专题07 相似三角形的性质六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07相似三角形的性质六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用相似三角形对应角相等求角 类型二、利用相似三角形对应边成比例求边 类型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 类型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 类型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 类型六、相似三角形的性质与判定综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用相似三角形对应角相等求角 知识点总结(2点) 1.核心依据：若两个三角形相似，则它们的对应角相等，这是由相似三角形的定义和判定定理推导得出 的基本性质，是求角的根本前提。 2.对应关系：求角前需明确三角形的对应顶点，只有对应顶点所对的角才是相等的对应角，避免因对应 关系混淆导致求角错误。 解题技巧(2点) 1.先证相似再求角：若未直接告知相似，先通过AA、SAS等判定定理证明三角形相似，再利用对应角相 等推导未知角。 2.结合己知角推导：求角时可结合三角形内角和、平角、对顶角等己知角的关系，将相似得到的等角代 入计算，快速得出结果。 例1.(25-26九年级上陕西咸阳期中)如图，已知△ABC∽△ACD(点D在边AB上)，若∠A=80°， ∠ADC=60°，则∠B的度数为° B 【变式1-1】(25-26九年级上·上海松江期中)已知△ABC和△DEF相似，LA=∠D=60°，∠B=2∠E, 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 那么△ABC的最大内角的度数为 【变式1-2】(25-26九年级上福建莆田·阶段练习)已知△ABC∽△DEF,若∠B=40°，∠D=60°，则 ∠F的度数为 【变式1-3】(25-26九年级上上海阶段练习)己知△ABCn△EDF,∠A=74°，∠D=35°，则aDEF中最 大角的度数为」 类型二、利用相似三角形对应边成比例求边 知识点总结(2点) 1.核心性质：相似三角形的对应边成比例，比例值等于两三角形的相似比，这是通过相似定义得出的关 键性质，是计算未知边长的核心依据。 2.比例关系：需按*对应顶点顺序列出比例式（如△ABC∽△DEF,则AB/DE=BC/EF=AC/DF),确保 边的对应关系准确，避免比例错位。 解题技巧(2点) 1.先定相似比：若已知一组对应边长度，先算出相似比，再将其代入含未知边的比例项中，通过解方程 求出未知边长，减少计算误差。 2.找隐含对应边：遇复杂图形，通过公共边、对顶角、平行线等确定对应边，优先选择含已知边和未知 边的两组对应边列比例式，简化计算。 例2.(25-26九年级上福建泉州期中)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD1BC,BD=3,CD=2 ,则AD的长是」 B D 【变式2-1】(25-26九年级上·湖南永州期中)如图所示，∠ACB=∠ADC=90°，AB=5,AC=4,若 △ABC∽△ACD,则AD=」 【变式2-2】(25-26九年级上·四川成都期中)如图，点D、E分别在ABC的边CA、BA的延长线上， △ADE∽△ACB,如果AB=8,AE=4,AD=3,那么AC=一 2/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式2-3】(25-26九年级上四川遂宁·期中)如图，在ABC中，AB=15,在AC上取一点D,使 AD=3,DC=6,如果在AB上取一点E,使ADE与ABC相似，则AE长为 类型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 知识点总结(2点) 1. 核心性质：相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比都等于它们的相似比，这是由相似三角形 对应边成比例和全等判定推导的重要结论，适用于所有对应线段。 2.对应要求：需明确“对应”，即两个三角形中，针对同一角的角平分线、对应边上的中线和高线， 才是成比例的对应线段，不可混淆位置。 解题技巧(2点) 1. 先求相似比：通过已知的对应边或其他对应线段（如一组对应高）算出相似比，再将其直接应用到 待求的对应中线、角平分线上，快速列等式计算。 2.标记线段类型：在图形中用符号标注线段类型（如中线标“M”、高标“H”），避免将不同类型的 线段（如中线与高）错当对应线段列比例，减少失误。 例3.(24-25九年级下·浙江杭州阶段练习)如果两个相似三角形的对应边上的高之比为2：3，那么它们的 对应中线之比为 【变式3-1】(2025·上海长宁.一模)如果两个相似三角形的对应中线之比为2：3，那么它们的对应高之比 为 【变式3-2】(25-26九年级上·上海阶段练习)已知△ABC∽△A'B'C',顶点A、B、C分别与A'、B'、C'对 DA'D'分别是ABC和△ABC'的角平分线，=弓，AB=9,则AB一 【变式3-3】(24-25九年级上·全国随堂练习)若两个三角形相似，相似比为8：9，则它们对应角平分线之 比是 若其中较小三角形的一条角平分线的长为6cm,则另一个三角形对应角平分线的长为 cm. 3/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 知识点总结(2点) 1.核心性质：相似三角形对应周长的比等于它们的相似比，因周长是三边之和，三边对应成比例时， 和的比与边长比一致，这是相似三角形边的比例关系的延伸。 2.比例本质：周长比与相似比是“双向等价”的，既可用相似比求周长比，也能通过两三角形周长比 反推相似比，为后续求边长、面积提供条件。 解题技巧(2点) 1.优先找相似比“桥梁”：若已知一组对应边或其他对应线段（如高、中线），先算相似比，再代入 周长比公式，避免直接计算三边再求和，简化步骤。 2.遇“部分周长”转整体：若已知三角形某两边之和与另一三角形对应两边之和，可结合相似比列出 比例式，无需单独求每边，快速关联整体周长。 例4.（25-26九年级上·上海期中)一个三角形的三边之比为2：3：4，与它相似的另一个三角形的最长边 长为20cm,那么另一个三角形的周长为_cm. 【变式4-1】(25-26九年级上·福建泉州期中)如图，△ABC△DEF,AC∥DF,直线AD、BE、CF 相交于点0，且%-子，者48C的月长为15，则DEF的周长为 D 【变式4-2】(24-25九年级上·全国期末)已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们的对应角平分线，若 AD:A'D'=4:3,△ABC的周长为16，则△'B'C'的周长是 【变式43】2526九年级上全国限后作业)在ABC与0EP中，已知-8C--,且D 的周长为18cm,则ABC的周长为」 cm 类型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 知识点总结(2点) 1.核心性质：相似三角形对应面积的比等于相似比的平方，因面积计算需用底和高，而底、高的比均等 于相似比，乘积的比即相似比的平方，是区别于边长、周长比的关键。 2.比例关系：面积比与相似比是“平方关系”，而非线性关系，己知面积比时需开方求相似比，反之则 平方相似比求面积比，不可直接等同。 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解题技巧(2点) 1.先定相似比再算面积：通过对应边、周长等先求相似比，再平方得到面积比，代入己知面积可快速求 未知面积，避免绕远路。 2.拆分复杂图形用比例：遇含相似三角形的组合图形，将其拆分为单个相似三角形，利用面积比减去重 叠部分，简化计算。 例5.(25-26九年级上陕西榆林·期中)己知△ABC∽△AB,C1,且BC:B,C1=3:4,△AB,C的面积是16 ,则ABC的面积是 【变式5-1】(25-26九年级上·上海普陀·月考)如果两个相似三角形面积之比为9：4，那么这两个三角形的 周长之比为」 【变式5-2】(25-26九年级上·上海宝山期中)如果两个相似三角形的面积比是9：25，那么它们的对应中 线的比值为. 【变式5-3】(2025上海虹口一模)已知△ABC∽△A'B'C',且ABC和△A'B'C'的最长边分别是5和10， 如果ABC的面积是6，那么△A'B'C'的面积是 类型六、相似三角形的性质与判定综合问题 知识点总结(2点) 1.判定核心：共3种关键方法，“A4”(两角分别相等)最易验证，“S4S”（两边成比例且夹角相等】 和“SSS”（三边成比例)需严格对应边与角的关系，是证明相似的基础。 2. 性质应用：相似三角形对应角相等、对应边成比例，对应高、中线等线段比等于相似比，面积比是相 似比的平方，是求角、边长、面积的核心依据。 解题技巧(2点) 1.“判定→性质”两步走：先通过公共角、平行线等找条件证相似，再用相似性质推导未知量，避免跳 过判定直接用性质导致逻辑错误。 2.抓“对应关系”防错：列比例式时按对应顶点顺序书写（如△ABC∽△DEF则AB/DE=BC/EF),求 面积比时先确认相似比再平方，减少对应混乱。 例6.(25-26九年级上河南周口·期中)如图，在ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，DE∥AC BE 1 ,EF∥AB, EC 2 D E (1)求证： AC CF AB AD 5/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若△EFC的面积是20，求ABC的面积. 【变式6-1】(2025九年级上浙江专题练习)如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点E,点F在 BD上，且∠BMF=LDBC,4B=BC AF FD B (I)求证：△ABCn△AFD; (2)若AD=2,BC=5,△ADE的周长为20，求△BCE的周长. 【变式6-2】(25-26九年级上陕西咸阳期中)【问题探究】 (1)如图1，在ABC中，点O在边BC上，连接AO,过点B作BD∥AC交AO的延长线于点D, ∠BA0=30°，∠0AC=75°，A0=33,B0:C0=1:3,求AB的长： 【问题解决】 (2)如图2，某小区有一片四边形花园ABCD,AC、BD是两条观赏主道，其中AC⊥AD,AC与BD的 交点O处是凉亭，已知A0=30√3m,∠ABC=∠ACB=75°，B0:0D=1:3,求观赏主道AC的长.（道路 宽度及凉亭大小忽略不计) B B D 图1 图2 【变式6-3】(25-26九年级上河南南阳期中)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC=4,点 D、E分别是BC、AC的中点，将△CDE绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为a. 图1 图2 (1)问题发现 ①当a=0°时， AE BD ②当a=180°时， AE BD 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)拓展探究 试判断：当0°≤a<360°时， 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明： BD (3)问题解决 当△CDE旋转至A,C,E三点共线时，直接写出线段BD的长. 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上·湖南衡阳期中)两个相似三角形的周长之比为1：3，那么它们对应边上的高之比是() A.9:1 B.1:9 C.2:1 D.1:3 2.(24-25八年级下山东淄博期末)如图，△ABC∽△A'B'C'.若∠B=66°，则∠B的对应角∠B'的大小 为() B A.65 B.66 C.67° D.68° 3.(25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，在ABC和△DEF中，G、H分别是边BC和EF的中点，己知 AB=2DE,AC=2DF,∠BAC=∠EDF,则下列说法错误的是() A.△ABC∽△DEF B.AG:DH =2:1 C.∠C=∠E D.S.ABC:S.DEF =4:1 4.(25-26九年级上·贵州贵阳·期中)如图，在RIA ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm,BC=3cm,点P由 点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为1cm/s,连接PQ,设运动的时间为t(s,其中0<t<4.当aABC和△APQ相似时，t的值为() B A.3或1 B. 4 9 5. (25-26九年级上河北衡水期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为0C的中 点，点F为BC边上的点，已知△CEF和△CAD相似.若AB=4,OA=3,BC=8,则EF的长为() A. 或2 B1或好 D.2或1 4 二、填空题 6. 25,26九年级上广西崇左中)如图，在4BC中，DE/AB,9则ABC与△EDC的面积 为 E B D 7.(25-26九年级上福建漳州·期中)如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会 撬动石头.如图乙所示，动力臂0A=150cm,阻力臂0B=50cm,BD=20cm,则△OBD和a0AC的周长之 比为 D 甲 乙 8.(23-24九年级下山东青岛开学考试)如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD,且 AE、BD交于点F,SDEF:SABF=4:25,则S△DEF:S△ABD= 8/11 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D A B 9.(25-26九年级上山东济南期中)将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点D, E落在斜边AB上，若小正方形的边长为1，则BC的长为一 A 、、D B 10.(2025全国模拟预测)在矩形ABCD中，边AD=6,边AB>6,点E在CD上，且CE=5,点F为 AC的中点，当△CEF是以CE为腰的等腰三角形时，AB的长度为一， 三、解答题 11.(24-25九年级上北京顺义·期末)如图，在四边形ABCD中，AB=2,AC=4,AD=8, ∠BAC=∠CAD. B D (I)求证：△ABCn△ACD; (2)若BC=3,求△ACD的周长 12.(25-26九年级上河北石家庄·期中)如图，在ABC中，AB=AC=6,BC=10,点P、D分别是BC 、AC边上的点，且∠APD=∠B. B (1I)求证：△ABPn△PCD; (2)当BP=3时，求CD的长. 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 13.(25-26九年级上广东深圳期中)如图，AB是半⊙0的直径，点C在半00上，∠B=∠DCA, AD∥BC,连接OD、AC. D (1)求证：CD是00的切线： (2)若4C- ,OD=3√6，求AB的长. BC 2 14.(25-26九年级上·安微毫州·期中)如图，在ABC中，点D在BC上，且∠CAD=∠B,DC=3, S△AcD:S△ADB=1:2, (1)求线段AC的长； 2将a4CD沿直线AD翻折，使点C落在点E处，AE交边BC于点尸，若AB∥DE,求巴的值. SACDA 15.(25-26九年级上·四川遂宁.期中)如图，在ABC中，点D、E分别在边AB,AC上，BE、CD相 交于点0,0C=40D,0B=40E. D B (I)求证：△D0E~aC0B; (2)△ADE~△ABC吗？说明理由 (3)如果ADE的面积为2，求△BDC的面积 16.(25-26九年级上广东深圳期中)【问题背景】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4.将ABC绕顶点C顺时针旋转一个角度 a(0°<a<360),点A落在点A,点B落在点B,边A'B'与边BC相交于点D,与边AB相交于点E. 10/11 专题07 相似三角形的性质六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用相似三角形对应角相等求角 类型二、利用相似三角形对应边成比例求边 类型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 类型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 类型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 类型六、相似三角形的性质与判定综合问题 压轴专练 类型一、利用相似三角形对应角相等求角 知识点总结（2点） 1. 核心依据：若两个三角形相似，则它们的对应角相等，这是由相似三角形的定义和判定定理推导得出的基本性质，是求角的根本前提。 2. 对应关系：求角前需明确三角形的对应顶点，只有对应顶点所对的角才是相等的对应角，避免因对应关系混淆导致求角错误。 解题技巧（2点） 1. 先证相似再求角：若未直接告知相似，先通过AA、SAS等判定定理证明三角形相似，再利用对应角相等推导未知角。 2. 结合已知角推导：求角时可结合三角形内角和、平角、对顶角等已知角的关系，将相似得到的等角代入计算，快速得出结果。 例1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知（点在边上），若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形性质，三角形内角和定理，由三角形内角和定理可得，又，则，掌握相似三角形性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海松江·期中）已知和相似，，，那么的最大内角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形相似的性质，三角形内角和定理，根据相似三角形的性质得到是解题的关键．由相似三角形对应角相等，结合已知条件和，推出，从而在中利用三角形内角和定理求出各角，比较得最大内角． 【详解】解：∵和相似，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴的最大内角的度数为． 故答案为：． 【变式1-2】（25-26九年级上·福建莆田·阶段练习）已知，若，，则的度数为 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．先根据相似三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【详解】， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知，，，则中最大角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．根据相似三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 中最大角的度数为， 故答案为： 类型二、利用相似三角形对应边成比例求边 知识点总结（2点） 1. 核心性质：相似三角形的对应边成比例，比例值等于两三角形的相似比，这是通过相似定义得出的关键性质，是计算未知边长的核心依据。 2. 比例关系：需按**对应顶点顺序列出比例式（如△ABC∽△DEF，则AB/DE=BC/EF=AC/DF），确保边的对应关系准确，避免比例错位。 解题技巧（2点） 1. 先定相似比：若已知一组对应边长度，先算出相似比，再将其代入含未知边的比例项中，通过解方程求出未知边长，减少计算误差。 2. 找隐含对应边：遇复杂图形，通过公共边、对顶角、平行线等确定对应边，优先选择含已知边和未知边的两组对应边列比例式，简化计算。 例2．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在中，，，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由得，利用余角的性质可得，则有，然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图所示，，，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴AD=． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，点D、E分别在的边、的延长线上，，如果，，，那么 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得：． 故答案为：6． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，分类讨论相似的对应情况是解题的关键．根据相似三角形的对应边成比例，分“”和“”两种情况分析，结合已知边长计算出的可能值，再结合题目条件确定最终结果． 【详解】解： ① ， ， 又， ． ② ， ， 又， ． 故答案为：或． 类型三、利用相似三角形对应中线、高线、角平分线成比例 知识点总结（2点） 1. 核心性质：相似三角形的对应中线、高线、角平分线的比都等于它们的相似比，这是由相似三角形对应边成比例和全等判定推导的重要结论，适用于所有对应线段。 2. 对应要求：需明确“对应”，即两个三角形中，针对同一角的角平分线、对应边上的中线和高线，才是成比例的对应线段，不可混淆位置。 解题技巧（2点） 1. 先求相似比：通过已知的对应边或其他对应线段（如一组对应高）算出相似比，再将其直接应用到待求的对应中线、角平分线上，快速列等式计算。 2. 标记线段类型：在图形中用符号标注线段类型（如中线标“M”、高标“H”），避免将不同类型的线段（如中线与高）错当对应线段列比例，减少失误。 例3．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如果两个相似三角形的对应边上的高之比为，那么它们的对应中线之比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的性质． 根据相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：根据相似三角形的性质可得：两个相似三角形的对应边上的高之比它们的对应中线之比， 它们的对应中线之比是． 故答案为：． 【变式3-1】（2025·上海长宁·一模）如果两个相似三角形的对应中线之比为，那么它们的对应高之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角平分线的比、对应中线比、对应高线比等于相似比是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应中线之比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的对应高之比为， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·上海·阶段练习）已知，顶点A、B、C分别与对应，分别是和的角平分线，，，则 【答案】6 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．相似三角形对应角平分线的比等于相似比，据此解答即可． 【详解】解：∵，分别是和的角平分线， ∴， ， 故答案为：6． 【变式3-3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）若两个三角形相似，相似比为，则它们对应角平分线之比是 ；若其中较小三角形的一条角平分线的长为，则另一个三角形对应角平分线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵两个三角形相似，相似比为， ∴它们对应角平分线之比是， ∵其中较小三角形的一条角平分线的长为， ∴另一个三角形对应角平分线的长为， 故答案为：，． 类型四、利用相似三角形对应周长的比成比例 知识点总结（2点） 1. 核心性质：相似三角形对应周长的比等于它们的相似比，因周长是三边之和，三边对应成比例时，和的比与边长比一致，这是相似三角形边的比例关系的延伸。 2. 比例本质：周长比与相似比是“双向等价”的，既可用相似比求周长比，也能通过两三角形周长比反推相似比，为后续求边长、面积提供条件。 解题技巧（2点） 1. 优先找相似比“桥梁”：若已知一组对应边或其他对应线段（如高、中线），先算相似比，再代入周长比公式，避免直接计算三边再求和，简化步骤。 2.遇“部分周长”转整体：若已知三角形某两边之和与另一三角形对应两边之和，可结合相似比列出比例式，无需单独求每边，快速关联整体周长。 例4．（25-26九年级上·上海·期中）一个三角形的三边之比为，与它相似的另一个三角形的最长边长为，那么另一个三角形的周长为 cm． 【答案】45 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，准确分析计算是解题的关键． 根据相似三角形的性质，对应边成比例，由已知最长边求比例因子，再计算周长． 【详解】设相似三角形的三边分别为、、，其中最长边为， 由题意，， 解得； 三边分别为、、，周长为． 故答案是：． 【变式4-1】（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，，，直线、、相交于点，且，若的周长为15，则的周长为 ．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的周长为x， ∵， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴的周长为． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级上·全国·期末）已知，和是它们的对应角平分线，若，的周长为16，则的周长是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵，和是它们的对应角平分线，若， ∴与的周长比为， ∵的周长为16， ∴的周长是12， 故答案为：12． 【变式4-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）在与中，已知，且的周长为，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，特别是周长比与相似比的关系。 根据周长比等于相似比即可求解。 【详解】． 又的周长为， 的周长为． 类型五、利用相似三角形对应面积的比成比例 知识点总结（2点） 1. 核心性质：相似三角形对应面积的比等于相似比的平方，因面积计算需用底和高，而底、高的比均等于相似比，乘积的比即相似比的平方，是区别于边长、周长比的关键。 2. 比例关系：面积比与相似比是“平方关系”，而非线性关系，已知面积比时需开方求相似比，反之则平方相似比求面积比，不可直接等同。 解题技巧（2点） 1. 先定相似比再算面积：通过对应边、周长等先求相似比，再平方得到面积比，代入已知面积可快速求未知面积，避免绕远路。 2.拆分复杂图形用比例：遇含相似三角形的组合图形，将其拆分为单个相似三角形，利用面积比减去重叠部分，简化计算。 例5．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知，且，的面积是16，则的面积是 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的性质，掌握知识点是解题的关键． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】解：∵，且， ∴， 则， 解得． 故答案为9． 【变式5-1】（25-26九年级上·上海普陀·月考）如果两个相似三角形面积之比为，那么这两个三角形的周长之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题的关键． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此得解． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似之比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 故答案为： 【变式5-2】（25-26九年级上·上海宝山·期中）如果两个相似三角形的面积比是，那么它们的对应中线的比值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应中线的比等于相似比是解题的关键；设相似比为，然后根据相似三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：设相似比为，则面积比为，已知面积比为，即， 所以； 对应中线的比等于相似比，故为； 故答案为：． 【变式5-3】（2025·上海虹口·一模）已知，且和的最长边分别是5和，如果的面积是6，那么的面积是 ． 【答案】 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可． 此题考查了相似三角形的性质． 【详解】解：∵，且和的最长边分别是5和， ∴， ∴， 故答案为：． 类型六、相似三角形的性质与判定综合问题 知识点总结（2点） 1. 判定核心：共3种关键方法，“AA”（两角分别相等）最易验证，“SAS”（两边成比例且夹角相等）和“SSS”（三边成比例）需严格对应边与角的关系，是证明相似的基础。 2. 性质应用：相似三角形对应角相等、对应边成比例，对应高、中线等线段比等于相似比，面积比是相似比的平方，是求角、边长、面积的核心依据。 解题技巧（2点） 1. “判定→性质”两步走：先通过公共角、平行线等找条件证相似，再用相似性质推导未知量，避免跳过判定直接用性质导致逻辑错误。 2.抓“对应关系”防错：列比例式时按对应顶点顺序书写（如△ABC∽△DEF则AB/DE=BC/EF），求面积比时先确认相似比再平方，减少对应混乱。 例6．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在中，点D、E、F分别在、、上， ，，． (1)求证：； (2)若的面积是20，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)45 【分析】本题考查平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）利用平行线分线段成比例求解即可； （2）证明得到求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，即； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的面积是20， ∴． 【变式6-1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，，相交于点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，的周长为20，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质、相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明是解题的关键． 由，可得，从而可证，又因为，即可根据“两边成比例有夹角相等的两个三角形相似”证明； 由可得，可证明，再根据“相似三角形周长的比等于相似比”求出的周长即可． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ，， ， 的周长为， 的周长， 的周长为． 【变式6-2】（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）【问题探究】 （1）如图1，在中，点O在边上，连接，过点B作交的延长线于点D，，，，，求的长； 【问题解决】 （2）如图2，某小区有一片四边形花园，、是两条观赏主道，其中，与的交点O处是凉亭，已知，，，求观赏主道的长．（道路宽度及凉亭大小忽略不计） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得出，结合可得出，利用相似三角形的性质可求出的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出，由等角对等边即可解答； （2）如图：过点B作交于点E，同（1）可得出，在中，利用勾股定理可求出的长度，进而求得的长即可． 【详解】解：（1）∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． （2）如图：过点B作交于点E， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴． 【变式6-3】（25-26九年级上·河南南阳·期中）如图1，在中，，点分别是的中点，将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)问题发现 ①当时，________；②当时，________． (2)拓展探究 试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明； (3)问题解决 当旋转至三点共线时，直接写出线段的长． 【答案】(1)①2；②2 (2)不变，证明见解析 (3)1或3 【分析】本题考查旋转的性质，三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）①当时，由三角形的中位线定理得到，从而有； ②当时，同理①可得； （2）如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变，故，，的大小无变化； （3）点A，C，E三点共线时，或，根据线段的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：①当时， 点分别是的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2； ②当时，如图所示： 则三点共线，，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：2． （2）解：的大小不变，证明如下： 如图2所示，旋转过程中，、、、长度不变， 即， ∵， ∴， ， ， ∴当时，的大小不变； （3）解：①当在如图位置时，点A，C，E三点共线，此时， ∵，点D是的中点， ∴． ②当旋转到如图位置时，，，E三点共线，此时， ∴点B，C，D三点也共线， ∵，， ∴． 综上所述，的长为1或3． 一、单选题 1．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）两个相似三角形的周长之比为，那么它们对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高的比和周长的比等于相似比，据此求解即可． 【详解】解：∵两相似三角形的周长之比为， ∴两相似三角形的相似比为， ∴它们的对应边上的高的比为． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等．利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在和中，G、H分别是边和的中点，已知，，，则下列说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理并运用证明是解题的关键． 先证明，推出，，，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即判断选项A、C、D，再证明，即可得出B正确． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，选项A说法正确，不符合题意， ∴，，故选项C说法错误，符合题意， ∴， ∴，即与的面积比是，选项D说法正确，不符合题意， ∵G，H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即中线与的比是；选项B说法正确，不符合题意， 故选：C． 4．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，在中，，，，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中当和相似时，t的值为（   ） A．3或1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似． 先利用勾股定理计算出，由于为公共角，根据相似三角形的判定方法，当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程得到t的值． 【详解】解：，，， ， 根据题意得，，则， ， 当时，∽， 即， 解得； 当时，∽， 即， 解得， 综上所述，t的值为或， 故选：． 5．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（    ） A．或2 B．1或 C．或1 D．2或1 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，即；再求得；然后分和两种情况，分别根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵在中，对角线，相交于点O，，，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：． 综上，的长为1或． 故选B． 二、填空题 6．（25-26九年级上·广西崇左·期中）如图，在中，，则与的面积比为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 由可知与相似，由可知相似比，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 又， ． 故答案为：9． 7．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则和的周长之比为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质． 根据题意易得，再根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的周长∶的周长， 故答案为：． 8．（23-24九年级下·山东青岛·开学考试）如图，在菱形中，为上一点，连接、，且、交于点，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由菱形的性质得，则，所以，求得，则，所以，而，所以，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是菱形，为上一点，且、交于点， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， ，即， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·山东济南·期中）将正方体的部分展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，点，落在斜边上，若小正方形的边长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设，由可得，即得，再由即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设，则， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 10．（2025·全国·模拟预测）在矩形中，边，边，点E在上，且，点F为的中点，当是以为腰的等腰三角形时，的长度为 ． 【答案】8或18 【分析】本题主要考查矩形的性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理，分两种情况：若，若，解答即可． 【详解】解：在矩形中，， 若时，过点F作于点H，则， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 若时，如图， ∵点F为的中点， ∴， ∵， ∴8， ∴， 综上，的长度为8或18． 故答案为：8或18 三、解答题 11．（24-25九年级上·北京顺义·期末）如图，在四边形中，，，，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质， （1）根据“两边对应成比例及夹角相等的两个三角形相似”即可得证； （2）根据三角形相似的性质，对应边成比例即可求解； 【详解】（1）证明：，，， ．． ． 又， ． （2）解：， ． ， ． ． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，即可求证； （2）根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 在与中， ， ∴∽． （2）解：∵，，， ∴． ∵∽， ∴，即， ∴． 13．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，是半的直径，点在半上，，，连接、AC． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质，结合已知角的关系，证明，从而证得是切线； （2）通过得到直角，结合角的等量关系证明三角形相似，设未知数表示边长，利用勾股定理列方程求解的长． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵，是的直径， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握圆的切线判定方法、相似三角形的性质并合理设参计算是解题的关键． 14．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，点在上，且，，． (1)求线段的长； (2)将沿直线翻折，使点C落在点E处，交边于点F，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，平行线的性质，翻折变换的性质，熟练掌握以上知识点并找出相似三角形是解题的关键． （1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，可求出，再根据角角相等判定，然后根据相似三角形的性质可得，代入数据即可求解； （2）根据翻折的性质可得，，再根据平行线的性质可得，再进行等量代换，然后求出，再根据两角对应相等判定，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，， ， ，即， 或（舍去）． 即：． （2）解：由翻折的性质得，， ， ， ， ， ， ． 15．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，点、分别在边，上，、相交于点，，． (1)求证：； (2)吗？说明理由 (3)如果的面积为2，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)24 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由，得，即可得证； （2）由得，即可得证； （3）根据相似三角形面积之比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ． 又， ． （2）解：，理由如下： ， ． ． ． （3）解：， ． ， ， ． 设， ， ， ． ，， ． ， 解得． ． 16．（25-26九年级上·广东深圳·期中）【问题背景】 如图，在中，，，．将绕顶点C顺时针旋转一个角度，点A落在点，点B落在点，边与边相交于点D，与边相交于点E． 【特殊角】 （1）如图①，当时，画出图形后可得，此时，则______． （2）当时，利用尺规在图②中作出旋转后的（不写做法，保留作图痕迹），并直接写出的值______． 【特殊位置】 （3）如图③，当点恰好落在边上时，求的值． 【答案】（1）；（2）见解析；1；（3） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理： （1）结合旋转的性质可得，可证明，即可求解； （2）根据题意画出图形，设交于点F，则，可得到，，再由旋转的性质得：，可得，从而得到， （3）过点A作于点G，根据，， ∴，由旋转的性质得：，，，可得到，，然后根据，即可求解． 【详解】解：（1）由旋转的性质得∶ ，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴； 故答案为： （2）如图，即为所求； 由作法得：， 设交于点F，则， ∵， ∴，， ∴，， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过点A作于点G， 在中，∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $