精品解析：新疆实验中学2025-2026学年高三上学期攻坚突破质量检测（第三次月考）数学试题

2023级新疆实验中学高三攻坚突破质量检测（第三次月考） 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页.答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上. 2．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带. 3．考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 8 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对进行化简，再根据复数模的计算公式求解． 【详解】， ， ， 故选：D． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出二次不等式后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】，解得或， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求对数函数的值域可得集合B，再应用集合的交运算求. 【详解】由题设，，又， 所以. 故选：D 4. 给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线BC的斜率，再通过点斜式写出该直线的方程，最后将选项中的点代入方程验证，确定符合条件的点. 【详解】，设过点且与直线垂直的直线斜率为， 由，得， 过点A(1,0)、斜率为1的直线方程是，即. 对A：代入：，不满足； 对B：代入：，满足； 对C：代入：，不满足； 对D：代入：，不满足. 故选：B 5. 如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算一步步将向量化为关于，，，即可整理得出答案. 【详解】， ， ， ， . 故选：B. 6. 已知，，则在上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出在上的投影向量坐标，再求其关于xOz平面对称的向量，即得答案. 【详解】由题意知，，则， 则在上的投影向量为， 故在上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为， 故选：C 7. 如图，圆锥的底面直径为2，高为4，过线段上的一点作平行于底面的截面，以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据相似三角形的性质求出圆柱的高与圆柱半径之间的关系，然后列出圆柱表面积的表达式，根据一元二次函数的性质即可求出最大值. 【详解】根据相似三角形的性质可得：，得到，. 则圆柱的表面积为：. 所以当时，圆柱取最大值. 故选：B. 8. 已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 【答案】C 【解析】 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用，逐项计算判断即可. 【详解】正数满足， 对于A，由，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，， 当且仅当，即时取等号，B错误； 对于C，，当且仅当，即取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 10. 已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】以向量、方向为x，y轴建立坐标系，则终点在单位圆上的向量，可计算取值范围，即得结果. 【详解】依题意，、是一组垂直的单位向量，如图建立坐标系，向量、作为一组垂直的单位基底可以表示单位圆上任一点C（表示由x轴非负半轴旋转到OC所形成的角）构成的向量，， 因为，，，， 所以，故，， 故，故可以是选项中的0，1，. 故选：ABC. 11. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 直线与直线所成角最小时，线段长为 D. 直三棱柱的外接球半径为 【答案】AD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系利用空间位置关系的向量证明判断A；由线面角的向量求法计算判断B；利用异面直线向量求法求出直线与直线所成角最小时点的位置判断C；确定直三棱柱的外接球球心位置并计算半径，D正确． 【详解】在直三棱柱中，平面，又，平面， 则，，又，因此，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图： 对于A，点，，， 平面的一个法向量为，则，又平面， 因此平面，A正确： 对于B，平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为， 则，B错误；； 对于C，点， 由在线段上，设，其中， 则， 因此直线与直线所成的角的余弦值为， 令函数，求导得， 当时，，当时，， 因此在上单调递增，在上单调递减，则当时，取得最大值， 由余弦函数单调性得此时直线与直线所成的角最小，因此，， 线段长为，C错误; 对于D，由，，得为等腰直角三角形， 外接圆圆心为的中点，外接圆半径为， 因此直三棱柱的外接球球心即为的中心，， 则外接球半径为，D正确． 故答案为：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式列式计算. 【详解】由，得. 故答案为： 13. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用，经等价转化得到在区间上有解，故只需求在上的最小值即可. 【详解】依题意，在区间上有解， 即在区间上有解， 设，则，故只需求在上的最小值， 而，当时，取得最小值，故得， 则实数的取值范围为. 故答案为： 14. 已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作图，利用正四面体的结构性质，计算相关线段长度（如高），结合体积法（将正四面体体积分解为四个以内切球心为顶点的小三棱锥体积之和）求出内切球半径，通过分析空隙处小球的位置，构造相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例求出空隙处小球的最大半径，最后根据球的体积公式计算小球体积即可． 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球球心为，半径为，空隙处的最大球球心为， 半径为，由正四面体结构特征可知为的中心，面，设为中点，球和球分别与面相切于和． 易得， 由，可得， 又，， 故，，， 又由，可得，即，解得，即空隙处的最大球的半径为． 所以空隙处的最大球的体积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点． （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 证明：连接AC与BD交于点N，连接MN， 则MN为△PBD的中位线，所以 又平面，平面， 所以直线PB∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接AC与BD交于点N，连接MN，根据中位线定理可得，进而得证； （2）由平面，是中点，可得到平面的距离为，再根据等体积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵平面，是中点， ∴到平面的距离为， 又, ∴三棱锥的体积. 16. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）利用与之间的关系，先讨论当时，得出，再利用完全平方公式及正项数列求得，利用等差数列的定义判断出是等差数列，再验证当是否成立即可； （2）利用错位相减法，求出，进一步证明其单调性，计算出当，即可求解． 【小问1详解】 当时， 由， 得， 两式相减得， 即． 是正项数列， ． 当时，， ， 数列是以为首项，1为公差的等差数列， ． 【小问2详解】 由（1）知， ， 两式相减得 ． ， 单调递增． 当时，， 当时，， 使的最小的正整数的值为8． 17. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用正弦定理结合两角和的正弦公式计算得出，最后应用角的范围求解； （2）应用角平分线结合面积公式计算得出且，最后应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理得， 得， ， ，，， 又，. 【小问2详解】 由题知是的角平分线，则， ，. ， ，即，， 由余弦定理和，得， 即. 的周长. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面，平面，则， 在正方形中，，因，平面， 则平面，因平面，则， 又，点是的中点，则， 又因为，平面，故平面. （2） （3）在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为，或 【解析】 【分析】（1）先由条件证明平面，进而得，由等腰三角形三线合一证得，最后利用线面垂直的判定定理即可证得结论； （2）结合图形利用线面垂直的判定定理和性质定理证明平面，得到，再证，求得，从而可得，依题建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得； （3）假设线段上是存在一点，满足条件，则，表示出的坐标，结合平面的法向量，利用点到平面的距离坐标公式列方程，求解即得的值，从而得到点H的坐标. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）平面，因平面，则， 因平面，平面，则， 又，，平面，所以平面， 因平面，则， 又因为是的中点，，则， 因，平面，则平面， 因平面，则， 因，平面，则平面， 因为平面，则，即， 即由（1）平面，因平面，则，即， 又，则，则， 因为，，， 则，即，即. 以点为原点，分别以所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以 ， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 而平面的法向量可取为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）可得，则， 假设线段上是存在一点，使得点到平面的距离为， 则，则， 所以，则，即，则， 由（2）已得平面的一个法向量为， 则点H到平面的距离，解得或， 则或， 即在线段上存在一点H，使得点H到平面的距离为. 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线与坐标轴围成的三角形面积； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）函数在处的切线与坐标轴围成的三角形面积为； （2）的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）结合导数的几何意义求函数在处的切线方程，再求切线与坐标轴的交点，由此可求结论； （2）由已知当时，不等式恒成立，证明函数，的单调性，由此可得当时，恒成立，利用导数求函数，的最大值，由此可得结论. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以函数的定义域为，，， 所以， 所以函数在处的切线方程为，即， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 取，可得，所以直线与轴的交点为， 所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形面积， 【小问2详解】 因为， 不等式，又， 所以不等式， 由已知当时，不等式恒成立，故， 设，，则， 函数在上单调递增， 当时，，，， 所以不等式， 所以当时，恒成立， 设，，则， 令，可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以当时，， 所以. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级新疆实验中学高三攻坚突破质量检测（第三次月考） 数学试卷（问卷） （卷面分值：150分 考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷为问答分离式试卷，共8页，其中问卷4页，答卷4页.答题前请考生务必将自己的班级、姓名、准考证号的信息填写在答题卡上. 2．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题卡的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题卡上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题卡卡面清洁、不折叠、不破损、不能使用涂改液、修正带. 3．考试结束后，请将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. 8 B. C. 5 D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 4. 给定三点、、，则过点且与直线垂直的直线经过点（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则在上的投影向量的坐标关于xOz平面对称的向量坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，圆锥的底面直径为2，高为4，过线段上的一点作平行于底面的截面，以截面为底面挖出一个圆柱，则该圆柱表面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若均为正数，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 10. 已知平面向量、、为三个单位向量，且，若（），则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 11. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则（ ） A. 平面 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 直线与直线所成角最小时，线段长为 D. 直三棱柱的外接球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则________． 13. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为______. 14. 已知一球内切于棱长为的正四面体，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是中点． （1）求证：直线平面； （2）求三棱锥的体积． 16. 已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值． 17. 记内角，，的对边分别为，，，已知. （1）求角的大小； （2）若的面积为，的角平分线交于点，且，求的周长. 18. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，.已知，分别为，的中点，平面与棱交于点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）判断线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，求在处的切线与坐标轴围成的三角形面积； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $