精品解析：新疆实验中学2026届高三上学期攻坚突破质量检测（第三次月考）数学试题

2023级新疆实验中学高三攻坚突破质量检测（第三次月考） 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页.答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上. 2．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带. 3．考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足，则（ ） A. 8 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对 进行化简，再根据复数模的计算公式求解． 【详解】， ， ， 故选：D． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出二次不等式后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】，解得 或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求对数函数的值域可得集合B，再应用集合的交运算求. 【详解】由题设，，又， 所以. 故选：D 4. 给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线BC的斜率，再通过点斜式写出该直线的方程，最后将选项中的点代入方程验证，确定符合条件的点. 【详解】，设过点且与直线垂直的直线斜率为 ， 由，得， 过点A(1,0)、斜率为1的直线方程是，即. 对A：代入：，不满足； 对B：代入：，满足； 对C：代入：，不满足； 对D：代入：，不满足. 故选：B 5. 如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点 满足，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算一步步将向量化为关于，，，即可整理得出答案. 【详解】， ， ， ， . 故选：B. 6. 已知，，则在上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在上的投影向量坐标，再求其关于xOz平面对称的向量，即得答案. 【详解】由题意知，，则， 则在上的投影向量为， 故在上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为， 故选：C 7. 如图，圆锥的底面直径为2，高为4，过线段上的一点作平行于底面的截面，以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据相似三角形的性质求出圆柱的高与圆柱半径之间的关系，然后列出圆柱表面积的表达式，根据一元二次函数的性质即可求出最大值. 【详解】根据相似三角形的性质可得：，得到，. 则圆柱的表面积为：. 所以当时，圆柱取最大值. 故选：B. 8. 已知 是棱长为6的正方体的一条体对角线，点 在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 【答案】C 【解析】 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为 ，则， 则 ， 由于点 在正方体表面上运动，故的最小值为球心 与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，逐项计算判断即可. 【详解】正数满足， 对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当，即取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 10. 已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】以向量、方向为x，y轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量，可计算取值范围，即得结果. 【详解】依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（ 表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，， 因为，，，， 所以，故，， 故，故可以是选项中的0，1，. 故选：ABC. 11. 在直三棱柱中，，， ， 分别是，的中点， 在线段上，则（ ） A. 平面 B. 直线 与平面 所成角的正弦值为 C. 直线 与直线 所成角最小时，线段 长为 D. 直三棱柱的外接球半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明判断A；由线面角的向量求法计算判断B；利用异面直线向量求法求出直线 与直线 所成角最小时点 的位置判断C；确定直三棱柱的外接球球心位置并计算半径，D正确． 【详解】在直三棱柱中，平面 ，又 ， 平面 ， 则，，又，因此 ， ，两两垂直， 以为坐标原点， ， ，所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，如图： 对于A，点，，， 平面的一个法向量为，则，又 平面， 因此平面，A正确： 对于B，平面 的一个法向量为，设直线 与平面 所成的角为 ， 则，B错误；； 对于C，点， 由 在线段上，设，其中， 则， 因此直线 与直线 所成的角的余弦值为， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值， 由余弦函数单调性得此时直线 与直线 所成的角最小，因此，， 线段 长为，C错误; 对于D，由，，得 为等腰直角三角形， 外接圆圆心为的中点，外接圆半径为， 因此直三棱柱的外接球球心即为的中心 ，， 则外接球半径为，D正确． 故答案为：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式列式计算. 【详解】由，得. 故答案为： 13. 若函数在上存在单调递减区间，则实数 的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可. 【详解】依题意，在区间上有解， 即在区间上有解， 设，则，故只需求在上的最小值， 而，当 时，取得最小值，故得， 则实数 的取值范围为. 故答案为： 14. 已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图，利用正四面体的结构性质，计算相关线段长度（如高 ），结合体积法（将正四面体体积分解为四个以内切球心为顶点的小三棱锥体积之和）求出内切球半径 ，通过分析空隙处小球的位置，构造相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例求出空隙处小球的最大半径，最后根据球的体积公式计算小球体积即可． 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为 ，半径为 ，空隙处的最大球球心为， 半径为，由正四面体结构特征可知 为 的中心，面，设 为 中点，球 和球分别与面 相切于 和 ． 易得， 由，可得， 又，， 故，，， 又由，可得，即，解得，即空隙处的最大球的半径为． 所以空隙处的最大球的体积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，，， 是中点． （1）求证：直线 平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC与BD交于点N，连接MN，根据中位线定理可得，进而得证； （2）由 平面 ， 是中点，可得 到平面 的距离为，再根据等体积法求解即可． 【小问1详解】 连接AC与BD交于点N，连接MN， 则MN为△PBD的中位线，所以 又平面，平面， 所以直线PB∥平面. 【小问2详解】 ∵ 平面 ， 是中点， ∴ 到平面 的距离为， 又, ∴三棱锥的体积. 16. 已知正项数列的前 项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前 项和为，求使的最小的正整数 的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）利用与之间的关系，先讨论当时，得出，再利用完全平方公式及正项数列求得，利用等差数列的定义判断出是等差数列，再验证当是否成立即可； （2）利用错位相减法，求出，进一步证明其单调性，计算出当，即可求解． 【小问1详解】 当时， 由， 得， 两式相减得， 即． 是正项数列， ． 当时，， ， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ． 【小问2详解】 由（1）知， ， 两式相减得 ． ， 单调递增． 当时，， 当时，， 使的最小的正整数 的值为8． 17. 记 内角， ，的对边分别为 ，， ，已知. （1）求角的大小； （2）若 的面积为， 的角平分线 交于点 ，且，求 的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和的正弦公式计算得出，最后应用角的范围求解； （2）应用角平分线结合面积公式计算得出且，最后应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得， ， ，，， 又，. 【小问2详解】 由题知 是 的角平分线，则， ，. ， ，即，， 由余弦定理和，得， 即. 的周长. 18. 如图，四棱锥 的底面 是正方形， 平面 ，.已知 ， 分别为 ，的中点，平面 与棱 交于点 . （1）求证：平面 ； （2）求平面与平面 的夹角的余弦值； （3）判断线段 上是否存在一点 ，使得点 到平面的距离为？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，则， 在正方形 中， ，因，平面 ， 则 平面 ，因 平面 ，则， 又，点 是 的中点，则， 又因为， 平面 ，故平面 . （2） （3）在线段 上存在一点H，使得点H到平面的距离为，或 【解析】 【分析】（1）先由条件证明 平面 ，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段 上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得 的值，从而得到点H的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面 ，因 平面 ，则， 因 平面 ， 平面 ，则， 又，，平面 ，所以 平面 ， 因平面 ，则， 又因为 是的中点，，则， 因，平面，则 平面， 因 平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1） 平面 ，因平面 ，则 ，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. 以点 为原点，分别以 所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令 ，得， 所以平面的一个法向量为， 而平面 的法向量可取为， 设平面与平面 的夹角为 ， 则， 所以平面与平面 的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 假设线段 上是存在一点，使得点 到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段 上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 19. 已知函数. （1）当 时，求在 处的切线与坐标轴围成的三角形面积； （2）若对任意的 ，恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1）函数在 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为； （2） 的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义求函数在 处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求结论； （2）由已知当 时，不等式恒成立，证明函数，的单调性，由此可得当 时，恒成立，利用导数求函数，的最大值，由此可得结论. 【小问1详解】 因为， ， 所以， 所以函数的定义域为，，， 所以， 所以函数在 处的切线方程为，即， 取，可得 ，所以直线与 轴的交点为， 取 ，可得，所以直线与 轴的交点为， 所以函数在 处的切线与坐标轴围成的三角形面积， 【小问2详解】 因为， 不等式，又 ， 所以不等式， 由已知当 时，不等式恒成立，故 ， 设，，则， 函数在上单调递增， 当 时，，，， 所以不等式， 所以当 时，恒成立， 设，，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当 时，， 所以. 所以 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级新疆实验中学高三攻坚突破质量检测（第三次月考） 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页.答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上. 2．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带. 3．考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数 满足，则（ ） A. 8 B. C. 5 D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点 满足，设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则在上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆锥的底面直径为2，高为4，过线段上的一点作平行于底面的截面，以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知 是棱长为6的正方体的一条体对角线，点 在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 10. 已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 在直三棱柱中，，， ， 分别是，的中点， 在线段上，则（ ） A. 平面 B. 直线 与平面 所成角的正弦值为 C. 直线 与直线 所成角最小时，线段 长为 D. 直三棱柱的外接球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为______. 14. 已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ，，， 是 中点． （1）求证：直线 平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知正项数列的前 项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前 项和为，求使的最小的正整数 的值． 17. 记 内角， ， 的对边分别为，， ，已知. （1）求角的大小； （2）若 的面积为， 的角平分线 交于点 ，且，求 的周长. 18. 如图，四棱锥 的底面 是正方形， 平面 ，.已知 ， 分别为 ，的中点，平面 与棱 交于点 . （1）求证：平面 ； （2）求平面与平面 的夹角的余弦值； （3）判断线段 上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当 时，求在 处的切线与坐标轴围成的三角形面积； （2）若对任意的 ，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $