专题04 整式的乘法 4大高频考点（期末真题汇编，云南专用）八年级数学上学期

专题04 整式的乘法 4大高频考点概览 一、考点01 幂的运算 二、考点02 整式的乘法 三、考点03 平方差公式 四、考点04完全平方公式 地 城 考点01 幂的运算 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D符合题意； 故选：D 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的运算，正确掌握公式是解题的关键． 分别根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法进行求解判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，不符合题意； B、，原说法正确，符合题意； C、，，原说法错误，不符合题意； D、，，原说法错误，不符合题意， 故选：B． 3．（24-25七年级上·云南临沧·期中）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、幂的乘方、同底数幂的乘法及不同底数幂的乘积，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：，结果正确； 选项B：，结果正确； 选项C：将变形为，原式化简为，结果正确； 选项D：不同底数的幂相乘时，不能直接合并指数，例如，当，时，左边为，右边为，显然不等，正确结果应为，无法简化为，故选项D错误； 故选：． 4．（21-22八年级上·河南安阳·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法法则逐一判断即可． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方，根据幂的相关运算法则即可得出结论． 【详解】解：A、，故A选项运算错误； B、，故B项运算正确； C、，故C项运算错误； D、，故D项运算错误； 故选：B． 地 城 考点02 整式的乘法 6．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，同底数幂相除，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：A 7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项，同底数幂相乘，同底数幂相除，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据合并同类项判断A；根据同底数幂相乘运算法则计算并判断B，根据同底数幂相除运算法则计算并判断C，根据幂的乘方运算法则计算并判断D． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，原计算错误，故此选项不符合题意； D、，计算正确，故此选项符合题意； 故选：D． 8．（24-25八年级上·云南普洱·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算．分别利用合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：C． 9．（22-23七年级下·广东梅州·期中）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是(　　)    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据程序图可得：，再计算即可求解． 【详解】解：根据程序图可得：， 即最后输出的结果是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了整式四则混合运算，理解程序图，熟练掌握整式四则混合运算法则是解题的关键． 10．（24-25七年级上·云南昆明·期末）根据下列运算程序，若输入，则第一次输出的结果n为（　　） A． B．11 C．21 D．24 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算，直至结果大于5即可． 【详解】解：若输入， 则，返回继续运算； ，返回继续运算； ，输出结果； 故选：C． 11．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2024 【答案】C 【分析】本题主要考查了零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则，准确计算．根据零指数幂的法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 地 城 考点03 平方差公式 12．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）化简的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，熟练掌握幂的乘方是解答本题的关键．根据幂的乘方逆运算即可简便算法． 【详解】解：， 故选：A． 13．（12-13七年级下·浙江温州·期末）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式的法则，注意不含某一项就让某一项的系数等于0是解题的关键． 先根据多项式乘多项式的法则进行计算，找出所有含有x的一次项，合并同类项，令含有x的一次项的系数等于0，即可求出结果． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， 解得， 故选：A． 14．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分（阴影部分）拼成如图（2）所示的平行四边形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察图形，分别求出左右两边图形空白部分的面积，根据空白部分面积相等即可得出结论．本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到空白部分的面积是解题的关键． 【详解】解：∵左边图形阴影部分的面积，右边图形的面积， ∵两个部分面积相等， ∴， 故选：D． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟记公式结构是解题的关键； 根据平方差公式的结构逐项分析判断即可． 【详解】解：A、 能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意； B、 能用平方差公式计算，此项符合题意； C、能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意； D、能用完全平方公式计算不能用平方差公式计算，此项不符合题意； 故选：B． 16．（19-20七年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】；1 【分析】本题主要考查了整式的化简求值， 先计算多项式除以单项式，再运用平方差公式运算，然后合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解： 当，时， 则原式 17．（23-24六年级下·山东泰安·月考）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平方差公式与几何图形，根据两个正方形及长方形面积的计算公式即可得到答案． 【详解】解：解：根据图甲可得阴影面积为， 根据图乙可得阴影面积为， ∴可以验证等式， 故选：C． 18．（24-25八年级上·云南昭通·期末）的计算结果是（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，利用平方差公式进行简算即可． 【详解】解： ； 故选D． 19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，运用不同的方法表示阴影部分的面积是解题的关键． 将左右两边图形阴影部分面积表示出来，根据阴影面积相等即可作答． 【详解】解：左图可得阴影部分面积为：， 右图可得阴影部分面积为：， 所以， 故选D． 20．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：． (1)求的值 (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．且，，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)11 (2)10 (3)128 【分析】本题考查了实数混合运算，整式混合运算，代数式求值，读懂题中新定义运算规则并熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中定义运算规则展开原式计算即可； （2）根据题中定义运算规则展开得， 再根据已知可得，即，最后代入即可得到的值； （3）根据矩形的性质得到，，，，，，，，然后由阴影部分的面积，代入后得到，结合（2）中条件，，代入即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：四边形和四边形是矩形， ，，， ，，，， ，，，， ，， 阴影部分的面积 ， 由（2）可知，，， ， 阴影部分的面积为128． 21．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法分别表示正方形的面积用含a、b的代数式表示： ①______；②______． 由此可以验证一个重要的公式是______． (2)若图中a，b满足，，求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) ；； (2)7 (3)20 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）从“整体”和“部分”两个方面分别用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案； （2）根据代入计算即可； （3）设，，则，根据题意可得，由代入求出的值即可． 【详解】（1）解：①大正方形的边长为， ∴面积为， 故答案为：； ②拼成图中大正方形的4部分的面积和为， 故答案为：； 由①②可得； 故答案为：； （2）解：，， ， ， ； （3）解：设，，则， ， ． 22．（24-25八年级上·云南昭通·期末）数与形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，在如下图1和图2中阴影部分的面积便可利用几何直观的“等面积法”推导出数学等式． (1)发现问题：利用“等面积法”，表示图1和图2中阴影部分的面积，可获得的数学等式是： ①如图1，可知：___________； ②如图2，可知：=___________； (2)解决问题：若，，根据（1）中的数学等式，求的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解决问题的关键． （1）用两种不同的方法表示阴影部分面积，或根据大、小正方形的边长与长方形边长之间的关系可得答案； （2）利用，求得，再得到，进一步计算即可求出． 【详解】（1）解：①第一个图阴影部分的面积为， 第二个图阴影部分的面积为， ∴； ②大正方形的边长为，面积为， 中间小正方形的边长为，面积为， 四个小长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：；； （2）解：∵，， ∴， 由（1）可知， ∴， ， ∵ ， ∴当时，原式； 当时，原式； ∴的值为或． 地 城 考点04 完全平方公式 23．（24-25八年级上·云南昆明·期末）下列正方形分割方案中，可以验证的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景．用代数式分别表示各个选项中图形的面积，再根据各个图形中面积之间的关系得到等式即可． 【详解】解：A、选项A中的左图面积为，拼成的右图是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，因此选项A不符合题意； B、从整体上看是边长为的正方形，因此面积为，拼成整体的4部分的面积和为，所以有，因此选项B不符合题意； C、选项C中大正方形的面积为，拼成大正方形的4部分的面积和为，所以有，因此选项C不符合题意； D、选项D中大正方形的面积为，拼成大正方形4个部分的面积和为，所以有，因此选项D符合题意． 故选：D． 24．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方的公式，根据完全平方公式，观察其构造，即可得出的值，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 【详解】解：由， ∴， 故选：． 25．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（   ） A． B．7 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式正确变形即可解答，熟练计算是解此题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D． 26．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若是完全平方式，则的值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出a的值． 【详解】解：是完全平方式， ， 故选：B． 27．（24-25八年级上·云南文山·期末）已知关于x的多项式是一个完全平方式，则的值为（   ） A．4 B． C．2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题主要考查完全平方式的构造，熟练掌握完全平方公式，是解题关键．根据完全平方公式的结构特征求解即可． 【详解】解：∵， ∵多项式是一个完全平方式， ∴， ∴或， 故选：D． 28．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若，，则的值是（   ） A．121 B．100 C．81 D．64 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式变形计算，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选B． 29．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，同底数幂的乘法，积的乘方，根据完全平方，同底数幂的乘法的性质，积的乘方的性质，平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 30．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如果是一个完全平方式，则的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：C． 31．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）若是一个完全平方式，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴ ， 解得：或， 故选：C． 【点睛】考查了完全平方式，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 32．（12-13七年级下·全国·课后作业）若是一个完全平方式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式，分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活变形是解题的关键，需注意要分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况，否则容易遗漏答案． 33．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为______； (2)若，求代数式的值； (3)若，求证：． 【答案】(1) (2)1 (3)见解析 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题目中所给的例子进行计算即可； （2）根据题目中所给的例子进行计算即可； （3）根据题目中所给的例子进行计算，即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴原式得证． 34．（24-25八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以 ， 【尝试应用】 （1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____； （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 （3）若，，且，．求的值． 【答案】（1）9800；（2）；（3）的值为 【分析】本题主要考查整式的混合运算，乘法公式，立方公式与几何图形面积，体积的计算，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． [尝试应用] （1）根据材料提示得到，由此即可求解； （2）根据立体图形体积的计算方法，分别算出甲、乙、丙的体积，再根据整式的混合运算计算即可求解； [拓广探索] （3）运用完全平方公式变形得到，，结合（2）的计算方法得到原式，代入计算即可求解． 【详解】解：[尝试应用] （1）∵， ∴， 故答案为：； （2）棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积， 甲的体积为：， 乙的体积为：， 丙的体积为：， ∴剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即， ∴， 故答案为：； [拓广探索] （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 根据（2）的计算得到， 同理，， ∴． 35．（24-25八年级上·云南文山·期末）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)图1分别用两种方法表示整个图形的面积为：； 图2中阴影部分的面积为：________； (2)若，，请计算的值； 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的应用，解题的关键熟练掌握完全平方公式，并进行灵活运用． （1）图2中阴影部分的边长为，根据正方形面积公式得出答案即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：图2中阴影部分的边长为，面积为：； （2）解：∵， 又∵，， ∴， ∴． 36．（24-25八年级上·云南红河·期末）已知多项式的值为7． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式，整式的四则混合运算，代数式求值等知识点，熟练掌握完全平方公式及整式的四则混合运算法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可得出答案； （2）由（1）得，，代入式子化简即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）证明：， ，， ． 37．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）已知下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… (1)观察上面的等式，请写出第6个等式与第n个等式； (2)试判断：任意两个连续偶数的平方差能被_____（填4或8）整除．请证明你的结论． 【答案】(1)； (2)4，证明见解析． 【分析】本题考查了规律性：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律； （1）观察已知等式得到一般性规律，写出第6个等式与第n个等式即可； （2）任意两个连续偶数的平方差能被4整数，验证即可． 【详解】（1）解：第6个等式为：， 第n个等式为：； （2）解：任意两个连续偶数的平方差能被4整除， 理由为：设m为整数，则， 则任意两个连续偶数的平方差能被4整除． 38．（21-22七年级下·陕西渭南·期末）化简：． 【答案】． 【分析】根据平方差公式、完全平方公式、整式的除法即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式以及整式的除法运算，本题属于基础题型． 试卷第24页，共24页 试卷第1页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法 4大高频考点概览 一、考点01 幂的运算 二、考点02 整式的乘法 三、考点03 平方差公式 四、考点04完全平方公式 地 城 考点01 幂的运算 1．（24-25八年级上·云南昆明·期末）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列计算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·云南临沧·期中）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22八年级上·河南安阳·期末）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 地 城 考点02 整式的乘法 6．（24-25八年级上·云南昭通·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·云南普洱·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（22-23七年级下·广东梅州·期中）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是(　　)    A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·云南昆明·期末）根据下列运算程序，若输入，则第一次输出的结果n为（　　） A． B．11 C．21 D．24 11．（23-24七年级下·广东茂名·阶段练习）计算的结果是（    ） A． B．0 C．1 D．2024 地 城 考点03 平方差公式 12．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）化简的值为（   ） A． B． C． D． 13．（12-13七年级下·浙江温州·期末）若与的乘积中不含的一次项，则的值为（   ） A． B．3 C．0 D．1 14．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图（1），将边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分（阴影部分）拼成如图（2）所示的平行四边形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·河北唐山·期中）下列多项式乘法中能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 16．（19-20七年级下·浙江宁波·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 17．（23-24六年级下·山东泰安·月考）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（如图甲），把余下的部分拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级上·云南昭通·期末）的计算结果是（　　） A． B． C．2 D．4 19．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，将余下的部分拼成一个长方形，此过程可以验证（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：． (1)求的值 (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．且，，若，，求图中阴影部分的面积． 21．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，将一个边长为的正方形分割成四部分边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)请用两种方法分别表示正方形的面积用含a、b的代数式表示： ①______；②______． 由此可以验证一个重要的公式是______． (2)若图中a，b满足，，求的值． (3)若，求的值． 22．（24-25八年级上·云南昭通·期末）数与形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，在如下图1和图2中阴影部分的面积便可利用几何直观的“等面积法”推导出数学等式． (1)发现问题：利用“等面积法”，表示图1和图2中阴影部分的面积，可获得的数学等式是： ①如图1，可知：___________； ②如图2，可知：=___________； (2)解决问题：若，，根据（1）中的数学等式，求的值． 地 城 考点04 完全平方公式 23．（24-25八年级上·云南昆明·期末）下列正方形分割方案中，可以验证的是（　　） A． B． C． D． 24．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值是（　　） A． B． C．或 D．或 25．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（   ） A． B．7 C．9 D． 26．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若是完全平方式，则的值为（    ） A．5 B． C．10 D． 27．（24-25八年级上·云南文山·期末）已知关于x的多项式是一个完全平方式，则的值为（   ） A．4 B． C．2或 D．4或 28．（24-25八年级上·云南昭通·期末）若，，则的值是（   ） A．121 B．100 C．81 D．64 29．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 30．（24-25八年级上·云南昆明·期末）如果是一个完全平方式，则的值是（   ） A．1 B． C．1或 D．2或 31．（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）若是一个完全平方式，则的值是（    ） A． B．1 C．或1 D． 32．（12-13七年级下·全国·课后作业）若是一个完全平方式，则的值为 ． 33．（24-25八年级上·云南昭通·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称为“降次代换法”．例如：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴， ∴原式，∴． 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为______； (2)若，求代数式的值； (3)若，求证：． 34．（24-25八年级上·云南昆明·期末）【阅读材料】 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以 ， 【尝试应用】 （1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____； （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____； 【拓广探索】 （3）若，，且，．求的值． 35．（24-25八年级上·云南文山·期末）现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)图1分别用两种方法表示整个图形的面积为：； 图2中阴影部分的面积为：________； (2)若，，请计算的值； 36．（24-25八年级上·云南红河·期末）已知多项式的值为7． (1)求的值； (2)证明：． 37．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）已知下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：；… (1)观察上面的等式，请写出第6个等式与第n个等式； (2)试判断：任意两个连续偶数的平方差能被_____（填4或8）整除．请证明你的结论． 38．（21-22七年级下·陕西渭南·期末）化简：． 试卷第8页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $