专题08 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

专题08 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 类型二、同向双“A”字模型 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 压轴专练 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 图1　 　图2 　 （1）“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. （2）反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 例1．如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ，， ， 又， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ． 【变式1-1】如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M． (1)若，求的值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质． （1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解； （2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ，即， 的值为； （2）证明：， ，即， ， ， ， ， 点D是中点， ， ， ，即， ． 类型二、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 同向双“A”字模型 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 例2．如图，在中，点D，E分别在边上，，分别交线段，于点F，G，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形内角和定理得出，再由相似三角形的判定和性质确定，即可证明； （2）根据相似三角形的判定得出，再由性质得出，利用等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， 又∵=， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴． 【变式2-1】如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 图1 图2 图3 （1）“8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. （2）反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. （3）平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 例3．如图，在中，的平分线分别交于，那么 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质及角平分线的定义得到，再证明，得到即可得出结果． 【详解】解：在中，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，证明是解题的关键． 【变式3-1】如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 【变式3-2】如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 【变式3-3】如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC，形成△ADE与△ABC）；8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD，AD与BC相交于点O，形成△AOB与△COD），均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/AC=DE/BC，8字模型中AO/OD=BO/OC=AB/CD，可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对边平行+交点）模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比例式的灵活转换（如交叉相乘）。 例4．如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 【变式4-1】如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 【变式4-2】如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连结，，，与交于点G．已知四边形是平行四边形，且．    (1)若，求线段，的长． (2)若四边形的面积为48，求的面积． 【答案】(1)， (2)125 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质． （1）根据平行四边形的性质得出，即可得，，再根据相似三角形的性质及比例的性质即可； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的性质即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形 ； （2）， 四边形的面积为48 ∵ ∴ ∴，即 解得． 【变式4-3】如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，中，，，，则为（   ） A．40 B．35 C．25 D．20 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，由相似三角形的性质可知，结合，进一步即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， 解得：， ∴， 故选C 2．（25-26九年级上·湖南常德·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选B． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点D在边上，点E在线段上，交于点F，交于点G，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 过点D作，交于点，证，得，同理可得，进而，，再证，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：过点D作，交于点， 由题意可得：， ∴， ∴, 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，的中线、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：在中，中线、相交于点， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， 不能证明，故②错误； 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北衡水·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，点F为边上的点，已知和相似．若，，，则的长为（    ） A．或2 B．1或 C．或1 D．2或1 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，即；再求得；然后分和两种情况，分别根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵在中，对角线，相交于点O，，，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 当时，，即，解得：； 当时，，即，解得：． 综上，的长为1或． 故选B． 二、填空题 6．（23-24九年级上·河南周口·期中）如图，与相交于点E，点F在线段上，且，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，设，则，求出，再由，即可求出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·山东菏泽·期中）如图，在平行四边形中，线段交的延长线于点G，交于点F，交于点E，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 证明求出，设，则，，再证明即可求出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·甘肃张掖·期中）如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点，分别在，上，则这个正方形零件的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．设与交点为，正方形的边长为，则，根据正方形性质得到，进而得到，从而推出， 将相关值代入计算求解即可． 【详解】解：如图所示，设与交点为，正方形的边长为，则， 正方形的边在上， ， ， ， 即， 解得， 即这个正方形零件的边长为． 故答案为： ． 9．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 10．（2025九年级上·全国·专题练习）已知：如图，在中，，，，点D为上一个动点，正方形的顶点E、F都在边上，点G在外，若，则正方形边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质得到，，，求得，得到，根据全等三角形的性质得到，根据相似三角形的性质得到，求得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴正方形边长为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·河南开封·期中）如图，点，分别在的边，上，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两直线平行同位角相等，得出相等的角，然后根据相似三角形的判定定理即可得出结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， 解得． 12．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，线段，与交于点E． (1)求证：； (2)过点E作，交于点F，如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由可得、，易证，再根据相似三角形的性质即可证明结论； （2）先证明可得，进而得到，再证明可得，然后代入数据求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在菱形中，点E在边上，连结并延长，交的延长线于点F，连结交于点P，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键．（1）利用菱形的性质得，，得，由，即得；（2）由相似三角形性质和，得，得，由，得，由，即得． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由对称性知，， ∴， 又∵， ∴， （2）解：∵，， ∴， 由对称性知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·广东清远·期中）一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查矩形和正方形的性质、矩形的性质与判定，三角形相似的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（1）类似，证明，则，求出，与（2）同理，证明四边形是矩形，即，再求出面积，即可作答． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴ ∴； （2）解：设正方形零件的边长为， ∵四边形为正方形，高 ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）知， ， 同理，由， 得， ∴， ∵，高， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：如图：    与（1）同理得， ， ∵，，高， ， ， 与（2）同理，证明四边形是矩形， ∴， 即． ∴这个矩形的面积是 15．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点O，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)晒衣架完全稳固张开，求出此时，的长度； (3)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)见解析 (2)， (3)晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，即可证明； （2）证明，即可求解，再证明，即可求解； （3）过点作于点，过点作，在中，根据勾股定理，求得．证明，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵立杆相交于点， ． ， ， ∴； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； （3）解：如图，过点作于点，过点作， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴是边上的中线， ∴， 在中，根据勾股定理，得 ． ∴，即， 解得， 答：晒衣架上的连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖到地面上． 16．（25-26九年级上·河北邢台·期中）在平行四边形中，分别为边上两点，连接． (1)如图1，延长，与的延长线交于点，若，求的值； (2)如图2，连接，交于点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，求三角形的面积比等知识点，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，证明，然后根据对应边成比例求解即可； （2）延长相交于点，根据平行四边形的性质证明，得出对应边成比例，假设，，表示出相关线段的长度，得出，假设，表示出相关线段长度，然后根据等高三角形的面积比等于底的比，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）解：，如图，延长相交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴假设，则，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵与为等高三角形， ∴面积比等于底的比， ∴， ∴的值为． 17．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）已知中，，平分，，．点D、E分别是边上的点（点D不与点B、C重合），且，相交于点F． (1)求的长； (2)如图1，如果，求的值； (3)如果是以为腰的等腰三角形，求长． 【答案】(1)5 (2)9 (3)或 【分析】（1）先证，再证，最后根据相似三角形对应边成比例求解即可； （2）先证求出，过点作交于，根据平行证，再根据相似三角形的性质求解即可； （3）分三种情况讨论：当求解即可． 【详解】（1）解：平分， ， ， ，， ， ， ，即， ， ， ， ，即； （2）解：由（1）知，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作交于，如图1， ， ， ， 同理，； （3）解：分三种情况讨论： 当时，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）知，， ， ， ， ，即 ， 同理，， ， ． 当时，作的中垂线交于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 当时，这种情况不成立． 理由：作的垂直平分线，若，点应在上， ， 点不在上，此种情况不成立． 综上，的长为或． 18．（25-26九年级上·山西运城·期中）综合与探究 (1)如图1，在中，是边上的中线，点在边上，且，与相交于点．过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为______． (2)如图3，在中，点在的延长线上，且，点在上，且，求的值． (3)如图4，点分别在的边上，，，，是的中点，连接，并延长交于点，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加平行线构造相似三角形． （1）过点C作，交的延长线于点F，可证，根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由相似三角形的性质即可求求解； （2）过点作，交的延长线于点，则，则，设，，再由平行得到，即可求解； （3）过点作，交于点，交于点，则是的中位线，，可得四边形是平行四边形，设，则，由平行得到，则，那么，可得四边形是平行四边形，由平行得，则，再表示，即可的值． 【详解】（1）解：过点C作，交的延长线于点F， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ． ， ． 设，． ， ∴， ． ， ， ； （3）解：如图，过点作，交于点，交于点． ∴， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ． 设，则． ∵， ∴， ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08相似三角形中（双）A字型与（双)8字型 模型的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 类型二、同向双“A”字模型 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 压轴专练 典例详解 类型一、“A”字模型与反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相 等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. B 图1 图2 (1)A”字模型 条件：如图1，DEI‖BC:结论：△ADE~△ABCADAB=AEAC=DEBC (2)反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△ADE-△ACB=ADAC=AEAB -DEBC 例1.如图，在ABC中，AB=6,AC=8,D、E分别在AB、AC上，BD=2,CE=5. (I)求证：△AED∽△ABC. 1/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若DE=5,求BC的长 【变式1-I】如图，过ABC顶点C作直线与AB与及中线AD交于F、E,过D作DM∥FC交AB于M. M (I)若SAAEF:S西边形MDEr=2:3,求AE:ED的值： (2)求证：AE·FB=2AF·ED. 类型二、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相 等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. 同向双“A”字模型 条件：如图，EFBC,结论：△AEF-△ABC,△4EG-△ABD,△4GF-△4DCEG_FG-AG BD CD AD 例2.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，∠AED=∠B,AG分别交线段DE,BC于点F, G,且ADDF AC CG (1)求证：AG平分∠BAC; (2)求证： EF DF BG CG 【变式2-1】如图，D,E分别是AC,AB上的点，∠ADE=∠B,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F, 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AD=3,AB=5. B G 球积的微， (2)求ADE与ABC的周长之比： (3)若ADE的面积为4，求ABC的面积. 类型三、“8”字模型与反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定 这两个三角形相似： 图1 图2 图3 (1)“8”字模型 条件：如图1，AB‖CD;结论：△AOB-△COD=ABCD=OAOC= OBOD (2)反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D;结论：△AOB-△DOC=ABCD=OAOD -OBOC (3)平行双“8”字模型 条件：如图3，ABIICD;结论： AEBEAB DE CF CD DF 例3.如图，在口ABCD中，AB=6,AD=4,∠BAD的平分线AE分别交BD,CD于F,E,那么 BE 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-1】如图，BD、AC相交于点P,连接BC、AD,且∠I=∠2，AD=3,DP=2,CP=1,求BC的 长 D 【变式3-2】如图∠ADE=∠ACB,BD=10,CE=6,CF=3, (I)求证：△DBFn△CEF; (2)求DF的长. 【变式3-3】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点，连结DE,BD,CE,CE分 别与AD,BD交于点F,G. D (1)若BE=3CD,BC=12,求AF的长. (2)求证：GC2=GF.GE. 类型四、“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC,形成△ 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ADE与△ABC);8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD,AD与BC相交 于点O,形成△AOB与△COD),均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/AC=DE/BC,8字模型中 AO/OD=BO/OC=AB/CD,可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对 边平行+交点)模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组 比例式的灵活转换（如交叉相乘）。 例4.如图，正方形ABCD,边长为4，点E在边CD上，射线AE与射线BC交于点F. D E B C F (1)若CE=1,求CF的长： (2)求证：DE·BF=16. 【变式4-I】如图，在菱形ABCD中，点F在边CD上，连接AF并延长，交对角线BD于点E、BC的延 长线与点G. B C G (I)求证：AE是EG、EF的比例中项： 2若BC=6,DF=4,求5的值. EG 【变式4-2】如图，在ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，连结DE,DF,BE,DF与 BE交于点G.已知四边形DFCE是平行四边形，且DE=2 ·BC5 B F (1)若AC=25,求线段AE,GF的长. 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若四边形GFCE的面积为48，求ABC的面积. 【变式4-3】如图，AC是口ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长BF交 CD的延长线于点G. G A E (I)若∠ABF=∠ACF,求证：△ECFn△EGC. (2)若DG=DC,BE=6,求EF的长. (3)在(2)的条件下，若S△4EF=3,求S四边形cDFE 压轴专练 一、单选题 AB 3 1.(25-26九年级上山东济南期中)如图，4DE中，BC∥DE,DB,SEa0c=16,则S.e为（） B D A.40 B.35 C.25 D.20 2.(25-26九年级上·湖南常德·期中)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体 现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如 图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂 0A=120cm,阻力臂OB=40cm,BD=25cm,则AC的长度是() 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Q 9 D 甲 乙 A.80cm B.75cm C.50cm D.45cm 3.(25-26九年级上·浙江杭州期中)如图，在ABC中，AB=3,BC=5,点D在边AB上，点E在线段 CD上，EF I AB交BC于点F,EG‖BC交AC于点G,若EF=EG,则BD的长为() D B C A.2 B. 1 C.15 D.无法确定 4.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，ABC的中线AE、BD相交于点F,连接DE,则下列结论： %@a40a:92:06-88 ①DE1 CA FA .其中正确结论的个数是（) C B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.(25-26九年级上河北衡水期中)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为0C的中 点，点F为BC边上的点，已知△CEF和△CAD相似.若AB=4,OA=3,BC=8,则EF的长为() A. 3或2 B1成好 D.2或1 二、填空题 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(23-24九年级上河南周口期中)如图，AB与CD相交于点E,点F在线段BC上，且AC‖EF‖DB, 若BE=5,BF=3,AE=BC, BD的值为 A D 7.(25-26九年级上·山东菏泽·期中)如图，在平行四边形ABCD中，线段BG交CD的延长线于点G,交 AD于点F,交4C于点E,若AF=2FD,则E的值为 EG 8.(25-26九年级上·甘肃张掖·期中)如图，ABC是一块锐角三角形余料，边BC=60mm,高 AD=40mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边OM在BC上，其余两个顶点P,N分别在AB, AC上，则这个正方形零件的边长是 mm. D 9.(25-26九年级上·全国·课后作业)如图所示，在ABC中，DE∥BC,AQ平分∠BAC,交DE于点P, 如果DE=6,BC=8,AQ=12,那么AP的长是一· D 10.(2025九年级上·全国.专题练习)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1,BC=2,点D为 AB上一个动点，正方形DEFG的顶点E、F都在BC边上，点G在ABC外，若∠DGC=∠B,则正方形 8/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 边长为 G D B 三、解答题 11.(25-26九年级上河南开封期中)如图，点M,N分别在ABC的边AB,AC上，且MN∥BC. B (1)求证：△AMN∽△ABC. (②)若AM OBM=32,AN=6,求AC的长. 12.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，线段AB∥CD,AD与BC交于点E. B D (I)求证：AE·CE=DE·BE; (②)过点E作EF∥AB,交AC于点F,如果AB=8,EF=3,求CD的长. 13.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的 延长线于点F,连结AC交DE于点P,连结BP. D A B F (1)求证：△BPE∽△FPB. (②)若AD=6,PB=2PE,求BF的长. 9/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 14.(25-26九年级上广东清远期中)一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高AD=80mm, 把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上. B G DH D 图1 图2 (I)求证：△AEF∽aABC; (2)求这个正方形零件的边长： (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当EF=60mm时，这个矩形的面积是多少？ 15.(25-26九年级上·安徽安庆期中)【综合与实践】主题：X型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB,CD相交于点O,经测量， 得到AB=CD=136cm,OA=0C=51cm,0E=OF=34cm,现将晒衣架完全稳固张开，横杆链EF成一条线段， 测得EF=32cm B 图1 图2 (1)晒衣架完全稳固张开时，连接AC,证明：AC‖EF: (②)晒衣架完全稳固张开，求出此时AC，BD的长度； (3)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 16.(25-26九年级上·河北邢台期中)在平行四边形ABCD中，E,F分别为边BC,CD上两点，连接BF. D B E E 图1 图2 (①)如图1，延长BF,与AD的延长线交于点M,若CF=, >=，勺直 AM ②如图2，连接AE,交BF于点G,若C三=C二=？， CBCD3,求 BG正的值· S。ABG 10/11