2025-2026学年人教版数学九年级上册期末综合评价测试卷

2025-2026学年人教版数学九年级上册期末综合评价测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．下面的图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．0或4 B．4或8 C．0 D．4 3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，有最大值是 4．如图，是的直径．、是的三等分点，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A． B． C． D． 6．中国目前是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某兴趣小组通过网络查询，收集到四张高铁发展历程的邮票（除内容外，其余完全相同），若由小霞同学先随机抽取一张卡片，然后将卡片放回，洗匀，再由小强抽取，则两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的概率是（    ）    A． B． C． D． 7．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是 A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196 C．50+50（1+x）+50（1+x）2=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196 8．唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导．如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，轮子的吃水深度为，则该桨轮船的轮子直径为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到.若点在同一条直线上，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 10．抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（    ）个    A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，则的值是 ． 12．已知抛物线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则 ． 14．一个不透明的袋子中装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一球后放回，在任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是 15．如图，将绕点逆时针旋转角得到，点的对应点恰好落在边上，若，，则的度数是 ． 16．如图，在中，，的内切圆与分别相切于点D、E、F，若的半径为2，，则的长 ． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19、20、21题每小题8分，第22、23题每小题10分，第24题每小题12分，第25题每小题14分，共86分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．一个残破的车轮如图所示，测得它所剩圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到） 19．“庆元旦，迎新年”，某班组织庆祝元旦活动，活动中有个抽签决定奖项的环节．抽签箱中有1号，2号，3号3个号签，抽到1号签获得一等奖，抽到2号签获得二等奖，抽到3号签获得三等奖．（抽到的签不放回）甲、乙、丙三位同学在活动中表现活跃，主持人宣布他们获得抽签机会． (1)事件“甲获得一等奖”是 事件．（填“必然”“不可能”或“随机”） (2)甲同学认为先抽的获得一等奖的机会更大，乙同学认为后抽的获得一等奖的机会更大，丙同学认为先抽和后抽获得一等奖的机会一样大．你同意谁的观点，请说明理由． 20．某邻里中心新建一个三层停车楼，其中一层布局如图所示，已知每层长为50米，宽20米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位面积为616平方米．    (1)求通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余60个车位可以对外出租，每个车位的月租金为200元时；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位；现在要求既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14560元，应该月租金定价多少？ 21．请你仅用无刻度的直尺在下面的图中作出△ABC 的边 AB 上的高 CD． (1)如图①，以等边三角形 ABC 的边 AB 为直径的圆，与另两边 BC、AC 分别交于点 E、F． (2)如图②，以钝角三角形 ABC 的一短边 AB 为直径的圆，与最长的边 AC 相交于点 E． 22．在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为．将绕原点顺时针旋转得到，点的对应点分别为． (1)画出旋转后的； (2)写出点的坐标_______； (3)求出点经过的路径长．（结果保留） 23．（1）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法． 小敏： 两边同除以，得， ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为， ，且满足，求实数m的值． 24．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且平分，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若，在（2）的基础上，求图中阴影部分的面积． 25．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（3，0），B（﹣1，0），抛物线的对称轴交x轴于点D，直线y＝kx+b1经过点A和点C． (1)求抛物线和直线AC的解析式； (2)连接CD，请问：非第一象限内的抛物线上是否存在一点P，使△ACP的面积是△ACD面积的2倍？若有，请求出点P的坐标；若没有，请说明理由． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使线段QA绕Q点顺时针旋转90°得到线段QA1，且A1恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年人教版数学九年级上册期末综合评价测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C C B C A D A 1．D 【详解】分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可. 详解：A. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误； D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确． 故选D. 点睛：考查轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记它们的概念是解题的关键. 2．D 【分析】根据已知一元二次方程有两个相等的实数根得出k≠0，，求出k的值即可． 【详解】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，，所以．故选D． 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用判别式解答. 3．B 【分析】将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式，再根据二次函数的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴由知抛物线开口向上， 故选项错误； ∵顶点坐标是， 故选项正确； ∵对称轴是直线， 故选项错误； ∵当时，取得最小值2，无最大值， 故选项错误； 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，学会将二次函数的一般式转化为二次函数的顶点式是解题的关键． 4．C 【分析】本题主要考查了邻补角的概念，弧、弦、圆心角的关系定理等知识点，先求出，再运用“等弧所对的圆心角相等”即可得解，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵C、D是上的三等分点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．C 【详解】选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意， 选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意， 选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意， 选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意． 故选：C． 6．B 【分析】根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：设四张邮票分别为A、B、C、D， 列出表格如下： A B C D A B C D 由表可知，一共有16种情况，两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的4种情况， ∴两位同学所抽到的邮票恰好是同一张的概率． 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 7．C 【分析】主要考查增长率问题，一般增长后的量增长前的量增长率），如果该厂八、九月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程． 【详解】解：依题意得八、九月份的产量为、， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，解题的关键是掌握一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量． 8．A 【分析】设半径为 ，再根据圆的性质及勾股定理，可求出答案 【详解】解：设半径为 ，则 在 中，有 ，即 解得 则该桨轮船的轮子直径为 故选：A． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，关键在于知道 垂直平分 这个隐藏的条件． 9．D 【分析】由旋转的性质可得∠ABC=∠CDE，再结合的邻补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°，根据四边形的内角和定理和∠BCD=90°，即可求出∠BAD的度数． 【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED， ∴∠ABC=∠CDE，∠BCD=90° ∵∠CDE +∠ADC=180°， ∴∠ABC+∠ADC=180°， 在四边形ABCD中， ∠ABC+∠BAD+∠ADC∠BCD=180° ∴∠BAD=90° 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，以及四边形的内角和定理，熟练运用旋转的性质解决问题是本题的关键． 10．A 【分析】由图可知：，即可判断①；根据，，得出抛物线对称轴为直线，则，当时，，即可判断②；根据抛物线的对称轴为直线，得出当时，该二次函数取最小值，即可判断③；连接，令对称轴与y轴相交于点E，根据等腰直角三角形的性质得出，则，设该抛物线的解析式为，把代入得：，求出a的值，即可判断④；根据，是一元二次方程的两个根，得出抛物线与直线相交于，即可判断⑤． 【详解】解：由图可知： ∵开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线交轴于，， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， 当时，， 整理得：，故②不正确，不符合题意； 当时，， 当时，， 由②可知，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，该二次函数取最小值， ∵， ∴，即，故③不正确，不符合题意； 连接，令对称轴与y轴相交于点E， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：，故④正确，符合题意；    ∵，是一元二次方程的两个根， ∴抛物线与直线相交于， ∵抛物线交轴于，， ∴，故⑤不正确，不符合题意； 综上：正确的有①④，共2个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象与系数的关系，正确识别图象，根据图象判断式子的正负的方法． 11． 【分析】先根据根与系数的关系求出，，再根据完全平方公式的变形求值即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形求值，求出，是解题的关键． 12．/ 【分析】此题主要考查了二次函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键．先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为， 又∵， ∴抛物线开口向上， ∴该抛物线的图像在对称轴右侧随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得． 故答案为：． 13．1 【分析】根据题意可知点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此回答问题即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， 点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数， ，， 解得， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查关于轴对称的两点，属于基础题，明白关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题关键． 14．, 【详解】所出现的情况有6种：（1,1）（1,3）（1,5）（3,3）（3,5）（5,5）．所标数字之和为6的有2种，即（1,5）（3,3）．所以概率为 15．/50度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用平角定义求解即可． 【详解】解：如图，与交于点F， ，， ， ， ， 旋转， ，， ， ． 故答案为：． 16．10 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心，切线长定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2．设，，则，由，由此即可解决问题； 【详解】解：如图连接．则由题意可知四边形是正方形，边长为2． ∵的内切圆与分别相切于点D、E、F， ∴可以假设，， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：10． 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 分解因式得：， 则，， 解得：或． ∴，； （2）解： 分解因式得：， 则或， 解得：或， ∴，． 18．半径约为． 【分析】设圆的半径为r，由垂径定理推论可得：∠OCA=90°，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接 由垂径定理推论可得：∠OCA=90°， 设圆的半径为r，则CO=r-0.25，AC=0.36， OC2+AC2=AO2， 即0.362+（r-0.25）2=r2． 解得：r=0.3842≈0.384． 答：这个车轮的半径为0.384m． 【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论的实际应用，勾股定理的应用，解题的关键是由垂径定理的推论得到：∠OCA=90°. 19．(1)随机 (2)同意丙同学的观点：先抽和后抽获得一等奖的机会一样大，理由见解析 【分析】本题考查了随机事件，列举法求概率等知识，熟练掌握随机事件的定义，列举法求概率是解题的关键． （1）根据随机事件的定义判断作答即可； （2）先画树状图，然后求概率，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意可知，事件“甲获得一等奖”是随机事件， 故答案为：随机； （2）解：同意丙同学的观点：先抽和后抽获得一等奖的机会一样大，理由如下： 画树状图表示甲、乙、丙三人抽奖所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中第一人、第二人，第三人获得“一等奖”的都有2种等可能的结果， ∴第一人、第二人，第三人获得“一等奖”的概率均为， ∴无论先抽还是后抽，获得“一等奖”的机会一样大， ∴同意丙同学的观点． 20．(1)3米 (2)280元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形，根据停车位面积为616平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位，根据月租金收入为14560元，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y的值，再结合要优惠大众，即可得出每个车位的月租金应上涨80元，进而可得月租金定价． 【详解】（1）解：设通道的宽是x米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米； （2）解：设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要优惠大众， ∴， （元）． 答：应该月租金定价280元． 21．（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）连接AE、BF，找到△ABC的高线的交点，据此可得CD； （2）延长CB交圆于点F，延长AF、EB交于点G，连接CG，延长AB交CG于点D，据此可得． 【详解】（1）如图所示，CD 即为所求； （2）如图，CD 即为所求． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键熟练掌握圆周角定理和三角形的三条高线交于一点的性质． 22．(1)作图见详解 (2) (3) 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，掌握旋转的性质作图，坐标与图形，弧长公式的计算是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据坐标与图形，数形结合分析即可； （3）根据弧长公式的计算方法（为扇形的圆心角度数）即可． 【详解】（1）解：如图所示， 是所求图形； （2）解：根据图示可得，， 故答案为：； （3）解：根据题意， ，， ∴点经过的路径长为． 23．（1）都不正确，过程见解析；（2）2 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意知，，，，则，由，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：都不正确， ， ， ∴，， 解得，，； （2）解：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键． 24．(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）如图，连接，根据角平分线的定义和等边对等角证明，推出，再由，得到，即可证明是的切线； （2）连接，过点作于，证明四边形是矩形，得到，利用勾股定理求出，即可由垂径定理得到； （3）先解直角三角形求出，再根据进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，过点作于， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，平行线的性质与判定，解直角三角形，求不规则图形的面积，垂径定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 25．(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为 (2)或，理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为和 【分析】（1）将点，坐标代入抛物线解析式中，求出，得出抛物线的解析式，进而求出点的坐标，再将点，坐标代入直线的解析式中，即可得出结论； （2）当点在下方时，利用抛物线的对称性得出，进而判断出的面积和的面积相等，即可得出结论； （3）分点在轴上方和在轴下方，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）解：把，代入中，得 ，解得， 抛物线的解析式为； 当时，， 点的坐标是， 把和代入中，得 ，解得， 直线的解析式为； （2）当点在直线下方时，如图1，连接， 点是抛物线与轴的交点， ， ， ， ，此时，点与点重合，即， 过点作交抛物线于点，则直线的解析式为①， 抛物线的解析式为②， 联立①②解得，（是点的纵横坐标）或， ， 不在第一象限内， 点的坐标为或； （3）存在，理由如下： 如图2，①当点在轴上方时，设与对称轴交点为， 由（1）知，直线的解析式为， 当时，， 坐标为， ， ， ， 点为所求； ②当点在轴下方时，设点， 过点作于， ， ， 由旋转知，，， ， ， ， ，， 点的坐标为， 代入中， 解得，或（舍， 的坐标为， 点的坐标为和． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，全等三角形的判定和性质，构造全等三角形是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $