6.2.2 线段的比较与运算（教学课件）数学人教版2024七年级上册

第六章 几何图形初步 6.2 直线、射线、线段 6.2.2 线段的比较与运算 人教版 七年级上册 1. 会用尺规作图的方法画一条线段等于已知线段，会用度量法和叠合法比较两条线段的大小. 2. 了解两点间距离的意义，理解线段的基本事实“两点之间，线段最短”，并学会运用. 3. 理解线段中点的概念与性质，能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度. 学习目标 2 一、新知引入 二、新知讲解 三、典型例题 四、当堂巩固 五、课堂总结 六、作业布置 CONTENTS 目录 新知引入 不同于直线和射线，线段有长度，因而可以比较线段的长短，并能进行一些运算. 为进行线段的比较与运算，需要画一条线段等于已知线段. 新知讲解 探究：如何作一条线段等于已知线段AB？ 方法一：先用刻度尺量出线段AB的长度，再画一条等于这个长度的线段. A B C D 6.7cm 度量法 6.7cm 知识点1　线段的作法与大小比较 探究：如何作一条线段等于已知线段AB？ 新知讲解 方法二：先用直尺画直线l，再用圆规在直线l上截取CD＝AB. A B l C D 在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图. 尺规作图法 新知讲解 也可以画射线CE，在射线CE上截取CD哦！ 尺规作图：作一条线段等于已知线段 新知讲解 想一想，在“画一条线段等于已知线段”时，我们在运用了度量法和尺规作图法，在这两种方法中，刻度尺、直尺和圆规分别发挥了什么作用？ 刻度尺：测量已知线段长度. 直尺：提供作图的直线基准. 圆规：量取并截取等长线段. 新知讲解 探究：如何比较两名同学的身高？ 方法一 观察、目测，但是有时会不准确. 方法二 分别量出两名同学的身高， 将所得的数值进行比较. 1.56m 1.5m 新知讲解 方法三 让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观察两人头顶，比出高矮. 思考：通过这个例子，你能归纳出比较两条线段的长短的方法吗？ 新知讲解 1.度量法：用刻度尺分别量出这两条线段的长度，再进行比较. 比较两条线段的长短的方法： 3.1 cm A B C D AB＜CD 2 cm 新知讲解 2.叠合法：把其中的一条线段移到另一条线段上作比较. 将一条线段移到另一条线段上时，通常使它们的一个端点重合. 新知讲解 2.叠合法：把其中的一条线段移到另一条线段上作比较. 点A与点C重合，点B落在点C，D之间，这时我们说AB＜CD. 思考：什么情况下，AB＝CD？ AB＞CD？ 新知讲解 AB＞CD 点 A 与点 C 重合， 点 D 落在 B，C 之间 A B （C） D A B （C） D 点 A 与点 C 重合， 点 D 与点 B 重合 AB＝CD （C） D AB＜CD 点 A 与点 C 重合， 点 B 落在 C，D 之间 A B 典型例题 例1　如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是(　　)  A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定 A 针对练习 用圆规比较图中所有线段的大小关系． 解：CD＜AD ＜AB ＜BC 新知讲解 探究：如图，从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你练习以前所学的知识，在图上画出最短道路. 连接AB. 知识点2　线段的基本事实 归纳小结 1.线段的基本事实： 两点的所有连线中，线段最短. 简单说成：两点之间，线段最短. 2.两点间的距离： 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离. 注意：“线段”是一个几何图形，而“线段的长度”是一个数值， 二者有区别，不要混淆． 新知讲解 1.架设电线时，拉直电线连接两个电线杆，节省线材用量； 2.游泳比赛时从泳池一端直线游向另一端，比迂回游更节省时间； 3.地图上规划路线，两点间的直线距离是理论上最短的行程参考； 4.无人机航拍时，从起飞点直线飞往目标拍摄点，缩短飞行时间， 减少电量消耗...... 你能举出“两点之间，线段最短”这个基本事实在生活中的一些应用吗？ 典型例题 例2 高速公路的建设带动我国经济快速发展．在高速公路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程．这样做蕴含的数学道理是_______________________． 两点之间，线段最短 针对练习 曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了游人在桥上行走的路程，便于游人从不同角度欣赏湖面风光．如图是某公园修建的九曲桥，A、B两地间修建曲桥与修建直桥相比，增加了桥的长度，其中蕴含的数学道理是________________________. 两点之间，线段最短 新知讲解 已知线段a，b，尝试用尺规作图作线段的和a+b. a b （1）用直尺画出直线. 再在AB的延长线上作线段 BC=b， 线段 AC 就是 a 与 b 的和，记作 AC=a+b. （2）用圆规在直线上作线段 AB = a， A B a C b 知识点3　线段的和差 新知讲解 A B 已知线段a，b（a>b），尝试用尺规作图作线段的差a-b. （1）用直尺画出直线. （2）用圆规在直线上作线段 AB = a， 再在线段 AB 上作线段 BD=b， 则线段 AD 就是 a 与 b 的差，记作 AD = a-b. a b a b D 典型例题 例3 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于2a－b. a b 解：①在直线上作线段AB=a； ②在线段AB的延长线上作线段BC=a， 则线段AC=2a； ③在线段AC上作线段CD=b，则线段AD=2a－b. a a A B C D b 如图，已知线段a，b，作一条线段，使它等于a+2b. 解：如图所示. 针对练习 例4 如图，点B，C在线段AD上． (1)若AB＝2，BC＝3，求线段AC的长； (2)若AD＝8，AB＝2，CD＝3，求线段BC的长． 解：(1)∵AB＝2，BC＝3， ∴AC＝AB＋BC＝2＋3＝5. (2)∵AD＝8，AB＝2，CD＝3， ∴BC＝AD－AB－CD＝8－2－3＝3. 典型例题 针对练习 点A，B，C在同一条直线上，AB=5，BC=2，求线段AC的长为？ 解：①点C在线段AB上时， ∵AB=5，BC=2， ∴AC=AB－BC=3， ②点C在线段AB的延长线上时， ∵AB=5，BC=2， ∴AC=AB＋BC=7. 故线段AC的长为3或7． A B C A B C 分类讨论思想 【小结】勿默认点 C 位置，需考虑 AB 间、AB 延长线两种情况；按不同位置用线段和差计算，避免漏解. 新知讲解 在一张透明的纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？ 如图，点M 把线段AB分成相等的两条线段AM 与MB，点M 叫作线段AB 的中点. 这时AM ＝MB＝AB或AB＝2AM ＝2BM. 知识点4　线段的中点 新知讲解 类似地，还有线段的三等分点、四等分点等. N M B A 线段的三等分点 线段的四等分点 A O P Q B AM = MN = NB =AB AO = OP = PQ = QB = AB 典型例题 例5　如图，点D是线段AC的中点，若AC＝20，AB＝8，求线段BD的长． 解：∵点D是线段AC的中点，AC＝20， ∴AD＝AC＝×20＝10. ∵AB＝8，∴BD＝AD－AB＝10－8＝2. 【小结】本题的核心是用中点分线段等长的性质，结合 AC 与 AB 的位置关系求 BD. 针对练习 如图，点C是线段BD的中点，若AD＝8 cm，AB＝2 cm，求线段AC的长． 解：∵AD＝8 cm，AB＝2 cm， ∴BD＝AD－AB＝8－2＝6(cm). ∵点C是线段BD的中点， ∴BC＝BD＝×6＝3(cm). ∴AC＝AB＋BC＝2＋3＝5(cm). 典型例题 例6　如图，已知线段AB＝6，点C是线段AB的中点，延长线段AB到点D，使BD＝3BC，求线段AD的长． 解：∵点C是线段AB的中点，AB＝6， ∴BC＝AB＝×6＝3. ∵BD＝3BC，∴BD＝3×3＝9. ∴AD＝AB＋BD＝6＋9＝15. 【小结】本题的核心是先借中点得 BC 长度，再结合延长后的线段和差求 AD，涉及线段延长操作. 针对练习 如图，已知线段AB＝6 cm，延长线段AB到点C，使得BC＝AB，若点D为线段AC的中点，求线段BD的长． 解：∵BC＝AB，AB＝6 cm， ∴BC＝AB＝×6＝4(cm). ∴AC＝AB＋BC＝6＋4＝10(cm). ∵点D为线段AC的中点，∴CD＝AC＝5 cm. ∴BD＝CD－BC＝5－4＝1(cm). 典型例题 例7　如图，C为线段AB上一点，点E为线段AC的中点，点D为线段BC的中点，若AC＝6，BC＝4，求线段DE的长． 解：∵点E为线段AC的中点，AC＝6， ∴CE＝AC＝3. ∵点D为线段BC的中点，BC＝4， ∴CD＝BC＝2. ∴DE＝CE＋CD＝3＋2＝5. 双中点线段计算类型题通用解题思路​： 1.定位置：先明确各点在线段上的位置关系（如某点在线段上、是否有延长线），确定线段间的和差关系（如部分与整体的关联）；​ 2.用性质：根据 “中点分线段为两段等长” 的性质，将中点关联的线段拆分为相等的两部分（如中点 E 分 AC 为 AE=EC，中点 D 分 BC 为 BD=CD）；​ 3.找关联：结合线段和差，建立所求线段与已知线段的联系（如 DE=EC+CD，而 EC=AC、CD=BC，进而关联到已知的 AC、BC 长度）；​ 4.代计算：将已知线段长度代入关系式，求出所求线段长度。 归纳小结 针对练习 如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点，若AB＝12，求线段BD的长． 解：∵点C为线段AB的中点，AB＝12， ∴AC＝AB＝6. 又点D为线段AC的中点， ∴AD＝AC＝3. ∴BD＝AB－AD＝12－3＝9. 当堂巩固 1．测量长度我们常用刻度尺，有时我们没带合适的测量工具，那么用我们身体的“尺子”来测量不失为一个好办法，其中1肘表示前臂(包括手掌、手指)的长度(如图所示).下列长度中最接近1肘的是(　　) A．数学课本较长边 B．教室黑板较短边 C．课桌桌面较短边 D．篮球直径 C 当堂巩固 2．如图，若AB＝6 cm，AC＝8 cm，则线段BC的长为______cm. 3．下列生活现象可以用“两点之间，线段最短”来解释的是______.(填序号) ①把弯曲的公路改直，就能缩短路程； ②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线； ③植树时，只要栽下两棵树，就可以把一行树栽在同一条直线上． 2 ① 当堂巩固 4．如图，在线段AB上找一点D，使BD＝BC. 解：如图所示，点D为所求． 5．如图，已知点A，B，C，D，E在同一直线上，且AC＝BD，点E是线段BC的中点． （1）点E是线段AD的中点吗？请说明理由． （2）当AD＝30，AB＝9时，线段BE的长为______. 解：（1）点E是线段AD的中点． 理由：∵点E是线段BC的中点，∴BE＝CE. ∵AC＝BD， ∴AC－CE＝BD－BE，即AE＝DE. ∴点E是线段AD的中点． 6 当堂巩固 线段 尺规作图 比较长短的方法 基本事实 两点的距离 线段的中点 作一条线段等于已知线段 作线段的和差 度量法 叠合法 两点之间，线段最短 把一条线段分成两条相等线段的点 连接两点间的线段的长度 课堂总结 作业布置 教材P166 练习 第1、3题 人教版 七年级上册 谢谢观看 一套在手，备课无忧！ Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 $