2）解：． 证明：∵在的正方形方格中， ，， ∴． ∵，，，， ∴． ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，，，点B是线段上的一点，且．    (1)证明：； (2)若，，．求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）通过证明两个三角形的两个角对应相等即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）证明：，， ，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得． 12．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，双曲线经过斜边的中点P，交直角边于点Q，连接，点A的坐标为． (1)求双曲线的解析式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查待定系数法反比例函数的解析式，相似三角形的判定，解决本题的关键是明确反比例函数图象上点的坐标特征． （1）根据中点坐标公式得出点P坐标，然后代入反比例函数解析式即可求解； （2）求出，再结合点的坐标为，得出，，，可得，结合，即可得证． 【详解】（1）解：的中点是，点的坐标为， ． 双曲线经过点； ， ． （2）解：为直角三角形， ∴轴， ，两点的纵坐标相等，均为4，代入反比例函数解析式得：， ． ∵点的坐标为， ，，， ，， ， 又， ． 13．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，是的直径，与相切于点，于点，连接、． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，再根据以及半径相等即可证明是的角平分线； （2）利用圆周角定理得到，再证明，对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ． 又， ． ． ， ． ． 平分． （2）解：在中，， 是直径， ． 又， ， ，即，解得． 14．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，； (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． （1）由可得，再由平角可得，由此可得，再根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）先由边成比例得，即可得，可证明，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：如图， 由（1）知，， ∴，即， ∵， ∴， 即，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．（24-25九年级·全国·假期作业）如图，在中，，于点D． (1)求证: ． (2)若O是边上一点，连接交于点E，交边于点F，求证: ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． （2）利用两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）证明：由(1)可知， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，是的直径，C是的中点，连接，，，，．于点E，连接交于点F，交于点H． (1)求证：； (2)求的长； (3)试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)等腰三角形；理由见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，再结合即可证明结论； （2）先说明、，再运用勾股定理可得，再运用等面积法求解即可； （3）由等弧所对的圆周角相等可得，再根据同角的余角相等可得，进而得到，即，从而证明结论． 【详解】（1）证明：∵所对的圆周角是，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵C是的中点， ∴． ∴． ∵是的直径， ∴． 在中，， ∵， ∴． （3）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 17．（25-26九年级上·河南开封·期中）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）先导角得到，证明，即可得到结论； （2）先导角得到，证明，即可得到结论； （3）在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，导角得到，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1），， ． 在正方形中，，， ． ． 又，， ． ． （2），， ． 在矩形中， ， ． ． 又， ． ． （3）如图3，在上取一点，使，连接， 在中，，． 是等边三角形， ，． ． ， ． ． ． ． ． 18．（25-26九年级上·湖南常德·期中）【基础巩固】（1）如图1，在中，D为上一点，． 求证：．    【尝试应用】（2）如图2，在平行四边形中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，，求的长． 【拓展提高】（3）如图3，在菱形中，E是上一点，F是内一点，，，，，，求菱形的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）菱形的边长是 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的性质，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明，可得，即得结论； （2）先证明，可得，即可列方程求解； （3）延长和，相交于点G，先证明，可得，从而可知，然后结合，可证明，再利用，可求得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 解得， ； （3）延长和，相交于点G， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 解得， ， 即菱形的边长为．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $