等比数列同步练习-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列(3)：等比数列 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A B C AD AD 1．C 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．B 【难度】0.85 【知识点】等比数列的定义、等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比中项可得，对根据等比数列的定义和通项公式可得，运算求解即可得答案. 【详解】为正数的等比数列，则，可得， ∵， ∴， 又∵，则，可得， ∴，解得， 故. 故选：B. 3．A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求等比数列前n项和 【分析】假设，借助等比数列的性质可得其充分性，举出反例可得其必要性不成立，即可得解. 【详解】若，由，则， 故必有最小值，故“”是“存在最小值”的充分条件； 当，时，有， 则有最小值， 故“”不是“存在最小值”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的充分而不必要条件. 故选：A. 4．B 【难度】0.65 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 故选：B. 5．C 【难度】0.65 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列片段和性质及应用 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以 ． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 6．AD 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由定义判定等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】令，计算可判断A，当，可得，两式相减可得，进而逐项计算可判断BCD. 【详解】对于A，当时，可得，故A正确； 对于B， 当时，， 两式相减可得，所以， 当，适合上式，所以； 由不是常数，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，由可知，， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以，， ， 又，所以， 所以，，不构成等差数列，故C错误； 对于D，， 所以 ，故D正确. 故选：AD. 7．AD 【难度】0.4 【知识点】等比数列下标和性质及应用、数列新定义 【分析】先由条件分类讨论得到，，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】 ，，， 同号，且或， 若，则不同号； 若，则，不满足要求； 故可得，，故A正确； ，且，可得，故B错； ，又，且最大，故C错； ，且为等比数列， 由等比数列的性质可得，， 使成立的最大自然数等于4044，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于推得，进而得到，从而得解. 8．/ 【难度】0.65 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 9．①②④ 【难度】0.4 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、数列新定义 【分析】对①②根据“线性数列”的定义进行判断；对于③：找特例，代入即可判断；对于④：结合定义，设出等比数列，代入求的，再结合线性数列的定义，看是否存在实数即可. 【详解】对于①，数列为等差数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，①正确； 对于②，数列为等比数列，则，即， 满足“线性数列”的定义，②正确； 对于③，是等差数列，设， 则，若是“线性数列”， 则， 则应有， 故不是“线性数列”，③错误； 对于④，是等比数列，设首项为，公比为， 若时，，则，满足“线性数列”的定义； 若时，由，得， ， 累加的， 则， 经验证当时，满足，则， 若是“线性数列”，则存在实数，使得成立， 则， ， ， 则，则， 则是“线性数列”，④正确. 故答案为：①②④. 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 10．（1）；（2）. 【难度】0.65 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为的形式，求解出，由此求得数列的通项公式. （2）方法一：通过分析数列的规律，由此求得数列的前项和. 【详解】（1）由于数列是公比大于的等比数列，设首项为，公比为，依题意有，解得解得，或(舍)， 所以，所以数列的通项公式为. （2）［方法一］：规律探索 由于，所以 对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有2个1； 对应的区间分别为，则，即有个2； 对应的区间分别为，则，即有个3； 对应的区间分别为，则，即有个4； 对应的区间分别为，则，即有个5； 对应的区间分别为，则，即有37个6． 所以． ［方法二］【最优解】： 由题意，，即，当时，． 当时，，则 ． ［方法三］： 由题意知，因此，当时，；时，；时，；时，；时，；时，；时，． 所以 ． 所以数列的前100项和． 【整体点评】（2）方法一：通过数列的前几项以及数列的规律可以得到的值，从而求出数列的前项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列的通项公式，从而求出数列的前项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版． 11．(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据通项与前项和之间的关系，作差可得，即可利用等比数列的定义求解， （2）根据错位相减法求和以及分组求解，结合等差等比数列求和求解. 【详解】（1）时，，即. 又，也符合， 所以时，，即. 又，所以， 所以，所以数列成等比数列. （2）由（1）易得.由可得，所以. 所以， 所以. 令， 则， 所以， 所以. 答案第10页，共11页 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列(3)：等比数列 一、单选题 1．已知是公差不为零的等差数列,,若成等比数列,则（） A． B． C．16 D．18 2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为（    ） A．30 B．10 C．9 D．6 3．设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“”是“存在最小值”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C．或 D．或 5．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 二、多选题 6．已知数列满足，的前n项和为，则（   ） A． B．数列是等比数列 C．，，构成等差数列 D．数列前100项和为 7．设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于4044 三、填空题 8．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 9． 对于给定的数列，如果存在实数p、q，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，，则给出四个结论： ①等差数列是“线性数列”； ②等比数列是“线性数列”； ③若是等差数列，则是“线性数列”； ④若是等比数列，则是“线性数列”. 其中正确的结论是 . 四、解答题 10．已知公比大于的等比数列满足． （1）求的通项公式； （2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和． 11．已知等差数列的公差为2，记数列的前项和为且满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和. 答案第10页，共11页 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $