第7章 锐角三角函数（单元测试·基础卷）数学苏科版九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第7章 锐角三角函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若为锐角，，则 4．如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 5．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 6．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如果，那么锐角 度 8．已知等腰中，，，则 ； 9．在中，若，则 ． 10．如图，给出了一种机器零件的示意图，其中米，米，则 ． 11．如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 12．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 13．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 14．如图所示，在中，，，A为延长线上一点且，利用此图可求 ． 15．如图，在中，，为边上的一点，，将沿翻折得到与交于点，则的长为 ． 16．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 18．在中，，根据下列条件求出和的正弦、余弦的值： (1)； (2)，． 19．如图，在中，于点D，若，，，求： (1)的长 (2)的值 20．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，，． (1)求点的坐标； (2)求． 21．如图，已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； 22．如图，在中，内接，连接，作交延长线于点D． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 23．小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 24．如图1，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图是一个折叠椅的示意图．已知椅背长，和展开后的座椅所成，没有人入座时，座椅与前排（前排看成与地面垂直）的距离，当有人入座时，水平，座椅前端点距离前排，已知，，，三点共线．（参考数据：，，） (1)求座椅的长（运算结果保留一位小数）； (2)求的值． 25．在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 26．如图，在中，，． (1)直接填空：________； (2)如图，在射线上有一个动点，，作的垂直平分线，垂足为点．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接，． ①若，求的长； ②当点在同一直线上且时，求的值． 27．（1）如图1，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． ①求证：； ②当，时，求和的长； （2）拓展应用：如图2，在中，于，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，点的对应点落在边上，与交于点． ①求证：； ②若，直接写出的值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第7章 锐角三角函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值，进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 2．如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角函数的定义，注意直角三角形中斜边上画出高，图中会有相等的角，若，则． 利用三角函数的定义结合图形，注意题目中相等的角在不同三角形中三角函数的表示不同． 【详解】解：∵在中，，， ∴， A．，故A选项错误，符合题意； B．因为，所以，故B选项正确，不符合题意； C．，故C选项正确，不符合题意； D．因为，所以，故D选项正确，不符合题意；     故选：A． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若为锐角，，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数，掌握正弦、余弦、正切的定义是解题的关键. 根据三角函数的定义和性质判断：A中是比值，边扩大但比值不变；B中在锐角范围内小于1；C中三角函数值不能直接相加角度；D中由可推导． 【详解】解：A．在中，，当两个邻边都扩大5倍时，比值不变，即不变，故A错误，不符合题意； B．当时，从减小到，即，故B错误，不符合题意； C．，，两者之和，，故C错误，不符合题意； D．由，设对边，邻边，则斜边，即，故D正确，符合题意． 故选D． 4．如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 5．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，余弦，相似三角形的性质和判定， 根据余弦求出，再根据勾股定理求出，然后说明，最后根据相似三角形的对应边成比例得出答案. 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， . 故选：B． 6．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，能根据题意构造出合适的直角三角形及熟知正切的定义是解题的关键． 根据题意，利用平行线的性质将进行转化，再结合正切的定义进行求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， 由网格可知，，， 则， 不妨令小正方形网格的边长为1， 则由勾股定理得， ， ， 在中， ， 所以． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如果，那么锐角 度 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键，直接利用特殊角的三角函数值进而求得答案． 【详解】解：∵， ∴锐角， 故答案为：30． 8．已知等腰中，，，则 ； 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，过点作于点，根据锐角三角函数和等腰三角形的性质得，求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ，， ∴， 故答案为：6． 9．在中，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，特殊角的三角函数值，三角形内角和性质．根据绝对值的非负数的性质，得，再根据特殊角三角函数值确定和，最后利用三角形内角和定理求，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 则， ∴， 故答案为：． 10．如图，给出了一种机器零件的示意图，其中米，米，则 ． 【答案】米 【分析】作于，利用三角函数求出，再根据得出的长即可． 本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：作于， 由图知，与水平方向成夹角，米， （米， 与水平方向呈夹角， 是等腰直角三角形， 米， 米， （米， 故答案为：米． 11．如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理及推论、正弦的定义． 连接，根据圆周角定理及推论得到，根据正弦的定义解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 的半径为3，， ∴, ， ∴ 故答案为：． 12．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键． 由交于点E，得，因为，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：交于点E， ， ， ， ， 故答案为：． 13．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、解直角三角形，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． 依据题意，作于，于，则，然后求出，故，从而得到，可得，再证明四边形是矩形，故，最后在中，进而可得，故计算可以得解． 【详解】解：由题意，作于，于， ． ， ． ． ， ． ． ∵． ， ． ． ． ， 四边形是矩形． ． 在中， ， ． 故答案为：． 14．如图所示，在中，，，A为延长线上一点且，利用此图可求 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 设，则，则可得，计算角度得到，即可解答． 【详解】解：，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故答案为： 15．如图，在中，，为边上的一点，，将沿翻折得到与交于点，则的长为 ． 【答案】20 【分析】过点作，交于点，利用翻折的性质和全等三角形的证明，得出相等的边和角，得出点在同一条直线上，假设，，利用勾股定理求出的值，假设，则，再利用勾股定理求出的值，最后利用三角函数比求出线段的长即可． 【详解】解：如图所示，过点作，交于点， 由翻折的性质得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， 假设，由得，， 由勾股定理得， 解得， ∴， 假设，则， 由勾股定理得， 则， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 解得， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数比，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 16．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据正割的定义，在中，，．由点 D 是中点，点 E 在 上，且，然后利用相似三角形和勾股定理建立方程求解． 【详解】解：如图：在中，，设，则． ∵点 D 是 中点， ∴， 设，则，， 在中，，由勾股定理得， ∴，化简得：． ∵， ∴， ∴， ∴，即． 将代入可得：． 将代入得，整理得． 设，则． 代入得，即． 两边平方并整理得， 令，得，解得（舍去负根）， ∴，即 ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查特殊值的三角函数，算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，实数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）先将特殊角三角函数值代入，再进行实数的混合运算即可； （2）先计算二次根式、零次幂、负整数次幂、绝对值，代入特殊角三角函数值，再进行加减运算． 【详解】（1）解： ． （2） ． 18．在中，，根据下列条件求出和的正弦、余弦的值： (1)； (2)，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求角的正弦值和余弦值，熟练掌握正弦和余弦的定义是解题的关键： （1）勾股定理求出，根据定义进行求解即可； （2）勾股定理求出，根据定义进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴． 19．如图，在中，于点D，若，，，求： (1)的长 (2)的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． （1）直接在中根据正切的定义求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，，． (1)求点的坐标； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由锐角的正弦求出长． （1）过点作于点，由点的坐标为，得到，求出，由锐角的正弦定义求出，由勾股定理求出，即可得到点的坐标为； （2）求出的长，由锐角的正切定义即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， 点的坐标为， ， ，， ， ， ， 点的坐标为； （2），， ， ． 21．如图，已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）证明，可得结论； （2）求出可得结论． 【详解】（1）证明：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 由勾股定理得， ∴， ∴． 22．如图，在中，内接，连接，作交延长线于点D． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得，可得，即可求得，结合为半径可证得结论成立； （2）延长交于E，连接，则，可证得，有，设，结合正切值可得，利用勾股定理即可求得． 【详解】（1）证明：连接，如图， 则． ， ∴． ， ． ． 为半径， 为切线； （2）解：延长交于E，连接，如图， 与为同弧所对圆周角， ． ， ． ∴． 设，则， ∵， ． 为的直径， ． ，则， 在中，，， ∴， ∴或（舍去）， 则． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰三角形的性质、切线的判定、同弧所对圆周角相等、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键熟练掌握圆的知识和解直角三角形． 23．小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】(1)南环线的长度为． (2)北环线的长度为． 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角三角函数，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）过点A作于点E，有， 求出，再根据解直角三角形，求出，即可解答； （2）过点D作的延长线于点F，有， 设小黄的步行速度为，则小月的步行速度为，两人步行时间为t小时，有，，根据解直角三角形，求出，由勾股定理，得到，代入求值，得到（舍去）或者，即可解答． 【详解】（1）解：过点A作于点E，如图 有， ，， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴． 答：南环线的长度为． （2）过点D作的延长线于点F，如图 有， 设小黄的步行速度为，则小月的步行速度为，两人步行时间为t小时，有， ∴， ∵， ， ， ， ， 解得（舍去）或者， ， ， ． 答：北环线的长度为． 24．如图1，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图是一个折叠椅的示意图．已知椅背长，和展开后的座椅所成，没有人入座时，座椅与前排（前排看成与地面垂直）的距离，当有人入座时，水平，座椅前端点距离前排，已知，，，三点共线．（参考数据：，，） (1)求座椅的长（运算结果保留一位小数）； (2)求的值． 【答案】(1)座椅的长为 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、矩形的判定、三线合一及三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题关键． （1）过点作于，过点作于，延长交直线于，可得四边形是矩形，得出，解直角三角形得出，根据“三线合一”得出，解直角三角形即可求出； （2）先解直角三角形求出，再解直角三角形得出，得出，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于，过点作于，延长交直线于， 由题意可知：，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：在中，，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 25．在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，线段中点的定义，锐角三角函数的定义． （1）先证明，根据相似三角形对应边成比例得出，然后在中，利用正切函数的定义即可求解； （2）过点作交于点，过点作于点．根据正切函数的定义得出，那么可设，则，．同理（1）中，，根据相似三角形对应边成比例得出，然后在中，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】解：（1）如图1． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， 在中，； （2）如图2，过点作交于点，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ． 同理（1）中，可得， ． ， ， 同理（1）中，可得， ， 在中，． 26．如图，在中，，． (1)直接填空：________； (2)如图，在射线上有一个动点，，作的垂直平分线，垂足为点．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接，． ①若，求的长； ②当点在同一直线上且时，求的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）过点作于，可得，即得，再根据正切的定义解答即可； （）①得，进而得，可得，得到，即得到，设，则，利用勾股定理求出的值即可求解；②当点在同一直线上时，过点作于，过点作于，可证，即得，得到，即得到，即可得，再利用面积法求出，最后根据正弦的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②当点在同一直线上时，如图，过点作于，过点作于， ∵直线是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 由（）知，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，线段垂直平分线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 27．（1）如图1，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． ①求证：； ②当，时，求和的长； （2）拓展应用：如图2，在中，于，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，点的对应点落在边上，与交于点． ①求证：； ②若，直接写出的值． 【答案】（1）①见解析；②，；（2）①见解析；②． 【分析】（1）①根据旋转可得，则，即可证明; ②根据，，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出的长； （2）①设旋转角为，证明，得出，结合，得出； ②，设，由①得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【详解】（1）①证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴，即， ∴； ②解：∵，，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中，，即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）①证明：连接，设旋转角为， 则，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴设， 由①得， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵，， 即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴，， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第7章锐角三角函数基础通关（参考答案) 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的) 题号 1 3 5 6 答案 B A D B B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7.30 8.6 9.75° 10.(2-3)米 n号 12.6 6 B总g 14.2-1/-1+2 15.20 16.2v5 3 三、解答题（本大题共11小题，17.18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小 题9分，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 【详解】(1)解：2cos45°+4sin30°cos30°-tan60 2x +4x5-5 2 22 =√2+√5-5 =2.3分 1/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2) 5--314++-20 =3-1+4+5-2x5 =6+5-V5 =6.4分 18. 【详解】(1)解：：∠C=90°，a=1,b=√5， .c=Va2+b2=2, 之，in8=65 6=2.c054-b3 ·sinA=a-=1on c2,cosB=、1 c23分 (2):∠C=90°，b=V7,c=4V2, a=Vc2-b2=5, e4万=g,cosA=6万=4. :sinA=4-5-5V2 c4W5g,sinB-6.万=a c4W2=8,cosB-=2-,5=55 c428.4分 19. 【详解】(1)解：：AD⊥BC, ∠ADC=90°， :在RtADC中，tanC=D=3, CD2' 片CD=2AD=4;4分 3 (2)解：由(1)得CD=4, .BD=BC-CD=8, 在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=√AD2+BD2=10, cos B=BD 4 AB5·8分 20. 【详解】(1)解：过B点作BC⊥OA于点C, A点的坐标为20,0)， .0A=20, 2/14 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 B 0A=20B,.0B=10, A :sin∠AOB=BC_3 OB 5' BC=6, :0C=V0B2-BC2=8, B点的坐标为8,6)；…4分 (2):0A=20,0C=8, AC=12, tan∠OAB=BC、61 AC122·8分 21. 【详解】(1)证明：：∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， .AD=CD .∠CAB=∠ACH, :AE⊥CD, ∴.∠ACB=∠AHC=90°， ∴.△ABC∽△CAH, .AH AC BC AB AH·AB=AC·BC;.4分 (2)解：：∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， .CD BD, .∠B=LBCD, AE⊥CD, .∠CAH+∠ACH=90°， ∠ACB=90°， .LBCD+∠ACH=90°， .∠B=LBCD=∠CAH, AH =2CH, 3/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得AC=√AH2+CH2=V5CH, :CH:AC=1:5, ·sinB=sim∠CAH=CH-5 .8分 AC 5 22. 【详解】(1)证明：连接OA,如图， B D A 则∠A0B=2LC. 0A=0B, ∠01B=2180°-∠408)=90°-∠C. :∠BAD=∠C, :∠OAD=∠OAB+∠BAD=90°. OA⊥AD. :04为半径， AD为O0切线；4分 (2)解：延长BO交⊙O于E,连接AE,如图， :∠C与∠E为同弧所对圆周角， B D ∠C=∠E=∠BAD. '∠D=∠D, .△BADn△AED. 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BD、AB AD AE 设BD=X, 则E三AB AD AE' tm tant=3 :AB为OO的直径， ∠EAB=90°. mE-8则0- 在Rt△0AD中，OA+AD2=OD2,0A=0B=2, 9 .x=或x=0(舍去)， 4 侧0-}8分 23. 【详解】(1)解：过点A作AE⊥BC于点E,如图 有∠CAB=90°-15°=75°，∠ABC=90°-30°=60°， ∠AEB=∠AEC=90°，AB=5, .LC=180°-∠BAC-LABC=45°， .AE=AB.sin∠ABE=5×sin60°= 5V5 2 5 BE=AB.cos∠ABE=5×cos60°= 5v5 ·CE=AE =、2 5v3, tan C tan 45 2 55 AC= AE 2 5V6, sinC sin45°2 .5.53.5V6 ∴.AB+BC+AC=5++ ≈18.0(km). 222 答：南环线的长度为18.0km.4分 5/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 北 西一 →东 南 609 B 1'5 30 (2)过点D作DF⊥AB的延长线于点F,如图 有∠F=90°，∠DAB=90°-60°=30°， 设小黄的步行速度为6xkmh,则小月的步行速度为5xkm/h,两人步行时间为t小时，有 AD=5xt,AB+BD=6xt AB+BD=6xt,AD=5xt ∴.BD=6x1-5, :∠DAF=30°，∠F=90°， Dr-号4D-,4r=40ca30-. 2 .BF=AF-AB=xt-5, BF2+DF2=BD2, .(xt-5)2+(xt)2=(6xt-5)2, 25x21-25V3xt+25-(36x212-60x1+25)=0 25x2t2-25V3xt+25-36x2t2+60xt-25=0, -11x2t2+(60-25V3)xt=0 x1(-11xt+60-25V3)=0 解得x1=0(舍去)或者1=60-25v5, 11 BD=6×60-25V5 5-305-1505 11 11 AD=5x60-25V5300-125V5 11 :4D+BD+4B=300-1255,305-1505+5=60-25V5s168 11 11 答：北环线的长度为16.8km. 6/14 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 北 西一 →东 南 D 60 8分 B 30 24. 【详解】(1)解：如图，过点D作DM⊥OB于M,过点O作ON⊥AB于N,延长OB交直线I于C, E 由题意可知：DE⊥I,OB∥DE,BC=20cm,DE=40cm, ∴.四边形DECM是矩形， .CM DE =40cm .BM CM-BC =20cm, ∠AB0=58°， ·BD=BM 20 cos58° cos58°， 0D=0B, :BN=DN=1BD=-10 cos586, :OB=_ BN 10 cos58°cos258° ≈35.6cm;4分 10 (2)解：在Rt△BON中，ON=BN tan58°，BN=- c0s58°' :0A=60cm, 10 在R1a40y中，sn∠A-0N-e58oam58 1 OA 60 2 ∠A≈30°， .a=LA0B=180°-58°-30°=92°.8分 7114 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 25. 【详解】解：(1)如图1. CAM1MN,CN⊥MN, B 图1 ∠M=∠N=90°， ∠MAB+∠ABM=90°， :∠ABC=90°， ∠NBC+∠ABM=90°， ∠MAB=∠NBC, .△AMB∽△BNC, BN BC AM AB :tan∠BAC= BC 1 AB2 :点B是线段MN的中点， :BM =BN 在Rt△AMB中，tan∠BAM= BM BN 1 MAM234分 (2)如图2，过点C作CD⊥AC交AP于点D,过点D作DE⊥BP于点E, D tan∠BAC= 2, --- E P 图2 BC_1 AB2’ :AB 2BC, :∠APB=∠BAC, tan∠APB): 8/14 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 AB 1 BP=2 :BP=24B, 设BC=x,则AB=2x,BP=4x, :CP BP-BC =4x-x=3x. 同理(1)中，可得∠BAC=∠ECD, .∠APB=∠ECD. DE⊥BP, 3 CE=EP-CP 同理(1)中，可得△ABC∽△CED, 3 CD CE2 2x3, AC AB 2x 4 在R△ACD中，an∠PAC=CD_3 AC4·8分 26. 【详解】(1)解：如图1，过点A作AH⊥BC于H, B H C 图1 ·AB=AC=V10,BC=2, :BH=CH=-BC=1, AH=AB-BE-)-1=3. .tan∠ABC= =3=3, BH 1 故答案为：3；3分 (2)解：①tan ZBEF=tan∠ABC, ∴∠BEF=∠ABC, .AB=AC, .∠ABC=∠ACB, 9/14 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :ZACB ZBEF tan ZACB tan ZABC =3, 直线I⊥BD, .∠BFE=90°， ∠EBF+LBEF=90°， ∴.∠EBF+∠ACB=90°， ∠BGC=90°， ∴tan∠GCB= BG二3， CG 设CG=a,则BG=3a, BG2+CG2=BC2, (3a2+a2=22, 解得a=0 .CG= V 56分 ②当点E,A,D在同一直线上时，如图，过点A作AH⊥BC于H,过点C作CM⊥AD于M, E G BH C D :直线1是BD的垂直平分线， :BE DE ∴.∠EBD=∠D, :AH⊥BC, .∠DAH+∠D=90°， BG⊥AC, ∠EBD+∠BCG=90°， .∠DAH=∠BCG, .∠ABC=∠ACB, ∠DAH=∠ABC, .tan∠DAH=tan∠ABC=3, 10/14 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第7章 锐角三角函数·基础通关 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，过点C作于点D，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法中，正确的是（    ） A．在中，锐角的两个邻边都扩大5倍，则也扩大5倍 B．若，则 C． D．若为锐角，，则 4．如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 5．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 6．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，与相交于O，则的值等于（ ） A． B． C．3 D．2 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．如果，那么锐角 度 8．已知等腰中，，，则 ； 9．在中，若，则 ． 10．如图，给出了一种机器零件的示意图，其中米，米，则 ． 11．如图，内接于是的直径，若的半径为3，，则 ． 12．如图，在菱形中，交于点E，连接，若，则的值是 ． 13．一种遮阳伞如图，遮阳伞支架垂直于地面，在上，，、、三点共线，．当太阳光线与垂直时，它与地面的夹角正好为，则落在地面上的投影 ． 14．如图所示，在中，，，A为延长线上一点且，利用此图可求 ． 15．如图，在中，，为边上的一点，，将沿翻折得到与交于点，则的长为 ． 16．定义：在直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比叫做该锐角的正割（），锐角A的正割记作．已知在中，，点D是斜边的中点，点E在边上，，，那么的值是 ． 三、解答题（本大题共11小题，17,18每小题7分，19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小题9分，共88分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．计算： (1)； (2)． 18．在中，，根据下列条件求出和的正弦、余弦的值： (1)； (2)，． 19．如图，在中，于点D，若，，，求： (1)的长 (2)的值 20．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，，． (1)求点的坐标； (2)求． 21．如图，已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； 22．如图，在中，内接，连接，作交延长线于点D． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的长． 23．小月和小黄升入大学后，想利用假期来一场说走就走的旅行．如图A，B，C，D是四个必打卡的景点，而且沿途的风景也很美丽，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，也在的南偏西方向，在的北偏东方向．（参考数据：，） (1)求南环线的长度（结果保留小数点后一位）； (2)小月选择走北环线，小黄选择走南环线，两人同时从景点出发，小黄在途中发现小月的相机电池落在自己背包里了，于是小黄决定到之后前往与小月汇合，已知小黄的步行速度与小月的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求北环线的长度．（结果保留小数点后一位） 24．如图1，学校礼堂的折叠座椅由椅背、座椅组成．图是一个折叠椅的示意图．已知椅背长，和展开后的座椅所成，没有人入座时，座椅与前排（前排看成与地面垂直）的距离，当有人入座时，水平，座椅前端点距离前排，已知，，，三点共线．（参考数据：，，） (1)求座椅的长（运算结果保留一位小数）； (2)求的值． 25．在中，，． 【知识学习】 三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【探索发现】 （1）如图1，分别过、两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为、，若点恰好是线段的中点，求的值； 【类比迁移】 （2）如图2，是边延长线上一点，，请依据所学模型，求的值． 26．如图，在中，，． (1)直接填空：________； (2)如图，在射线上有一个动点，，作的垂直平分线，垂足为点．点是上的一个动点，连接并延长，交直线于点，连接，． ①若，求的长； ②当点在同一直线上且时，求的值． 27．（1）如图1，在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． ①求证：； ②当，时，求和的长； （2）拓展应用：如图2，在中，于，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，点的对应点落在边上，与交于点． ①求证：； ②若，直接写出的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $