专题05 平行线分线段成比例的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级下册

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05平行线分线段成比例的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用比例的性质求解 类型二、黄金分割 类型三、由平行判断成比例的线段 类型四、由平行截线求相关线段的长 类型五、由平行截线求相关线段的比值 压轴专练 典例详解 类型一、利用比例的性质求解 知识点总结 1.基本性质：若a:b=c:d(即号台)，则ad=bc(交叉相乘相等)，反之若ad=bc且b、d≠0，则 a:b=c:d,是比例变形的基础。 2.合分比性质：若号台，则骋号)（合比）、瑞（分比），适用于含和差关系的比例问题。 解题技巧 1.设参数法：设比例系数k,如=k,则a=bk、c=,将多元问题转化为单参数计算，简化过程。 2.巧用变形：遇复杂比例式时，利用基本性质转化为等积式，或通过合分比性质消去常数项，聚焦未知 量关系，快速建立等式求解。 例1.1)如果2030=-1，求2， a+b a (2)如果a+h-C_a-h+c=-a+h+C=k,求k的值 b a 【变式1-】已知a,b,c是48C的三边长，且2-3-4 "a b c 0深生2的。 (2)若ABC的周长为81，求三边a,b,C的长. 【变式1-2】求值： 1)已知a:bc=34,求9-2b+3c 3a+b-4c 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2已知g--=-1,且b-d+2f≠0，求0-c+2e b d f b-d+2f 的值 【安式13】已知0,6ade六个或：知果号-行于=6+d1:0,那么行 理由如下： :0=C=e=k(b+d+f≠0) bd f .a=bk,c=dk,e=（第一步) :日+c+e:bk+k+及_b+d+=k(第二步) b+d+f b+d+f b+d+f (1)解题过程中第一步应用了的基本性质；在第二步解题过程中， b+d+小=k应用了—的基 b+d+f 本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果20=2=9-2，则2a+b+c-一： 567 18 ②已知5-￥-号40，求+2y-2 345 x一y+的值： 类型二、黄金分割 黄金分割知识点总结： 1.核心定义：把线段分为两段，使较长段与全段的比等于较短段与较长段的比，比值约为0.618，该点 叫黄金分割点，此比例被认为具美学价值。 2.应用场景：广泛用于艺术（如绘画构图）、建筑（如金字塔设计）、工业设计，甚至人体结构中也存 在该比例，体现和谐美感。 解题技巧： 1.设元法：遇线段分割问题，设全段长为a,较长段为x,较短段为a-x,根据比例列方程x/a (a-x)/x,解方程求未知量，快速关联已知与未知。 2.比例转化：已知黄金比约0.618，若求较长段，用全段长乘0.618；求较短段，用全段长乘(1-0.618)， 直接套用比例简化计算。 例2.(25-26九年级上·福建漳州·期中)黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶 脉蕴含着黄金分割.如图，点B为AC的黄金分割点(AB>BC),AC长度为I6cm,则BC的长度为 cm(结果保留根号)· 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2-1】(25-26九年级上·陕西西安·期中)如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割 (AC>BC).己知AB=12cm,则AC的长为cm,(结果保留根号) 【变式2-2】(25-26九年级上·河南开封期中)建筑师在设计窗户的框架时，常采用黄金分割比 AB5-1 来增强美感.如图，窗户的宽度AC=24dm,B为AC的黄金分割点(AB>BC),则BC的长 AC 2 为dm. (结果保留根号) B 【变式2-3】(25-26九年级上·江西赣州期中)在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身 (腰部以下)的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计了一座高 度为2m的雷锋雕像. B (I)将雕像抽象成线段AB如图，雕像的上半身为AC,直接写出AC,BC,AB的数量关系： (②)求该雕像的下半身设计高度 3/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、由平行判断成比例的线段 知识点总结 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。例如若11∥12∥， 截直线a、b于点A、B、C和D、E、F,则是器。 2.三角形平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段 成比例，且截得的三角形与原三角形对应边成比例。 解题技巧 1.找截线与被截线：识别平行线组所截的两条直线，明确对应线段位置，避免比例项混淆。 2.构造辅助平行线：若图形中平行线不足，通过过关键点作平行线，将分散线段纳入比例关系中，转化 为可直接应用定理的模型。 例3.如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD,点E在AC边上，过点E作EF∥BC,交AD于点 F,过点E作EG∥AB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是() E D G A. AF_BG B. AEEF FD GC EC CD C. CG AF D. EF EG BG AD CD AB 【变式3-1】如图，已知直线AB∥CD∥EF,下列结论中不成立的是() B C D AC BD A. B. AC CE C.AE、BF CE DF BD DE CE DF n.=2 【变式3-2】如图，AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,则下列结论错 误的是() 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 BC 3 CD 1 CD 1 BG 1 A. CE-5 B. AB2 c.1 F5 D. BE4 【变式3-3】如图，在平行四边形ABCD中，E是线段CD延长线上的一个点，连接BE,交AD于点F,连 接AC交BE于点G,下列说法错误的是() A G A. CD AF B. EFDF C. AG_FG D. CD BF DE DF BF BC CG BG CE BE 类型四、由平行截线求相关线段的长 知识点总结 1.平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例。若AB∥CD∥EF,截直线 m、n于点A、CE和B、D、F,则能器。 2.相似三角形判定与性质：平行于三角形一边的直线截另两边，形成的三角形与原三角形相似，对应边 成比例，可通过相似比求线段长度。 解题技巧 1.确定对应线段：根据平行线找准截得的对应线段，标记已知量与未知量，明确比例关系中的分子分母 对应关系。 2.列方程求解：设未知线段长为x,依据比例关系列方程，结合基本性质交叉相乘转化为整式方程计算， 复杂图形可拆分简化。 例4.如图，己知lIl4II,它们依次交直线(、于点E、A、C和点D、A、B,如果AD=2,AE=3, AB=4,那么AC= D B 【变式4-1】如图，直线AC、DF被平行线所截，交点分别为A、D、B、E、C、F,且AB=3, BC=5,EF=4,则DE=一 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E b 【变式4-2】如图，己知ABII CD‖EF,4AF与BE交于O点，若AF=9,B0=2,OC=1,CE=4,求DF和 OD的长 E 【变式4-3】如图，a∥b∥c.直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F. A B E b C F n (1)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长； (2)若AB:BC=2:5,DF=14,求EF的长. 类型五、由平行截线求相关线段的比值 知识点总结 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。例如直线11∥飞∥ 截直线a、b于点A、B、C和D、E、F,则是器，可直接用于求线段比值。 2.三角形相似的性质：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似， 对应边的比等于相似比，由此可推导线段间的比值关系。 解题技巧 1.标注线段对应关系：在图形中明确平行线截得的对应线段，用符号或颜色区分，避免比例项错位。 2.转化比例关系：遇复杂图形时，通过等量代换将所求比值转化为己知线段的比例，或利用合比、分比 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 性质简化计算，快速得出结果。 例5.如图，AD∥BE∥FC,它们依次交直线4，Z于点A,B,C和点D,E,F,若AB=2,BC=3, 则DE的值是】 DE h l2 A D F C 【变式5-1】如图，直线AF,BE相交于点O,且AB∥CD∥EF,若A0=3,D0=1,DF=3,则 BC CE B D E 式52】如图，点D,E,F分别在ABC的边上，}DE∥BC,EF∥AB,点M是DF的b 点，连接CM并延长交AB于点N,求的值. CM D B F 【变式5-3】如图，AD是ABC的中线. E D I)若E为AD的中点，射线CE交AB于点F,求 E: 2)若E为AD上的点，且5=，射线CE交AB于点F,求4F BF 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上陕西咸阳期中)已知a,b,c,d是成比例线段，且a=8,b=4,c=4,则d的长 度为() A.2 B.3 C.4 D.5 225-26九年级上.雷晶期已=b+d≠，则随为() b+d 25 B.d 5 C.1 D3 3.(25-26九年级上全国课后作业)如图，在ABC中，点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点， DE∥BC,EF∥AB,且AD:DB=3:5,则CF:CB=() D A.2:5 B.3:5 C.3:8 D.5:8 4.(2025九年级上山西晋中.专题练习)如图，AB‖CD‖EF,则下列关系式一定成立的是() B D E F A. AC DF CE BD B. AC BD C.AC_CE D. AC BD CE BE BD DE AE DF 5. (25-26九年级上山东青岛期中)黄金分割（比值约为0.618）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比 例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感.如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处B点恰好是横画AC的 黄金分割点(AB>BC),若横画AC的长为2cm,则AB的长为()（结果保留到0.1cm) 8/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.0.8cm B.1.2cm C.1.4cm D.1.6cm 6.(25-26九年级上山西晋中期中)古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其 部分琴弦的示意图.已知弦l∥1，∥3∥14∥1∥1。，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦4上一点，过点P作 射线PA,交弦。于点A,交弦马于点E.若AP=10,则AE的长为() 1261456 A.4 B.5 C.6 D.7 二、填空题 7. 2②526九年级上吉林长春期)者子，则2代数式的管是 x+2y 8. (25-26九年级上江苏泰州期中)如图，直线AD、BC交于点O,AB∥EF∥CD,若B0=2,OE=1, EC=2,则 AF 的值为 A B EF C D 9. (25-26九年级上·广东深圳期中)如图，乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器面板 上，支撑点C和D是线段AB的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为cm(结果保留根号). y D B 10.(25-26九年级上·河南南阳·期中)折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的 喜爱.如图是一个三层折叠花架，己知AB∥CD∥EF,AC=30cm,CE=50cm,BD=42cm,则BF的 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 长为 11.(25-26九年级上广东揭阳月考)如图，在ABC中，点D是BC上一点，E,F,G分别是 ,CD上的点，且EF∥BC,FG∥AC,若A花=号，CD=5,则DG的长为 D G 12.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，点A在反比例函数y=《(化≠0)的图象上，点B在x轴的负 半轴上，直线4B与y轴交丁点C,若侣△408的面积为18，则大的值为一 B 三、解答题 ®。2526九年级上浙杭州期中)卫知名多求私衫 a 2已知号-行R证：分名-d0. 14.(25-26九年级上安微合肥期中)已知ab3E是ABC的三边长，且9=≠0，求： 346 02兰的直 (2)若ABC的周长为91，求各边的长 15.(2025九年级上山西晋中.专题练习)如图，在ABC中，D,E分别是AB和AC上的点，且 DE∥BC, 10/13 专题05 平行线分线段成比例的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用比例的性质求解 类型二、黄金分割 类型三、由平行判断成比例的线段 类型四、由平行截线求相关线段的长 类型五、由平行截线求相关线段的比值 压轴专练 类型一、利用比例的性质求解 知识点总结 1.基本性质：若a:b = c:d（即=），则ad = bc（交叉相乘相等），反之若ad = bc且b、d≠0，则a:b = c:d，是比例变形的基础。 2.合分比性质：若=，则=）（合比）、=（分比），适用于含和差关系的比例问题。 解题技巧 1.设参数法：设比例系数k，如==k，则a = bk、c = dk，将多元问题转化为单参数计算，简化过程。 2.巧用变形：遇复杂比例式时，利用基本性质转化为等积式，或通过合分比性质消去常数项，聚焦未知量关系，快速建立等式求解。 例1．（1）如果，求； （2）如果，求k的值 【答案】（1）；（2）1或 【分析】（1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，k的值为1或． 【变式1-1】已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了分式化简求值的运用，熟练掌握其方法，利用已知的比例关系，合理设出未知数，代入求值是解答本题的关键． （1）由已知条件，确定了三边，，的比例关系，因此设，则，，代入，计算结果； （2）由（1）设，则，，代入，求出的值，分别代入，，，求出三边，，的长． 【详解】（1）解：由已知条件知： ， 设，则， （2）由（1）设，则， ， 得 ，，． 【变式1-2】求值： (1)已知，求； (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解决此题的关键． （1）先由，可设，进而代入待求式中计算即可； （2）先由，且，得，再代入所求的式子中计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴设， ∴ ； （2）解：∵，且， ∴, ∴ ． 【变式1-3】已知a，b，c，d，e，f六个数，如果，那么． 理由如下： ∵ ∴，，（第一步） ∴（第二步） (1)解题过程中第一步应用了______的基本性质；在第二步解题过程中，应用了______的基本性质； (2)应用此解题过程中的思路和方法解决问题： ①如果，则______； ②已知，求的值． 【答案】(1)比例，比例 (2)①2，② 【分析】此题考查了比例的性质，仿照例题方法用同一个字母表示所有未知数是解题的关键： （1）根据比例的基本性质解答； （2）①根据比例的性质得到，代入计算即可； ②设，则，代入化简可得答案 【详解】（1）解：解题过程中第一步应用了比例的基本性质；在第二步解题过程中，应用了比例的基本性质 （2）①∵， ∴， ∴ 故答案为2； ②设，则， ∴ 类型二、黄金分割 黄金分割知识点总结： 1. 核心定义：把线段分为两段，使较长段与全段的比等于较短段与较长段的比，比值约为0.618，该点叫黄金分割点，此比例被认为具美学价值。 2. 应用场景：广泛用于艺术（如绘画构图）、建筑（如金字塔设计）、工业设计，甚至人体结构中也存在该比例，体现和谐美感。 解题技巧: 1. 设元法：遇线段分割问题，设全段长为a，较长段为x，较短段为a-x，根据比例列方程x/a=(a-x)/x，解方程求未知量，快速关联已知与未知。 2. 比例转化：已知黄金比约0.618，若求较长段，用全段长乘0.618；求较短段，用全段长乘(1-0.618)，直接套用比例简化计算。 例2．（25-26九年级上·福建漳州·期中）黄金分割广泛存在于艺术、自然、建筑等领域，例如，枫叶的叶脉蕴含着黄金分割．如图，点B为的黄金分割点，长度为，则的长度为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，根据黄金分割的定义可知，，由此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段近似于黄金分割．已知，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：点C分线段近似于黄金分割点， ， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南开封·期中）建筑师在设计窗户的框架时，常采用黄金分割比来增强美感．如图，窗户的宽度，为的黄金分割点，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题主要考查黄金分割比，熟练掌握黄金分割比是解题的关键；因此此题可根据黄金分割比进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·江西赣州·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． (1)将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； (2)求该雕像的下半身设计高度． 【答案】(1)； (2)该雕像的下半身设计高度为． 【分析】本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（或）． （2）解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 类型三、由平行判断成比例的线段 知识点总结 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得对应线段成比例。例如若l1∥ l2∥ l3，截直线a、b于点A、B、C和D、E、F，则=。 2.三角形平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得对应线段成比例，且截得的三角形与原三角形对应边成比例。 解题技巧 1.找截线与被截线：识别平行线组所截的两条直线，明确对应线段位置，避免比例项混淆。 2.构造辅助平行线：若图形中平行线不足，通过过关键点作平行线，将分散线段纳入比例关系中，转化为可直接应用定理的模型。 例3．如图，在中，点在边上，连接，点在边上，过点作，交于点，过点作，交于点，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．．据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3-1】如图，已知直线，下列结论中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ，， ， 选项A、B、C正确，不符合题意， 故选：D． 【变式3-2】如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【详解】解：A． ，则，正确，故本选项不符合题意； B．，则，正确，故本选项不符合题意； C．，则，错误，故本选项符合题意； D．，则，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-3】如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 【详解】∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； ∵平行四边形， ∴， ∴, 故D正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B错误； 故选B． 类型四、由平行截线求相关线段的长 知识点总结 1. 平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，所得对应线段成比例。若AB∥ CD∥ EF，截直线m、n于点A、C、E和B、D、F，则=。 2. 相似三角形判定与性质：平行于三角形一边的直线截另两边，形成的三角形与原三角形相似，对应边成比例，可通过相似比求线段长度。 解题技巧 1. 确定对应线段：根据平行线找准截得的对应线段，标记已知量与未知量，明确比例关系中的分子分母对应关系。 2. 列方程求解：设未知线段长为x，依据比例关系列方程，结合基本性质交叉相乘转化为整式方程计算，复杂图形可拆分简化。 例4．如图，已知，它们依次交直线、于点、、和点、、，如果，，，那么 ． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论． 本题考查了平行线分线段成比例，找准对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：6． 【变式4-1】如图，直线被平行线所截，交点分别为，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理可得，据此即可求解，掌握平行线等分线段定理是解题的关键． 【详解】解：∵直线被平行线所截， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，已知,与交于点，若 ，求和的长． 【答案】, 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键． 先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 【变式4-3】如图，．直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F．    (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 类型五、由平行截线求相关线段的比值 知识点总结 1.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。例如直线l1∥ l2∥ l3截直线a、b于点A、B、C和D、E、F，则=，可直接用于求线段比值。 2. 三角形相似的性质：平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似，对应边的比等于相似比，由此可推导线段间的比值关系。 解题技巧 1.标注线段对应关系：在图形中明确平行线截得的对应线段，用符号或颜色区分，避免比例项错位。 2.转化比例关系：遇复杂图形时，通过等量代换将所求比值转化为已知线段的比例，或利用合比、分比性质简化计算，快速得出结果。 例5．如图，，它们依次交直线，于点，，和点，，，若，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 根据平行线分线段成比例可得，代入即可求得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【变式5-1】如图，直线，相交于点，且，若，，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】， ， ，，， ， 故答案为：． 【变式5-2】如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，设与的交点为H， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，是的中线． (1)若为的中点，射线交于点，求； (2)若为上的一点，且，射线交于点，求 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ，即， 由（1）知， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，则d的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段，理解成比例线段的定义是解题的关键． 根据成比例线段的定义，得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故选：A． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期中）已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，根据比例关系，将 和分别用和表示，然后代入所求分式化简即可求值，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点，，分别是边，，上的点，，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 先由得到，那么，再由即可得到． 【详解】解： ． 故选：D． 4．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）如图，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是找好对应关系；根据定理内容列比例式即可． 【详解】解：∵ ∴， 故选：C ． 5．（25-26九年级上·山东青岛·期中）黄金分割（比值约为）具有比例性、和谐性，通过黄金分割比例优化笔画分布，可使字形呈现动态平衡美感．如图，“寸”字的横画与竖钩的交接处点恰好是横画的黄金分割点（），若横画的长为，则的长为（    ）（结果保留到） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了黄金分割的定义，把，代入求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴． 故选B． 6．（25-26九年级上·山西晋中·期中）古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图．已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，是弦上一点，过点作射线，交弦于点，交弦于点．若，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线所截线段对应成比例，解题的关键是掌握该性质． 根据平行线所截线段对应成比例求解即可． 【详解】解：∵，且相邻两弦之间的距离相等， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 7．（25-26九年级上·吉林长春·期中）若，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例的性质，设，（），代入代数式进行化简求值． 【详解】∵， ∴设，（）， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，直线、交于点，，若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解题的关键．由平行线分线段成比例可得，，，得出，，根据即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ，， ， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C和D是线段的两个黄金分割点，则支撑点C到端点A的距离为 （结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由图可得，支撑点是线段的黄金分割点（靠近端点B），则，再根据即可求解． 【详解】解：由图可得，支撑点是线段的黄金分割点（靠近端点B）， ∴线段是较长部分， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 10．（25-26九年级上·河南南阳·期中）折叠花架因设计巧妙、充分利用空间、灵活收纳等功能受到人们的喜爱．如图是一个三层折叠花架，已知，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，由，可得与的比等于与的比，代入已知数据求出，再求． 【详解】解：∵， ∴ ，即，解得． ∴ ． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图，在中，点D是上一点，E，F，G分别是上的点，且．若，，则的长为 ．     【答案】2 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，由得，得到；由得，从而可求的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 12．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，点A在反比例函数的图象上，点 B在x轴的负半轴上，直线 与 y轴交于点C ，若 的面积为 18，则 k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握反比例函数系数的几何意义，求出的面积．根据三角形的面积公式可得，进而求出答案． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为， ∵轴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵的面积为18， ∴， ∵点A在第一象限， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）（1）已知，求； （2）已知，求证：． 【答案】（1）2；（2）见解析 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题． （1）设，且，然后代入计算即可． （2）设，则，，然后代入计算即可得证． 【详解】（1）解：设，且， ∴； （2）证明：设，则，， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）已知是的三边长，且，求： (1)的值． (2)若的周长为91，求各边的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查比例的性质，比例的应用等知识，设，从而用表示出是解题的关键． （1）设，从而用表示出，再代入化简即可得解； （2）根据的周长为，即，从而将（1）中的结论代入求出t即可得解． 【详解】（1）解：设， ，，， 代入，得； （2）由题意知，， 则， 解得， ，，． 15．（2025九年级上·山西晋中·专题练习）如图，在中，D，E分别是和上的点，且， (1)若，求的长 (2)若，求的长 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，正确得到比例式是解题的关键． (1)根据平行线分线段成比例，可以求得的长； (2)根据平行线分线段成比例，可以求得的长，从而可以求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴． 16．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）如图，在中，，． (1)求证： (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理． （1）由，求得，由求得，据此即可得到； （2）设，，求得，，再根据可求得，再根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的长为10． 17．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段，，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点C叫作线段的黄金分割点． (1)如图1，已知点C为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ∵， ∴…… 请补全以上解题过程； (2)如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点．（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程，黄金分割的定义，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）代入数据，再解一元二次方程即可； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点 【详解】（1）解：设，，则． ∵， ∴， 解得，， 经检验，，是原分式方程的解。 ∵线段的长度不能为负数， ∴， ∴， ∴黄金比为． （2）如图，点P即为的黄金分割点． 18．（2025九年级上·全国·专题练习）求比例式的值常用的方法有“设参消参法”“代入消元法”“特殊值法”． 例：已知，求的值． 方法1：设，则，，．所以． 方法由，得，．代入，得． 方法取，，，则． 参考上面的资料解答下列问题：已知，，为的三条边，且，． (1)求，，的值； (2)判断的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形，见解析 【分析】本题考查比例性质、勾股定理的逆定理，掌握比例的性质是解答的关键． （1）设，，，然后列方程组求得k值，进而求得a、b、c的值． （2）利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）解：设，，， 则， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴，，． （2）解：，， ． 是直角三角形． 19．（25-26九年级上·四川成都·月考）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 20．（25-26九年级上·广东佛山·期中）【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 【初步体验】 （1）如图1，在△ABC中，点D、F在AB上，E、G在AC上，．若，则 ， ， ． （2）学生将一张正方形纸片连续对折两次展开，得到图2，再将图2沿着对角线对折一次，得到图3，对角线分别与折痕的交点K、L、M即为对角线的四等分点．请在图3中画出AB的三等分点N（不写作法，保留作图痕迹） 【深入探究】用尺规作图将线段三等分已知：线段，如图4． 求作：点C、点D，使点C、D在线段上，且． 作法：①作射线．（如图5） ②在射线上依次截取线段，使，连接． ③分别过点M、N作平行于的直线交于点C、D．则点C、D为所求的点． 【问题解决】 （3）已知：如图6，是的一条中线．用与上面不同的方法，用尺规作图作出的一个三等分点N，并证明：．（不写作法，保留作图痕迹） （4）已知：图7在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别为和．请直接写出线段的三等分点C的坐标． 【答案】（1）3，，（2）见解析（3）见解析（4）或 【分析】本题主要考查了两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，基本尺规作图——平行线和垂直平分线，三角形中位线的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例进行求解即可； （2）连接，过点作的平行线即可； （3）作线段的垂直平分线，连接交于点，即为所求，构造出三角形中位线，再利用两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例即可得出结论； （4）根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ； 故答案为：3，，； （2）如图，点即为线段的三等分点； （3）如图，点即为所求，证明如下： 连接， ∵点分别为线段的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴； （4）根据题意得 线段的三等分点C的坐标为 ，即； 或，即； ∴点C的坐标为即或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $